1、21.3 次根式的加减新课指南【画说新课】【课程目标】【温故知新】1. 同类项的概念：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项，叫做同类项2. 合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变。3. 合并同类项依据：分配律。4. 分配律：a(b+c)=ab+ac , ab+ac= a(b+c)新知精讲【基础讲解】（知识点一）二次根式的加减知识详析：拓展归纳：（1）合并被开方数相同的二次根式的理论依据是逆用乘法对加法的分配律.（2）二次根式的加减法的一般步骤：将每一个二次根式化成最简二次根式；找出其中被开方数相同的二次根式；合并被开方数相同的二次根式（3）二次根
2、式加减的注意事项非同类二次根式不能合并；二次根式的系数是带分数时，要写成假分数的形式二次根式加减运算的基础是二次根式的化简.例 1 计算：（1） ；483752（2） ；)(.0(（3） .214解析从二次根式的化简切入，然后结合分配律进行合并.（1）不含字母，但有些项含分母，难度有所上升，可综合利用商与积的算术平方根的性质简化；（2）和（3）都带有括号，可先去括号，转化成（1）类型的题目再化简. 解：（1）原式=；（2）原式=;（3）原式=（知识点二）二次根式的加减混合运算知识详析：二次根式的加减，就是合并被开方数相同的二次根式拓展归纳：合并被开方数相同的二次根式的方法与整式加减运算中的合并
3、同类项类似，合并被开方数相同的二次根式，只把系数相加减，根指数与被开方数不变进行二次根式的加减运算时，过去在学习整式的加减运算中的交换律，变式练习 1计算：（1） ；328（2） 8解析（1）判断几个二次根式是否能合并，必须首先将二次根式化为最简二次根式，再看被开方数是否相同（2）几个二次根式能否合并，只与被开方数及根指数有关，而与根号外的因式无关解：（1） 328= 4();（2） 81= 325变式练习 2计算：（1） 354（2） （ ）（13 ）4.5 0.75解 析 ： 进行二次根式的加减法可按一化（把二次根式化成最简二次根式） 、二看（看被开方数是否相同） 、三合并（把被开结合律及
4、去括号，添括号法则仍然适用.二次根式的混合运算与整式的运算之间的关系:在二次根式混合运算的过程中，每个二次根式可以看做一个“单项式” ，几个被开方数不同的二次根式的和可以看做“多项式” ，故二次根式的运算可以看做整式的运算.例 2 计算 .1(38504)23解析从二次根式的化简入手.由于括号有指定运算顺序的作用，引导着我们先算括号内的，合并后再实施除法运算；或使用多项式除以单项式的运算法则直接计算.解：方法 1:原式=;方法 2：原式=.（知识点三）二次根式的混合运算知识详析：二次根式的运算包括加减、乘除和加减乘除混合运算在运算的过程中，要熟练掌握运算的顺序和要适当的注意方法技巧的运用. 拓
5、展归纳：（1）二次根式的混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减.（2）在进行二次根式的混合运算时还要注意三点：原来学习的运算律仍然适用；原来学习的乘法公式仍然适用；运算的结果可能是二次根式，也可能是有理式，如果是二次根式，要化为最简二次根式.例 3 计算：（1） 26236（2） 5352解析：（1）利用平方差公式计算，把 看作一个整体.36方数相同的二次根式进行合并）的步骤进行 （1）题中的每个二次根式都是最简二次根式，可直接识别出： 与 ，235与 被开方数相同，324因此可直接进行合并解：（1）53224 3（2）原式=（ ）12 2 13 3（ ） = 32 2 12 3 12
6、2 13 +332 212 3=（ ） +（ + ）12 32 2 1312 3= +216 3变式练习 3计算 065解析：解答本题时易出现错解如下：原式= -330= .显然，由560,则得出两个正数相除结果为负的错误结果，解法有错，错就错在误用了所谓除法分配律，分配律不能在除法中随意套用.解：原式= 30(65).（2）先把分母去掉，再进行计算.解：（1） 236236=2236= 18= 62（2） 25353= 32()()552(2)= 3325= 25【难点突破】二次根式的化简求值含字母的二次根式的化简和求值问题，既有较简单的问题，也有较复杂的问题，在解法上具有一定的灵活性和多样
7、性，因此解决这类问题既有常规的一般方法，也有使用一定技巧的特殊方法（1）直接代入法直接将已知条件代入到所求的式子中，经过恒等变形得出最简结果，这种方法是直接代入法，直接代入法是最基本、最常用的方法之一（2）变形代入法“变形代入法”的关键是：对条件或结论作适当的恒等变形，一般地说，变形有以下三种情况：适当的变条件；适当的变结论；同时变条件与结论例题 1 已知 ，求代数式 的值81yx2xy解析：先根据二次根式有意义的条件确定字母 x 的取值范围，再求出 x、y 的值，然后把代数式化简，再把 x、 y 的值代入化简后的代数式去求值解：因为 和 都有意义，8x所以 所以 x-8=0，即 x=8，所以
8、 y=180. ，又因为 x0，y0，所以 ， 2()2()y变式练习 1已知 ，757522xy，求下列各式的值.（1） 22（2） xy解析：根据 x、y 值的特点，可以求得，如1752x， ，果能将所求的值的式子变形为关于 x+y,x-y 或 xy 的式子，再代入求值要比直接代入求值简单的多.解：因为 11757522xy，所以 .x，（1） 2223yyx所以 2xyx()2xyyx当 x=8，y=18 时，原式 8132【点评】在解决化简求值题的过程中, 要注意观察算式的特点,灵活运用乘法公式和运算律,从而找到最佳的计算方法.例题 2 已知 =2- ，其中 a、b 是实数，且 a+b
9、0，abx化简 + ，并求值1解析：由于（ + ） （ - ）=1，因此对代数式的化简，x1x可先将分母中的根号化去，再通过解含有字母系数的一元一次方程得到x 的值，代入化简的结果即可解：原式= + ,2()1xx2()x= + ,2()=（x+1）+x-2 +(x+1)+x+2 ,(x(1)=4x+2. =2- ,abb（x-b）=2ab-a（x-a）, bx-b 2=2ab-ax+a2,（a+b）x=a 2+2ab+b2（a+b）x=（a+b） 2 ,a+b0 x=a+b原式=4x+2=4（a+b）+2=4a+4b+2.【点评】解题的关键有时需把已知条件化简，或把已知条件变形，有时需把待求
10、代数式化简或变形，有时需把已知条件和待求代数式同时变形21735（2） 22xyxy=12.217变式练习 2有这样一道题，计算： 22244()xxx的值，其中 x=2013，某同学把“x=2013”错抄成“x=2010” ，但他的计算结果是正确的.请回答这是怎么回事？试说明理由.解析：这是一道说理型试题，既然 x 的值取错，计算结果仍是正确.那么可以猜测此二次根式化简后与 x 的值无关.解：原式 2(4)xx22()()因为结果中不含有 x，所以某同学把“x=2013”错抄成“x=2010”，计算结果也是正确的.【应用提高】利用二次根式的运算解决实际问题(1)在现实生活中会经常遇到二次根式
11、的加减问题，因此本章开始就用生活实际引出二次根式.(2)二次根式的加减运算经常与勾股定理结合出题,解题时,根据勾股定理 a2+b2=c2 ,以及算术平方根的性质，从而，a= ,b= ,c=2bc2a.b(3)有时利用非负数的平方根的意义也可以求方程 x2=a(a0)的解. 求方程 x2=a(a0)的解就是求非负数 a 的平方根，所以方程 x2=a(a0)的解是 x= ,或 x=- ，由于是实际应用题，所以把 x=- 舍去.aa利用方程 x2=a(a0)解决实际问题实质上是求非负数 a 的算术平方根.例题 1 如图 22-3-1 所示的 RtABC 中，B=90，点 P 从点 B 开始沿 BA
12、边以 1 厘米/秒的速度向点 A 移动；同时，点 Q 也从点 B 开始沿BC 边以 2 厘米/秒的速度向点 C 移动问：几秒后 PBQ 的面积为 35 平方厘米？PQ 的距离是多少厘米？（结果用最简二次根式表示）解析：设 x 秒后PBQ 的面积为 35 平方厘米，那么 PB=x，BQ=2x，根据三角形面积公式就可以求出 x 的值解：设 x 后PBQ 的面积为 35 平方厘米则有 PB=x，BQ=2x依题意，得： x2x=35, x 2=35,x= .1235所以 秒后PBQ 的面积为 35 平方厘米35PQ= =5 .245PBQ7答： 秒后PBQ 的面积为 35 平方厘米，PQ 的距离为 5
13、 厘米7【点评】本题虽然是运用运动变化的观点来解决实际问题，但是运用的基本知识是一定的.本题运用了直角三角形 PBQ 的面积公式:s= BPBQ,和直角三角形的斜边长 PQ= .122BQP例题 2 我国古代数学家秦九韶在数书九章中记述了“三斜求积术” ，即已知三角形的三边长，求它的面积.用现代式子表示即为：（其中 a、b、c 为三角形的三边长，s2221()4abcs为面积）.而另一个文明古国古希腊也有求三角形面积的海伦公式：（其中 ）()()spabpc2abcp（1）若已知三角形的三边长分别为 5、7、8，试分别运用公式和公式，计算该三角形的面积 s；（2）你能否由公式推导出公式？请试试
14、.解析:本体已知两个公式,只要将三角形的三边长代入公式,化简求值即可.变式练习 1 教师节到了，为了表示对老师的敬意，小明做了两张大小不同的正方形壁画送给老师，其中一个面积为 800cm2，另一个面积为 450cm2，他想如果再用金带把壁画的边镶上会更漂亮，他现在有长 1.2m 的金彩带，请你帮忙算一算，他的金带够用吗？如果不够用，还需要多长的金彩带？（，结果保留整数）21.4.解析：先根据每个正方形的面积，计算正方形的边长，再计算两个正方形的周长和，然后与 1.2m比较.解：镶壁画所需的金彩带为：4( + )8045=4(20 +15 )2=140197.96（cm）小明的金彩带不够用.答：
15、小明还需要买78cm 的金彩带 .变式练习,2请同学们仔细观察以下各式：= = =2 ，528452即 =2 ；= = =3103279，即 =3 .解：（1）2221578()4s又 ，25(7)481031(578)102p(105)7(108)32s（2）222()4abc22221()()4abcabc2221()()6cabc()()()()12226()()abcpapbc2221()()4apbc【中考链接】例题 1（2012黔东南州）下列等式一定成立的是（ ）A、 B、 C、 94531593D、 =92()解析：A、 =32=1，故选项错误；B、正确；C、 =3，故选项错误；
16、D、 =9，故选项错误故选 B答案:B点评：此题主要考查了二次根式的有关运算,记住运算的法则即可作出判断.例题 2（2012 临沂）计算： 1482=解析：原式=4 2 =0答案：0点评：中考主要考查简单的二次根式的加减运算.先把算式中的每一项化成最贱二次根式,然后进行二次根式的加减运算.猜想 等于什么，并通过265计算验证你的猜想.解析：解题时仔细观察二次根式的特点和运算方法.本题的思路很简单，直接进行二次根式减法运算,再利用商的算术平方根的性质化简二次根式即可.解： 265验证：变式练习（2012 江苏南通） 241348解析：根据二次根式混合运算的顺序和法则分别进行计算，再合并同类二次根
17、式即可解:原式=4812634 24+【点评】此题考查了二次根式的混合运算，在计算时要注意顺序和法则以及结果的符号【新题演练】【基础巩固】1. 化简 的结果是()3(1)A3 B3 C D 32.下列式子运算正确的是（ ） A B21842C D3133.计算 的结果估计在（ ）125A6 至 7 之间 B7 至 8 之间C8 至 9 之间 D9 至 10 之间4. 已知 a= ,b= ,则 的值为（）5227abA、3 B、4 C、5 D、65. _176.（1）有这样一个问题： 与下列哪些数相乘，结果是有理数？2A3 B2- C + D E023问题的答案是（只需填字母）：；（2）如果一个
18、数与 相乘的结果是有理数，则这个数的一般形式是什么（用代数式表示）2.7. 已知 a=2+ ，b= -2，求代数式的值：(a2-b2) ba8.先化简,再求值：.3)5(43a， 其 中【能力提升】9. 先化简，再求值： ，其中)6()(215a10.已知 a +2，b= -2,求 的值.572ba11.计算：12已知 x2+y2-2x-6y+10=0，求( x + y2 )-(x2- -5x )的值.39x1y13.阅读下列材料，并解答问题，122212，33632223，144334 4123，5545504（1）若 n 为正整数，用含 n 的等式表示你探索的规律；（2）并利用你探索的规律
19、计算： 1123243125425【练习答案】1.答案：A .点拨：先利用分配律把 与括号内的两项分别相乘，于是有 = - +33 3(1)3=3.2. 答案：D 点拨：选项 A 中两个二次根式的被开方数不相同，不能合并；选项 B 中应为 2 ；选项 C 中；选项 D 中13123=4.233.答案：B点拨：先计算出结果，再估算，即 132= ，因为 3 4，所以 74+ 8，故选 B.25160410104.答案：C点拨：因为 a= ,b= ,所以 a+b=2 ，ab=1，又 = ,25527ab27ab（ ）所以原式= .17（ ）5. 答案: 3 点拨：原式=3-4 +2 =3-2 +2
20、 =3.226. 解：（1）A、D、E；（2）设这个数为x，则x =a（a为有理数） ，所以x= （a为有理数） 2点拨：解析：根据（ ） 2=a（a0）可得这个数含有因数 ，或这个数为 0.7. 解：a=2+ ，b= -2， ， a-b=4，a 2+b2=(2+ )2+ ( -2)2=7+4 +7- =14.(a 2-b2) =(a+b)(a-b) =(a+b)(a-b) =ba)(2ba2)(ba2)(ba= = = .14)3(679点拨：由于代数式比较复杂，首先要化简该代数式，即分式运算要注意因式分解和约分，其次观察所给的字母的值代入计算是否简单，若计算繁琐，则利用其较简单代数式的值整
21、体代入. 如该题可知：a+b=2，a-b=4 故代数式化简成与 a+b 和 a-b 有关的式子（还有 ab=-1 等）再计算.此方法是常用的一种技巧，3要理解掌握.8. 解：原式= )2(5)(23a= 9a= )3()(= 21a当 63)(21时 ， 原 式点拨：将 a= -3 代入化简后的代数式，再将结果化成最简二次根式.39. 解：原式=a 2-3-a2+6a=6a-3.当 时，原式=6( )-3=6 .15a15点拨：先化二次根式为最简二次根式,再代入求值.10. 解法 1：当 时，2,b=27b2754545.解法 2： ，a21.b .275ab点拨：解答本题有两种解题思路：一是
22、将已知条件直接代入所要求的二次根式中，而后化简计算即可；二是根据已知条件的特点，求出 a+b,ab 的值，而后把要求的二次根式的被开方数变形成含有 a+b,ab 的形式，整体代入化简.11.解：12. 解：x 2+y2-2x-6y+10=0,（x-1） 2+（y-3） 2=0,x=1，y=3原式=(2x +y )-( x2- -5 )yy=2x +y - x2+ +5=(2x+ ) +（y+5） - x21y=3+8 -1=2+8 .3点拨:本题首先将已知等式进行变形，根据完全平方式，得（x-1） 2+（y-3） 2=0;其次，根据二次根式的加减运算，先把各项化成最简二次根式，再合并同类二次根式，最后代入求值13. 解： （1） 11nn（2）原式 23445
