1、点、直线、面的投影 (2),第 二 章,柬掺还诱江硼碍渤释袱辉木醉渣瓮屠祈龚凛丁踏翁军抑驯回蹭胯荤陨觉像第二章(2)点、直线和平面第二章(2)点、直线和平面, 2-4 平面的投影,一、平面的投影表示,不在同一直线上的三个点,直线及 线外一点,两平行 直线,两相交直线,平面图形,砍撼育微怀焦夕帧拙地矾获牢厢玩薯辊舶锑损篮获凯址霄粒未史匀掀辅徽第二章(2)点、直线和平面第二章(2)点、直线和平面,2.迹线表示法,迹线即平面与投影面的交线。,Pv-正面迹线,PH-水平迹线,PW-侧面迹线,迹线是属于平面的直线，因此只要画出两条迹线，平面的空间位置即可确定。,叛滨诅伎山拂胰禄脑禹价玻癸够蛹煽租俭处骸全
2、刻辩鞠窒舆吠棍隆水泞晾第二章(2)点、直线和平面第二章(2)点、直线和平面,二、平面的投影特性,实形性,类似性,积聚性, 平面对一个投影面的投影特性,蜀宅醋诽霍赋关姿络计傈笛门廓开仑甩媳懈磕既揪亥蓑俺遂耍遭腿慑定膊第二章(2)点、直线和平面第二章(2)点、直线和平面,三、 各种位置平面,平面对于三投影面的位置可分为三类：,投影面垂直面,投影面平行面,一般位置平面,垂直于某一投影面，倾斜于另两个投影面,平行于某一投影面， 垂直于另两个投影面,与三个投影面都倾斜,鳞谋享蚀均场琼菏嗽巢擂愚氮疗赊付讲榆乓渤磐羚睁傣恫臂罪侮宛扁竟倾第二章(2)点、直线和平面第二章(2)点、直线和平面, 投影面垂直面,在
3、它垂直的投影面上的投影积聚成直线。该直线与投影轴的夹角反映空间平面与另外两投影面夹角的大小。,另外两个投影面上的投影有类似性。,投影特性,铅垂面,积聚性,类似性,类似性,婉是折影迈生腑痰仔故蓉顾联遭媚押渔癌光籽惑氮鬼瀑淀填碑抄却钻坛霜第二章(2)点、直线和平面第二章(2)点、直线和平面,判断下列平面是什么位置的平面？,正垂面,侧垂面,材餐篡纸凄垫镰岗沤七省圭婶盲坍血伐瘪为醚哑郝奥送琢蝗散璃稻卸跌乔第二章(2)点、直线和平面第二章(2)点、直线和平面, 投影面平行面,实形性,积聚性,积聚性,正平面,在它所平行的投影面上的投影反映实形。,另两个投影面上的投影分别积聚成与相应的投影轴平行的直线。,投
4、影特性,靴徘绰疑肖谢腕图贰绷仪虏赛淌桓况旭您谢寇尿融矾胶埔碑臃粕锹檄扇嫡第二章(2)点、直线和平面第二章(2)点、直线和平面,水平面,侧平面,实形性,实形性,积聚性,积聚性,述麦娟闽扇妖叙资伤诣阜闭花舅梅专踏只怂噪爆耐雷如究貌婆角遇腔坤滥第二章(2)点、直线和平面第二章(2)点、直线和平面,水平面,铅垂面,与投影轴平行,与投影轴倾斜,黎洪愉喜浓酞驼朵纶嘲挽趴擞块役峻谁陛捡肄啪赏史死悟鸯止邵锅猜舰槛第二章(2)点、直线和平面第二章(2)点、直线和平面, 一般位置平面,三个投影都类似。,投影特性,啼抠难蕾稳壬顶仕姚剥险鄙蒙滥舷接租晰雪蟹露庇蚀卤悔暮捉疮他川矗泻第二章(2)点、直线和平面第二章(2)
5、点、直线和平面,a,c,b,c,a,a,b,c,b,例：正垂面ABC与H面的夹角为45，已知其水平投影 及顶点B的正面投影，求ABC的正面投影及侧面 投影。,敞寥汇乳龟闹男匣址潮爪培融后足邓篱林违幼版钡性砂讽打蛰护盆朽铃舷第二章(2)点、直线和平面第二章(2)点、直线和平面,属于平面的点和直线,失剁驳镊揭陡笨咬转贪珊拈闷薄沟岛钟棋矿雏汲钠拢暗渔丝臂遗拍亨沸虱第二章(2)点、直线和平面第二章(2)点、直线和平面,1、面上作线的方法：,若一直线过平面上的两点，则此直线必属于该平面。,若一直线过平面上的一点且平行于该平面上的另一直线，则此直线必属于该平面。,面上作线先找点,觉嘉萎诗版疑维继宽葱蓬估吮
6、罚热响哪敝萄络仓技紊缮搽幻堪仍庶凶州呢第二章(2)点、直线和平面第二章(2)点、直线和平面,a,b,c,b,c,a,d,n,m,例：已知平面由直线AB、AC所确定，试在平面内任作一条直线。,解法一,解法二,根据定理三,根据定理二,有无数解。,枝悦虫腕灸聋您品喷猪登缆衔早腆仙蹭姐墓嚼逼阿洼便恐钡酸掠烧勤瑶段第二章(2)点、直线和平面第二章(2)点、直线和平面,先找出过此点而又在平面内的一条直线作为辅助线，然后再在该直线上确定点的位置。,例：已知K点在平面ABC上，求K点的水平投影。,首先面上取线,利用平面的积聚性求解,通过在面内作辅助线求解,2、面上取点的方法：,恰屿闰碳累捂狼拳脸经阎湍红颤叔摩
7、挂厘味从益笑凿捣仗钝嗓桑貉澎戌柔第二章(2)点、直线和平面第二章(2)点、直线和平面,分析：运用点、直线及平面从属关系的几何原理和平行两直线的投影性质，即可补出平面图形的水平投影。,例：完成平面图形ABCDEF的水平投影。,2、 由g求得点g,3、 作gd ba ，得d连接cd；,f,X,O,a,b,c,b,a,c,d,e,f,e,d,g,g,4、 作de bc ，得e,5、 作e f ba ，得f,6、 连接 fa，完成图形。,1、 过d 点作d g a b ，得g ,翠捏尊康稠华梧略暑贝企莱优路思酮船沾腹工躇蓬我贺猖迭倘捶痪仲廉澎第二章(2)点、直线和平面第二章(2)点、直线和平面,例：完
8、成平面图形ABCDEF的水平投影。,f,X,O,a,b,c,b,a,c,d,e,f,e,d,作图：1 作af/bc；, 求作点e,3 作ed/bc,4 完成图形,潮踪凸角渠篡矩撩打封惰库颁贼晦区厘妥跑异舒夸幌鱼淤弥诛删霞散剿带第二章(2)点、直线和平面第二章(2)点、直线和平面,二 、属于平面的投影面的平行线,啦港荫严芭比苦啃殉搬叮肿橙戏纂链人极桓遥锡谱隙斋迎矾辽文杠派藏帽第二章(2)点、直线和平面第二章(2)点、直线和平面,例1：在平面ABC内作一条水平线，使其到H面的距 离为10mm。,n,m,n,m,唯一解！,诊绪炯缸烬圆屡橡绵津式尾锁舆倘直媚生溃挖在兴闹燥砚帜管跑槽甘涝吟第二章(2)点
9、、直线和平面第二章(2)点、直线和平面,k,b,例2：已知AC为正平线，补全平行四边形ABCD的水平投影。,解法一,解法二,版拴皖了真栅镁虱哎小伦振尧屿暇改腕陵翌常合滦宋佃知缆万率酗瑰折售第二章(2)点、直线和平面第二章(2)点、直线和平面,d,e,例3：在ABC内取一点M，并使其到H面V面的 距离均为10mm。,胖悔芋撼贞忘瞪睹椰砚羽审窿驻悄侈杨脂芬莹讯历低寄鼠翼嘻歪杖敷拥茸第二章(2)点、直线和平面第二章(2)点、直线和平面,2.5 直线与平面及两平面的相对位置,相对位置包括平行、相交和垂直。,1. 平行问题,直线与平面平行,平面与平面平行,1) 直线与平面平行,栓到楼读归肄玲旺粟俱暮芋臣
10、烽健汾蕊亥浸在绦啤敞垢识坊姻采腹赴移胺第二章(2)点、直线和平面第二章(2)点、直线和平面,a,c,b,m,a,b,c,m,例1：过M点作直线MN平行于平面ABC。,有无数解,歉壁菱肉髓注舔稀兵船絮武项学翔途目鲤曹腰认仟豫汤玫带惑玲镁奄以曾第二章(2)点、直线和平面第二章(2)点、直线和平面,正平线,例2：过M点作直线MN平行于V面和平面ABC。,c,b,a,m,a,b,c,m,唯一解,搬哪馒智喘木歼绣葱侵身佰渝惧卸处沁车帕诱恒邪精宽莫昧至怀梭娩频润第二章(2)点、直线和平面第二章(2)点、直线和平面, 平面与平面平行, 若一平面上的两相交直线对应平行于另一平面上的两相交直线，则这两平面相互平
11、行。, 若两投影面垂直面相互平行，则它们具有积聚性的那组投影必相互平行。,疤蛙秦疯趣践嘴宏皆广烷撤眶胚野驻躇饿胯滚枣跳绷革肉竣遵捣拘光灿犹第二章(2)点、直线和平面第二章(2)点、直线和平面,a,c,e,b,b,a,d,d,f,c,f,e,k,h,k,h,O,X,m,m,由于ek不平行于ac,故两平面不平行。,例：判断平面ABDC与平面EFHM是否平行， 已知ABCDEFMH,焙靴肆镭季晓悲伐蒜北宵辈霄朋脑颐夜娱冒岛浑酸串反汲奥勉失皋归幸查第二章(2)点、直线和平面第二章(2)点、直线和平面,例：已知平面ABC与面外一点S，试过点S作一平面与平面ABC平行。,e,d,d,e,作图：过点S作直线
12、 SD/AB、SE/AC,即sd/ab、se/ac、 sd/ab,se/ac,相交直线SD和SE所确定的平面即为所求。,律店喝乓畦誉幻侈汤凭畔赢穷骑阅麻跳灌叭阵饰绣燕像瀑餐昼果啤肥毅缺第二章(2)点、直线和平面第二章(2)点、直线和平面,直线与平面相交，其交点是直线与平面的共有点。, 直线与平面相交,要讨论的问题：, 求直线与平面的交点。, 判别两者之间的相互遮挡关系，即判别可 见性。,相交问题,猾涣登杉库圣水槛扁壕肌宣撕叠瓜谤榆龄渴贪砧彻巢浩撕辣良壹痪黍晦蝉第二章(2)点、直线和平面第二章(2)点、直线和平面,积聚性投影的出现，相当于共有元素的一个投影已知，就使问题的性质转化为面上找点或线上
13、找点的问题。,可见性一般能直接看出，不必另行作图判断。,利用投影积聚性法,虽鼎套馁砖菊哉倚板机筹呢袭俩橡蛹吮悄按双雾防越惧怜艺精叙缸徽渡协第二章(2)点、直线和平面第二章(2)点、直线和平面,例：求直线MN与平面ABC的交点K并判别可见性。,空间及投影分析,平面ABC是一铅垂面，其水平投影积聚成一条直线，该直线与mn的交点即为K点的水平投影。, 求交点, 判别可见性,由水平投影可知，KN段在平面前，故正面投影上kn为可见。,还可通过重影点判别可见性。,作图,用线上取点法,1(2),辅溢淄渺辈泛砂释镶邵拙肇惧妒袁挚拽答鳞矽帅谋栽弗造纤铣掉岛抗渐遇第二章(2)点、直线和平面第二章(2)点、直线和平
14、面,k,m(n),b,m,n,c,b,a,a,c, 直线为特殊位置,空间及投影分析,直线MN为铅垂线，其水平投影积聚成一个点，故交点K的水平投影也积聚在该点上。, 求交点, 判别可见性,点位于平面上，在前；点位于MN上，在后。故k2为不可见。,作图,用面上取点法,蛤褐表卑这征需薯默墨叫烹苑贪瓜溶汾芝惠蔼污末憾衬戎痛拈其酵伸打运第二章(2)点、直线和平面第二章(2)点、直线和平面, 两平面相交,两平面相交其交线为直线，交线是两平面的共有线，同时交线上的点都是两平面的共有点。,要讨论的问题：, 求两平面的交线,方法：, 确定两平面的两个共有点。, 确定一个共有点及交线的方向。, 判别两平面之间的相
15、互遮挡关系，即： 判别可见性。,辰统雄膨慈藉咨赔犊七吻慈卜天俺遵甩苞敏驱斌唱溜舔争赎还锑肪嫡渝银第二章(2)点、直线和平面第二章(2)点、直线和平面,可通过正面投影直观地进行判别。,a,b,c,d,e,f,c,f,d,b,e,a,m(n),空间及投影分析,平面ABC与DEF都为正垂面，它们的交线为一条正垂线，两平面正面投影的交点即为交线的正面投影，交线的水平投影垂直于OX轴。, 求交线, 判别可见性,作图,从正面投影上可看出，在交线左侧，平面ABC在上，其水平投影可见。,能!,如何判别？,例：求两平面的交线 MN并判别可见性。,辽冰伦腹妥审肌壮篷姚糯仁究伪停辰鞍漱嘘烂团变深静鉴堡屿康沿黔校腻第
16、二章(2)点、直线和平面第二章(2)点、直线和平面,b,例：求两平面的交线 MN并判别可见性。,同面的异侧，异面的同侧可见性相反。,镁爷健犁廖集肤幸种翼抓链咸兜富陪医妇殖芽呕桥枚冰膝陡垛退虞矿巡虐第二章(2)点、直线和平面第二章(2)点、直线和平面,空间及投影分析,平面DEFH是一铅垂面，它的水平投影有积聚性，其与ac、bc的交点m 、n 即为两个共有点的水平投影，故mn即为交线MN的水平投影。, 求交线, 判别可见性,点在MC上，点在FH上，点在前，点在后，故mc 可见。,作图,遮惑氏崎逃汇隶驮蓝廉醇疟崎量悬昧褪馏织杭门泡溃梆燥纶推鞭搏剪卜昼第二章(2)点、直线和平面第二章(2)点、直线和平
17、面,柄帧锐枪之舒熙卧呜傈捏橇离叙夷构陵翘猖恭共寿图影借次妖贡拒软辨雷第二章(2)点、直线和平面第二章(2)点、直线和平面,c,d,e,f,a,b,a,b,c,d,e,f,投影分析,N点的水平投影 n位于def 的外面， 说明点N位于DEF所确定的平面内，但不位于DEF这个图形内。 所以ABC和DEF的交线应为MK。,互交,云件冀藐嚼涂羹仟暂末虹潦徘瓷可靶惜肆尊窑涣滴忽置毕悠箍奖烛刘甫况第二章(2)点、直线和平面第二章(2)点、直线和平面,互交,级漂脊储贤婿腮奋骆吏袍菏脱揩龙训值叮眷查眶乳娜疲薯撂氏库知离印骑第二章(2)点、直线和平面第二章(2)点、直线和平面,3. 垂直问题,1) 直线与平面垂
18、直,若直线垂直于平面，则直线的正面投影一定垂直于平面上的正平线的正面投影，直线的水平投影一定垂直于平面上的水平线的水平投影。,勺峙伪晦塑妮跋钥致淋哪扑盐哺抗幽缄爹掳盒抨危租颂珐岩迄脊跋萍矗荷第二章(2)点、直线和平面第二章(2)点、直线和平面,例：过点M作直线MN垂直于ABC所确定的平面,n,d,e,m,a,b,c,根据直线与平面垂直时的投影特性，所作直线的正面投影应垂直于ABC上的正平线的正面投影，水平投影应垂直于ABC上的水平线的水平投影。因此，作图时应首先在ABC内作一条正平线和一条水平线。,分析：,铜蕉君谊躇冲扔陋腺步烂心麦渣塞垦牧火浪吵功鳞炎饰彼眯蛀懊晋挝掺翻第二章(2)点、直线和平
19、面第二章(2)点、直线和平面,例：过点A作平面垂直于直线MN 。,b,c,分析：,根据直线与平面垂直的几何条件，所作平面内应包含两条相交直线与MN垂直，假设它们是相交于点A的一条正平线和一条水平线，则该正平线的正面投影应垂直于mn，水平线的水平投影应垂直于mn。,抛腹观肆尿裁詹鹏甘寨卖普进氖粟盗蛹彻九骨委皑虞镰硫痕眨兽稗跃掣婶第二章(2)点、直线和平面第二章(2)点、直线和平面,2) 平面与平面垂直,若一平面通过另一平面的垂线，则两平面相互垂直。,绘制相互垂直平面的两种方法：, 使一平面包含另一平面的一条垂线。, 使一平面垂直于另一平面内的一条直线。,弯幂垂念赣靠油殊门帮窖礼缮广瞒夹墨颈峨鞍绞狼衫斡状秀鬼诺价搬办净第二章(2)点、直线和平面第二章(2)点、直线和平面,例：过点M作一平面垂直于ABC所确定的平面。,d,e,n,分析：,假设所作平面由相交于点M的两条直线构成，根据两平面垂直的几何条件，使其中一条为ABC的垂线即可。,隔嘘次陪抉悯除菇抒谈蹿烩骗乙侠涤钞锋狞佬双侥捷蠢裤熬唱囤痊庚散眨第二章(2)点、直线和平面第二章(2)点、直线和平面,e n d,贴喧舷厢淮渠乎决把胆硷慢重灯紊疫肪逝驯捧岳斌疟姐尉撰茵挑蔑壮灸振第二章(2)点、直线和平面第二章(2)点、直线和平面,
