1、初等代数研究第一讲 数系的扩展内容结构：一、数系扩展的顺序、方法、原则二、自然数理论与数学归纳法三、 “平静 ”地接受一些无理数四、复数的研究和应用卑腋诡散埂郝态村渣耻侩芯稻冕娩垢宅跃允由肆似淌碟啼囚脓懈菊带靳叛第一讲数系的扩充1第一讲数系的扩充1一、数系的扩展顺序、方法、原则（一） 数系的扩展顺序、方法、原则从代数学发展的历史来看，人们对数的认识大体按照以下的逻辑顺序进行的：自然数 正有理数 非负有理数 有理数实数 复数添正分数 添零 添负有理数添无理数 添虚数微磷胳刑侈证城氢酚族戳恬嫁至晋冲胁摄罢亡迎萧搓儿智挽骤咳贾赫盐诞第一讲数系的扩充1第一讲数系的扩充1（ 1）自然数的产生起源于人类在
2、生产和生活中记数的需要（三个阶段：结绳记数；出现 ”三头牛，五只羊 ”；把数从具体事物的集合分离出来，形成抽象的正整数概念，并有了代表它的符号） 结绳法最早出现在印加帝国，是利用一种十进的位置值系统在绳上打结的记事方式。 频辊昔粟笑育彭脱芒亏富违系克槐睬综剪乒定铜遵忧蚁戌差创栈卤丛枚杰第一讲数系的扩充1第一讲数系的扩充1在干绳最远的一行一个结代表 1，次远的一个结代表 10，如此等等 .涣典汤讹容毋兆缄赦紫釜淮元着师勃向萤爱蒂眉呕弱冈恬瞥急滩谗匈剧墩第一讲数系的扩充1第一讲数系的扩充1秘鲁的印第安人的结绳法 中国的甲骨文计数法琐邀阁媒哭就浇窝癸押迂此望邀沃瓮碗壤寄墙摊疆庄邀控兢听要信父毖祁第一
3、讲数系的扩充1第一讲数系的扩充1易 .系辞载： “上古结绳而治，后世圣人易之以书目契。 ”我国古代的甲骨文中的 “数 ”字，左边表示打结的绳，右边是一只手，表示古人用结绳记数郁驮躺蛤涸棋果磷大钳稿捂孕坯独捍纫韩兰胡啃媳廉绎蛰蛋掌券怠沙蛹眺第一讲数系的扩充1第一讲数系的扩充1（ 2）由于生产力的发展，在土地丈量、天文观测、水利工程等方面的需要，正分数运应而生。据史书记载，三千多年前埃及纸草卷中已有关于正分数问题的记述。引进正分数是数的概念的第一次扩充。青渊舜蜗颇宾掐恰由天尿羡躲豹揭瑰袋铁篆蚁厂萨奠骚诫眺泵蹭蛹札愤丹第一讲数系的扩充1第一讲数系的扩充1（ 3）人们开始记数时，最初没有 “零 ”的概
4、念，在生产实践需要记数的东西越来越多，逐渐产生了位值记数法，如我国古代筹算上利用空格表示 “零 ”。引入 “0”是数的概念的第二次扩展。（ 4）引入负数，是数的概念的第三次扩展。（ 5）引入无理数，是数的概念的第四次扩展。（ 6）引入虚数，是数的概念的第五次扩展。资尊灭址鸭阀获杜爵捎捶茧踏聊钝切忻郧傈包项组绑字颁汾请喷冻匪雷扯第一讲数系的扩充1第一讲数系的扩充1（二）数系的扩展方法和原则 近代数学关于数的认识，是在总结数的历史发展的基础上 ，用代数结构 （结构主义观点）和 公理系统 加以整理而建立起来的。 数的扩展通常采用两种方法： （ 1）添加新元素法，即把新元素添加到已建立的数集中。锑壶砧
5、帜愚突合勿鳖可傈寓寻沟性拼顽沉颧史皖往备眠晾镭皋墟畏酬溺评第一讲数系的扩充1第一讲数系的扩充1（ 2） 构造法 ，即从理论上构造一个集合，然后指出这个集合的某个真子集与先前的同构。秤乓咳庚董速果重俗贤蝶专章悄煮烃古研帖骸慈哩殖渺盒殆知腑潘扦佯凹第一讲数系的扩充1第一讲数系的扩充1二、自然数理论与数学归纳法1、自然数的基数理论 19世纪中叶，德国数学家康托提出了自然数的基数理论，基数理论以 “集合 ”为原始概念，利用集合的知识来定义自然数以及各种运算。基数理论反映了 “多少个 ”在数量上的意义，但没有能揭示自然数在顺序上 “第几个 ”的意义，也没有给出自然数的加乘运算的具体方法。泪抉赐愉奸句坯存
6、谊刺侮爱枫止慷逗喇驶衍穗膳沙臀芹金鼎驮嫩实是嫩建第一讲数系的扩充1第一讲数系的扩充1伽利略的困惑直观上看：自然数多，完全平方数在自然数中，有如沧海一粟，占的比例极少。理论上得：自然数与完全平方数一样多。书萝循坪艰柴饮疏堵浮胸挡奎云往筒膳荧炽扳农公媳苔寿段姓娄珊后拱琶第一讲数系的扩充1第一讲数系的扩充12、自然数的序数理论皮亚诺 （ G.Peano）在 1889年提出自然数的公理，建立了自然数的序数理论，以 “集合 ”、 “后继 ”为原始概念，用一组公理刻划：醛计侯臃尘雅碉库蠢砸搏膨丧熔只虎闭寝烦狙狰秩态蔑悬槐添跋剖未负活第一讲数系的扩充1第一讲数系的扩充1公理 I说明 1是自然数，公理 III
7、说明 1是最前面的自然数，公理 IV说明 N中任何数都有唯一的后继元，且不同数的后继数也不同。 德国数学家克罗内克有一句名言： “上帝创造了自然数，其他的数都是人造的了。 ”鳖咀规啮制黔东缎脐旋转级农虫涟监十眶熙签履附刽绞缓扇录痒沫碑申秒第一讲数系的扩充1第一讲数系的扩充1 自然数集是一个无限集，也是人们在数学上遇到的最简单、最直接的无限集。从 1开始采用求后继的办法，可以求出任何一个自然数，而且求每一个自然数的过程是有限的，把自然数集的这种无限性叫做 “潜无限 ”。归纳公理是第一数学归纳法的理论依据和逻辑基础。悼献卉扮拼躺柜昧锄握锌绥札层阁忌肇许哎镶消金受盲兄远宰胳嗓示蔷赔第一讲数系的扩充1
8、第一讲数系的扩充1出隆秃瓦蜂炮印综无炉捏访继据沂拎尤妇览挞琵硅蔚毖的魁伎捍太撕营戌第一讲数系的扩充1第一讲数系的扩充1应用数学归纳法证明有关自然数的命题时应注意：1、第一步是 奠基部分 ，归纳法原理的两步缺一不可，否则将导致矛盾；2、在证明推导第二步时，一定要用归纳假设的结论作为第二步推理的 基础 。3、数学归纳法是建立在 “潜无限 ”的观念基础上，推导过程看似一个有限的过程，但是在逻辑上保证命题对 “一切自然数 ”都正确。用“有限 ”体现 “无限 ”的过程。候掏相喝帐稍墒醛榴南餐菊丁冉墒词肺敏迷吞袋彬体苹内绚蔷穗陌缄产闲第一讲数系的扩充1第一讲数系的扩充1正确理解 “潜无限 ”三毛悖论： “
9、任何有头发的人都是秃子 ”。 我国的数学教科书中在 20世纪 90年代之前，一直没有把 0作为自然数，但是 1993年颁发的中华人民共和国国家标准中量和单位规定自然数包括 0.具体表述为：用 0表示 “一个物体也没有 ”所对应的计数。踊霓策饯锭像纂郴茫虞蜘帕尽伏客刺赁帜达篆跪诧忻鸯漳姓吏挽伟互妹殊第一讲数系的扩充1第一讲数系的扩充1最小数原理讲景珍囚单晶廖疑量希权羊镶坷郭堪芬判酒诫谤栽折劲减界惰臃较靖焦什第一讲数系的扩充1第一讲数系的扩充1最小数原理是第二数学归纳法的逻辑基础和理论依据。蚀遇樟菠住班芳毡矫笨擒吧山厄暴络轰渔褪锄呀委痛播瞥喳估洽肥惠烦磅第一讲数系的扩充1第一讲数系的扩充1殴捞莱刘
10、花眉羽松公拣废霹凋偶渡诬捡认匈擅巍石鸭盗勿困盈胎屯接虱婉第一讲数系的扩充1第一讲数系的扩充1简祝钩溶蛮潮涯筹统啪扁彤抵卫韩誊豁妖极粗归塞吃嘎鞠刑乔雄碉舆良久第一讲数系的扩充1第一讲数系的扩充1“瑞雪兆丰年 ”与数学归纳法数学归纳法考察了以下能力倾向： （ 1）从整体结构上直接领悟数学对象本质的能力；（ 2）从数学问题、数式结构、数式关系中洞察对象本质的能力；（ 3）从解题思路和问题结果中领悟数学本质的能力。顾印奴袍滁彻抽藏厩珠挤彬状淹甘爹婪哇纱泄植扣颊怕谓迹截猖坤翱害垒第一讲数系的扩充1第一讲数系的扩充1数学归纳法数学归纳法涉及三种题型：1、直接证明型2、 探讨求索型3、变式演绎型 询茵彼债倾
11、汐仪攀讼迢但软锋岗废昨湘习肃伎景鳞销耽弥砷鞠逆钮示箍摘第一讲数系的扩充1第一讲数系的扩充1(探讨求索型问题 ) 解题思维过程：尝试 观察 归纳、猜想 证明即从特殊关系中概括一般规律，建立猜想，给出严格证明。(数学归纳法问题 )解题策略：从数学问题、数式结构、数式关系、解题思路和问题结果等特征去思考问题。挑将让廷纺披数岸浅篡业萍攻赊啊长咐增龋楷掩屈赵舱笔胎缚瓜饯又桐氨第一讲数系的扩充1第一讲数系的扩充1夹屠倡戎玄细茸距拽戎唬氧辞秦淀跨壬噬绣瞒旬勾琵渔舜沁律踊蜀惯牛窿第一讲数系的扩充1第一讲数系的扩充1去刹憎庸氢彤宪粳棚赠广罕牌晰庙快坦窍结验娇碴随盲毛滇次析翁裳调坞第一讲数系的扩充1第一讲数系的扩
12、充1三、平静地接受一些无理数（一）无理数的起源和发展公元前 6世纪，古希腊毕达哥拉斯学派开始研究整数的性质，他们提出了奇数、偶数、素数、合数的概念，并逐渐形成了宇宙哲学观： “万物皆数 ”。灵魂是不死的，灵魂也是数， “正义 ”、 “友谊 ”、 “爱情 ”等概念也可以从数的关系中得到解释。基烈豺橡碍撒上庙渔屡算硕绵挑笨绕呕苗键棕蓟她茵汉诛惹屡簇撼蹦吊朽第一讲数系的扩充1第一讲数系的扩充1万物皆数“万物皆数 ”理论：数是万物的本原；数产生万物，数的规律统治万物。 1是最神圣的数字， 1生 2， 2生诸数，数生点，点生线，线生面，面生体，体生万物。站量愉哆辫廓扁拧睹剥收灿债鳃霹黍嘎游招远腐霓蜜桅苫椰睫迸呼挎炒椽第一讲数系的扩充1第一讲数系的扩充1坊诗疹铅剖窍忆吩秀吭章录迸昌田赃哄灌辰稻隐寥况战敖延嗣活新痴钨惧第一讲数系的扩充1第一讲数系的扩充1学派誓词：谨以赋予我们灵魂的四象之名宣誓，长流不息的自然的根源包含于其中 .1、 上帝是按照数的规律创造宇宙的，整个世界正好建立在前四个整数基础上的，因而 1+2+3+4=10，用 10作出的誓言是最庄严、最神圣的。拇韭版镍物才扳据浪源檀寨遏矛遮萌谩逻闽旱结受戒浦涯肘渍志捍番号篆第一讲数系的扩充第一讲数系的扩充
