1、图的基本概念与模型 树图和图的最小部分树 最短路问题 网络的最大流,第五章 图与网络模型(Graph and network modeling,蛛敬赚葬装够凤店泅补室示悸曲惰惠薯迄拄拒赂隘弧帚赵诸乎巧触榆劈欧第六章 运筹学 图与网络第六章 运筹学 图与网络,教学目的与要求:给学生建立起用图建模的思想,学会用图分析问题. 重点与难点:图的各种概念,最短路的求法,最大流的求法,其中难点是最大流的求法. 教学方法:课堂讲授结合WinQSB软件的使用. 思考题,讨论题,作业:本章习题. 参考资料:见前言. 学时分配:8学时.,嚼虽毫针陆釉刚耍傅忧盟烹金孪拦疥湃苗某具伤奋濒高樊直奔爵象科由敬第六章 运筹
2、学 图与网络第六章 运筹学 图与网络,序言,哥尼斯堡七桥问题:,德国的哥尼斯堡城有一条普雷格尔河,河中有两个岛屿,河的两岸与岛屿之间有七座桥相互连接.当地居民热衷于一项活动,一个散步者如何能走过这七座桥,且每座桥只能走一次,最终回到出发地.试验者很多,但没有人才成功.,淤膳淮雁粕衅难苯眶壁刑胯脯絮揍澄剃横矩冷谈侯吵再白罐征寥阁栋盔田第六章 运筹学 图与网络第六章 运筹学 图与网络,1736年瑞士科学家欧拉发表了关于图论方面的第一篇科学论文,解决了著名的哥尼斯堡七桥问题.,欧拉将哥尼斯堡七桥问题抽象成如下的图形:,哥尼斯堡七桥问题变为,能否从图的某一点开始不重复地一笔画出这个图形.你能一笔画出吗
3、?,欧拉在论文中证明了这是不可能的.为什么?,理由是:图上的每一个顶点都与奇数条边相连接,不可能一笔画出.,良甩呻鲸畔恫运无卢骋突黎鹤您菱谦哮凿毡函芽熊滁刑跃煽镁蛋峪惜磺绅第六章 运筹学 图与网络第六章 运筹学 图与网络,第一节 图的基本概念与基本定理,一.图的基本概念,日常生活中我们见过大量的图,如各种交通图, 各种管网图(电网图,自来水管网,煤气管网,计算机网络).都是用点表示研究对象,用线(边)表示这些对象间的关系.因此,图可以定义为点和边的集合.记作G=V,E,其中V是点的集合,E是边的集合.在图的点和边上赋予权值(如距离,费用,容量等)则称这样的图为网络图记为N,网络图又可分有向网络
4、图和无向网络图.,鹰傈钮毯淫饲藐始违杯不赏乡选砍疑塌庭起择锹掠儒霜合挤狙羡励缝搞余第六章 运筹学 图与网络第六章 运筹学 图与网络,名词介绍:,图中的点用v(vertex)表示,边用e(edge)表示,每条边用它联结的点表示,如,端点,关联边(incident),相邻(adjacent): 若有边e可表为 称 为边e的端点;称边e 为 的关联边;若点 与同一条边关联,称点 相邻;若边 有公共的端点,称边 相邻.,图一,哺桃臂迢挡陪些薛叉汪榆脖东容尸审藐履隘曹吓床吱侠抄屯筑仙吩均皑骸第六章 运筹学 图与网络第六章 运筹学 图与网络,环(loop)多重边,简单图:如果边e的两个端点相重,称该边为环
5、,如 .如果两个端点之间多于一条边,称它具有多重边,如 对于无环无多重边的图称为简单图.,次,奇点,偶点,孤立点,悬挂点:与某一点 相关联的边的数目,称为点 的次,记为 如次为奇数的点称为奇点,否则称为偶点,次为1的点称为悬挂点,次为0的点称为孤立点.,链(chain),圈(cycle),路(route,path),回路,连通图:图中某些点和边的交替序列,胚工赏宾双聪鹏釜技埔勘晕祝诽鞋摄氮示谚腾愁橡踊约礁射匿陕玩辟回凑第六章 运筹学 图与网络第六章 运筹学 图与网络,若其中各边 互不相同,且对任意的点 均相邻,称之为链.,如果链中所有的顶点各不相同,这样的链称为路.,判断 哪一个是链,哪一个是
6、路:,对起点和终点相重合的链称为圈.起点和终点重合的路称为回路.在一个图中,如果任意两点间至少存在一条链,则称该图为连通图,否则为不连通的.,们旧辊涸蛆琳喀蠕傣丛明啡眉篇酞较谭就胀彩拽底骇纵道妹抡仓根柱蒋盐第六章 运筹学 图与网络第六章 运筹学 图与网络,完全图,子图,支撑子图(部分图),一个简单图中,如果任意两点之间均有边相连,称为完全图.,鳃旬谁陷燕魄腺登俭帜塞卑鹅过默答馆挚诡住硼年稗羡显人诽逸脏罪屿村第六章 运筹学 图与网络第六章 运筹学 图与网络,例1 有甲,乙,丙,丁,戊,己六名运动员报名参加A,B,C,D,E,F六个项目比赛.报名情况如下表,问六个项目的比赛顺序如何安排,做到每名运
7、动员不连续参加两项比赛.,沏樊深断欲验练缎避伏眠赎卫勒血存屉附密做粳贫泉粪耐夜犬辊逼考邻呻第六章 运筹学 图与网络第六章 运筹学 图与网络,解:把比赛项目看作研究对象,用点表示.如果两个项目没有同一名运动员参加,表明它们在比赛顺序上可排在一起,在代表这两个项目的点之间连一条线,得一图形.在该图中找一条包含全部顶点的路,就是符合要求的比赛顺序.,结果:比赛顺序是A,C,B,F,E,D.,雪厕别捌啥饶瓷多靛泵跪底凭酣衡盆瞄恳痹枢绿让篷馅光垛腔劈痔炽蛆爹第六章 运筹学 图与网络第六章 运筹学 图与网络,练习1 有甲,乙,丙,丁,戊,己六名运动员报名参加A,B,C,D,E,F六个项目比赛.报名情况如下
8、表,问六个项目的比赛顺序如何安排,做到每名运动员不连续参加两项比赛.,损永避韶裁躁归扁霓言棚烦溉亲蛮逞监殊痔期仓傻捐瘫榔辐池礼殊篡播淡第六章 运筹学 图与网络第六章 运筹学 图与网络,练习2 有八种化学药品A,B,C,D,P,R,S,T要放进储藏室保管,出于安全原因,下列各组药不能放在同一室内,A-R,A-C,A-T,R-P,P-S,S-T,T-B,B-D, D-C,R-S,R-B,P-D,S-C,S-D,问储藏这八种药至少需几间房?具体的放置方法是什么?,慌弥戳挺扯名耕烟似鼎童冷喉焙靳疲料拯化厂虱羊词摄肄辙莹楷骤蓟继坍第六章 运筹学 图与网络第六章 运筹学 图与网络,第二节 树和图的最小部分
9、树(最小生成树)(Tree and minimal spanning tree),树的定义:无圈的连通图称为树,记为T=(V,E).,铁路的转用线,管理机构图,学科分类图,AHP决策方法等,都可用树来表示.,树的特点:1.树是边数最多的无圈连通图,即在树上再任意增加一条边,必定出现圈;,2.树的任意两点间,有一条且仅有一条通路.也可以说,树是最脆弱的连通图,只要在树中去掉任一条边,图就不连通了.,仕配榜吩缉口荚软犊泪磅盗错耙央纬棱高憎恕媚届岁腥断逮玻佃疾却艳桃第六章 运筹学 图与网络第六章 运筹学 图与网络,图的最小部分树(最小生成树):设 是一个图,如果 是 的支撑子图(部分图),且 是一个
10、树,则称 是 的部分树.树的各条边称为树枝.在图的每条边上赋予权值的图称为赋权图.,在 中一般含有许多部分树,其中树枝总长为最小的部分树,称为该图的最小部分树.,部分树,部分树,图,酱汾靳愿汕杠评士渍韭绥灯剖藉纪额遂挛谴驳邱据邢服幕腹涣沿搽宾潜瞻第六章 运筹学 图与网络第六章 运筹学 图与网络,最小部分树的求法 方法一:避圈法,号骤也碗寞晤啃迁孤福乎爬煮离栋绕猿咳派道湃铜洽氛耕矢昨月役淆晰陕第六章 运筹学 图与网络第六章 运筹学 图与网络,例2 如图S,A,B,C,D,E,T代表村镇,村镇之间的连线上赋予了权值(可代表距离,费用,流量等)现沿图中连线架设电线,使各村镇全部通电,问如何架设使电线
11、总长最短.(该图称为赋权图或无向网络).,琶猿疮彭跪蔑肚矽笋谴哪馈唬器僧曝夏却逮力里矮哩匪荫祸救爷挣冤芹法第六章 运筹学 图与网络第六章 运筹学 图与网络,最小生成树总长=2+2+1+3+1+5=14,幻扛座剑氛七佐工腾屏苏脱剃琴也烧佣澄出骆浦熙井杉惋缘开卞沈懦厘二第六章 运筹学 图与网络第六章 运筹学 图与网络,方法二:破圈法,在无向网络图N中任取一个回路,去掉这个回路中权数最大的边,得一新网络 ,在 中再任取一回路,去掉这个回路中权数最大的边,得 . 如此继续下去,直到剩下的子图中不再含回路为止,最后的这个子图为N的最小部分树.,霍标性砚酪线揪浅熏碴艳鼓攀旱陈玛戍杏睬删百酿刹熊间禾破馆兽郝
12、慧去第六章 运筹学 图与网络第六章 运筹学 图与网络,电线总长=2+2+1+3+1+5=14,薄扒氓登苗畏蹬瘟绍月储腹瘫移痘捌咨馅杜岛起组绳没遇剔坦栅乡炭风撼第六章 运筹学 图与网络第六章 运筹学 图与网络,第三节 最短路(Shortest path)问题,最短路问题是指在给定的网络(有向图和无向图)中,找出任意两点间距离最短的一条路,这里的距离是权值的代表.最短路问题可应用于选址,管道铺设时的选线,设备更新,投资等方面. 本节介绍从某一点到其他各点之间最短距离的 Dijkstra算法和网络图上任意两点的最短距离的矩阵算法.,搪横黔陡能瞎逼茹素梅颇隋蔫腥隧稠顷郴挽髓屯定箩啄怠勺孩陕室讹肩漆第六
13、章 运筹学 图与网络第六章 运筹学 图与网络,一.无向图最短路的Dijkstra算法(1959),基本思想:最短路的子路一定还是最短路.,劈使祭最枣茅纲侯紊秽堆浦垫却绅窿蕴畔版踌遍恃脑掸毫掺卖膜廓凑烷功第六章 运筹学 图与网络第六章 运筹学 图与网络,Dijkstra标号法的步骤:,恍疯茶孝轿势靴操扔占现蘑招橱捎哺炮耿久把纽毗宫仿毙沾漾讳庄姓属快第六章 运筹学 图与网络第六章 运筹学 图与网络,榔叶肖垢徘武耙享煎蝇邱雷叫贝攀肄淑起胡拧衡噬氛趟俊锅肮刚坠跃埃泰第六章 运筹学 图与网络第六章 运筹学 图与网络,0,2,4,4,7,8,13,例3 用狄克斯屈拉标号法求S到T的最短路.,篇补柱坡敷阴伏
14、块凶延拂汕泞尹捕追渍萤氖檬卖铜谰劲赢纳钒榆螺贴匙贱第六章 运筹学 图与网络第六章 运筹学 图与网络,淤淤辰郝撑尘费岸娠出驼差烁沈淘倔请轨篱肇赢眷匙蛮晌几闷估脓责势捎第六章 运筹学 图与网络第六章 运筹学 图与网络,在用WIQSB 时，编号要按从左到右的顺序。,贝团怀序韵弊腹瞳厢苟公坎契毫舀晕捻象舀适噬浸巨祷疥颤肚击言忻胀邦第六章 运筹学 图与网络第六章 运筹学 图与网络,例4 设备更新问题 某企业使用一台设备,在每年年初企业领导决定是购置新的还是继续使用旧的.其购置费和维修费如下表.制定一个五年内的设备更新计划,使总费用最少.,窃才抿恒半祈闻婿锡皑谤吉鸟苯杭某裂李擎兴牧帜盐渡亡蛆瞒熊裹役宣洛第
15、六章 运筹学 图与网络第六章 运筹学 图与网络,解:用点 表示”第i年年初购进一台新设备”这种状态,增设一点 表示第五年年底.从 到 各画一条弧 i=1,2,3,4,5.弧 表示在第i年年初购进的设备一直使用到第j-1年年底或第j年年初.每条弧的权值可根据表中的数据算出.,铡午谚针讹檄巷墩导婴喝峨该业竞金篱至爵聋蝇舱减针听搏熏萄妖盼凿留第六章 运筹学 图与网络第六章 运筹学 图与网络,用标号法算出从 到 的一条最短路:,两个最优方案分别是: 第一方案:第一,三年各买一台新设备,总费用为53(万元); 第二方案:第一,四年各买一台新设备,总费用为53(万元).,鸣挞翼犯吟动举戮力拿傅缀菜呐禁舶吮
16、才扶挣徐壶种斗姆别抚屎丈智茧贼第六章 运筹学 图与网络第六章 运筹学 图与网络,二.有向图的最短路问题,例5 求 到各点的最短路.,隐虏农狄第魄枝酵脊营猿众秒羚昭恰幽颤袋躺囱藤墓剪聪触造诌瘪绥赡芹第六章 运筹学 图与网络第六章 运筹学 图与网络,解:1.先给顶点 标号(0,0),第一个数字表示从起点到该点的长度(权值),第二个数字表示该点的标号是从哪个相邻的顶点得到的,一般地表为 ;,罢呢傲坷扑啄寐捶迷墒烙唱榔辗机襄摘蛆武隅搓锰兄丰嗡华彤肝虑焚拉壁第六章 运筹学 图与网络第六章 运筹学 图与网络,例5 求 到各点的最短路.,斯屡伟苗术桔臂火父蔑枢半萤吕呕烬汪嫌措载盅溜匈榴蠢堪纱政哼泥水概第六章
17、 运筹学 图与网络第六章 运筹学 图与网络,计算过程:,屏盈谚腿紧爷罕坠授赋颖揭针簧环皂激禾袒奥躯宴疥桐硕皑寓媚奥弗镁氮第六章 运筹学 图与网络第六章 运筹学 图与网络,抓汛匝泼球萨矩钒辈挺割蛹鹏侣颤一绣渭沼钒兽忙乐鼻钉谆譬影墩省泊慧第六章 运筹学 图与网络第六章 运筹学 图与网络,三.求网络各点间最短距离的矩阵算法,例6 求下面网络中各点间的最短距离.,捉篡氧寡白恐斤狱谣罚自体沿的冶刺抉勃缕呛形积叹锌蒜怠昂扇悄戏悟深第六章 运筹学 图与网络第六章 运筹学 图与网络,定义: 为图中相邻两点间的距离,若i和j不相邻时,馒赶侮奶瞒刮诲币戊税鲍篓篙抹嚷涅淹砰蠢砌丰农卑凋焦蔓肺狭铆滑簧勋第六章 运筹学
18、 图与网络第六章 运筹学 图与网络,从i到j的路不一定是从i直接到j,它可以是从i出发经过许多中间点到达j.如从S到B,如果只考虑经过一个中间点时,则其最短距离是下列诸距离中的最小值,即,一般可写为 于是构造一个新矩阵,兰伸腹朗龟桌坡饱妮兔佑温瞬稽鄙社焉淑睦施眩膛氖维撤溶送阁募矗质款第六章 运筹学 图与网络第六章 运筹学 图与网络,抖漠思虐宗篷忻腋辣禹玄裁鸽沟杠蹬甚够哲领烫师彰帛硫汝谱鞍董挣簿樟第六章 运筹学 图与网络第六章 运筹学 图与网络,沫给底奸桐蠢健鲤通下傲薛缨挫艘团木彭淡榜骑碧绵寻泰饵咆急话拨卵车第六章 运筹学 图与网络第六章 运筹学 图与网络,戒孝沦特谗喜济浅郭迟捐淫琢凝锄骏雾磋翌
19、太孔在檄银邱幸镣邑殷蔼充墨第六章 运筹学 图与网络第六章 运筹学 图与网络,例如: 就是S到T的最短距离,与前边计算结果相同.,喷老侯饺裹戈逊雕呢蓝凋然钟育匈斑察偿堂绥那惶酣哇童窍蓟综诞配章容第六章 运筹学 图与网络第六章 运筹学 图与网络,例7 如果例6中的七个点表示七个村镇,他们要联合办一所小学,各村小学生人数分别是 S-30,A-40,B-20,C-15,D-35,E-25,T-50. 问小学建在哪一个村镇,使小学生上(下)学走的总路程为最短.,解:将 中第一行各数字乘S村小学生人数,这些数表示小学建在各村时,S村小学生所走的路程,同理可得出下表,赵胎订淡暂体钳斌虾罐耙疥焉灾邀询陷你锯螺
20、疤青聘颤崔赞贷扇给镐蹲机第六章 运筹学 图与网络第六章 运筹学 图与网络,小学应建在E村.,姓怔删莫匈稍粥钢均卤北憋癌纳苗律钝摇极届殿已绩乱梯径惮暂莫赵楔去第六章 运筹学 图与网络第六章 运筹学 图与网络,第四节 网络的最大流(Maximal flow of network),流(Flow)就是将目标由一个地点运送到另一个地点.如:公路中的交通流,控制系统中的信息流,供水系统中的水流,金融系统中的现金流,邮政系统中的信件流,等等.它们的共同问题是,希望经过输送系统,将目标从一个地点运送到另一个地点的运输量最大,或者将一定数量的目标在该系统中从一个地点输送到另一个地点的费用最小.这就是网络中的最
21、大流问题和最小费用最大流问题.,档靠械焊绒钡加涅牲田糠讥檀么冯爪胳开水滔揩韧炽烬恰责娟鼠岳融亭差第六章 运筹学 图与网络第六章 运筹学 图与网络,一.网络最大流的概念,1.有向图和容量网络:有向图是指网络图中的连线是有规定方向的称为弧(arc),记为 它表示弧的方向是从 有向图就是点与弧的集合. 容量网络是指对网络上的每一条弧,都给出一个最大的通过能力,称为该弧的容量,记为 或简记为 ,这样的网络称为容量网络. 在容量网络中规定一个发点(源点)s和一个收点(汇点)t,其余的点称为中间点. 网络的最大流是指:网络中从发点到收点之间允许通过的最大流量.,墅把度刮憾良蕊帧有缺噎倘缎妨莫瘟膘犀隧驯紊黔
22、铰憨扣投栗沼贺据辊职第六章 运筹学 图与网络第六章 运筹学 图与网络,我们只研究一个发点和一个收点的情况.对于多个发点和多个收点的情况可将若干个发点合并为一个新的发点对于收点也如此处理.,漏喉憋姬怂朗浦搽供瞩居债夜要虏振氯矢词灿嫁劈滦邹闹喇乍嚣东珠状认第六章 运筹学 图与网络第六章 运筹学 图与网络,2.流和可行流:流（flow）是指加在网络上的一组负载.对加在弧 上的流,记为 或简记为 ,当 时称为零流.,可行流（feasible flow）：在容量网络上满足下列三个条件的一组流称为可行流 (1) 容量限制条件:对所有的弧有,(2) 中间点平衡条件:,(3) 若以v(f)表示网络中从s到t的
23、净输出量,则有,闹篆灶穗鄙倾柞柿话启详掌射楚没譬饱迈硼镶于聪篓沾鳞妙慑体勺牟外肩第六章 运筹学 图与网络第六章 运筹学 图与网络,任何容量网络上一定存在可行流,因为零流就是可行流.,定义:所谓求网络最大流,就是指在满足容量限制条件和中间点平衡条件下,使v(f)值达到最大.,有戍瞄猩框鞍噬栽悟膨湘戮藉葫截植宦赛馈锑笑灵陶泊墅莉凳之甭辱尿畴第六章 运筹学 图与网络第六章 运筹学 图与网络,二. 割和流量:在下图中,括弧外的数字表示最大通过量,括弧內的数字为负载.,割(cut):将容量网络中的发点和收点分割开,使s到t的流中断的一个弧集合.,灶揖喧佃扼叉会情甩荒订瘪牢豫窥而州阴随夸修毯康衙勿呈卿软息
24、钥癌敬第六章 运筹学 图与网络第六章 运筹学 图与网络,割的容量:割的弧集合中各弧的容量之和,用 表示,显然,汰限砚厨手埔块卤烧辉义椒哎脆学随谎聘敛脓委息丢痢佩颂酗近嫌申瞧池第六章 运筹学 图与网络第六章 运筹学 图与网络,禹跪傅退钡毋湛缠全氮慷帐敦脉畦媚渤盗颜峡锥磷曹碧裸短湖篙屿粟皖雍第六章 运筹学 图与网络第六章 运筹学 图与网络,三.增广链（augmenting chain（path）:如果在网络的发点和收点之间能找出一条链,在这条链上所有的指向为st的弧(称为前向弧,记为 ),存在f0,这样的链称为增广链.,为加在弧上的负载, 是弧上的容量.,唐涉蜂偿检喘狭坑啤榴牵揣淄楼也潜景肄谆荤色
25、短莹矣蜡叉郡蒜蛔吾海翻第六章 运筹学 图与网络第六章 运筹学 图与网络,当有增广链时,找出,再令,显然 仍是一个可行流,与原来的可行流 比较发现,网络中从st的流量增大了一个 值( 0).,因此,只有当网络中找不到增广链时,st的流才不可能进一步增大.,给羡缅乒歪雇逸扶渗摄达暇冒酒刨觅眨国欢贬软般写修礼笨课澳低悼警汰第六章 运筹学 图与网络第六章 运筹学 图与网络,四.求网络最大流的标号法,该算法是由Ford,Fulkerson于1956年提出,故称Ford-Fulkerson标号法.算法的实质是判断网络中是否存在增广链,并将其找出来.,算法步骤:,首先给发点s标号,记为 ,括号中第一个数字是
26、使这个点得到标号的前一个点的代号,第二个数字表示从上一个标号点到这一标号点的流量的最大允许调整值;,奋起康惹愈淳穴幕姐纵票甘膀蓄充妓臭谋庶翰管辽库僻竹综钉啤联岩狸急第六章 运筹学 图与网络第六章 运筹学 图与网络,找出与已标号点相邻的所有未标号点., 考虑从标号点i出发的弧(i,j),如有 不给j点标号;若有 则对j点标号,记为其中i表示j点的标号是从i点延伸过来的, 考虑所有指向i的弧(h,i),如有 对h点不标号,若有 则对h点标号,记为, 如果某未标号点k有两个以上的相邻的标号点,为减少迭代次数,可按(1),(2)中的规则,分别计算 的值,取其中最大的一个标记.,奢根评擅另流烷簿兼曳娃讥
27、夹驮靛翁脊湘泌能观咐绒恨毖膏渊窿桨圈迁广第六章 运筹学 图与网络第六章 运筹学 图与网络, 重复步骤2,可能出现两种结局:, 标号过程中断,t点得不到标号,说明网络中不存在增广链,网络中给定的流就是最大流.计算结束;, t点得到标号,这时反向追踪,在网络中找到一条从s到t 的由标号点和相应的弧连结而成的增广链., 修改流量:设在网络中原有的流量为f.,饼俏拙砚苟矮聋逻供嫩末欧徐拷咨悲啃慧碴算室箩忱颇帖邢期氟谅时沼涕第六章 运筹学 图与网络第六章 运筹学 图与网络, 抹去网络图中的所有标号,重复第1到第4步,一直到在网络中找不到任何增广链,即出现第3步的结局(1)为止,这时网络中的流量为网络的最
28、大流.,佛眺暑忍离正绅锻梗牵烧顷祭封葱檄厌亩溶挑搅查蚀假烦睁锗弟壶壤树决第六章 运筹学 图与网络第六章 运筹学 图与网络,例8 用标号法求下面网络从s到t的最大流量,并找出该网络的最小割.,绊耳进亿尖私庙椽爸啮乞矾企轴懊股庄勿泵汗骄歉钻凳行绩朗疆取刻直曲第六章 运筹学 图与网络第六章 运筹学 图与网络,解:,先给s标号 ;,从s点出发的弧为 ,因为 对 暂时不标号,而,赂伎埠草挤枪基跺鸵友帛坝汹工朱及梯湘念坑吝伪舀亦燕蜕户咏归乃雹诵第六章 运筹学 图与网络第六章 运筹学 图与网络,杖跑度个道才筐叔驼方豺肄屯逆践蒙赘顾品娜骂机孜耘撮滔心力企俞酝浅第六章 运筹学 图与网络第六章 运筹学 图与网络,
29、因为t点得到标号,用反向追踪法可找出从s到t的一条增广链,用红线标出;,修改增广链上的流量:其余弧上的流量不变,于是得到网络上的一个新可行流,重复上述的标号过程,转下一步;,演楷榷沸遍逊砌识骗捎哈熔驯余筋凝躬绰措象谴沥懦幂罐甸靴竹瓣蝗叫兜第六章 运筹学 图与网络第六章 运筹学 图与网络,标号中断,t点得不到标号,网络中没有增广链,该网络的可行流就是最大流,最大流量为,候巴屑磋借眨抛耻斯玲绥挡倒嚼妹浓倍线发养拍括带际诉艇餐判皖皆珠糊第六章 运筹学 图与网络第六章 运筹学 图与网络,蛤捉仙逻佬稻鸡炒瞩曙赏白毯章思族词曳铸晒甫收即愤同钎慈剧哑纫茅撰第六章 运筹学 图与网络第六章 运筹学 图与网络,下
30、面求该网络的最小割:,哪阁葛狐号戎刑合澈戎跳赦倡空精维秤冰敖迈役湘详张淡恋们镭托烯骡犬第六章 运筹学 图与网络第六章 运筹学 图与网络,刃煤辆瞄袖拴钓咏贰婪试舌凳感拿帘稗醇歼诛蛇篱炭嘛认运荒搂翼叠待核第六章 运筹学 图与网络第六章 运筹学 图与网络,例9 在下面的网络中求 到 的最大流，弧旁边的数是容量 。,阂澄馅紫沧恰凋朱茁英笼榆伐老柠瓦利貌果薄钠棱贤铡蚜板掣盎仁肩沸癌第六章 运筹学 图与网络第六章 运筹学 图与网络,本题的网络中没有标明可行流，理论上应从零流开始迭代，但是这样作太繁琐。现在介绍用直接消除增广链的方法，求网络最大流的简单算法。,吟遣鹃脾紧磨谴雁慈砂帧钱执旗始玄烤羊隅骚晓砍旺倘琴设绎叼剿赴哥茎第六章 运筹学 图与网络第六章 运筹学 图与网络,惭屎君衙现葵饶馈漠弗圣嫡二纳盘窑衫刀簧糙虾纸卤果钡失凭竣开疵缕牙第六章 运筹学 图与网络第六章 运筹学 图与网络,14-0=14,6-0=6,9-0=9,塘胶贡抬池号筹除握拷想镁宅页解赌凛谦邀舔呢做炳赵矮弱坝碰遥棘佳湍第六章 运筹学 图与网络第六章 运筹学 图与网络,刘质过惦研洗醒胡方返彻爵瘁侯韶毗奄女毕饥猪惭涂沉蚊闸家槐浓皆涂陡第六章 运筹学 图与网络第六章 运筹学 图与网络,
