1、1探索三角形相似的条件（2）教学案例及反思教材分析：探索三角形相似的条件（2）选自义务教育课程标准实验教科书数学（苏科版）八年级下册第十章图形的相似。图形的相似这一章是初中数学的重要内容之一。它是研究全等 图形的继续和深化.由全等进入相似，即由保距变换进 入保角变换，使 认识扩大到了一个新的 领域，具体表现在：线段关系从相等发展到成比例。同 时，后 续知识三角函数的概念、解直角三角形、圆的一些性质也是以相似形为基础的。所以 图形的相似在整个教材中起着承上启下的作用。相似三角形在数学和实际生活中有着广泛的应用，根据定义判定两个三角形相似又过于麻烦，因此寻找三角形相似的条件有必要，也 值得去探索，
2、是本章的重要内容。三角形相似的条件课本共分为三课时，分 别在每一课时介绍一种三角形相似的条件。 探索三角形相似的条件（2）是第二课时，它是在相似条件一的基 础上 产生，而它的研究方法又 为相似条件三的研究做出了示范，起着承上启下的作用.因此探索三角形相似的条件（ 2）在本章中更是重中之重。教学目标：1、通过实践和探索，得出两个三角形具 备有两边对应成比例，并且夹角相等的条件，即可判断这两个三角形相似的方法。2、会选择适当的条件判断两个三角形相似。3、经历“猜想 验证推广说理应用”的数学活动过程，发展合情推理和有条理的表达能力。教学重点：经历探索三角形相似的条件的过程及其应用。教学难点：三角形相
3、似条件的说理（证明）和应用。设计理念：任何数学知识的发现都会经历：“猜想验证推广说理（证明）应用”这一过程，它是研究数学的基本思路。本节课先通过对特殊的相似三角形（相似比为 1 的三角形，即全等三角形）的边角边判定条件的研究，从而科学、大胆地提出猜想，接着用测量的办法来验证猜想，然后对我们的猜想做进一步的推广，为了确保猜想的正确性，再运用已有的知识加以论证、说明，最后对探索到的数学知识又加以应用。 充分地体现了课标的过 程教学，也完美地展示了数学研究的基本思路。教学实录：1、 情境创设，提出猜想2开始语：同学们，在上一节课 的探索中，我 们知道：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应
4、相等，那么 这两个三角形相似。那么三角形的相似还有没有其它条件呢？今天我们再次踏上探索之旅途。出示课题：10.4 探索三角形相似的条件（2）板书师：常言道“温故而知新” ，下面邀请一位同学回忆一下三角形全等条件边角边（SAS）的内容？生：如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应相等，并且夹角相等，那么 这两个三角形全等。教师板书：两边对应相等 夹角相等师：如图，在 和 中， .根据边角边（SAS）判定条件来判断ABCA和 全等，还需要添加什么条件？生：还需要添加条件： ，ABCA教师板书：（此板书在下面的教学过程中需要改变）在 和 中C因为 ， 所以 AB师：如果把条件： ， 改写成： 。
5、AC 1ABC那么 和 是否还全等？（在刚才的板书中改写）生：是的，因为条件 ， 和条件 是等价的，所以两个三角形仍然是全等的。师：回答的很好！那么这两个三角形除了是全等关系外， 还是什么关系？（学生思考）生：相似吧，因为全等三角形是相似比 为 1 的特殊的相似三角形。（教师把刚才板书中的 中的“ ”改成“”.）ABC改动后的板书：在 和 中3因为 A1BC所以 师：的确如此！也就是说：如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应成比例（比值为 1），并且夹角相等 .那么这两个三角形相似 .师：伟大的科学家牛顿曾说过：没有大胆的猜想，就没有 伟 大的发现和创造.那么对于三角形相似的条件，你 们
6、有什么大胆的猜想呢？（学生想说，但又不敢说。但在教师的鼓励下，有同学鼓起了勇气.）生：我的猜想是：如果把比值改成 2，两个三角形可能也是相似的 .教师在课件中出示猜想：在 和 中，如果 ， ，那么 和ABCABCAABC相似吗？2、 探索活动，揭示新知活动一 操作、观察 （验证猜想）师：在古希腊，人们经常用测 量的方法来研究图形.今天，我们不防也用测一测、量一量的方法来验证我们的猜想.师：下面就让我们用自己的双手共同验证我们的猜想吧！如图，在A 和 中， ABCA师生共同操作：以A 为内角，画ABC，使得 2A BC师：同学们用量角器量一量 和 ，你有什么 发现吗 ？生： 和 相等.B师：其他
7、同学是否也有这样的发现？众生：是的！师：你能判断 和 相似吗？AC众生 ：能.师：谁能说说你的判断理由？生：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.4师：通过验证，当比值为 2 的时候，两个三角形仍然相似.活动二：进一步猜想，推广 k 值 师：如果设比值为 k.通过刚才的研究：当 k=1 时，两三角形生：相似师：当 k=2 时，两三角形生：相似师：此时，你还有什么更大胆的猜想？（学生很积极）生：k 可以取一切实数.生：不对，k 可以取大于 0 的一切自然数 .生：k 可以取大于 0 的一切实数.生：和 k 无关，只要两边对应 成比例.师：同学们的猜想都很大胆
8、，都具有牛 顿的品质，但 对吗？生：我们可以用测量的办法加以验证啊？师：对！下面就请同学们分别验证 k=2.5、3、3.5、4 的时候是否还相似.（学生通过测量的办法分别验证着自己的猜想）师：你们有什么发现吗？众生：仍然相似.活动二 说理师：同学们刚才认真的操作、仔 细的观察加深了我们猜想的可信度。但举例有限，而 k 的取值却无限，那么我们 能否运用已有的知识加以说 明呢？教师在投影片上出示：如图，在 和 中，如果A=A， ，ABC A BC试说明： 师：下面就让我们沿着问题的路标，向成功 迈进 吧！教师出示问题 1：问题 1：如何在ABC 中构造出一个与ABC 相似的三角形？5（学生思考）生
9、：作 BC 边的平行线.（学生根据上一节的内容很容易想到）师：非常棒！在 AB 边上任找一点 ，过点 作 ，交 AC 于点 .BCBC根据上节课的知识，我们可以知道 与 ABC 相似.A师：像这样的三角形有多少个？生：无数个.教师出示问题 2：问题 2：点 在什么位置时，所构造的 可能与 全等？B BA（学生思考）生： 时.A教师出示下图：师：假如 和 全等，而 又和 相似.那么 就ABCABCABC和 相似.师： 和 全等已经有什么条件了？生： ， .师：还需要什么条件？生： 或 或师：我们不妨从边入手.教师出示问题 3：问题 3：如何说明 AC（学生思考、讨论）生： 因为 B所以 又因为
10、，ACAB6所以 AC师：刚才严谨的推理，再次说 明了猜想的正确性.师：请同学们用自己的语言总结出我们今天的发现.（学生积极发言，通过前面的研究，基本都可以能说对）教师总结：如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。教师板书：3、 应用结论，加深理解师：通过前面的探索，我 们又发现了一种判定两三角形相似的方法，下面我们就应用今日所学去解决更多的数学问题.（1）教师出示思考思考：如图，在ABC 和A B C 中，B= B .要使ABC A B C ，需要添加什么条件？生： B生： A生： C师：要说明两个三角形相似，若已知一对等角， 则可找另一 对等
11、角，或找夹已知等角的两边对应成比例。牛刀小试：课本 121 页 练习 第 1 题（2）教师出示讨论：讨论 1：在ABC 中，AB=8，AC=6.在 AB 边上有一定点 D，AD=4，在 AC 边上有一动点 E.试问：当 AE= 时，ABC 和ADE 相似.7（学生充分讨论后，让学生在课件中找出两个三角形可能相似时点 E 的大概位置，如上图两点 、 ）1E2第一种情况：当动点 E 在 处时： 需要条件ADBCADEC第一种情况：当动点 E 在 处时：2 需要条件 AB讨论 2：如图，在ABC 中，AB=4，AC=2.问题 1：在 AB 上取一点 D，当 AD= 时，ACDABC；问题 2：在 A
12、C 的延长线上取一点 E，当 CE= 时，AEBABC.问题 3：此时，BE 与 DC 有怎样的位置关系？为什么？（3）教师出示观察：观察：如图，将方格纸分成 6 个三角形.在、5 个三角形中，与三角形相似的三角形有哪些？为什么？84、 小结与思考（1） 学生总结：通过本节课的学习，你有什么收获？（2） 教师总结：在今天的这节课中，我 们通过“ 猜想验证推广说理应用”的过程，探索出三角形相似的条件。在 这过程中，我 们发扬着“敢想、敢做；务实、严谨”的数学精神。在这过程中，我们感受着数学从已知到未知的魅力。希望同学们在今后的学 习中，继续“探索数学世界、秉承数学精神、感受数学魅力”。5、 布置
13、作业用今天所学的探索方法去探索三角形相似的其它条件。联系方式：地址：江苏省盐城市第四中学 朱国华小灵通：05153105127电子信箱：关于探索三角形相似的条件（2） 的教学反思9经历知识过程 渗透研究方法有人说：“数学课堂就是传授数学知识” ，其实这种想法是很片面的。数学教学的目的不单单是传授枯燥的数学知识，更重要的是通过数学知识这一载体，培养学生的数学思维能力和渗透数学研究方法。数学思维能力和数学研究方法的形成，不能依靠教师告诉学生，它是潜移默化的，它只能够让学生在一次又一次的数学活动中感受它，应用它。这样有价值的数学活动越多，学生对它的理解就越深刻。这就需要教师能够提供给学生更多的数学活
14、动机会，探究数学知识的发生过程就是一个很好的机会。为此，经历数学知识的形成过程在这次课程改革中被提到一个尤为重要的地位。在这过程中，更能培养学生的数学思维能力和数学研究方法的渗透。下面，就结合我在我校对外公开中的探索三角形相似的条件（2） 一课，谈谈过程教学的得与失。本节课的主要内容是“如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这样的两个三角形相似。 ”应该说学生对该知识是能够比较容易掌握的，但为了能更好的培养学生的思维能力，养成良好的研究习惯，在本节课的教学中，我从数学研究的一般思路“猜想验证推广说理（证明）应用”进行了知识形成过程的教学，充分的展示出该知识的形成
15、过程。下面就从数学研究的一般思路一一说起。一、提出猜想在图形的全等这一章的学习中，我们知道：根据全等三角形边角边判定条件判定两个三角形全等，只需知道两边对应相等，并且夹角相等。综合这判定条件和相似三角形，可以从以下三个层次做进一步的思考第一个层次：两边对应相等可以做一个等价的改变两边对应成比例，且比值为 1。第二个层次：全等三角形是相似比为 1 的特殊的相似三角形，因此这两个三角形除了 是全等关系，还是相似关系。第三个层次：相似三角形对边的要求比全等三角形对边的要求要宽松。但对角的要求是同等的。在以上三个层次的研究基础上，提出科学、大胆的猜想：一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应成比例，并
16、且夹角相等，如果把比值条件放宽，比如把比值由 1 改为 2 的时候，那么两个三角形是否还相似呢？猜想并不是胡想乱想，它的提出需要学生对已有的知识和需探究的知识有很深刻的理解，很深的洞察力。光有知识是远远达不到要求的。上面猜想的提出就是一个很好的例子，如果不能理解出上面的三层含义，就不会有这样科学、合理的猜想。在这猜想提出的过程中，学生会更清楚全等和相似两者之间的关系（特殊与一般的关系） ，也会在无意间感受、运用着类比和从特殊到一般的数学研究方法。实际教学中，没有同学敢提出自己的猜想，但他们的眼神告诉我，他们有猜想，但就不敢说。在我的鼓励之下，最终有同学说出了自己的猜想，并且就是我所希望的猜想。
17、造成这样的原因可能是很平时的教学过于严肃以及后面有听课教师有关。二、测量验证猜想对吗？我们需要对它做出一个判断。测量法、特殊值法都是很好的验证方法。10对于代数中的字母问题、公式等，特殊值法就可以很好的发挥它的作用。比如：对吗？我们只需要找几个数字代入就可以知道它的正确性。很明显当22()aba=1,b=-1 时，等式不成立。图形问题则是测量法的舞台，在本节课的实际教学就是采用测量法来加以验证的。如图：在A 和 中， ABCA师生共同操作：以A 为内角，画ABC，使得 2A BC用量角器量出 和B学生通过自己的测量，深信不已的把脑中的问好拉成了感叹号。到此，学生已经成功的迈出了探索的第一步，也
18、是意义最重大的一步。在教学中，发现学生画图的速度很慢，甚至有的同学量出的角是不相等的，这就需要在平时加强对学生动手能力的培养。三、合理推广在数学知识不断的增长中，推广是一种很重要的数学研究方法。比值从 1 到 2 这一步的成功，一方面使学生加强了成功带来的自信，另一方面更可以打开学生的思维空间，比值 k 能不能是其它的数值呢？或许与 k 的取值无关？他们在无意间对比值 K 做着推广，这样的想法可谓是出色的，他们已经能够运用数学研究中的一种重要的研究方法推广。在数学知识的发展中，对数学知识的每一次推广都具有划时代的作用，比如：数域的推广： 自然数 正数 有理数 实数 复数坐标系的推广：数轴 平面
19、坐标系 空间坐标系或许对 K 值的推广没有上面两个例子那样复杂而又有意义，但本质上确实一样的，都是对已有知识的更深层次的思考和推广。在前面已有的经验基础上，学生可以自行验证自己的猜想。在课堂中，一次又一次的发出感叹，感受着数学的奥妙！甚至，有同学说相似和比值 K 没有关系的更大胆的想法。四、严谨说理和比值 k 无关，这是经过大量实验后的一个很大胆的想法。举例毕竟有限，但 k 的取值却是无限的，这就需要运用已有的、确信无疑的知识来说明想法的正确性。在教学中，这是一个难点，一方面在这里要运用到构造法，另一方面要运用到用比例线段证明11线段相等。为了突破这两个难点，在这里精心设置了三个问题：问题 1
20、：如何在ABC 中构造出一个与ABC 相似的三角形？问题 2：点 在什么位置时，所构造的 可能与 全等？B ABC问题 3：如何说明 AC问题 1 和问题 2 的设置是为了突破构造法。这两问题的设置有一定的台阶性，先想办法构造相似三角形，在此基础上，再找出可能全等的三角形。在台阶的引导下，学生基本能够构造出想要的三角形。问题 3 的设置是为了解决用比例线段证明线段相等。这个问题设置的有探究的价值，同时也存在一定的难度，学生很少有人能够想出方法。在教学中，该问题可以设置两问，如下：问题 a：从 ，你能得到什么比例式？（ 结论教师板书，便于学ABC生思考）问题 b： 和 有什么关系？为什么？这样做
21、既降低了难度，又有一定的思维空间，便于学生掌握运用比例线段说明线段相等的方法。五、正确应用学习数学的最终目的是应用，应用可以分两种：一种是解决数学内部的问题；另一种是解决生活实际问题。对照本节课，是数学内部的应用。传统教学对于解题能力的培养很有好处，在此我也吸收了一些很好的经验。同时，对本节课例题的选择又有很强的灵活性和时代性。比如动点在何处时三角形相似，再比如最后的“观察”中找相似三角形。学生在这里基本都能理解解题的方法，但通过个别同学的板书，可以发现学生解题的规范性太差。这需要在今后的教学中吸取传统教学的优势，加强解题规范性的训练。通过以上 5 个步骤，学生对经历了“如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这样的两个三角形相似”这一知识的形成过程，从而对该知识有了更为立体的认识。在这过程中，学生感受到了数学研究的一般方法。
