1、国内图书分类号：O241.82 学校代码：10213国际图书分类号：519.6 密 级：公开理学硕士学位论文双曲守恒方程的一类高精度算法硕士研究生：董明华导 师：高广宏副教授申请学位：理学硕士学 科：计算数学所在单位：理学院数学系答辩日期：2011年 6月授予学位单位：哈尔滨工业大学Classified Index: O241.82U.D.C: 519.6Dissertation for the Master Degree in ScienceA HIGH-ORDER ACCURACY ALGORITHM FORHYPERBOLIC CONSERVATION LAWSCandidate：Sup
2、ervisor：Academic Degree Applied for：Speciality：Affiliation：Date of Defence：Degree-Conferring-Institution：Dong MinghuaAsso.Prof. Gao GuanghongMaster of ScienceComputational MathematicsDepartment of MathematicsJune, 2011Harbin Institute of Technology哈尔滨工业大学理学硕士学位论文摘要双曲守恒方程在交通运输，预防与控制水质污染，气象预报以及资源勘查等各领
3、域中应用广泛。然而，除了常系数线性方程外，一般给不出整体连续的解，因而研究数值解在理论分析和工程应用中都极为重要。有限差分法是研究数值问题的常用方法，在有限差分格式中，用差商近似微商，给出定解问题的近似值。双曲守恒方程的经典差分格式具有一阶或二阶精度，为了提高格式精度，人们提出了许多高精度差分格式，这些格式需要增加基点数目或添加额外的物理条件。本文采用的摄动有限差分（PFD）格式是不同于上述思路的一类高精度格式，它占用基点数目少，并保持对原有物理条件的边界处理。摄动有限差分格式是中科院高智研究员首次提出的高精度差分格式，它根据精度要求，通过截断误差修正原差分方程得到。摄动法对微商项采用差商近似
4、，同时把微商项系数或源项也展开为步长的幂级数，根据精度要求由待定系数法求出摄动系数，进而给出摄动有限差分格式。本文首先改进了时空二阶精度的迎风摄动有限差分格式，采用精确值代替近似值的思路，消除了摄动系数分母中的微商项。改进后的摄动有限差分格式，扩大了它的适用范围，减少了误差扩撒的风险。其次，把摄动法应用到 Lax-Friedrichs差分格式和中心差分格式中。Lax-Friedrichs差分格式具有时空一阶精度，局部稳定，而达到时间一阶、空间二阶精度的 Lax-Friedrichs摄动有限差分格式并不稳定，达到时空二阶精度的Lax-Friedrichs摄动有限差分格式和 Lax-Friedri
5、chs差分格式具有相同的稳定域。中心差分格式具有时间一阶、空间二阶精度，但不稳定，而时空二阶精度的中心摄动有限差分格式局部稳定。通过稳定性分析，指出了摄动有限差分格式的稳定域和原差分格式的稳定域没有必然联系。最后，本文构造了一个达到时间三阶、空间四阶精度的中心摄动有限差分格式，通过数值试验，给出了稳定域范围。关键词：双曲守恒方程；摄动有限差分；高精度；-I-哈尔滨工业大学理学硕士学位论文AbstractHyperbolic conservation equation is used widely in transportation, preventing andcontrolling wate
6、r pollution, weather prediction, resources exploration and so on.However, usually we cant give out the continuous solution in the whole fields. So theresearch for numerical solution is important on the theoretical analysis and engineeringapplication.Finite difference method is an important method to
7、 study numerical method. Here,derivatives are approached by difference coefficient, and we will get the analoguesolution of the original problem. Some representative schemes of hyperbolicconservation have one or two order accuracy. In order to improve the accuracy, thedifference schemes need to incr
8、ease the basepoint number or add additional physicalconditions. In this paper, the high order accuracy scheme, Perturbation FiniteDifference(PFD) is different from the above ideas. PFD Scheme has fewer basepoints,and keep the original boundary treatment in physical terms.Perturbation finite differen
9、ce format is proposed by GaoZhi researcher of ChineseAcademy of Sciences for the first time. It is a kind of high order accuracy formats.According to the demand of accuracy, we can get it through the truncation error andmodified the original differencl equation. In PFD, derivatives are approached by
10、difference coefficient. At the same time, expand the coefficients of derivatives or sourceitem in a power series for step length.First, this paper improves the second-order accuracy upwind PFD scheme. Becauseit adopts exact value instead of analogue value, the modified PFD will eliminatederivatives
11、in the denominator. Thus, it expands its applicable scope, and reduce the riskof error diffusion.Second, PFD is being applied to Lax-Friedrichs difference scheme and centraldifference scheme. Lax-Friedrichs difference scheme is first-order accuracy of both timeand space and local stability. Lax-Frie
12、drichs PFD scheme with first-order accuracy oftime and second-accuracy of space is instability, and Lax-Friedrichs PFD scheme withsecond-order accuracy of both time and space has the same stable region ofLax-Friedrichs scheme Central difference scheme with first-order accuracy of time andsecond-accu
13、racy of space is instability, but Central PFD scheme with second-orderaccuracy of both time and space is local stability. This paper gives the stability analysisand points out that stability region is different between the PFD schemes and originaldifference schemes.Finally, this paper constructs a t
14、hird-order accuracy of time, fourth-order accuracyof space central PFD scheme. Through the examples analysis, we get its stability region.- II -哈尔滨工业大学理学硕士学位论文Keywords: hyperbolic conservation equation；Perturbation Finite Difference；high orderaccuracy；- III -哈尔滨工业大学理学硕士学位论文目 录摘 要IABSTRACTII第 1章绪论. 1
15、1.1双曲守恒律方程 11.2研究方法 11.3论文主要工作 21.4有关概念 31.4.1有限差分. 31.4.1有限差分格式的有关性质和定理. 5第 2章摄动有限差分格式. 72.1迎风摄动有限差分格式 72.1.1摄动思想. 72.1.2摄动系数处理方法. 82.2改进的时空二阶迎风摄动有限差分格式 92.3本章小结 11第 3章 LAX-FRIEDRICHS摄动有限差分格式. 123.1引言 123.1.1 Lax-Friedrichs差分格式的性质 . 123.1.2 Lax-Friedrichs摄动有限差分格式及其性质 . 133.2算例 173.3本章小结 21第 4章中心摄动有
16、限差分格式. 224.1中心差分格式 224.2时空二阶精度的中心摄动有限差分格式 224.2.1时空二阶精度中心摄动有限差分格式的构造方法. 224.2.1时空二阶精度中心摄动有限差分格式的稳定性证明. 234.3时间三阶、空间四阶精度的中心摄动有限差分格式 244.4算例 264.5本章小结 29结论. 31- IV -哈尔滨工业大学理学硕士学位论文参考文献. 33哈尔滨工业大学学位论文原创性声明及使用授权说明. 36致谢. 37-V-哈尔滨工业大学理学硕士学位论文1.1双曲守恒律方程双曲守恒律方程第 1章绪论ut f (u) x 0, x, t 0u(x, 0) u0 (x )（1-1）
17、在交通运输，预防与控制水质污染，气象预报以及资源勘查等各领域中应用广泛。对于简单的线性双曲守恒方程，可以求出它的解析解 1，例如一维常系数线性对流方程的解可写成u au 0, x, t 0txu(x, 0) g (x), xu(x,t ) g (x at )（1-2）（1-3）但多数实际问题，由于边界条件的复杂性，往往无法求出解析解。因而，研究双曲守恒方程的数值解2，在理论研究上和工程应用中，都极为重要。对流方程（1-2），也称为平流方程，反应了物质在流体中的浓度变化。设想一个无限长的试管中，充满了流体，如液体和气体， a表示流体的速度，在式（1-2 ）中为常数， u(x,t )为某种物质在
18、t时刻 x点处的浓度，此时 u(x,t )依赖于初值条件 g (x)。当 a不是常值时，即使初值 g (x)充分光滑，定解问题（1-2）也可能不存在整体连续的解，为此产生了弱解理论，以推广（1-2）式连续可微解的概念，但推广的弱解并不唯一，不符合实际问题的物理意义，为了解决这个问题，又增加了熵条件等。可见，理论分析并不能很好地解决双曲守恒方程问题，因而人们提出了各种各样的数值方法。1.2研究方法有限差分 3,4 是研究数值方法的重要手段，有限差分格式用差商近似微商，从格式的精度、相容性、稳定性、收敛性以及经济效益上考察它的可行性。微商的差分近似主要有向前向后差分，如迎风格式 5，中心差分，如中
19、心差分格式 6，以及它们的组合差分，如 Lax- Wendroff格式 7等。差分格式的理论研究较成熟，格式构造简单，但精度普遍不高。为了提高格式的精度，人们提出了-1-哈尔滨工业大学理学硕士学位论文各种各样的构造格式，如通过细分网格的多基点差分格式，这类格式有 ENO 8、TVD 9和 WENO10等，以及在它们基础上的改进格式，如 WENO重构 11-13，全局一致高阶精度离散方法 14等。这一类格式精度高，但占用内存，在复杂边界处理上也存在困难。由三次样条发展而来的紧致差分格式 15,16既达到了多基点差分格式的精度，又克服了它使用多个节点的缺点，应用广泛，如 Chu和 Fan的 Her
20、mite插值高精度紧致格式 17，超紧致差分格式 18 ，紧致平方守恒格式 19等，紧致格式需要设置更多的边界条件，边界处理是一难点。上述几类格式，近年来研究的比较深入，并发展出了许多改进格式 20-27，这些格式通过增加基点数目，或是设置人工限制条件来提高格式精度。摄动有限差分方法（PFD）是中科院力学研究所的高智研究员首次提出的一种高精度算法，它涉及的基点数目少，且不增添新的物理内容，具有格式简单，高精度高分辨率的特点。摄动有限差分方法的思想是微商保持传统的差分近似，同时把系数和源项进行摄动展开，摄动系数通过截断误差修正差分方程得到。高智研究员在九十年代提出了摄动的思想 28，之后和他的合
21、作者不断完善这一方法并应用到流体力学中。2000年其发表的摄动有限差分方法研究进展 29一文，阐述了摄动有限差分的基本方法；在第十届全国激波与激波管学术讨论会上，将这一方法运用到不可压和可压缩流动中 30；2003 年，朱力立先生等将摄动法应运到一维和二维 CD方程中，得到了二阶精度的格式 31，申义庆研究员等讨论了它在双曲守恒型方程组的应用 32；之后，高智研究员于零四年构造了时间一步三阶，空间三点三阶的对流扩散方程格式 33，杨国伟研究员等将其用到 Burgers方程中 34； 2010 年，高智研究员实现了摄动法在Naveier-Stokes方程组中的应用 35，并发展了双重数值摄动，以
22、扩大摄动有限差分的稳定域，并给出了对流扩散方程的一个绝对稳定高阶中心差分格式 36。上述摄动有限差分格式主要研究摄动法在迎风格式中的应用，其构造格式均为等步长的显示差分格式，通过算例演示说明格式的合理性，并没有从理论上证明格式的相容性、稳定性及收敛性等。李明军教授等进一步发展了变步长摄动有限差分方法 37，并应用到对流扩散方程中；谭明先生给出了隐式摄动有限差分格式 38的构造方法并证明了它的稳定性。1.3论文主要工作高智研究员提出的摄动法都应用到迎风式中，采用统一的格式处理摄动系数。事实上，由于摄动展开式不唯一，加上常见的摄动系数处理方法存在缺陷，每一个摄动有限差分格式都需要指出其特有的摄动系
23、数处理方法。本文改进了-2-2!tjj 3!t2!tjj 3!t2!xjj 3!x2!xjj 3!xu2!tjj 3!t12u 13u2!xjj 3!x哈尔滨工业大学理学硕士学位论文精度不超过二阶时的摄动有限差分算法，即利用修正微分方程消除分母含有导数项的摄动系数，解决了常规摄动有限差分格式存在的问题：一是不能解决初值条件为常数的情况，二是导数值很小时由于计算机的舍入误差而导致的数值震荡。并将改进后的摄动法应用到 Lax-Friedrichs格式和中心差分格式中，给出它们的稳定性判别条件和算例分析。通过这两种格式，说明了摄动有限差分方法在提高格式精度方面的优越性，也指出了它存在的不足：不保证原
24、差分格式与摄动有限差分格式具有一致的稳定域。1.4有关概念1.4.1有限差分在介绍摄动有限差分及其应用之前，先介绍一下差分的几个概念。差分采取将连续问题离散化的思路，由此发展出了一系列的网格剖分技术。本文中的网格剖分均采用等步长剖分方法，空间步长记为 h，时间步长记为 。 u(x j nt, )为函数 u(x,t )在点 ( x j , tn )处的精确值， u nj为为函数 u(x,t )在点 ( x j , tn )上的近似值。由泰勒展开式，可知u(x j ,tn1 ) u (x j ,t n )u(x j nt,1 ) u (x j nt, )u(x j1 ,tn ) u (x j ,t
25、n )nut jnut jnux jhn n1 2u 1 3u2 3n n12u 13u2 3n n12u 2 1 3u2 3 3 O ( 4 ) 3 O ( 4 )h3 O (h4 )（1-4）（1-5）（1-6）u(x j1 ,tn ) u (x j ,t n ) hnux jn n12u 1 3u2 3 h3 O (h 4 )（1-7）因而，对于常见的几个微商近似，有如下定义：一阶向前差分 u( x j , tn1 ) u(x j ,tn ) u( x j1, tn ) u(x j ,tn )nutjnx jn n12u 1 3u2 3n n2 3 2 O ( 3 )h2 O (h3 )
26、（1-8）以 u nj近似 u(x j nt, )，即得-3-ununn utjuO(h)xhtjuuO(h)xhununn1 utjx2hO(h)2unun2unun1 O(2)tj2uxh2O(h2)unujunun1u哈尔滨工业大学理学硕士学位论文1 O( )nj同理可得一阶向后差分u n u n u n1 O( )nj一阶中心差分1 O( 2 )2 nu2j二阶中心差分12 2n2 j利用上述差分近似，可得几个经典的有限差分格式：迎风格式1 n a 0, a 0 h n1 n n n u j u j a u j1u j 0, a 0 h中心差分格式（1-9）（1-10 ）（1-11 ）
27、（1-12 ）（1-13 ）1 au nj1 u nj12h 0 （1-14 ）Lax-Friedrichs格式1 1 (u2 au nj1 u nj12h 0 （1-15 ）-4-哈尔滨工业大学理学硕士学位论文蛙跳格式u nj1 u nj12 au nj1 u nj12h 0 （1-16 ）1.4.1有限差分格式的有关性质和定理为了对有限差分格式进行比较，人们提出了很多概念，比较常见的有截断误差，相容，稳定性和收敛性以及针对这些概念的一些定理，它们的常见定义如下所述：(1)截断误差用微分方程的准确解 u(x j nt, )代替差分格式的近似解 u nj，得到的方程两边的差就是截断误差 2 2
28、，一般用 T (x,t )表示截断误差。(2)相容当时间步长和空间步长均趋于 0时，若截断误差在点 ( x j , tn )处也趋于 0，则称差分格式是相容的，相容性表明了差分方程与微分方程的接近程度 2 22-23。(3)稳定由于算法本身的缺陷和计算机的舍入误差，会导致前一步的误差在整个迭代过程中向后传播的情况，这就是稳定性问题，有关它的具体定义，可查阅参考文献2。(4)收敛收敛性问题是指时间步长和空间步长趋于 0 时，差分格式的解与微分方程的解的逼近程度，即差分格式是收敛的 2 23，若e nj u(x j ,tn ) u nj 0,h 0, 0(5)精度称有限差分格式是时间 m阶精度，空
29、间 n精度，若截断误差满足T (x,t ) O( m ) O(h n )相容性比较容易验证，稳定性和收敛性按定义证明十分繁琐，为此，人们提出了许多验证稳定和收敛的判别定理。对于线性常系数差分格式，常采用简单易行的 Fourier 分析法来证明稳定性；对于非线性问题，可采用近似稳定性证明的 Hirt 启示性方法；而能量不等式方法可以用于任何差分格式的稳定性证明，尤其在变系数方面有凸出的优势。对于一个适定的（指定解问题解的存在性、唯一性和稳定性成立）线性初值问题，差分格式的稳定性和收敛性有一定的关系，这就是 Lax等价定理差分格式的收敛性是稳定性的充要条件，若-5-哈尔滨工业大学理学硕士学位论文差
30、分格式是相容的。在本文中，为了书写方便，除了定解问题的偏微分方程外，若无特殊说明，差分格式中的偏导数（如 ux ， ut ， 2ux2等），均指他们在节点 ( x j , tn )处的值。在已有的摄动有限差分格式中，摄动系数最终结果都表示为 ux 、 ut 及 2ux2等函数形式，事实上是这些函数在 ( x j , tn )处的值，为了和摄动法文献保持形式一致，本文的摄动系数也采用这种写法。文中对一维对流方程差分格式的处理都是将其作为线性问题处理的，非线性问题除了稳定性收敛性证明不同外，截断误差和精度问题等与线性问题处理一致。-6-(uiiin1uiiin1)0n)哈尔滨工业大学理学硕士学位论
31、文第 2章摄动有限差分格式2.1迎风摄动有限差分格式2.1.1摄动思想高智研究员提出的摄动有限差分方法具有基点少、精度高等显著优点，它将微商项用差商来近似，在摄动法相关文献中，均采用一阶迎风和二阶中心差分来近似一阶、二阶微商项，这综合考虑了格式的分辨率和精度。摄动法不同于传统的有限差分法在于它将系数项和源项也进行了近似，这里的近似是指将系数项和源项展开成时间步长和空间步长的幂级数，幂级数的系数由精度要求通过截断误差修正差分方程得到。为了详细说明这一思路，本文重述了文献3中一维对流方程的迎风摄动有限差分格式，并针对此格式，在下一节对传统的摄动有限差分格式作了改进。ut a ux 0, x, t
32、0 （2-1）u(x, 0) g (x), x方程（2-1 ）的一阶迎风格式为1n1 a n n2h(1 )(u ) (1 )(uu（2-2）其中， signa，设时间和空间差分项系数分别为 ctp和 cxp，摄动展开如下则修正后的差分格式为ctp 1 n nn1c xp anh nn1（2-3）（2-4）ctp (uin1 uin )c xp2h (1 )(uin1 uin ) (1 )( uin uin1)0 （2-5）代入微商项、系数项和源项的近似值，归并时间项、空间项的系数，令它们分别等于零，得到时间步长、空间步长 0阶ut aux 0 （2-6）时间步长 1阶-7-(uiin)u (
33、)(1)(uin1uiiin1)2u 1uun(12)(uin12uiin1)2Su0u(12)(uin1uin11)2(uiiin1uin11)(u哈尔滨工业大学理学硕士学位论文1ut 12u2t 2（2-7）时间步长 2阶 2ut112 2u 13ut 2 3!t3（2-8）空间步长 1阶1u at 2 2ux 2（2-9）空间步长 2阶 2ut112 2u 13ux 2 3!x3（2-10 ）求出 1， 2， 1和 2，略去 O( 3 , h3 )及更高阶项得到12n1 2 22x 2 4utx 2 3!x 2t a2h n n a 2u) (1 )(uu h2x22( ) 2 ( )h
34、 2 04u xx 2 3!x 2t（2-11 ）把上式中诸微分项用差分来近似，最后获得双曲方程（2-1）的时间一步三阶精度，空间三点三阶精度迎风摄动差分格式n1 n n n(1 )(u ) (1 )( u u u2 2 4ux hn（2-12 ）其中 ah ，源项 Su由 n 1到 n时间步的解给出。Su 1 3!n n1（2-13 ）2.1.2摄动系数处理方法在绪论中指出了摄动系数的处理是一个难点，高智研究员采用统一的格式处理摄动系数，其对一阶偏导数处理如下-8-un1uiin1un,uuii1,uii1哈尔滨工业大学理学硕士学位论文nu x h in n n ni u u （2-14 ）
35、二阶偏导数采用二阶中心差分近似。在摄动有限差分文献中，均采用迎风摄动有限差分格式作为基本格式，进一步由此发展出了对流扩散方程的摄动有限差分格式，多维方程以及偏微分方程组的摄动有限差分格式，如 Naveier-Stokes方程组。在这些摄动格式中，采用上述的摄动系数处理方法。将摄动法应用到流体力学中，文献 30已经证明所构造的迎风摄动有限差分格式具有基点少，高精度高分辨率，省机时以及不增加额外的物理边界条件等优点。2.2改进的时空二阶迎风摄动有限差分格式在上一节介绍了迎风摄动有限差分格式（2-12），此格式由于分母存在偏导数（其实是偏导数的值），导致差分格式比较复杂，而且要单独定义分母中的偏导数
36、的近似值。高智研究员在式（ 2-14）中给出了分母中偏导数的差分定义，此定义考虑了迎风特性，但它的适用范围有限，并存在误差扩散的危险。首先，由于偏导数在分母上，当这个值非常小时，由于计算机的舍入误差，可能导致整个式子的误差很大；其次，当初边值条件为常数时，分母为 0，这显然导致格式无实用价值。因此，解决分母中偏导数的近似问题，是摄动有限差分格式应用中的重点。在原有限差分格式的分母中并不存在偏导数，故偏导数只能是在摄动过程中产生；事实上，分母中的偏导数正是在求解空间步长和时间步长的系数中出现的。由待定系数法求出的摄动系数，必然存在偏导数出现在分母的情况，对此偏导数的任何差分近似都避免不了上述两个
37、问题。本文抛开了如何在摄动有限差分格式中用差商近似微商，以让近似值逼近精确值这一常见思路，而是先用精确值代替近似值，通过修正微分方程，消除分母中微商项，让微分方程在形式上适合差分方程逼近，再对差分方程进行数值近似。对于一维对流方程，不高于二阶精度的摄动有限差分格式，均可以消除分母中的微商项；二阶以上精度的摄动有限差分格式，对源项进行摄动展开也可以避免分母中的微商项，若对其他项进行摄动展开，需要在满足一定条件下才可以消除分母中的微商项。如 2.1中迎风摄动有限差分格式，按照其思路构造其常见的时空二阶精度差分格式，代入时空一阶步长系数并略去更高阶项得-9-12u)(uiiin1uiiin1)0n)
38、(11uttn1aaunn1uttuau(uin12uinuin1)哈尔滨工业大学理学硕士学位论文 1 utt t a u xx 1 2 ut（2-15 ）故时空二阶精度的迎风摄动有限差分格式为( xx )(1 )(u ) (1 )(uu 2 ut 2h 4 ut（2-16 ）式（2-16 ）中一阶微商采用式（2-14）处理方法，二阶微商用二阶中心差分近似。可见，即使是二阶精度的迎风摄动有限差分格式，结构也很复杂，且依然存在适用范围和误差扩散的不足。现在利用改进的摄动有限差分方法，即先用精确值代替近似值，通过修正微分方程试图消除掉分母中的微商项。将式(2-3)、(2-4)和( 2-15)代入式
39、(2-1)中，得修正微分方程(1 ) (a xx h)2 utt 2 utux 0 （2-17 ）式（2-17 ）的前一部分可以消除分母中的时间偏导项，后一部分仍然存在分母出现微商项的情况，但由(2-1)可知ut aux （2-18 ）将式（2-18 ）代入式（2-17）并化简，得化简后的修正微分方程 hut au x ( utt u xx ) 02 2 （2-19 ）再对式（2-19）进行差分近似，二阶偏导项用二阶中心差分近似，可得修正后的时空二阶精度迎风摄动有限差分格式：1(uin1 uin )a2h (1 )( uin1 uin)(1)( uin uin1)122h (uin1 2uin
40、 uin1) 0 （2-20 ）改进后的摄动有限差分格式（2-20）和原摄动有限差分格式（ 2-16）比较，两者都达到了时空二阶精度，都是两阶三层的差分格式，但前者形式简洁，且分母中不含有微商项，避免了适用范围有限和误差扩散的风险。摄动有限差分格式（2-20 ）是一个时间三层的格式，需要添加一个初值条件，为了保持定解问题微分方程的原初值条件，可对式（2-19）进行改进。由式（2-18）可知-10-a22h 2h哈尔滨工业大学理学硕士学位论文 2u 2ut 2x 2将（2-21 ）代入（2-19 ），得改进后的修正微分方程（2-21 ）ut au x (a 2 h2 2 )u xx 0 （2-2
41、2 ）改进后的时空二阶精度迎风摄动有限差分格式：1(uin1 uin )a2h (1 )( uin1 uin)(1)( uin uin1) ( a 22 )(uin1 2uin uin1 ) 0 （2-23 ）式（2-23 ）相对于式（2-20）结构更加简洁，只用四个基点就可达到时空二阶精度，且是时间两层的显示格式，在证明其性质和编程实现算例时都比较容易，数学处理的初值条件和物理问题的初值条件完全一致。本文在第三章和第四章均采用改进后的摄动有限差分格式，对于精度超过二阶的格式，本文需要通过添加额外条件，如 ux b 2ux2等，才可能消去分母中的微商项，这一方面的理论有待研究。如果只对源项进行
42、摄动展开，也可以避免分母中出现微商项的情况，此时摄动法和修正微分方程添加扰动项理论近似。2.3本章小结本章首先阐述了摄动法的思想，并通过高智研究员提出的迎风摄动有限差分格式，说明了这一格式具有高精度占用基点少的优点，也指出了这一格式的不足分母中存在微商项，无法解决初值条件为常值的情况，并且存在误差扩散的风险。然后，本章给出了改进的摄动有限差分格式，即用精确值代替近似值，通过修正微分方程消除分母中的微商项。与原有的摄动有限差分格式相比较，改进后的摄动有限差分格式形式更简单，与原格式利用相同的基点数，在不超过二阶精度时可消除分母中的微商项，不增加额外的初值条件，且达到了同样的精度。传统的摄动系数处
43、理（2-14）式，既有上述所述不足，又只针对迎风摄动有限差分格式，而改进后的摄动有限差分格式，可用于任何差分格式中。-11-u 12u21nun2!t212u21mum2!xm!xm12u22k1u2k12ku2k1 11nun112ku2k1hutn!tn2k1u2k11nun1 12kuh2k2k1u2k 1a哈尔滨工业大学理学硕士学位论文第 3章 Lax-Friedrichs摄动有限差分格式3.1引言对时间一阶偏导项采用组合差分近似，空间一阶偏导项采用中心差分近似，给出式（1-2 ）的 Lax-Friedrichs格式1 1 (u2 au nj1 u nj12h 0 （3-1）它的截断误
44、差为 O( h 2 ) O ( h 2 )，具有时空一阶精度，格式相容，局部稳定。3.1.1 Lax-Friedrichs差分格式的性质下面证明 Lax-Friedrichs 差分格式的性质，由泰勒展开式知：1ut n （3-2）u nj1 u nj ux h 2m3h （3-3）u nj1 u nj ux hh h2!x2 k1 (2k1)!x2k1 k 2 (2k)!x2 k（3-4）将上述三式代入 Lax-Friedrichs格式中，得12 n 2 2k h （3-5）u nj1 u nj12h ux2k1（3-6）从而 Lax-Friedrichs格式的截断误差为：n2 k 2 k1 O ( h 2 ) O ( h 2 ) （3-7）-12-1nun1 12ku2k1h(ax12h2xphp)( 2k1u2k11nun1u 12kuh2k2kua3u2 )hXqhq0哈尔滨工业大学理学硕士学位论文一般取网格比 h为常数，从而 Lax-Friedrichs格式具有时空一阶精度，且显然格式是相容的，下面讨论 Lax-Friedrichs格式的稳定性和收敛性。设 u nj vn exp(ikjh)，则u nj1 vn1 exp(ikjh)， u nj1 v n expik ( j1)h， u n
