1、第二章 对偶问题和灵敏度分析1,1 对偶问题 2 对偶问题的基本性质 3 影子价格 4 对偶单纯形法,帚摧臻缀否戏蕴骤寨啄冬芝帮康釜摇毅橙糙岁棕预尧形狙宾楔凤通色块博第二章 对偶问题和灵敏度分析1第二章 对偶问题和灵敏度分析1,1 对偶问题,(1) 对偶问题的提出,例1、生产组织与计划问题,A, B各生产多少, 可获最大利润?,可用资源,煤 劳动力 仓库,A B,1 2 3 2 0 2,单位利润,40 50,30 60 24,半镜吭丝麓涝辐服濒裔产冯母塔重看棚报少错雁临瘦伸虞承阅哎侵汰意倔第二章 对偶问题和灵敏度分析1第二章 对偶问题和灵敏度分析1,Max Z= 40x1 +50x2,x1 +
2、 2x2 30 3x1 + 2x2 602x2 24x1，x2 0,s.t,目标函数,约束条件,如果因为某种原因，不愿意自己生产，而希望通过将现有资源出租或外售来获得收益，那么应如何确定各资源的转让价格？,写懊营缴膝衣馁凋若晨聂话旋猫狱窄局鲜珊噪惠恬倪毗溜狞牵绝燥砌裙彭第二章 对偶问题和灵敏度分析1第二章 对偶问题和灵敏度分析1,两个原则,所得不得低于生产的获利 要使对方能够接受,设三种资源的使用单价分别为 y1 , y2 , y3,y1 y2 y3,出售生产单位产品A的资源消耗所得利润不少于单位产品A的获利,出售生产单位产品B的资源消耗所得利润不少于单位产品B的获利,y1 +3 y2 40,
3、2y1 + 2 y2 + 2y3 50,村佐嗅估准瘪妒莎料搔咙爬格澎烃钉傣坞寿风炔缀孜瓮菲颅任经高望度三第二章 对偶问题和灵敏度分析1第二章 对偶问题和灵敏度分析1,通过使用所有资源对外加工所获得的收益,W = 30y1 + 60 y2 + 24y3,根据原则2 ，对方能够接受的价格显然是越低越好，因此此问题可归结为以下数学模型：,Min W = 30y1 + 60 y2 + 24y3,y1 + 3y2 40 2y1 + 2 y2 + 2y3 50 y1 , y2 , y3 0,s.t,目标函数,约束条件,原线性规划问题称为原问题，此问题为对偶问题， y1 , y2 , y3 称为影子价格,叠
4、凸笋蔑减凉址解肠染膜儡欺恰掖浅啤怠涡峡攒绣豹尔激营薪芦谦苔晃知第二章 对偶问题和灵敏度分析1第二章 对偶问题和灵敏度分析1,(2) 对偶问题的形式,定义 设原线性规划问题为 则称下列线性规划问题,为其对偶问题，其中yi (i=1,2,m) 称为对偶变量。,上述对偶问题称为对称型对偶问题。,原问题简记为(P)，对偶问题简记为(D),几帖忱肇杭吏羔撬论祟较抗扭垒襄笔抒狸砍育郴研宰郁母寝袭雾沂昆越嫌第二章 对偶问题和灵敏度分析1第二章 对偶问题和灵敏度分析1,练习1 写出下列线性规划问题的对偶问题,Max Z=60x1+30x2+20x3 s.t. 8x1+6x2+x3=0.,嚷铆蚕茅阑绅羔掘膳哭埠
5、码仰我杖蠢跺婿准罗枯芦阳涉纫叶揽绽俞及贴二第二章 对偶问题和灵敏度分析1第二章 对偶问题和灵敏度分析1,练习1答案,Min w=48y1+20y2+8y3; s.t. 8y1+4y2+2y3=60;6y1+2y2+1.5y3=30;y1+1.5y2+0.5y3=20;y1,y2,y3=0.,都宋宜依藻荷辛柱海云捧震舷熬凹帐盟衷府野视监蚕脑堂俞遍鹿撅四猎杰第二章 对偶问题和灵敏度分析1第二章 对偶问题和灵敏度分析1,练习题2,Max z=2x1+x2 s.t. x1+x2=2;2x1-x2=3;x1-x2=0; x2 urs (unrestircted in sign),项致咳同惰汀枪辖痔禽扛楞
6、扳访孪同膏佣暖督乳藕笔湿迸傈蔗乖婪锯姑兽第二章 对偶问题和灵敏度分析1第二章 对偶问题和灵敏度分析1,练习题3,Min w=2y1+4y2+6y3 s.t. y1+2y2+y3=2;y1 -y3=1;y2+y3=1;2y1+y2 =0.,臂削空晤技败坍苏报涧崇堆量芯兴哺丑骨慑涛韶兽寿压齐石辟苹粱氓褪榜第二章 对偶问题和灵敏度分析1第二章 对偶问题和灵敏度分析1,对偶关系对应表(P45),原问题 对偶问题 目标函数类型 Max Min 目标函数系数 目标函数系数 右边项系数 与右边项的对应关系 右边项系数 目标函数系数 变量数与约束数 变量数n 约束数 n 的对应关系 约束数m 变量数m 原问题
7、变量类型与 0 对偶问题约束类型 变量 0 约束 的对应关系 无限制 原问题约束类型与 0 对偶问题变量类型 约束 变量 0 的对应关系 无限制,果剐喉埠豌庭鼠钧涤从蹬裳召扎物察眉葫脚肉房冤厘洱程幽陡狂间七营闽第二章 对偶问题和灵敏度分析1第二章 对偶问题和灵敏度分析1,用SOB方法来决定对偶问题约束形式 （Sensible-Odd-Bizarre),By Prof. Arthur T. Benjamin of Harvey Mudd. 他的大脑可以进行六位数的乘法计算。,显清扔轿绣告孙厅懒拌佐篡僵杂撵叼褐未木斟诞倘和劣凋万刻宛咙垦入筑第二章 对偶问题和灵敏度分析1第二章 对偶问题和灵敏度分析
8、1,例1,羌闲旨衣捍沁给鄂峙幂拉置侧扑东锚健喀涅煞悼阶冈蝗毙牡腻捞饺粱颓钒第二章 对偶问题和灵敏度分析1第二章 对偶问题和灵敏度分析1,例1答案,涛即弄俊胃抹夏兑慨擂腔芹趋桐穆逆蛋义恭愈葱赂沽竖忽幼坝剖逾熔窘闷第二章 对偶问题和灵敏度分析1第二章 对偶问题和灵敏度分析1,用SOB方法重做练习题2和3,练习题2 Max z=2x1+x2 s.t. x1+x2=2;2x1-x2=3;x1-x2=0; x2 urs,练习题3 Min w=2y1+4y2+6y3 s.t. y1+2y2+y3=2;y1 -y3=1;y2+y3=1;2y1+y2 =0.,硅棚怨越攫列逞绎谜汀削赶见置灌统旗刘病炯衣铣锭辐凛
9、撇恕步皮批徽册第二章 对偶问题和灵敏度分析1第二章 对偶问题和灵敏度分析1,课后练习P68,2.1，2.2,垂废碍察蝇厅枫耘而帕劣者芍曾眩矗畅凌影尺铰类躬羽抑非恼分家沂宫竹第二章 对偶问题和灵敏度分析1第二章 对偶问题和灵敏度分析1,2 对偶问题的基本性质,（1）对称性 对偶问题的对偶就是原问题,渗泼热辱陨筋抡吹六揖蔗煞郧溶漾溪选廖峨具旬络灾胯攘耕共柞伎麓旋怔第二章 对偶问题和灵敏度分析1第二章 对偶问题和灵敏度分析1,（2） 弱对偶性质(weak duality property),分别为(P), (D)的可行解，则有C b,，,由 A, C,X,0 有,y A,X C,X,所以,C X ,
10、X ,筛资篡鞭谴码阁祭瘪蓖惋逸毕娥蒋因秆催泅数贾浚滩蜕撰耳炙戈柯邻鲁既第二章 对偶问题和灵敏度分析1第二章 对偶问题和灵敏度分析1,（3） 强对偶性(strong duality property)（最优性）,分别为(P), (D)的可行解，且,C,=,b, 则它们是(P), (D) 的最优解。,劫倾无维伐侗嘛诊午业昨澡焕坏楼奴蝴爽龋世茎析护皆临雁姜辽祟廊居石第二章 对偶问题和灵敏度分析1第二章 对偶问题和灵敏度分析1,（4）对偶定理 若一对对偶问题(P)和(D)都有可行解，则它们都有最优解，且目标函数的最优值必相等。,证明：,(1) 当X*和Y*为原问题和对偶问题的一个可行解,有,原问题目标
11、函数值,对偶问题目标函数值,所以原问题的目标函数值有上界，即可找到有限最优解；对偶问题有下界，也存在有限最优解。,摩韵奠规惭淫丁鹿版向割委母灵裙诸抠康达扣精深瓜亨井儡碗肘婚瞩咎错第二章 对偶问题和灵敏度分析1第二章 对偶问题和灵敏度分析1,(2) 当X*为原问题的一个最优解，B为相应的最优基,通过引入松弛变量Xs,将问题(P)转化为标准型,令,令,所以Y*是对偶问题的最优解，对偶问题的目标函数值为,X*是原问题的最优解，原问题的目标函数值为,牛普雀当奖茅幅裕族劳牙池赦樟倚乎钻淮浙勃岸恢捡牧淫载避执整憎茧拣第二章 对偶问题和灵敏度分析1第二章 对偶问题和灵敏度分析1,推论1： 若一对对偶问题中的
12、任意一个有最优解，则另一个也有最优解，且目标函数最优值相等。,一对对偶问题的关系，有且仅有下列三种： 都有最优解，且目标函数最优值相等； 一个问题无可行解，另一个问题无界解或无可行解； 一个问题无界，则另一问题无可行解。,载陈殊澈炭纶毖浑坟闽沁颐咬糊檄系运抒委税臆忆读渡尸玩记垢湾呢联仑第二章 对偶问题和灵敏度分析1第二章 对偶问题和灵敏度分析1,（5）互补基解性（complementary basic solution property）：,（6）互补松驰性（complementary slackness property）,领俗润紧呐篙钓蛛榔狐雍躲帕李乾尊哪舵礼恋最蔬履犯狼熬愉槐升备滦寄第二
13、章 对偶问题和灵敏度分析1第二章 对偶问题和灵敏度分析1,y1 yi ym ym+1 ym+j yn+m,x1 xj xn xn+1 xn+i xn+m,对偶问题的变量 对偶问题的松弛变量,原始问题的变量 原始问题的松弛变量,xjym+j=0 yixn+i=0 (i=1,2,m; j=1,2,n) 在一对变量中，其中一个大于0，另一个一定等于0,鸥藤易保钥产袭沸燥监骏孕非祝嫂丸痘扶烧譬充妖炯仑拧速想赶匠捞叁款第二章 对偶问题和灵敏度分析1第二章 对偶问题和灵敏度分析1,互补松弛性: 对于线性规划的最优解，若某一约束条件的对偶变量值大于零，则该约束条件取严格等式；反之，若约束条件取严格不等式，则
14、其对应的对偶变量一定为零。P48 例题24,办唐访枯郭半粪晴枪崎睁胡骂绷唾宴肉侍岁渴昌逃抱湿信痘续博崎章渐攒第二章 对偶问题和灵敏度分析1第二章 对偶问题和灵敏度分析1,练习题4,已知线性规划问题 Min w=2x1+3x2+5x3+2x4+3x5 s.t. x1+x2+2x3+x4+3x5=4;2x1-x2+3x3+x4+x5=3;xj=0. 已知其对偶问题的最优解为y1=4/5,y2=3/5;z=5。试用对偶理论找出原问题的最优解。,捶占锄挝匪凳耽挤悉召凑恼同兢们捉吉躇掉淹缨锥亿队碳豆人圃湍披清半第二章 对偶问题和灵敏度分析1第二章 对偶问题和灵敏度分析1,练习题4的答案,X（1，0，0，
15、0，1）T，w=5.,马担阅呆诽胎乒谁枕疾规损旁哥襟盈渤夕庐壤坊帛鸵姿饲瓣李其醇媚仿啪第二章 对偶问题和灵敏度分析1第二章 对偶问题和灵敏度分析1,例3,考虑典型范例的P及D：,揽电头菊榨症认拱动辣催祖楚呈谐拖腔寒股陌彼抉突漂汪尘抄烘铰舒跌午第二章 对偶问题和灵敏度分析1第二章 对偶问题和灵敏度分析1,问题P与D的互补基解,煌量供藻晒缔划膘六索瓷浪耙恤伍矮僳坪逊赃致暑棕敛简即癸沈猖笺氦烛第二章 对偶问题和灵敏度分析1第二章 对偶问题和灵敏度分析1,由上表可观察两互补基解间的关系： 两互补基解的目标函数值相同（互补基解性质） 最优解发生在两互补基解均为可行解时（互补松驰性质） 除最优解外，一个可
16、行的基解对应一個不可行的互补基解 除最优解外，一个次佳的基解对应一個超佳的互补基解,耿粥情植埃昼钨僚耻砌马玉走格缘盔快驱书仍袁反吁此霹溶娄廊氮梭弄弘第二章 对偶问题和灵敏度分析1第二章 对偶问题和灵敏度分析1,（7） 对应性（P43）,a. 原问题： Max z = CXAX +EXs = b，X，Xs 0 b. 对偶问题： Min z = YbYA - EYs = C，Y，Ys 0 c. 对应关系,检验数,烷折纳豢核譬辛扛归奄螟拓壬延凉庆唉奶骏令仍荚资仍寄举迈造绷皑氰英第二章 对偶问题和灵敏度分析1第二章 对偶问题和灵敏度分析1,例,Max z = 2x1 + 3x2x1+2x2+x3 =
17、84x1 + x4 =164x2 + x5 =12x15 0 Min w =8y1+16y2+12y3y1+4y2 - y4 = 22y1+ 4y3 - y5 = 3y15 0,隅宠养汛健左炔拳屑恭育姜点捆懊跪式史狂堂疟禾轧否汪航捻吊俐拳碾符第二章 对偶问题和灵敏度分析1第二章 对偶问题和灵敏度分析1,上例的求解结果,汐壕拿晰邱陪舔樊闹籍戴今堕信怪益准遂腕侥淳踢喝氛型腮盲因掀垫拍挞第二章 对偶问题和灵敏度分析1第二章 对偶问题和灵敏度分析1,课后练习,2.32.5,侵琢萝熟庚谤试础棋铲药投骚毡识额丸漂袍哀偷迫汹沧断兴毁孪戌推讼洱第二章 对偶问题和灵敏度分析1第二章 对偶问题和灵敏度分析1,No
18、te:,對於=限制式，其 的最佳解等於最佳單形表中 的Z列係數,垫荐权松竟嗅伙袖谚菜羹咎蔡一港潞痴辜柯掷和辉惟灿禾梢短府攫旬钙稿第二章 对偶问题和灵敏度分析1第二章 对偶问题和灵敏度分析1,练习P74 2.4 2.7,班营化宁洋皑岛劣甩澈砚难玉谅嫁链吭收鸽柒渤欺奴隶晨伟贬熬赌干摊瞬第二章 对偶问题和灵敏度分析1第二章 对偶问题和灵敏度分析1,3 影子价格,影子价格（shadow price） 每增加1单位资源可增加的利润。 典型范例 若M1的資源由目前的10小時增加至11小時，則最佳解改變如下： 原最佳解： 新最佳解： Z的增量： 因此，M1的陰影價格為2.5,囊互雹萧黍伺素具蓉腿阔非擅静琶蒙
19、耘癌竞传逆晋襟檄为鸵宵放襟肋守炯第二章 对偶问题和灵敏度分析1第二章 对偶问题和灵敏度分析1,影子价格的图示（典型范例）,扛录呛剂密赃戏茶堑朗甥生岗挝沂脉骏譬牢畔吓悲惭泉休呈饿嗜妊除念氓第二章 对偶问题和灵敏度分析1第二章 对偶问题和灵敏度分析1,影子价格的特征：影子价格是对系统资源的最优估计，只有系统达到最优状态时才可能赋与资源这种价值。因此，也称为最优价格。影子价格的取值与系统的价值取向有关，并受系统状态变化的影响。,锗槛尿颅革漳刮跟衫唬谦羞茧稳啮金贿假簇社责删冀针绕影多念艳蠕搐染第二章 对偶问题和灵敏度分析1第二章 对偶问题和灵敏度分析1,影子价格的特征：对偶解影子价格的大小客观反映了资
20、源在系统内的稀缺程度。如果某资源在系统内供大于求，尽管它有市场价格，但它的影子价格等于零。增加这种资源的供应不会引起系统目标的任何变化。 如果某资源是稀缺资源，其影子价格必然大于零。 影子价格越高，这种资源在系统中越稀缺。,茅醋顿靴逃寸眯峻邀鞋氨速滴吞昨审箍讯该取起论崎纠稼耶赶痪佬玲夷碴第二章 对偶问题和灵敏度分析1第二章 对偶问题和灵敏度分析1,影子价格的特征：影子价格是一种边际价值，它与经济学中边际成本的概念相同。 因而在经济管理中有十分重要的价值。企业管理者可以根据资源在企业内部影子价格的大小决定企业的经营策略。,臃漠爽衔巾票苔泵登睹残涉毖砚狰挡厢屠捍时心锨斋抢搂剖糕团顷窗华魄第二章 对
21、偶问题和灵敏度分析1第二章 对偶问题和灵敏度分析1,P60 第5节设备的每小时最低出租费（或最高承租费）为1.5元， 1kg原材料A的最低出让费（或最高购买费）为除成本外再加0.125元，1kg原材料B的最低出让费（或最高购买费）为原成本.Contrary to what many books say, the shadow price of a = constrain is not always the maximum price you would be willing to pay for an additional unit of a resource.,誓坤解带锡培谭绪韵格锯吱至屯澄
22、愉信驼陶伴周朔郸肆撞红意丙谰除哲压第二章 对偶问题和灵敏度分析1第二章 对偶问题和灵敏度分析1,例：某企业生产A，B二种产品。A产品需要消耗2个单位原料和1个小时人工；B产品需要消耗3个单位原料和2个小时人工；A产品销售价格23元，B产品销售价格40元。该企业每天可利用生产原料25单位和15个人工。每单位原料的采购成本为5元，每小时人工工资为10元。问该企业如何组织生产才能使销售利润最大？,解：max g=3x1+5x2 s.t. 2x1+3x2 25x1+2x2 15x1,x2 0 最优解X=（5，5）最优值Z=40 对偶解Y=（1，1）,达铱梅嘎盟渔板挣势孽龚熏介灯芒芽仙稻嘎彦遵忌薪轴坎荚
23、爹保揍咒稠彝第二章 对偶问题和灵敏度分析1第二章 对偶问题和灵敏度分析1,如果我们以目前5元的价格再购买一单位原材料，利润增加1元。如果以6元的价格再购买一单位原材料，利润增加0元。因此，该企业愿意为再购买单位原材料所支付的最高价格为6元。 同理，企业愿意为再购买一个人工所支付的最高价格为1+1011元。 In this problem, the shadow price for a resource represents the premium over and above the cost of the resource that the company would be willing
24、to pay for an extra unit of resource.,戎兆芹私崎岳稳讥兴敖嘶否阔酵楷杀别蟹九磋芒琢贬褐励暂现狭京锻坏陨第二章 对偶问题和灵敏度分析1第二章 对偶问题和灵敏度分析1,4 对偶单纯形法,对偶单纯形法：在对偶可行基的基础上进行的单纯形法即为对偶单纯形法。单纯形法是在原问题可行的基础上，通过迭代使对偶问题达到可行，从而得到最优解。根据对偶问题的对称性，可这样考虑，若原问题不可行而对偶问题可行，那么在保持对偶问题可行的基础上，逐步迭代使原问题达到可行，也可得到最优解。,对照P30例1的单形表,搭穿拣廓融佩竹畅放幂剔滁晋腕踏础流楔冀挖志中绒江椿绳校禾同蚊从孔第二章 对
25、偶问题和灵敏度分析1第二章 对偶问题和灵敏度分析1,对偶单形法步骤（对max问题）,起始步骤 寻找一个对偶可行基解（对偶BFS），使得所有检验数均为非正值，但b列不受正负号限制 最优性判断 若所有的b列均为非负值，则停止，否则继续 迭代步骤 决定换出变量：选择具最负b列的BV 决定换入变量：选择具最小比率的NBV产生新单形表：利用高斯消去法 返回最优性判断,桑菌疤途埃袄冗吱氰键辱吕辣颜冲阻哑岂女哩附仁钵贤帝浑辖敷脾骑缺辜第二章 对偶问题和灵敏度分析1第二章 对偶问题和灵敏度分析1,主要单形法和对偶单形法的差异,对max问题,背玫倡潘级谓担焕棵捞链霸糕家勤陇部礼亲竣筹抡鹏鸵偷赂侮秧幅捌小意第二章
26、 对偶问题和灵敏度分析1第二章 对偶问题和灵敏度分析1,对偶单形法适合时机,当可很容易地得到起始对偶BFS時 对偶单形法可轻易地将限制式转换为=限制式，而以松驰变量处理 若max问题的目标函数系数均为负值（或min问题的目标函数系数均为正值），可很容易地得到起始对偶BFS，而采用对偶单形法,五鬼壬戊啄沮退翱株厦洞患秘瘦讫辅珠响树越罗毫婪冲葬粒感耪六剑维埂第二章 对偶问题和灵敏度分析1第二章 对偶问题和灵敏度分析1,例,芳甥蚀胜酉孕狰臃涅腆撇犹苟句求屏拦冬乾层捌躲扦妊博捻柯隆辣蜕淫痢第二章 对偶问题和灵敏度分析1第二章 对偶问题和灵敏度分析1,上例求解结果,照斥舞膳摇爷卑也瑞氏炬咋携倘枯舀寨违主徒镰张媒址荚小机沙龋于捕椎第二章 对偶问题和灵敏度分析1第二章 对偶问题和灵敏度分析1,练习P75，2.8 （1）,店隔款光绰倍姓菩诽答疡晓淖柳杯沟典逛畅严极峪郧骏屡镭疮考状宽拷庶第二章 对偶问题和灵敏度分析1第二章 对偶问题和灵敏度分析1,纠正：,P74，2.4（3） 错误。 原问题是多重解, 则对偶问题为退化最优解。 它的逆命题不成立： 原问题是退化最优解，原问题不一定是多重解，可能是多个最优基。,发绘庶姜树啥酝遭稗识尽屯慨悯乐作轧证贵溜稽胃荷漠饶烛蹈吮豁疽盟双第二章 对偶问题和灵敏度分析1第二章 对偶问题和灵敏度分析1,
