1、拿 破 仑 定 理在 ABC 中 ,向 三 边 分 别 向 外 侧 作 正 三 角 形 ， 然 后 把 这 三 个 正 三 角 形 的 中 心 连 结 起 来 所 构 成 的 一 定是 正 三 角 形 . 这 一 定 理 可 以 等 价 描 述 为 ： 若 以 任 意 三 角 形 的 各 边 为 底 边 向 形 外 作 底 角 为 30的 等 腰 三 角 形 ，则 它 们 的 顶 点 构 成 一 个 等 边 三 角 形 拿 破 仑 定 理 证 明 方 法1.在 许 莼 舫 的 三 圆 共 点 的 启 发 下 ， 用 四 点 共 圆 来 获 得 奇 妙 的 证 明 。 2.辅 助 线 ， 证 明
2、 此 题 。3.用 三 角 形 的 全 等 ， 三 角 形 的 相 似 推 导 出 来 该 定 理 。4.用 旋 转 的 方 法 也 证 明 了 该 定 理 。 在 ABC 的 各 边 上 向 外 各 作 等 边 ABD， 等 边 ACF， 等 边 BCE。 如 何 证 明 ： CD=AE=BF？ 思 路 ： 利 用 旋 转 的 方 法 来 证 明 包 含 有 这 两 条 线 段 的 两 个 三 角 形 全 等 。 证 明 ： ABD 是 等 边 三 角 形 ； ACF 是 等 边 三 角 形 ； DAB= FAC=60； DAC= BAF； 在 DAC 和 BAF 中 ； DA=BA； DA
3、C= BAF； CA=FA； DAC BAF； （ SAS） CD=BF； ABD 和 BCE 是 等 边 三 角 形 ； DBA= EBC=60； DBC= ABE； 在 DBC 和 ABE 中 ； BD=BA； DBC= ABE； BC=BE； DBC ABE； （ SAS） CD=AE； CD=BF=AE； 利 用 四 点 共 圆 来 证 明 三 圆 共 点 。 这 是 证 明 拿 破 仑 定 理 的 基 础 。在 ABC 的 各 边 上 向 外 各 作 等 边 ABD， 等 边 ACF， 等 边 BCE。 如 何 证 明 ： 这 3 个 等 边 三 角 形 的 外 接 圆 共 点 ？
4、思 路 ： 利 用 四 点 共 圆 来 证 明 三 圆 共 点 。 这 是 证 明 拿 破 仑 定 理 的 基 础 。 证 明 ： 设 等 边 ABD 的 外 接 圆 和 等 边 ACF 的 外 接 圆 相 交 于 O； 连 AO、 CO、 BO。 ADB= AFC=60； A、 D、 B、 O 四 点 共 圆 ； A、 F、 C、 O 四 点 共 圆 ； AOB= AOC=120； BOC=120； BCE 是 等 边 三 角 形 BEC=60； B、 E、 C、 O 四 点 共 圆 ； 这 3 个 等 边 三 角 形 的 外 接 圆 共 点 。 结 论 ： 因 为 周 角 等 于 360，
5、 所 以 ， AOB= AOC=120时 ， BOC 就 等 于 120；用 四 点 共 圆 的 性 质 定 理 和 判 定 定 理 来 证 明 三 圆 共 点 的 问 题 在 ABC 的 各 边 上 向 外 各 作 等 边 ABD， 等 边 ACF， 等 边 BCE。 求 证 ： 这 3 个 等 边 三 角 形 的 中 心 M、 N、 P 的 连 线 构 成 一 个 等 边 三 角 形 ？ 思 路 ： 利 用 已 有 的 三 个 圆 和 三 个 四 点 共 圆 来 证 明 。 证 明 ： 设 等 边 ABD 的 外 接 圆 N， 等 边 ACF 的 外 接 圆 M， 等 边 BCE 的 外
6、接 圆 P 相 交 于 O； 连 AO、 CO、 BO。 A、 D、 B、 O 四 点 共 圆 ； A、 F、 C、 O 四 点 共 圆 B、 E、 C、 O 四 点 共 圆 AFC= ADB= BEC=60； AOB= AOC= BOC=120； NP、 MP、 MN 是 连 心 线 ； BO、 CO、 AO 是 公 共 弦 ； BO NP 于 X； CO MP 于 Y； AO NM 于 Z。 X、 P、 Y、 O 四 点 共 圆 ； Y、 M、 Z、 O 四 点 共 圆 ； Z、 N、 X、 O 四 点 共 圆 ； N= M= P=60； 即 MNP 是 等 边 三 角 形 。 结 论 ：
7、 图 中 本 没 有 圆 ， 为 了 方 便 读 图 ， 我 特 地 画 出 了 三 个 等 边 三 角 形 的 外 接 圆 ： N、 M、 P， 而 且 还 有 三 个 四 点 共 圆 之 辅 助 圆 。 一 共 六 个 圆 。 这 是 多 么 奇 妙 的 构 思 啊 ！ 其 他 的 证 法 ： 在 ABC 的 各 边 上 向 外 各 作 等 边 ABD， 等 边 ACF， 等 边 BCE。 如 何 证 明 ： 这 三 个 等 边 三 角 形 的 中 心 的 连 线 构 成 一 个 等 边 三 角 形 ？ 思 路 1： 为 了 充 分 展 示 这 个 命 题 的 证 法 之 蹊 跷 ， 请
8、看 学 生 自 己 的 证 法 。 利 用 旋 转 的 三 角 形 全 等 来证 明 。 证 明 1： 将 NBP 绕 卧 点 旋 转 120至 GCP； 连 GM； 则 NP=PG， CGP= BNP； 设 ABC= 、 ACB= ； NBP=60+ ； GCP=60+ ； MCP=60+ ； GCM=360-（ 60+ ） -（ 60+ ） ； =240-（ + ） ； =240-（ 180- BAC） =60+ BAC； = NAM； 在 MAN 和 MCG 中 ； MC=MA； GCM= NAM； CG=NA； MAN MCG； （ SAS） MN=MG； CGM= ANM； CMG=
9、 AMN； 在 MNP 和 MGP 中 ； MN=MG； PM=PM； PN=PG； MNP MGP； （ SSS） MN=MG； PNM= PGM； PMN= PMG； BNA=120 MNP= MGP= CGP+ CGM= BNP+ ANM=60； AMC=120； CMG= AMN； NMG=120； PMN= PMG=60； N= M= P=60； 即 MNP 是 等 边 三 角 形 。 结 论 1： 该 证 法 ： 第 一 步 ： 构 造 旋 转 的 两 个 三 角 形 全 等 MAN MCG； 第 二 步 ： 证 明 翻 折 的 两个 三 角 形 全 等 MNP MGP； 第 三
10、步 ： 由 BNA=120推 导 出 MNP=60； 第 四 步 ： 由 AMC=120推 导 出 PMN= PMG=60。 这 后 两 步 更 艰 难 啊 ！思 路 2： 为 了 更 充 分 展 示 这 个 命 题 的 证 法 之 蹊 跷 ， 请 看 我 自 己 的 证 法 。 利 用 旋 转 的 三 角 形 相 似 来证 明 。 证 明 2： 如 图 8-28 乙 所 示 ： 连 NA、 NB； MA、 MC； PB、 PC。 再 连 CD、 BF、 AE。 BAF=60+ BAC； DAC=60+ BAC； BAF= DAC； 在 BAF 和 DAC 中 ； DA=BA； BAF= DA
11、C； CA=FA； BAF DAC； （ SAS） DC=BF 同 理 ： DC=AE； DC=BF=AE； NAM=60+ BAC； DAC=60+ BAC； NAM= DAC； AD=2ANcos30=AN AC=2AMcos30=AM = 在 NAM 和 DAC 中 ； = ； NAM= DAC； NAM DAC； （ SAS） =； 同 理 ： =、 =。 NM=MP=PN； 即 MNP 是 等 边 三 角 形 。 结 论 2： 该 证 法 ： 第 一 步 ： 证 明 旋 转 的 三 个 三 角 形 全 等 DAC BAF EAB； 得 到 ：DC=BF=AE。 这 是 一 般 的 学
12、 生 都 能 做 到 的 。 第 二 步 ： 证 明 旋 转 的 三 对 三 角 形 相 似 NAM DAC； MCP FCB； PBN EBA！ 这 也 是 一 般 的 学 生 都 能 做 到 的 ， 但 是 组 合 起 来 就 不 是 一 般 学 生 所 能 想到 的 。 须 知 ： 第 一 ： 用 SAS 证 相 似 就 不 是 一 道 简 单 的 相 似 题 了 。 第 二 ： 任 何 复 杂 的 问 题 都 是 由 简 单的 问 题 复 合 而 成 的 。 证 明 法 三 ： 以 作 出 的 三 个 等 边 三 角 形 的 中 点 （ 外 心 ） 构 造 三 个 外 接 圆 X， Y
13、， Z 交 于 根 心 O（ 根 心 定 理 ） 连 接 AO、 BO、 CO 为 根 轴 XY、 YZ、 XZ 为 等 边 三 角 形 外 接 圆 的 连 心 线 平 面 上 任 意 两 圆 的 根 轴 垂 直 于 它 们 的 连 心 线 AO YZ， BO XZ， CO XY 且 有 四 边 形 BOCE、 AOCD、 FBOA 为 圆 内 接 四 边 形 BOC、 AOC、 AOB 为 120 （ 圆 内 接 四 边 形 对 角 互 补 ， 角 BEC、 CDA、 BFA 为 60 度 ） X=360-120-90-90=60 同 理 可 得 Y=60 Z=60。 拿 破 仑 定 理 第
14、 三 证 明 图拿 破 仑 定 理 的 两 种 推 广定 理 1以 ABC 的 三 边 为 底 边 各 向 形 外 作 等 腰 三 角 形 BCD， CAE 和 ABF， 这 三 个 等 腰 三 角 形 的 底 角 各 为 ， 和 ， 且 + + =90， 则 FDE=90- ， DEF=90- ， EFD=90- 证 明为 方 便 计 ， 把 ABC 的 三 内 角 简 记 为 A、 B、 C 因 DC=DB， 则 可 将 DCE 绕 D 点 旋 转 BDC 至 DBG 位 置 ， 连 FG FBG=360- DBF- DBG =360- ( + + ) - ( +C+ ) =180-B-C
15、+180-2( + + )+ + =A+ + = FAE 又 BG=CE=AE， FB=FA， FBG FAE， FG=FE 从 而 DGF DEF， FDG= FDE， 同 理 DEF=90- ， EFD=90- 定 理 2在 ABC 的 外 侧 作 三 角 形 BCP、 CAQ 和 ABR， 使 PBC= QAC= ， PCB= QCA= ， RAB= RBA= ， 且 + + =90， 则 RQ=RP， 且 QRP=2 证 明RB 绕 R 逆 时 针 旋 转 2 至 RG， 连 BG、 AG、 QG GBA= GBR- =90- - = 又 RA=RB=RG， 即 R 为 ABG 的 外
16、 心 ， ABG ACQ BCP， 又 BAC= GAQ， 又 RGQ= AGQ+ AGR = ABC+ + = RBP， RGQ RBP RQ=RP 又 因 GRQ= BRP， QRP= GRB=2 计 算 法 证 明 :设 新 三 个 三 角 形 的 中 心 分 别 是 O1 O2 O3， 设 出 角 度 及 边 长 ， 表 达 出 O1O2 及 O1O3 的 长 .经 计 算 均 等 于 （ a2+b2+c2） /6+(abc/2* 3*R) 其 中 分 别 为 三 边 长 ， R 为 三 角 形 ABC 外 接 圆 半 径 有 兴 趣 的 朋 友 可 以 试 试 （ 尤 其 是 高 中 朋 友 ， 可 作 为 三 角 部 分 的 练 习 题 ） 还 可 以 用 余 弦 定 理 来 证 明 ， 思 路 是 用 三 角 形 三 边 长 a,b,c 和 （ 余 弦 定 理 ） 来 表 示 等 边 三 角 形 三边 边 长 ， 辅 助 线 很 简 单 。
