1、AbstractIn manufacturing and installation process or in an actual working condition, thereis always something uncertain for an antenna. For the reflector antennas, theseuncertainties would make the antenna surface distorted as well as the position andpointing angel of the feed phase center. And for
2、the array antennas, it will cause theunits position and feed network amplitude and phase of uncertainty, which will furtherled to the electrical performance range in a certain interval. In this paper, intervals areused to express the uncertain parameters of antennas. The influences of the uncertaine
3、rrors on antenna structure and electrical performance are analyzed based onnon-probabilistic interval method.The effect of the uncertain errors of reflector antenna on the electricalperformance is analyzed based on the non-probability interval method in this paper.The relationship between the positi
4、on errors as well as the pointing angel errors of thefeed phase center and the aperture electromagnetic field is deduced. An intervalnumerical model, which reflects the effect of the uncertain errors of reflector antennaon the far field pattern, is established. The trigonometric function is used to
5、express thecomplex exponential and its numerical results are solved so as to calculate intervalcomplex exponential. Meanwhile, the lower and upper bounds of the power patternfunction is obtained according to the method above.In this paper, the effect of the uncertain random errors of array antenna o
6、n theelectrical performance is also analyzed based on the non-probability interval method.Array antenna random errors including feed network amplitude and phase errors andthe unit position error. The relationship between random uncertainty errors and theaperture electromagnetic field is given. And a
7、n interval model, which reflects the effectof the random uncertain errors of array antenna on the far field pattern, is established.According to the interval arithmetic rule, the upper and lower bounds of the far filedpower pattern for array antennas is obtained. The indexes of electrical performanc
8、eachieved are intervals, which can provide theoretical support and reference for theantenna designers.Keywords: Reflector antenna Feed errors Array antenna randomerrorsInterval analysisLower and upper bounds of power pattern目录第一章绪论.11.1天线简介11.2工程研究背景及意义31.3区间方法的发展现状61.4论文研究内容和结构安排7第二章非概率区间方法的介绍.92.1
9、引言92.2区间数学的基础知识92.2.1实数区间的概念及其运算.92.2.2复区间数及其运算. 112.3区间截断方法的介绍122.3.1函数的区间扩张.122.3.2区间截断法.132.3.3截断因子的选取.152.4本章小结16第三章天线基本理论.173.1引言173.2天线的辐射方向图173.3反射面天线的基本理论183.3.1旋转抛物面天线的几何特性.183.3.2反射面天线的电磁场分布特性.203.4阵列天线的基本理论223.4.1方向图乘积定理.223.4.2天线单元(对称振子) 的辐射方向图.233.4.3平面阵天线的电磁场分布特性.253.5本章小结27第四章基于区间方法的反
10、射面天线馈源误差对方向图的影响分析.294.1天线馈源相位中心误差对其电磁场影响的关系模型294.2基于区间方法的反射面天线功率方向图计算314.3数值算例354.4本章小结42第五章基于区间方法的阵列天线误差对方向图的影响分析. 435.1阵列天线不确定性误差区间的确定 435.2阵列天线误差与其电磁场分布的关系模型 445.3基于区间方法的阵列天线功率方向图计算 465.4数值算例 485.5本章小结 54第六章总结与展望. 556.1本文总结 556.2展望 56致谢. 57参考文献. 59参加项目及科研成果. 63第一章绪论 1第一章绪论1.1天线简介自二十世纪二十年代末，雷达天线首次
11、被引入工程应用以来，已经历了七十多年的发展过程，其应用领域也从军用航空领域，逐渐扩展到航空、航海、航天、通讯、地面武器系统、空间探测以及地质水文探测等各个应用领域。可以认为，以微波与天线理论为基础而发展起来的现代雷达天线技术，已经成为现代社会最不可缺少的工具之一。现代雷达结构形式多种多样，其中应用最广泛的还是反射面天线和阵列天线。前者尤其是大型雷达天线在军事、通讯、空间探测领域应用广泛，如远程警戒雷达、各种舰载星载雷达，甚至空间探测所用的射电天文望远镜等；而后者尤其是相控阵雷达天线作为后起之秀，在军用航空航天航海领域，得到了广泛的青睐，如著名的“宙斯盾 ”系统雷达天线，再如各种先进岸基警戒雷达
12、，以及欧美上世纪已进入实用的机载相控阵雷达系统等等，已成为当前雷达天线领域前沿技术的研究热点之一。1.反射面天线为了获得高增益，在通信、雷达和射电天文等设备中广泛采用反射面天线。反射面天线型式很多，诸如各种曲面反射面和多反射面系统。反射面采用导电性能良好的金属或在其他材料上敷以金属层制成，它将入射于面上的电磁波几乎全部反射。反射面天线种类繁多，主要包括单反射面天线和双反射面天线两大类。单反射面天线的主要类形有：旋转抛物面天线，偏置抛物面天线，球面反射面天线，抛物柱面天线，角形反射器等。图 1.1某大型旋转抛物反射面天线2 基于区间方法的天线及其电性能分析图 1.1所示为某大型抛物反射面天线。旋
13、转抛物面天线是由旋转抛物反射面和置于焦点的馈源组成的一种天线形式。广泛应用于通信、雷达、无线电导航、电子对抗、遥感、射电天文和气象等技术领域。2.阵列天线随着空间技术的发展，特别是导弹等高速进攻武器的出现，要求雷达能在更远的距离上发现和跟踪目标，并能及时指挥和引导飞机和导弹拦击目标。相控阵天线正是适应这种要求，在阵列天线的基础上发展起来的一种新的天线体制和技术。相控阵天线波束移动灵活，易实现多功能应用，能辐射很大的功率且具有很好的抗人为干扰能力和工作可靠性。因此，相控阵雷达天线在近些年得到了迅速发展及广泛的应用。相控阵雷达天线是以天线口径场的相位作线性渐变时，波束将产生偏移的原理为依据，运用电
14、子控制以改变天线阵中的各个阵元辐射场的相位，使波束进行扫描。由于相控阵雷达天线的每个天线单元的相位由接在天线单元后面的可控电子相移器来控制，因此它能够及其迅速地改变波瓣指向。相控阵天线系统由成百上千的天线单元按一定的顺序排列而成，如图 1.2所示，每一个天线单元带有一个可控相移器或由相移器和衰减器组成的幅相调节器，因而天线口径的照射函数在计算机的控制下可以高速变化，具有很大的灵活性。图 1.2 俄罗斯新型有源相控阵天线从天线外形结构上来看，相控阵天线可分为线阵、矩形阵、圆形阵、圆柱阵、球形阵、共形阵等多种形式。组成天线阵的辐射单元称为天线元或阵元，可以是任何型式的天线，从原理上讲主要分为两大类
15、：振子单元和贴片单元。其中，振子单元一般是指半波振子。且不同实现形式的振子其电气性能基本相当，振子单元的实现形式主要有：压铸成型，它主要用于双极化及成熟度高的天线；冲压成型，主要用在低频天线等对精度要求不高的场合；PCB印刷，主要用在双极化、高频段等对精度要求比较高的场合。而贴片单元主要用于窄带天线、单频段天线第一章绪论 3及室内天线等。贴片天线单元截面尺寸小，成本低，但相比较振子单元而言，其电气性能较差。1.2工程研究背景及意义结构是雷达天线完成电性能的载体，雷达天线的性能与其承载结构的关系十分密切。承载结构不仅是雷达天线的载体，同时也是电磁信号的边界。随着对现代雷达天线高频段、高增益、高效
16、率、低副瓣、窄波束等各种需求的提出，必然会提高天线的电气设计和结构设计的难度，对天线承载结构的加工、制造、安装提出了更加严格的指标。因此，需研究天线的各种误差对电性能的定量影响，为天线的设计制造提供参考。在实际工况中，天线的各种误差包括随机误差和系统误差同时存在。误差信息主要包括安装、制造误差和系统误差。其中安装、制造误差属于随机误差，是一种快速变化的误差，这类误差对电性能的影响可通过概率方法进行估计；实际工况中的变形误差属于系统误差，可通过结构分析获得其对电性能的影响。反射面天线广泛应用于卫星通信、宇宙探索和射电天文等领域，由于天线在实际工作环境中会受到自重、风荷、惯性载荷、冰雪载荷等的影响
17、，造成反射面天线的反射面变形和馈源位置和角度发生变化，导致反射面和馈源相位中心偏离原来位置和指向角度，使天线增益、旁瓣电平等主要电性能指标满足不了设计要求。因此，研究反射面天线误差对电性能的影响，以提高天线的整体性能，设计出更合理的反射面雷达天线是十分必要的。综合反射面雷达天线的误差存在情况，反射面天线的误差主要来源于反射面的表面变形误差及天线馈源相位中心产生的误差。反射面表面误差包括反射面板在制造、安装过程中产生的误差及实际工况中面板变形产生的误差；天线馈源误差主要来自天线在装配过程中产生的误差及实际工况中由于风雪载荷等的影响而引起的误差。天线馈源相位中心误差可进一步分为馈源相位中心位置误差
18、和馈源相位中心角度偏移误差。在对反射面天线进行结构设计分析时，由于天线在实际工况下，所受到的外载荷如冰雪、风等载荷均存在一定的不确定性。这些随机不确定性因素将会引起天线馈源位置和指向角度的变化，导致馈源相位中心偏离预设的位置及指向角度，进而影响天线的电磁性能，如天线的增益、副瓣电平、波瓣宽度等一些重要指标下降，而不能满足天线电磁性能指标的设计要求1-5。自二十世纪五六十年代起，一些学者针对反射面天线存在的误差情况进行了天线误差的影响分析：Ruze6 最早给出了天线反射面板非均匀分布的随机误差与其增益损失之间的解析关系。Vu7将其公式进行了扩展，对反射面不均匀随机误差及口径场函数的关系进行了研究
19、。J-Wan Kim8等人给出了反射面天线面板随机4 基于区间方法的天线及其电性能分析误差及天线馈源相位中心的位置误差同时存在对天线电磁性能的影响关系模型。Ruze9-10分别研究了馈源横向及轴向位置误差对反射面天线电磁性能的影响。宋立伟11给出了反射面天线结构系统误差、馈源相位中心的位置及指向误差对天线电磁性能影响的关系模型，分别研究了天线表面误差、馈源误差以及两种误差同时存在对其电磁性能的影响。漆一宏12、徐国华13通过优化方法确定了反射面任意变形情况下最佳馈源相位中心的位置。在上述研究中分析天线存在的误差及其对天线电磁性能影响时，通常是在假定天线不确定性参数变量为随机变量的情况下，人为地
20、令这些随机变量服从某种分布，且各变量之间相互独立。然而从概率统计概念上来讲，并没有足够的数据统计可以证明这些不确定性变量是服从这种分布特性且相互独立。因此，应用概率统计的方法分析反射面天线的结构变形不确定性及其对天线电磁性能的影响，缺乏足够的理论依据及统计数据的支持。且以往对反射面天线不确定性变量的定义14 ，并非概率意义上的随机变量，而只是在理想状态下给变量赋予一个确定性的误差值，进而进行天线电性能分析，得到诸如增益、副瓣等电性能指标的相应变化量，这种分析方法从实质来说是一种确定性的分析方法，对于不确定性因素的影响关系并没有得到真正意义上的不确定性分析结果。阵列天线作为雷达重要组成部分，已广
21、泛应用机载、舰载、空间雷达等领域。相控阵天线作为阵列天线的主要形式，应用前景不可估量。为了追求更高的增益、效率等电性能指标，必然提高阵列天线的电气设计和结构设计的难度，天线的各种误差都将对电性能产生影响。需定量描述阵列天线的各种误差对电性能的影响，为天线的设计提供参考。例如在实际的工作环境中，由于外载荷如风荷、冰雪载荷等或制造安装过程中的一些随机不确定性误差因素的影响，会引起阵列天线任意天线单元偏离原来的理想位置，从而使阵列天线电性能如天线增益、旁瓣电平、交叉极化等主要指标达不到我们所要求的结果。阵列天线的误差信息与反射面天线的误差一样，同样可以分为系统误差和随机误差。其中系统误差为天线在工作
22、环境下受到外部载荷（振动、冲击、温度）作用下，阵子偏离初始设计的位置，具有确定性，可通过天线结构的有限元分析获得。而随机误差是天线在制造、装配过程中产生的，具有不确定性，需通过统计的方法进行分析。阵列天线的随机误差主要分为阵子的幅度、相位误差、阵子单元的失效概率以及阵子的位置误差等误差信息，其中阵子的幅度、相位误差尤为关键。过去的研究中，在阵子的随机误差信息定义为正态分布的随机变量基础上，Ruze15 给出了阵子幅相随机误差与功率方向图的关系式，Gilbert and Morgan16研究了阵子位置误差对增益的影响，Elliot17分析了阵子幅相和位置随机误差对副瓣电平的影响。还有一些研究者也
23、做了这方面的问题研究18-20，其研究成果认为阵列的随机幅相误差会使副瓣电平升高、产生波束指向误差，使指向方向性变差。第一章绪论 5在随后的研究中，王平21研究了相控阵天线馈电误差对其旁瓣电平的影响；李建新，高铁22-24研究辐射单元失效和幅相误差对天线电磁性能的影响； Jiang W、Dufort、Hsiao等25-27研究了幅相误差对天线波瓣性能的影响。文朝、陈杰等人 28-29研究了相控阵天线阵面的热变形误差对天线电性能的影响。上述研究在分析阵列天线误差对其电磁性能的影响时，均假设天线各阵子的随机误差是相互独立的，并且满足正态分布以及均值为零、方差相同。然而实际上，阵列天线由阵子排列组成
24、，每一个阵子都有各自的馈电装置，同时天线综合时各阵子的激励幅相和位置是各不相同的，也就是说每一个阵子在阵列中所起到的作用是不相同的。如果各阵子的误差都按照相同的公差来考虑，虽然可以达到预期的电性能，势必造成有些阵子的公差可以放松却严格控制了，有些需要严格控制的却又放松了。因此，给出一份各阵子公差的合理分配是关键的。有鉴于此，统计方法是一种不错的选择。Hsiao30在这方面进行了初探，给出了最大副瓣电平与随机误差的关系，Lee31则通过蒙特卡罗方法给出了各阵子的公差带。然而，随机变量的个数由阵子的数目决定，则阵子的数目决定了统计分析的计算量。随着对阵列天线高增益、高效率的需求，阵列天线的设计尺寸
25、和数目将会非常巨大，从而导致统计分析的计算量不可估量。由前述内容可见，天线系统在实际的制造、装配过程中，天线结构本身及作用荷载必然存在不确定性。结构的不确定因素多种多样，研究的内容十分广泛，尤其是同时考虑其中几个或全部因素时，问题会变得十分复杂；且由于样本数量的局限性，传统的概率和统计方法存在一些固有的缺陷。应提出一种基于非概率模型的分析方法，实现天线各种误差对电性能的定量分析。基于这些问题，许多研究者认为应采用非概率集合模型来描述此类问题的不确定性。此类模型一般以凸模型理论做为基础，认为假如系统可以容许较大的不确定性而不失效，或系统对于不确定性参量有一定的稳健性，则是可靠的系统32。这种解决
26、问题的研究方法即为凸模型分析方法与区间方法，其计算及分析过程比较特殊33，但是其在一些新兴科技领域，如航空、航天、航海、精密制造等方面有着较为广泛的应用前景34-35。为此，本文提出采用非概率区间分析方法，在马洪波36-37基于区间方法分析了反射面天线表面误差对其电性能影响的基础上对反射面天线馈源相位中心误差及阵列天线随机误差对天线电性能的影响进行了分析计算。建立了反射面天线在实际工况中的不确定性馈源相位中心误差对天线方向图影响的关系模型及阵列天线在实际工况中的不确定性误差对其方向图影响的关系模型的区间形式，并研究了区间运算方法。通过非概率区间方法获得了天线方向图函数的区间上下界值，为雷达天线
27、可靠性设计及机电综合性设计提供了良好的理论依据及参考，有着十分重要的学术价值和理论意义。6 基于区间方法的天线及其电性能分析1.3区间方法的发展现状实际工程结构往往都具有不确定性，解决此类问题的传统的理论及方法是概率论与数理统计。概率论以及数理统计的方法已在结构的分析和设计方面取得了很多具有重要意义的成果，解决了很多理论及工程问题。然而这些研究，绝大部分都是假设结构不确定性变量为随机变量或是随机过程，且都满足某一种概率分布特性。这样，即可保证或是证明这种结构分析及设计方法的合理性。但是，关于结构的不确定性变量概率密度试验的信息往往是缺乏的，一旦这种概率分布假定不满足，结构的分析及设计就失去了合
28、理性。实际结构中的不确定性变量是否符合某一种假定一般不容易验证。这样就产生了下面的矛盾：一方面必须承认实际结构的复杂性，认为不一定能用简单系统的数学模型来表示所有结构系统的实际模型；而另一方面，因为结构不确定性变量的分析模型是人为假定的，于是所有不确定性模型均能够运用概率模型得到与实际系统任意接近的系统模型。正是由于这种矛盾促使人们考虑用非概率模型来研究各种各样不确定性问题。然而，试图获得足够的统计数据以直接模拟所有的结构不确定性，在工程实践中往往是不现实的。概率统计的方法与由样本观察而得到的推断相关。各种结构不确定性唯有通过考察随机样本数据才可数量化。一方面，样本的大小受到实际情况和经济上考
29、虑的限制；而另一方面，由于背景噪声的存在，不确定变量的各种统计值必然存在某些误差或不确定性。这些局限性，在很大程度上阻碍了概率论和数理统计方法的工程应用，而以“不准确的” 概率分析所得到的结论有时又会导致 “灾难性”的后果 38。近几年来，人们开始借助于非概率集合理论方法，如凸模型，区间分析等。在这类理论中，是用一集合对不确定变量进行量化（在凸模型中是用凸集合，在区间分析中是用超长方体），然后通过优化方法（在凸模型中是用条件极值的优化方法等，在区间分析中是用区间的四则运算和区间扩张等）确定系统响应所在的集合界限。在系统响应所在的集合界限里，不仅可以知道系统响应的近似值，而且还能知道近似值的误差
30、界限。非概率集合理论是继概率论、模糊集合之后的又一个处理不确定性的数学工具。作为一种较新的理论分析和计算方法，非概率集合理论近年来越来越受到重视，其有效性已在许多科学与工程领域的成功应用中得到证实。对于不确定问题的非概率集合理论的处理，是首先在控制论中开始的。Schweppe39在系统的状态估计中建立了凸模型的理论框架。 Ben-Haim和Elishakoff40-41将凸模型理论引进结构的分析中，成功地解决了一些理论问题和工程问题。1994年，Ben-Haim42又用凸模型理论研究结构的可靠性问题，创造性，这就进一步限制了区间分析法在实际工程结构分析中的应用。第一章绪论 7地提出了结构鲁棒可
31、靠性理论。近几年来中外学者在非概率几何理论中又开辟了新的研究方向，如将区间分析方法引入具有不确定性的结构有限元分析中。区间分析也叫区间数学，是 20世纪 60年代产生的计算数学分支，最初是为了解决误差和非线性问题，近几年学术界发现它还可以用来解决不确定问题。凸模型理论是为解决力学中的不确定性问题而产生的，它可以求出具有不确定性问题的最大或最有利响应和最小或最差响应，以及响应所在范围的集合估计。凸模型理论具有计算简单、适应性好等优点。这种算法还可以考虑非线性、误差和不确定性等因素，并且具有鲁棒性好、运算简单和适用面广等优点。目前关于区间分析方法的研究主要有三个方面43：区间数的运算、区间优化及区
32、间方程的求解。区间数之间的运算与确定数值之间的运算不同，它只满足相加、相乘的交换律和结合律，而分配率、抵消律等一些运算法则却不总是成立的。且，由于仍无法考虑区间数之间的关联性从而导致区间运算时响应解区间的扩张44求解区间方程组的方法主要有：区间高斯消去法、符号对应法、区间迭代法。基于特定的工程应用背景，一些学者提出了求解区间方程组一系列不同的方法。马娟等45提出了一种新的区间分析方法区间因子法，区间因子法从提出之后便推广应用到结构动力响应分析、优化设计及可靠性分析等各方面。郭书祥等46根据区间数之间的运算性质提出了区间有限元方程的求解方法。邱志平47对比了由区间分析法与凸模型理论计算得到的结构
33、静力学响应解。也有些学者通过组合两种区间分析方法求解区间有限元方程组，如刘世君等48的端点组合-单调性法、郭书祥等49的组合迭代法及马洪波等36的区间矩阵摄动法与区间截断法的结合，均获得了较满意的结果。此外，马洪波等36-37将区间方法运用于大型反射面雷达天线结构及电性能分析，基于区间方法提出了将区间矩阵摄动法和区间截断法相结合的方法分析了反射面天线结构不确定性的静力响应以及不确定性因素对反射面天线电性能的影响，且运用区间方法分析了反射面天线不确定性馈源相位中心位置误差对天线电磁性能的影响，为本文的研究提供了参考。1.4论文研究内容和结构安排本文采用非概率区间分析方法来分析不确定性反射面天线馈
34、源相位中心误差对其方向图的影响及相控阵天线随机误差对其方向图的影响。主要研究内容及行文结构安排如下：第一章简单介绍了反射面天线及相控阵天线的一些应用领域、基本结构型式、课题的研究背景和意义以及区间分析方法的发展现状。重点分析了区间分析方法8 基于区间方法的天线及其电性能分析的发展现状，综述了区间运算所能应用到的领域及能够解决的问题。第二章阐述了实数区间和复数区间的概念及其运算法则，针对区间运算必然带来区间扩张的问题给出了区间截断法及改进的区间截断法的概念，并列出了区间截断因子的选取准则。第三章首先介绍了天线的辐射方向图理论。根据旋转抛物面天线的结构形式及抛物面的几何特性分析给出了抛物面天线的电
35、磁场分布；根据了天线的方向图乘积定理，介绍了影响阵列天线电磁场分布的天线单元及矩形栅格矩形口径平面阵阵因子并给出了其电磁场分布特性。第四章首先根据几何光学法分别推导了反射面天线馈源相位中心位置及指向误差对天线方向图影响的关系模型，并给出了两种误差同时存在时天线的方向图函数模型。然后引入区间数的概念，给出了当反射面天线馈源相位中心误差为区间值时对天线方向图函数影响的区间关系模型，通过应用三角函数表示复指数的方法求解三角函数在实区间上的值域解决了复指数区间的计算问题，并根据区间运算规则计算得到了反射面天线的功率方向图函数区间的上下界。最后以 8m反射面天线为例运用区间方法分析了当天线馈源相位中心误
36、差以区间形式存在时对天线功率方向图的影响。第五章根据阵列天线平面阵的电磁场分布特性推导了阵列天线馈电网络误差及结构误差对天线阵电磁场影响的关系模型，并给出了当天线各种误差信息为非概率不确定性区间值时对天线阵电磁场影响的区间关系模型。根据区间运算规则计算得到了误差为区间值时天线阵功率方向图函数区间的上下界。以 45 45矩形栅格矩形口径平面阵天线为例计算分析了阵列天线随机误差对其电磁场分布的影响。第六章为总结与展望，对全文的工作加以总结，综述研究结果及结论，并提出需要进一步研究和解决的问题。定义 2.2 设区间 x I I R ，则第二章非概率区间方法的介绍 9第二章非概率区间方法的介绍2.1引
37、言区间的概念在工程中广泛存在，例如,在结构的设计过程中，要求某零件长度为 x ,公差要求为 x ,则该零件按所给的精度要求进行加工之后的实际长度应在 x-x,x+x范围内。所以在实际的工程计算中，变量往往是以区间形式存在的，为了使计算结果尽量接近实际情况，我们就应该运用区间数学的概念与理论去研究、分析工程实际中的结构分析问题。区间分析方法可以考虑到各种误差，同时，作为计算结果，可以得到一个包含精确结果的区间，从而使区间数学己成为数值分析中一个比较活跃同样也是数学领域的一个较新的分支。区间分析方法起源于二十世纪五十年代末，美国科学家 Moore50在Intervalanalysis一文中提出了区
38、间算法的概念，为区间分析的发展奠定了理论基础。1979年 Moore51又发表了题为 Methods and applications of interval analysis著作，将区间分析方法初步应用于一些实际领域。区间分析方法早期用来处理计算机内浮点算法52。但是随着科学技术的发展，区间分析法已经在控制理论、电力系统、结构力学等方面得到了广泛的应用。2.2区间数学的基础知识2.2.1实数区间的概念及其运算定义 2.1 设 R为实数域，对于给定的两个实数 x, x R，且 x x，则对任意R的有界闭区间可表示为33：x I x, xx R | x x x (2-1)式中， x I为区间变量
39、 x所在的区间。 x为该区间的下界， x为该区间的上界。x, x(1)称xc m(x I )= x x 2(2-2)x I =x,x10为区间 x I的中点或中值。(2)称基于区间方法的天线及其电性能分析x rad (x I )= x x 2为区间 x I的半径或不确定量。利用中点 xc和不确定量x，区间式(2-1) 可表示为：x, xxcx, xcx xc , xc=xcx1,1=xcxe(2-3)(2-4)其中，x I x,x， e1,1。定义 2.3对于任意两个区间 x I , y I I R，以 表示实数区间的 “+， -， ，/”四则运算符号之一，有x I y Ix y | x x
40、I , y y I I (R)则有下列区间运算规则成立x I y I x, x y, y x y, x yx I y I x, x y, y x y, x yx I y I x, x y, yminx y, x y, x y, x y, maxx y, x y, x y, x y(2-5)(2-6)(2-7)(2-8)x I y I x, x y, y x, x1 y,1 y 0y I (2-9)显然，区间数之间的运算法则与实数之间的一些运算法则相同。例如：结合律和交换律；而另外一些准则表现为弱的形式，如分配律和抵消律。对于区间数x I， y I， z I，有下列表达式成立，即结合律： x I
41、 y I z I x I y I z I (2-10)x I y I z I x I y I z I(2-11)定 义 2.5 设 zk xk iyk I (C )(k 1, 2) 为 复 区 间 ， 则 z1 z2 ， 当 且 仅 当x1 x2 ， y1 y2 。交换律：次分配律：第二章非概率区间方法的介绍x I y I y I x Ix I y I y I x Ix I y I z I x I y I x I z I(2-12)(2-13)(2-14)11 x I y I z I x I z I y I z I (2-15)次抵消律：x I y I x I z I y I z Ix I /
42、 y I x I z I / y I z I0 x I x I , 1 x I / x I(2-16)(2-17)(2-18)其中，记号“ ”是包含关系， x I y I表示 y x x y，即区间 y I包含区间 x I。在区间计算过程中，通过数值上对一个区间的左端向下舍入，右端向上舍入的手续，使得区间包含定义所规定的精确结果，即所谓的舍入区间运算。由以上结论可知，区间运算是封闭的，而对于区间的集合运算也是封闭的，但是它们的代数性质与实数性质有着明显的差异。由于这种差别以及区间运算的其他特殊性质，引起了区间代数新的研究课题。2.2.2复区间数及其运算定义 2.4设 C为任意复数域，对任意闭区
43、间 x I x, x和 y I y, y I (R)，称复有界闭集z I x I iy Ix iy C : x x I , y y I (2-19)为复区间53。式(2-19)中， i= -1为虚数单位。显然，复区间 z I定义了复平面 C上的一个矩形。复数域所有复数区间的全体所构成的集合记为 I (C)。I I II I设 zk xk jyk x k , x k i y k , y k I (C ) (k 1, 2) ，若以 表示复区间数的四z1 z2z1 z2 | z1 z1 , z2 z2 I (C )z1 z2 x1 x2 i y1 y2z1 z2 x1 x2 i y1 y2z1 /2
44、xy / x2y iy1x2/ x2yI I I I I设 F ( x )=F ( x1 , x2 ,xn ) 是区间变量 x ( x1 , x2 ,xn ) 的区间值函数如果 xi yi , i=1,2,n ，就有F ( x1 2I ,xnI ) F ( y1 2I ,ynI ), x , y间变量 x ( x1 2 ,xn ) 的区间值函数 F ( x )=F ( x1 2 ,xn ) 满足, x , x12 基于区间方法的天线及其电性能分析I I则运算符号，则有I I则下列的运算规则成立：I I I I II I I I Iz1I z2I x1I x2I y1I y2I i x1I y2
45、I y1I x2I(2-20)(2-21)(2-22)(2-23)2 222 (2-24)2.3区间截断方法的介绍在进行区间数之间的算术运算时，由于区间自然扩张，使得求得的解区间的宽度往往要大于其真实解区间的宽度。为了得到更为精确的区间解，就需要对经多次区间运算得到的区间解进行截断处理。2.3.1函数的区间扩张定义 2.6 I I I I I I I I TI II I (2-25)则称区间函数具有包含关系单调性。定义 2.7设 f是 n个实变量 x1,x2 ,xn的实值函数 f (x1,x2 ,xn )。如果 n个区I I I I T I I I IF ( x1 , x2 ,xn )=f (
46、x1,x2 ,xn )则称 F是 f的区间扩张。定理 2.1如果 F是 f的具有包含关系单调性的自然区间扩张，则(2-26)f (x1 2I ,xnI ) F ( x1 2I ,xnI ), x , x式中， f (x1 2I ,xnI ) 是函数 f (x1 2 ,xn ) 的值域。,x, xf (x1I , x2I ,xnI )= f (x1,x2 ,xn ):xi xiI , i=1,2,n由定理 3.1 可知，具有包含关系单调性的区间扩张 F ( x1 2 ,xn ) 在 ( x1 2 ,xn ), x , x上的区间值包含了实函数 f (x1 2 ,xn ) 在 ( x1 2 ,xn ) 上的值域。,x , xI I Ix1I +x2I Ix1 2II I I1, 25,102,312, 12I第二章非概率区间方法的介绍I I(2-27)(2-28)13I I I I I I TI I I T这里以某个确定的区间函数为例，说明函数区间扩张的问题。考察多项式f (x1,x2 ,x3 )= x1 +x2x1 -x2x3 (2-29)式中， x1 x1 =1,2， x2 x2 =5,10， x3 x3 =2,
