1、1弹性机构动力学分析方法(运动弹性机械动力学)2第一章 概论1.1 弹性机构动力学的产生与发展亦称：运动弹性机构动力学/ 机械弹性动力学1.1.1 机械动力学分析的两类问题1） 逆动力学 已知机构运动状态和阻力，求解主动力（输入扭矩）和各运动副反力及变化规律。2） 正动力学 给定输入扭矩和工作阻力变化规律，求运动。1.1.2 机械动力学的不同分析方法 不同水平的四种方法1，41） 静力分析(Static Analysis) 忽略惯性力，用静力学方法分析力和运动副中的反作用力，适用于低速机械。2） 动态静力分析(Kineto-static Analysis) 达朗贝尔原理方法又称动静法。先进行运
2、动分析，求出惯性力，再加惯性力计入静力平衡方程，求反作用力。运动分析时，假定理想化的“驱动构件等速回转”或按某一理想运动规律运动。3） 动力分析(Dynamic Analysis) 不用理想化的 “驱动构件等速回转”假定，求解外力作用下机械的真实运动，也称为机械系统动力学。4） 弹性动力学 (Elasto-dynamic Analysis) 抛弃以上将构件视为刚性体的假定，计入构件弹性动力学分析方法。运动和阻力 主动力和运动副反力运动主动力和工作阻力3 动力学分析方法的发展趋势不考虑惯性（静力学分析） 考虑惯性 （动力学分析）不考虑变形（刚体动力学分析） 考虑变形（柔性/弹性动力学分析，KES
3、， KED，Multibody Dynsmic Analysis）简化的动力学分析方法（线性假设，简化模型，KED） 更精确的动力学分析方法（考虑更多非线性项，更准确的模型，Multibody Dynsmic Analysis）1.1.3 运动弹性机构动力学的发展背景 高速化 惯性力变大 精密化 要求误差小、变形小 轻量化 弹性变形变大 大型化（大功率） 1.1.4 运动弹性机构动力学的发展历史简介 1）高速转轴的振动转子动力学。2）凸轮机构弹性动力学。从动件等加速度运动规律并非很好的运动规律，它使从动件发生剧烈振动，在高速下动力响应很差。高速凸轮动力学：提出新型凸轮曲线，计入构件弹性。3）
4、连杆机构弹性动力学。70 年代后发展起来的高速弹性连杆分析比轴系和凸轮机构更复杂，必须用有限元方法。在机构学领域，开创运动弹性动力学(KED,Kineto-Elastodynamic)。在航空领域兴起多柔体系统动力学(Flexible multi-body dynamic)。这些不同机构的动力学研究先后地步入了计及构件弹性影响的阶段。在机械动力学领域，它们被归纳为机械弹性动力学，以区别于传统的刚体动力学。柔性体刚体4机械弹性动力学和机械振动理论有着密不可分的关系。轴和轴系的振动研究历来被认为是机械振动理论的一个实际应用。凸轮机构的动力学可认为是机构学和机械振动理论相结合的产物。连杆机构一般不采
5、用集中参数模型，而建立有限元模型。连杆机构的弹性动力学可以认为是机构学、动力学(包括机械振动理论) 和弹性力学(具体地说：有限单元法)相结合的产物。机械振动理论是研究机械弹性动力学的重要基础。1.1.5 运动弹性机构动力学分析需解决的三大问题1). 动力学建模 , 把机械构件和机械系统简化为可供研究的模型是机械弹性动力学的首要任务.2) 系统方程的求解. 用机械振动的理论进行动力响应分析3) 参数影响的分析. 了解系统的哪些参数对动力响应有何影响，程度如何。1.2 连杆机构弹性动力学简介1.2.1 连杆机构弹性动力学的产生和发展连杆机构弹性动力学是机械弹性动力学重要组成部分， “机械弹性动力学
6、”这一术语就是随着高速连杆机构的研究首先出现的。5图 1-1构件的弹性对高速机械手动作的精度和稳定性有很大影响. 激振力频率与固有频率的接近增大振动的振幅，也增大发生谐振的危险。在弹性连杆机构中存在着复杂的谐振现象，其中最常见的一种是低阶谐振现象即机构在低于其第一阶固有频率的一系列转速下都可能发生谐振现象。对振动情况下构件中的动应力要格外注意。周期性变化的动应力会导致构件的疲劳破坏。振动还会带来噪声，恶化工作环境。机构的部分或全部构件被看作弹性体，从而在分析中计入构件弹性的影响的连杆机构即称为弹性连杆机构。美国学者 Erdman 和 Sandor 称之为 Kineto-Elastodynami
7、cs (KED)，即运动弹性动力学，也有称为“Elastodynamics ” 弹性动力学。中国的张策称为“机构弹性动力学” 。统一简称“KED” 。1.2.2 连杆机构弹性动力学方法概述1）基本假定(1)与采用刚性机构的运动分析方法得到的机构名义运动的位移相比，由构件变形引起的弹性位移很小；(2)这种弹性位移不会影响机构的名义运动。依据此假定，机构真实运动的位移可以看作是名义运动的位移和弹性位移的叠加。真实运动 = 名义运动 + 弹性位移名义运动可以用刚体机构运动分折方法求出，弹性位移则用弹性动力分析方法（振动理论）求出。（3）瞬时结构假定：在机构运动中的某一位置（瞬间）可将机构的形状和负荷
8、（包括动荷）瞬时冻结，使之被当作结构进行分析。2）KED 分析基本步骤 1. 先对机构进行刚体动力学分析，获得刚体机构的运动（ ） 。ru,62. 将弹性机构的各构件划分为不同单元。3. 建立单元运动方程。(1.1)eeemuCKuf4. 建立系统运动方程(1.2)rMP5. 求解系统运动方程得到系统运动 ，进而求得单元运动 ，再求,u,eu单元内力与应力 机构在不同位置上相当于不同的“瞬时结构” ，因而矩阵 M、C、K 都是机构位置的函数。机构的运动微分方程式(1.1)是一个变系数的微分方程组而结构分析得出的方程组是常系数的微分方程组，这是机构分析与结构分析的一个重要区别。以求解式(1.1)
9、 为基础的分析过程称为“运动弹性动力分忻”(KED 分析)。求解变系数微分方程组是很费时的，有的情况下，可以用一种简化的分析来代替。略去式(1.1) 左边的前两项得运动弹性静力分析方法:（1.3）rKuPM式（1.3）的分析过程称为“运动弹性静力分析” ， (KinetoE1astodynamic Anslys 氏简称 KES 分析) ：而在文献中更多地称为准静态分析。 运动弹性动力分析把机构做为一个运动着的弹性系统，研究把在外力和刚体惯性力激励下的振动并在此基础上求出机构的位移、速度、加速度、应力、应变等运动学、动力学参数。KED 求振动方程KES 求变形方程弹性动力分析是 KED 分析和
10、KES 分析的总称。3）由单元到系统的建模把系统按结构划分为子结构和单元，先建立单元和子结构的运动方程，再将单元和子结构的运动方程织合成系统的运动方程。7三种模型：(1) 连续弹性体精确力学模型。得出的是偏微分方程，难以求解。(2) 集中参数模型。将弹性体质量按某种简单原则聚缩于若干点，形成集中质量和集中转动惯量。模型较为粗糙，精度较差。(3) 有限元模型。对单元内位移分布建立了某种假设，对连续体模型进行简化。它承认质量和弹性是分布而不是集中，并以结点处的有限个自由度代替了连续弹性体的无限个自由度。这种模型一般比集中参数模型精确。有限元模型的另一个优点是运算模式统一。参考文献1 张策. 机械动
11、力学. 高等教育出版社. 2000:152 A. G. Erdman, G. N. Sandor. Kineto-Elastodynamic-A Review of the State-of-the Art and Trends . Mechanism and Machine Theory. 1972, 7(1):19333 A. G. Erdman, G. N. Sandor. A General Method for Kineto-Elastodynamic Analysis and Synthesis of Mechanisms. ASME Journal of Engineering
12、for Industry. 1972, 94 (4): 11931205.4 张策，陈树勋，王子良等. 弹性连杆机构的分析与设计. 机械工业出版社. 1997:891045 余跃庆，李哲：现代机械动力学， 北京工业大学出版社. 1998:1502296 R. E. Roberson and R. Schwertassek. Dynamics of multibody systems. Springer-Verlag. 1988:2592867 T. R. Kane, D. A. Levinson. Dynamics: Theory and applications. New York: McG
13、raw-Hill. 1985:1351808 E. J. Haug: Computer Aided Kinematic and Dynamics of Mechanical System. Allyn and Bacon. 1989:1119 A. A. Shabana. Dynamics of Multibody Systems. Cambridge University Press. 199810 H. Bremer , F. Pfeiffer: Elastische Mehrk、rpersysteme. B.G. Teubner Stuttgart. 1992:324111 黄文虎, 邵
14、成勋. 多柔体系统动力学. 科学出版社. 1997:1912 王树新, 刘又午, 周大宁. 多臂机器人系统的运动学分析. 天津大学学报. 1996, 29(6):83483913 员超，宗光华，刘又午. Huston 多体系统动力学方法的矩阵分析. 机械工程8学报.1999, 35(6):5914 刘又午. 多体动力学在机械工程领域的应用 . 中国机械工程. 2000，11(1-2):14414915 陆佑方. 柔性多体系统动力学. 高等教育出版社. 1996:5827416 洪嘉振. 计算多体系统动力学. 高等教育出版社. 1999:32936517 刘才山, 陈滨, 阎绍泽. 基于 Ham
15、ilton 原理的柔性多体系统动力学建模方法. 导弹与航天运载技术. 1999,(5):323618 刘才山, 陈滨, 王示. 考虑刚弹耦合作用的柔性多体连续系统动力学建模 . 力学与实践. 1999,21(6):2125 19 阎绍泽, 王树新, 张大钧等. 机械系统动力刚化机理分析. 中国机械工程. 1996, 7(l):323420 阎绍泽, 黄铁球, 吴德隆等. 空间飞行器柔性附件动力学建模方法研究. 导弹与航天运载技术. 1999,(2):313921 金国光，刘又午, 王树新等. 带有空间伸展机构的复杂航天器柔性多体动力学分析. 中国机械工程. 2000,11(6):6506532
16、2 王建明, 周学军, 刘才山等. 矩形板动力刚化有限元分析. 天津大学学报. 1998,31(5):56356823 蒋丽忠，洪嘉振. 柔性多体系统产生动力刚化原因的研究. 计算力学学报. 1999,16(4):40340924 阎绍泽，季林红，刘才山等. 柔性机械臂结构-控制耦合特征的实验研究. 机械科学与技术. 2000,19(5):79679925 阎绍泽，黄铁球, 吴德隆等. 柔性机械臂动力学模型与控制策略的综合评价. 导弹与航天运载技术. 1998,(3):111826 俞武勇，季林红, 阎绍泽等. 弹性构件的模态选择对机构动力分析的影响. 清华大学学报. 2002,42(2):1
17、7517827 王建明, 刘又午, 洪嘉振.大范围刚体运动对柔性梁模态形函数的影响分析. 中国机械工程. 2000,11(6):64064228 员超，宗光华，周正干等. 弹性梁式构件的运动稳定性分析. 机械工程学报. 2000, 36(8): 101429 休斯敦, 刘又午. 多体系统动力学（下）. 天津大学出版社. 1991:658030 Nianli Lu. Eine Methode zum Aufbau ebener, elasto-kinetischer Modelle fuer Lenkerkrane. Dissertation Technische Hochschule Darm
18、stadt. 1988910第二章 张量理论，弹性力学，有限元等基本知识2.1 张量理论初步张量矢量、矩阵概念的推广张量使繁琐的数学公式简洁、清晰，便于导致力学问题的推导和标准化、程序化，便于计算机的运算。矢量包括图示法和分量法。(,)xyzxykvvijv或 123T123,Tu以及ux()x2.1.1 张量表达方式标量一个分量 x矢量三个分量 123,Ti应力张量表为: 12133(,)xyxzijzxyz ij2.1.2 张量的阶数、维数、分量个数n 阶 r 维张量的分量个数 nr标量 n=0（幂次） 01矢量 n=1（幂次） 3n应力张量 n=2（幂次） 29r11应力梯度 n=3 2
19、7 个分量327nr弹性张量 n=4 81 个分量481n 阶张量 0 阶标量1 阶矢量2 阶应力张量2.1.3 张量的记法一阶 (1,3)iAi二阶 2ijj四阶 (,)ijklDl2.1.4 张量的矩阵表达1121323i ijA2.1.5 张量的代数运算（ 符号与约定）和号 与求和指标 1 12312121n Ti nnTaxxaaxx 爱因斯坦求和约定根据约定和号 可略去1 ni iTaxTax111 nTij nysy xaya 求和指标与自由指标121x22xcos ,sin11112222xxcscsx1iijijT,/cos()ijijijTxj-求和指标 i-自由指标求和指标
20、在求和之后不再出现在等式左边，自由指标仍存在。 121212,nT TiiijijkkaxxxbcBD 121212, ,Tij asaxx 克罗尼科尔符号 ij10ijijimia121330(,13)1ij Iij列维西维塔密度 ijk当 i,j,k 偶排列1ijk=-1 当 i,j,k 奇排列 = 0 当 i,j,k 中有两个以上相同131ijk1ikj123321022 弹性力学知识初步2.2.1 变形场 1nTiiauNu其中 形函数， 节点位移(有限元法)iaNa矩阵形式： u2.2.2 应变 - 几何方程 任意点的位置变形前： 123Tx变形后： X也可写为： u 线元长度变形前
21、： 20dsx变形后： 2()()() ()TTdddXuuIxIxIx 线元长度变化的定义：1420dd()()d2dTTTTsXxuIxIx其中应变： 11()()()2TTTuuuIIxxx所以 20dijsd 格林应变张量（非线性）： 1()2ji kijjiijuxx,1,23ijk 柯西应变张量（线性）：1()2Tjiij ijajiuBux ,1,23ijkxzy1x23i1x23 方向应变场 iui,3i平面问题: 222311 11 11()()2x uuxxx 22232 22 ()()y u 31212 1212 112xy uuxxxx 152.2.3 应力 -物理方程
22、ijijkllD其中: 弹性模量： ijklD2/()ijklijkl变形能()ijklijklikjliljkG(,1,23)ijl各向同性时： 2 ,ijlijlijlD00 ,0,200. 2ijkl klGijDsymG (1) , , 22(1)(1)EEvEvGv式中：E 是弹性模量，v 是泊松比。二维时：02ijkl GD平面应变状态时： 和三维状态一样 ,平面应力状态时： ，1323021(1)EvEGv一维应力状态时： 1ijklD对称161 12 23 31 12 23 31 12 23 32000200.ij ijklGGDsymG 或表为： ijijijkG或显式表为：
23、 11123121222 3333()G 2.2.4 弹性力学中基本方程的表达形式 1) 应力向量：xyzx Txyz2) 应变向量： xyzx Txyz3) 位移场：（对应 x, y, z 方向） Tuvw4) 几何方程： （应变位移关系）, , xyzw+ ,+ ,+ xy yz zxuvvuwxyzx 5) 物理方程： （应力应变关系）D其中 D 称为弹性矩阵：17100202()12012() 12()v GEvvD symGsymv 式中： () , , 2(1)(1)212EEvEvGGvE 为扬氏模量，v 为泊桑比，G 为剪切弹性模量物理方程的另一 表达形式： C式中，C 为柔度
24、矩阵，C=D -12.2.5 举例 F1x1u2u设变形场为 , 1uabx由边界条件: 导致 1120, lu20/abul变形场： 2uxl应变场： 1121xl, 说明杆的应变为常数。21ul非线性时, 精确的格林应变张量： 22111()2uuxxll18核心问题：变形场1 2uu1x2x设变形场为: ，1120abx由边界条件: ， 则变形场为 112, xul 211uxl线性的柯西应变: 112200Ll非线性的格林应变: 111Nuull23 有限元基本知识2.3.1 插值理论 f精确插值用插值函数 代替（真实）精确函数 ， f f变形场：希望通过插值函数 来代替精确函数 ff
25、192.3.2 拉格朗日插值在特定的考查点 P（如边界结点 ）处 , 插值函数 与真实函数 的值ff相同:2-11,2Pf n插值函数构成: 2-21,PfNf或 Tp式中， 为形函数， 为结点位移。PNPf形函数构成：2-3 1,2prNazPn或 T范德蒙阵， 基向量prarz2-423112221231311 rrxzxxx 基向量 所取的位数与考查点边界条件数相等。rz插值函数 可表为：f ,prfazf将考查点 q 的坐标代入上式的基向量 ，得插值函数 在 q 点的函数值：rf,qpqrfzf因为： ， 即 qpqffra所以： 1praz（ ）1,Iaz故得形函数：2-51pprN
26、20从而得插值函数构成: 2-611,2prPPfzfn若将考查点 q 的坐标代入形函数 式，不难看出：N2-71 ,Pqprqpz 2.3.3 拉格朗日插值举例1)两结点杆单向受力杆单元拉格朗日插值：基向量为： 1rzx由结点坐标： ，得： 0 ipXl10rprzll得形函数：11/prxlNz位移场：应变、应力场： 111 2211TpxuullxlE2) 六结点平面三角单元拉格朗日插值：21基向量: 点坐标: 1212rxzx01.50.ipx11 3240.5000. 1 .244010.500rp prz z形函数: 221112112234prxxNzx 3) 多结点杆单元拉格朗
27、日插值：22拉格朗日插值形函数通式 ijjijx)()x(Ni232.3.4 高阶插值（ Hermite）插值在特征点 p 处有： 某特定算子， -节点坐ppDffD p)(fD标插值函数： 2-8,PprPpfNfazf形函数构成：2-9pprz代入考查点 q 有： , ,()()prqprqqPPDfazDfazDf因为： ， 即 pqqffprqp令： ， 则有 ()rprz1praz同样有： 1()qqrqprDNz2.3.5 高阶插值（ Hermite）插值举例- 平面弯曲梁单元的变形场梁单元边界位移 和基向量 为：purz， 1101234(/)/xpxlffu123rxz24对应
28、四个算子为：1 11 102034, (/), , (/)x xxl xlDffDff将以上算子用于基向量 得：rz2301rprplzl求逆后得形函数： 32311231prplxlNzll位移场为： 1TPppuu平面梁位移场 2：对应算子为： 1111() (/) (/) pxxxxDffffffdx将算子用于基向量 得：rz25234 1021 32145rrprpxzzDZ求逆后得形函数： 1 23472301154665031pr xNz 则位移场可得： 1TPppuNu2.3.6 有限单元方程的建立1）应变已知位移场：111 2-10iiauN则得应变：1122 1 2ji ki
29、jji ijjai kakbkabji ijLNLNijijijaijuuxxuNxB2-11式中： 12jaLiijajiBxNLkabijakbiju26为线性应变， 为非线性应变。LijNLij在一般线性有限元分析中，我们只取线性应变部分，即：2-1211()22j jaLNL Li iijijijij ijaaji jiuNuBxx2-13LNLijaijijaijBB在以下的分析中，我们不再使用非线性的格林应变张量，而用线性的柯应变张量：2-1411()22j jaLi iij ijaaji jiuNuBuxx矩阵形式的位移场、应变、应力表为：uNBD2）由虚位移原理建立单元运动方程
30、： 虚功原理：内力虚功等于外力虚功2-15w TaiiivafuffdP集 中 力 虚 功外 力 虚 功 分 布 力 虚 功 内力虚功 ijijvd 单元静力平衡方程：27为简化计算，先忽略分布力，由式（2-15）得： 2-16wijaij ij avvij ijafududv2-17ijakl ijaklbv vijkl bijklabfDBDKu矩阵形式的单元静力平衡方程表为： 2-18Fu式中：2-19TvKBDdv2-2012ijjaiijaijNux 单元动力平衡方程：单位质量惯性力(体积分布力)为： 2-212ii iaufNt单元中的惯性力虚功为：2-22,i iaibiavvv
31、i iaiaTiibb bvabiwfudfNudNudvM 式中：282-23TabiaibvviMNdNdv同理，假定阻尼正比于点的速度，单元中的单位阻尼力则为： 2-24ii iauft单元中的阻尼力虚功：2-25, , i iavvi iaibbaibawfudfNudC式中2-26TabiaibvviCddv将式（2-22） （2-25 ）代入（2-15 ）得单元动力平衡方程：2-27abababKuCMuf或表为矩阵形式：2-28uuF式中 TvKBDdTvMNTvCd式中： 分别称为刚度阵、阻尼阵、质量阵，它们皆与形函,K数有关。293) 运用拉氏方程建立单元运动方程2-290aadLRtuu(或 )aaTQdt其中拉氏函数： LT动能： 12iviud位能： TTivvsDfupd耗散函数： 12iRud已知： ， ， 可得：uNBBu， ， 12TM12TuKQ12TRCTvKDdTvNTvCdTTvsQNfP由拉氏方程得单元运动方程： MuCKF304) 举例 杆单元1 2刚度阵 K ：由前已得到位移场： 1 12TPpp xuNuul1212TLijij Bull0/ 11lTv AEKBDdvEdxll杆单元质量阵 M：022320()/61/36lTvl xlxNdvAdlxlAlll 同理，可推出杆单元阻尼阵 C： 1/36Al
