1、摘要内容摘要：几乎所有的混沌定义都有长期行为的不可预测性，但是混沌现象并非完全相同，不同的混沌定义会在实际分析中有不同的意义。对某些特殊空间的混沌分析更是有意义的工作。具体结果是：在符号空间（ ，）讨论了存在子系统（，）所诱导的集值离散系统（柳，仃）的集值映射仃的拓扑遍历性，拓扑双重遍历性，传递性，弱拓扑混合之间的关系。令僻，）为空间，厂：连续 可微映射。证明出在空间上存在一个不可数集人使得，是分布混沌的，并且人（）。在某个离散时空系统中给出了系统是按序列分布混沌的定义，并得到了一个按序列分布混沌的充分条件。关键词：分布混沌；按序列分布混沌：混沌分析；几乎周期点；拓扑遍历 ： ， ： （惑，）
2、（ ，） 盯 ， 仃 （跚， ） （，） （，） ，厂：呻 么（厂） ： ； ； ； ；学位论文独创性声明本人承诺：所呈交的学位论文是本人在导师指导下所取得的研究成果。论文中除特别加以标注和致谢的地方外，不包含他人和其他机构已经撰写或发表过的研究成果，其他同志的研究成果对本人的启示和所提供的帮助，均已在论文中做了明确的声明并表示谢意。学位论文作者签名疆聋学位论文版权的使用授权书本学位论文作者完全了解辽宁师范大学有关保留、使用学位论文的规定，及学校有权保留并向国家有关部门或机构送交复印件或磁盘，允许论文被查阅和借阅。本文授权辽宁师范大学，可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库并进行检索，可
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4、气科学 杂志上发表了 “决定性的非周期流 一文，阐述了在气候不能精确重演与长期天气预报者无能为力之间必然存在着一种联系，这就是非周期性与不可预见性之间的联系。洛仑兹在计算机上用他所建立的微分方程模拟气候变化的时候，偶然发现输入初始条件的极细微的差别可以引起模拟结果的巨大变化。洛仑兹打了个比喻，在南半球巴西某地一只蝴蝶的翅膀的偶然煽动所引起的微小气流，几星期后可能变成席卷北半球美国的克萨斯州的一场龙卷风，这就是天气的 “蝴蝶效应。这样，混沌理论基本思想起源于世纪初，发生于世纪年代，发展壮大于世纪年代，被认为是继相对论、量子力学后世纪人类认识世界和改造世界的最富有创造性的科学领域的第三次大革命。自
5、年首次用严格的数学语言给出混沌定义以来，混沌的研究对现代科学的影响，不仅局限于自然科学，而且涉及经济学、社会学、哲学及诸多人文科学，可以说覆盖了一切学科领域。凡是涉及动力学课程的研究领域，大多都会发生混沌现象，混沌理论使科学家们相信，简单的确定系统可以产生出复杂的性态，复杂系统也可能遵循简单规律。而对于科学家来说，不论他们所研究的领域如何，其任务都是了解其学科的复杂性，因此作为具有复杂的不规则动态行为的混沌现象自然成为各领域的科学家们所共同关注的主要课题之一。然而不同领域的人，从不同的观点、不同的角度出发，揭示出不同的混沌内涵，进而给出不同的混沌定义（卜），例如：混沌、混沌、分布混沌、混沌、按
6、序列分布混沌、一混沌、混沌等等。这就在不同学科的交流中产生许多歧义，这对一切从严格定义出发的数学而言，显然是不能容忍的。同时，进一步解释混沌的本质，统一混沌的定义，探讨各个一些特殊空间：的分布混沌性混沌概念间的内在联系就是十分有意义的事情了。这里，我们感兴趣的是混沌和分布混沌，前者是最早出现的混沌定义，并且已经被广泛应用，而后者除了具有前者所具有的长期行为的不可预测性之外，还明显带有统计规律。从这一意义上讲，分布混沌是概率方法在混沌研究中的一个新的应用。从年提出分布混沌的概念以后，围绕分布混沌的研究就引起了许多学者的注意。因此，研究混沌与分布混沌之间的关系是十分有意义的。为了研究混沌与分布混沌
7、的内在联系，文 【 】 提出了按序列分布混沌的定义，并指出了区间映射是混沌的当且仅当它是按某序列分布混沌的。 尽管几乎所有的混沌定义都有长期行为的不可预测性，但是混沌现象并非完全相同。不同的混沌定义会在实际分析中具有不同的意义。例如，分布混沌具有定的统计规律，可用概率方法进行研究，混沌系统在混沌行为中存在着规律性的成份，即有稠密的周期点。因此对某些特殊空间的混沌分析是有意义的工作。本文的具体安排如下：第一章：介绍动力系统的一些基本概念及相关的混沌定义。第二章：一类集值离散动力系统的拓扑遍历性和混合性第三章：空间上的几乎周期性和分布混沌第四章：系统中的按序列分布混沌第一章基本概念紧致系统与回复性
8、点集设为紧致度量空间，：可以看作是上的一个作用：对于觇 在，作用下生成像点（），厂）仍然是中的点，厂可以对它继续作用，生成像点厂（厂）；厂）。此过程可以无限进行下去，设厂谢，即上的恒同映射，一厂，；厂。，一般地，对苫， “厂 ”。厂，其中符号。表示映射的复合。定义 上的连续自映射序列厂， ，厂 “， ）称为上由连续自映射厂经过迭代而生成的离散拓扑半动力系统，记为（，），简称为动力系统或紧致系一些特殊空间上的分布混沌性统。定义 设（，）为紧致系统，如果紧致子集瓦石对厂不变，即（。） 。，则把厂在上的限制映射厂 ：。呻。所生成的紧致系统（。， ）或，。，称为俾，厂）或，的子系统。子系统在动力系统的
9、研究中扮演着重要的角色。大体而言，给定一个紧致系统（，），我们要研究它的动力性状，而（，）的每一个子系统的动力性状是（，）的动力性状的一部分，且（，厂）的全体动力性状可由它的全部子系统决定。因而，有时我们要研究一个紧致系统（，）的动力性状，只要在它的某个子系统上研究即可。对每一点，在厂作用下生成的轨道仁，）， ， ”）， ，记作（）或（）。给定，易见的轨道是对，不变的，因而紧致子集（）（即轨道的闭包）也对，不变。动力系统的问题是多种多样的，但其核心问题却是轨道的渐进性质或拓扑结构，即当 时轨道的极限性质。在的所有元素中，只有那些具有某种回复性的点的轨道才是重要的。定义对于 ，如果存在整数，使得
10、， “（）一，则把叫做厂的周期点，并把使厂 ”）成立的最小正整数咒叫做它的周期。厂的全体周期点的集合记作（）。周期性是最强的回复性，也是最重要的回复性。下面陆续介绍的回复性都是周期性的推广。定义对于，如果存在下整数递增序列伽；】，使！厂一），即，对 ，：，使， “） ， ），这里矿（， ） （，） 是的半径为 的球型邻域，则把叫做厂的回复点。厂的全体回复点的集合记作（）。一些特殊空间卜的分布混沌性定义设 ，）为紧致系统， ，如果 ，使得对任意， “ ， ”（，占）一，则称为厂的游荡点。如果石不是，的游荡点，即对 ，：，使， “ ， ）（，）一彩，则称为厂的非游荡点。厂的全体非游荡点的集合记为（
11、）。定义设（，厂）为紧致系统，如果存在递增序列饥 ，使！。吩），则称点为的 一极限点，并称的全体 一极限点的集合为一极限集，记作 （，厂）。 ，厂）中的每个点称为厂的极限点，记作）。定义称是几乎周期的，如果对任意，存在整数 ，使得对任意口 ，存在整数， 满足（厂 ），） 。，的全体几乎周期点的集合记作（）。定义称 为（相对于，的）极小集，如果是厂的非空不变闭集中不存在厂的非空不变的真子集。如果本身是极小的，则称厂为极小映射。命题紧系统总存在极小集。命题设为的非空闭子集且厂（） ，则极小当且仅当对任何 ， （）；。传递性与混合性本节引入传递性与混合性等概念，这类性质不仅使映射具有了不可分性，而且
12、还可能给映射带来复杂的渐进性态。定义称厂为拓扑传递的，如果对的任何非空开集 【 厂，存在以，使得， ” ）， 。称轨道在中稠密的点为，的传递点。命题厂是拓扑传递的当且仅当对任何非空开集，存在，使得一些特殊空间卜的分布混沌性， “ ） 。在引进混合概念之前先熟悉一下记号和规定：用厶表示个，的乘积，亦即厶， ， ，。对任何。，石：， ，。） ”，规定厶）（。），：）， ，（。）。易见厂： ”呻 ”连续。定义称厂是拓扑弱混合的，如果厶是传递的，亦即对中任意非空开集。，：，和心，存在正整数咒使得厂 “ 。） ，。定义称，是拓扑混合的，如果对的任何非空开集，存在正整数 ， 使得对， ”缈） 对所有的 都
13、成立。设，为的非空开集，令（，）厂 “（）乒彩）定义称，是拓扑遍历的，如果对的非空开集，有颐扭缈 以堋。定义称厂是拓扑双重遍历的，如果，是拓扑遍历的。几种混沌的定义李天岩和他的导师于年在 【 】 中给出如下混沌的概念。定义设（，）是紧致度量空间，称连续映射厂： 是 混沌的，如果存在不可数集 ，使得对慨， ，乒，有（）（ ”），厂 “（）；（）（ “），厂 “（）。而称是厂的 混沌集，满足条件（）和（）的两点，称为混沌点对。定义设（，）是紧致的度量空间，称连续映射厂： 是分布混沌的，如果存在不可数集 ，使得对，聋，有（）了 ，使得岛）。砉善柏吣）（厂 ）， （）； 使得岛（ ，仞，）。砉荟讥，似
14、（厂），厂以（） 葺一 （）对于 ，巧，仞）。寺荟撕，（厂），厂儿（）；。 月 ” 一 一些特殊空间：的分布混沌性 。 （）：， 习，）三 西 （厂 ）， （）。 俘 。其中新表示 【 ，）上的特征函数，即当 【 ，），（）否则蕊。，）（）。而称为厂的分布混沌集，满足条件（）和（）的两点，称为分布混沌点对。文把分布混沌限制在一个正整数序列上，得到了按序列分布混沌的定义。定义设僻，）是紧致的度量空间，仞；为严格递增正整数无穷序列，称连续映射厂：呻是按序列分布混沌的，如果存在不可数集坛， ，有 ，使得对（）了 ，；而称为厂按序列仞，）的分布混沌集，满足条件（）和（）的两点，称为按序列分布混沌点对。
15、定义设僻，）是紧致的度量空间，称连续映射厂： 是混沌的，如果（）是拓扑传递的；（），的周期点在中稠密；（），具有对初值条件的敏感依赖性。定义设伍，）是紧致的度量空间，称连续映射厂： 为一混沌的，如果存在点。 ，使得（）。，厂）；（）（。）相对于是不稳定的。一些特殊窄间上的分布混沌性定义设（，）是紧致的度量空间，：呻连续，为的紧子集， ，为正整数，称 为的相对于厂的，占）一生成集，如果对慨 ，使得。，）（， ）， ） ， ，一， 。令厶（占，）表示相对于厂的， ）生成的子集的最小基数，则的拓扑熵定义为（，）。 翟寺。 （ ，），。等式右边的取遍的所有紧子集。系统的全部主要动力性态都集中在测度中心
16、上，而弱几乎周期点集的闭包即为测度中心，因而，在众回复性点集中，弱几乎周期点的定义显得十分重要。定义 称为厂的弱几乎周期点，如果对存在一个正整数，使得对，静（， ） ， ）， ，。） ，这里释（）表示集合的基数，（，）表示球形邻域。，的弱几乎周期点集合用形（厂）表示。定义设省，厂），（，）都是动力系统，如果存在同胚映射： 使得对任何 ，（，）一），则称，与拓扑共轭，记作厂称为从厂到的拓扑共轭。易知，拓扑共轭是一个等价关系。拓扑共轭的两个紧致系统有完全相同的动力性状。命题如果是从，到的拓扑共轭，则（）（么（，）么（）；（）僻（厂）（）定义设（，厂），（，）都是动力系统，如果存在连续满射：呻使得对
17、任何 ，（厂）（厅），则称厂与拓扑半共轭，称庇为从，到的拓扑半共轭，厂叫作的扩充，叫作厂的因子。一些特殊空问上的分布混沌性在拓扑半共轭的应用中，更多的是通过已知的因子来研究未知的扩充。命题设僻，厂）， ，）均为紧致系统。若是从，到的拓扑半共轭，则符号动力系统在混沌动力系统领域中占有极其重要的地位，这是因为它作为一个简单的数学模型却包含着几乎所有典型的复杂动力性态，并因此成为动力系设；， 缸 ， ，。定义：艺 ，对坛， ，其中；而 ， ，觏，以 卜协觏批其中伽哦 不难验证是 上的度量，（ ，）为紧致度量空间。称（ ，）为具有二个符号的定义 中，个符号的一个有限排列彳口 口。称作上的一个长度为在（
18、 ，）上定义一个特殊映射如下：对任意的。： ，则 是 上的连续映射，称为单边符号空间 上的转移自映射，故（ ，仃）是一个命题在单边符号空间上存在不可数集满足（）是分布混沌的。（）仃有唯一的测度。一些特殊空间上的分布混沌性第二章一类集值离散动力系统的拓扑遍历性和混合性众所周知，动力系统研究的核心问题是点的轨道的渐近性与拓扑结构。而空间中的点作为整体运动状态，有时会更能反映整个系统的动力性质。因此拓扑混合，拓扑传递和拓扑遍历性一直都是拓扑动力系统关注的对象。然而，由于在处理数值模拟，吸引子，移民以及物种繁衍等问题时，仅仅知道单个个体（空间中的点）如何变化是不够的。更需要了解某些群体（空间中的子集）
19、的变化情况。因此，对单值系统所诱导的集值系统的研究引起越来越多国内外学者的关注。这种集值离散系统是由单值系统所诱导，是一类特殊的集值系统，它的动力形态完全取决于诱导它的单值系统，而它的一些动力性态又不可避免地反映出单值系统的某些动力性态，二者有着紧密的联系，所以集值离散系统作为单值系统动力系统性态提供了一个新的途径，近年来国内外许多学者都取得了可喜的成果。相关引理引理设仁，厂）是紧致系统，则厂：石是的极小的充分必要条件是对任意， “（） 】 。证明：见 【 】 。引理设 ，厂）是紧致系统，则下列条件等价（）（）：（） （，厂）目，厂）是极小集。证明：见 【 】【 】 。引理设（，）是紧致系统，
20、若厂是拓扑传递的，则，而是拓扑遍历的。证明：设，（），是非空开集，因为厂是拓扑传递的，于是存在，使得， “ ） 。由条件知，存在 （）厂 ”） ，即有 （），厂 ”（），即是厂 “）的开邻域。又由， ”的连续性知，对于厂）的邻域 【 厂，存在的邻域 ，使得厂 ”（） ，于 （），故存在，使得！（， 厂）（，）；，）一些特殊卒问上的分布混沌性， 舞伽厂 “缈） 力 】 ， ， 】 一苫一厶， 即厂而是拓扑遍历的。引理设僻，厂）是紧致系统， ，）是，的极小子系统，若厂是拓扑弱混合的，则，是拓扑双重遍历的。证明：首先证明，若（，）是，的极小子系统，贝 ，厂 厂。）是厂 ，的极小子系统。根据引理，只要
21、证明对任意，） 有叮 厂） “（，）即可。厂 ”（） 卜；，故设，） ，则，（） 一， ；厂 ） ， ”（） 【 厂 “） 】 厂 “（） 其次证明，对任意（，）都有，）（ ，），根据引理，只要证明，） 【 ，），厂 厂 】 即可。因为，是弱拓扑混合的，所以对于任何邻域 都存在，使得（厂 厂） ”（ ）缈）一乃，进而存在正整数无穷增加序列仞；使得 从而（石，） （，），厂 厂），由引理知，） 彳（厂 厂）。最后证明厂是双重遍历的，为此只要证明， ，灯是遍历的即可。这可根据上述所得和引理获证。引理下列条件是等价的（）厂是拓扑弱混合的；（），是拓扑弱混合的；（）厂是拓扑传递的；证明：见 【 】 。
22、引理设僻，厂）是紧致系统，则下列条件是等价的一些特殊空间上的分布混沌性（）是拓扑双重遍历的；（）对任意苫，厅重乘积， “， 厂 ，是拓扑遍历的：都有厂 “ ） 彩和， ” ）一彩同时成立。证明：见。 命题设（ ，）是具有两个符号的单边符号空间，仃是 上转移映射，则存在一个极小集惑（们，使得仃是拓扑弱混合的。证明：根据 【 】 可构造一个不可数集 （口，），口 彳），惑 ）使得仃（），是拓扑双重遍历的；（），是拓扑双重遍历的；（）是拓扑遍历的。证明：（）号（）设，是（）的两个任意非空开集，存在的非空开集， ， ，使得。（。， ，） ，似， ，） ，不妨设置膳，点戛毫昕宅慧三由厂的双重遍历性和引理
23、知，厂的重积厂（）是遍历的。故有正上密度集 ，使得对任意 ，都有厂“（只）。 ， ，压。于是存在 只，使得厂 ”（坼） 姨。令一缸，：， ，），仁州，州， ，），则 ， 。并且 “但）厂 ”。）， ”：）， ，厂 “：，） ，一些特殊守问上的分布混沌性 “伊）一厂 “州），厂 “ ：）， ，厂 “：，） 】 进而 “（），彩， ）乒，由引理知，是拓扑双重遍历的。（）专（）显然。（）号（）任取非空开集， ，因为是拓扑双重遍历的，所以存在正上密度集， ，使得对任意， 都有 ”（。 ，） ：缈）乒彩。于是有 。缈，）使得（）：缈）。任取工 ， ，则厂 “），厂 “（） “但） 。从而厂 ” ） ，且
24、厂 “缈） 乃。由引理知，厂是。拓扑双重遍历的。定理设（ ，）是具有二个符号的符号空间，是 上的转移映射，则存在一个极小集 。由（，）所诱导的集值离散系统（惑），盯）的集值映射 具有下列性质（）孑是拓扑传递的。（）孑是拓扑弱混合的。（）孑是拓扑遍历的。（）孑是拓扑双重遍历的。定理的证明：根据命题知单边符号空间（ ，）的转移映射，存在一极小集 （仃），使得仃是拓扑弱混合的。再根据引理知，仃置。）是弱拓扑混合的和拓扑传递的。又根据引理知，（）是拓扑双重遍历的。再根据命题知，仃。）是拓扑双重遍历的和拓扑遍历的。证毕。第三章空间上的几乎周期性和分布混沌相关定义与引理这罩我们研究空间上连续可微映射的性质
25、。为方便，记空间（，）中以为中心的闭球和开球分别为可（） ：忙，（）缸 ：忙一，一些特殊空间上的分布混沌性设：为线性映射，并记陋陋： ，忙。定义如果线性映射： 具有有界线性逆映射，则称 为可逆线性映射。定义设（，）为度量空间，：为映射。（见 【 】 的定义 ）（）称点 为，在，（）上的一个扩张不动点，其中，为某常数，如果（） 且存在常数，使得（），厂（）苫，）， ， ，（），其中，）缸 ：（，），）是以为中心的闭球，常数称为厂在曰，）上的一个扩张系数。进一步，如果是厂限）的内点，则称为厂在，）上的正则扩张不动点。（）假设是，的一个正则扩张不动点。设是的满足下述条件的最大开领域：对每一点（ ），
26、存在正整数 ，使得）圣并且对每一点 （ ），厂 “）在内有唯一定义且当甩一 时， ”）呻。称为厂在点的局部不稳定集，并记为毗（）。（）假设是，的一个正则扩张不动点。如果 哦（）乒），且存在 ，使得， “），则称 是关于的一个同宿点。如果对同宿轨道上的每一点。均存在正整数，与地，使得（厂），厂（） ，（，）， ， 。），则称的同宿轨道（由同宿点，向后轨道，（，及向前轨道厂 ） ”：构成）是非退化的。如果对轨道上每一点 ，存在正整数厂，使得对每一个正常数， ，（。）是（ ）的内点，则称同宿轨道为正则的。引理设（，）是空间，映射，：呻有一不动点 ，假设一些特殊空间上的分布混沌性（）在的某邻域内连续可
27、微，巧（）是可逆线性映射，且满足阿（）旷；（），存在关于的同宿轨道，在上任一点的某邻域内连续可微，巧）是可逆线性映射，而且满足憎删。，则对的每一个邻域，存在正整数行和一个集人 ，使得， ”：人呻与符号动力系统： ； ；拓扑共轭。 。证明：见。引理令是带有的紧致度量空间，：呻是连续映射，且 ，则厂是分布混沌的当且仅当厂 是分布混沌的。证明：见 【 】 。王要定理和证明定理设（，）是空间，映射，：呻有一不动点 ，假设（），在的某邻域内连续可微，厂）是可逆线性映射，且满足（）卜；（），存在关于的同宿轨道，在上任一点的某邻域内连续可微，巧）是可逆线性映射，而且满足）。，则厂有不可数的分布混沌集且在混沌
28、集中的每个点都是几乎周期的。证明： 由引理，存在同胚：人 和正整数，使得对任意 厂） （）这里 是康托集，为了方便，设， ”。通过命题，存在不可数分布混沌集 （）具有惟一的遍历测度。对 ，由引理，存在 （）一些特殊空间上的分布混沌性使得（）。令 彳（），办） 于是 人且是不可数集。为了完成这个证明，需要证明出是对的分布混沌集。首先，我们证明出对任意而，：，如果对某个，（。），（：），），那么对某个，（，）。因为厂， ：人，仃： 是连续映射。对给定的，由的一致连续性，存在使得对任意，若一训则），）。我们可以容易看出。 一仃 。，则可有如果（ 。）， ： ”则峥 ，）一口 ：）这意味着色（，）邑（
29、仃，（），（），）对所有的 。进而由的定义，我们可立即得到下面的结果（，）；（）其次，我们要证明出，如果对所有的， （，。），（：），），则对所有的， （，。，：，）；。因为办是同胚，： 人是连续满射。由前面的证明，我们有邑，（），（），） （，工，）这也就是说（，） （）由（），（）和。，：的任意性，我们可推断出是对的不可数分布混沌集。因此，厂 ”是分布混沌的。由引理和（ ”）（），我们证明出厂有在（）中的不可数分布混沌（。一 ， ，刀一 ，一， ）。它等价于上的初始条件 ，并且在 。 一些特殊空间上的分布混沌性集。证明完毕。第四章系统中的按序列分布混沌在系统（见 【 】 ）中系统介绍山一
30、），帆，。）， 川）（州） （）其中朋 ， ，）， ，一， ），占 【 ， 】 为常数，且，：尺呻是个函数。令 ， ） ， 。这 里 整 数 ，记（，） ，（，），（，），（，）， ）。对定义在上的任何序列妒；丸。，易构造一个双向序列上满足系统（）。实际上，由（）可知，对任意，利用初始条件妒，可以对任意 ，都可计算出序列。，汪。（一，枷，。，工。， ）。由此，对任何所 ，都可以计算出戈。（，垃。，以此得到满足系统（）的序列讲， ，甩； ，一， ）称为由初始条件 得到的系统（）的解。设尺：为一维实序列集，即尺：。囊一。一（ ，口小口。，口， 。 尺， ）。显然可以在聪上定义若干不同的度量，例如，
31、对任意两个序列，一，囊一。，：，） 尺：可以定义盔吣：，：妻畦掣 ，： “，。） 仙一一吃一：，一，墟） （）容易证明。，：是尺：上的两个度量，且似：，。）和（尺：，：）是完备的度量空间，当然。不等价于，。一些特殊空间卜的分布混沌性设，为上一个子集，令，：（口。汪。一（一，口中口。，口， 。 ， 。显然（，）也是度量空间，且（，）是（ ，）的度量子空间。令，：，为一个函数，且。 ， ）为初始条件妒丸九讲）：。黝（）的一个解，这里对任意， ，九 ，。记。一）（ ，。，一，。，。，。，。， ），对籼， 设。一（一， 。，。，。， ）。）当， 驴缸。）二一。且： （） 。；（一）， ，。） ，。一）
32、厂 一。），那么，可得系统（）等价于；饥）， ： 尺三， ， （）系统（）中的映射被称为由系统（）或系统（）中的函数厂诱导的，且（厂，）是系统（）与系统（）中的一对相伴映射。显然，双向序列。一， ）为系统（）的解，当且仅当。一。，咒 ）为系统（）的解。基本定义和引理定义 设，为上子集，厂：，上函数，且（，）为度量空间，令：为（，）上由系统（）的诱导映射。若映射在上混沌的，即系统（）在（，）上混沌的，则系统（）在（，）混沌的。特别地，若在（，）上是按序列分布混沌的，则系统（）称为在（，）上是按序列分布混沌的。引理设厂是， 】 上的连续函数。厂是混沌的当且仅当存在序列仇 】 ，。，使得厂是按序列仞
33、。）分布混沌的。证明：见 【 】 。引理设，是，上的连续函数。若厂有正拓扑熵，则厂是有不可数分使得岛）凹吉荟所。棚（，啊），厂啊（），）； 卅 詈去 ）“凹 ，耋学，一些特殊空间卜的分布混沌性布混沌集，且丁 ）。证明：见。主要定理和证明定理设 ， ，：，呻，是连续函数，：呻是由系统（）中的函数，诱导的映射。若函数厂是混沌的，则系统（）是在（，）和（，：）上按序列分布混沌的，这里盔由（）定义的度量，：是由（）定义的度量。定理设 ， ，厂：，呻，是连续函数，：一是由系统（）中的函数，诱导的映射。若函数，有正拓扑熵，则系统（）有不可数的分布混沌集且在混沌集中的每个点都是几乎周期的。定理的证明：由引理，函数，是混沌的，则函数厂是按序列）分布混沌的。在给定的定义下，存在不可数子集 使得对， ，有（），（）对于 ， 掣）；罢 ，篇。 （，砷），竹（） 定义子集 ，：如下：。缸。口） 一。 ，显然是不可数的。对于中任何不同两点，。口垃一。，（。一。，贝， ，口 且（）使得凹咭跏叫删，（妫）“凹咭新叩）（严（口）一）（）对三， 狲吒，互警 言善 似（，帆），鸭（）“ 畦孰吒，（弋矿， ）；这样系统（）在（，：，。）上是按序列朋，）分布混沌的，同理可以证明系统（ ）（，：）上也是按序列，；分布混沌的。证毕。定理的证明：由引理，如果函数厂有正拓扑熵，则，有不可数分布混沌集，且 （，）。
