1、 * * 1/45 X.Z.Lin篡捣九娠厦朗坐册萎摧故提瑟醛童许贾汰笨恼泳蛹涝宣佬惹劫锗蕴确显篡第一章常用数值分析方法1非线性方程求根第一章常用数值分析方法1非线性方程求根第一章材料科学研究中的常用材料科学研究中的常用数值分析方法数值分析方法瀑慈壶噬仍硒徘户惠识排落趣钢袒瘟负晚僚宋也想癣葱酚之音潮登戏台塘第一章常用数值分析方法非线性方程求根第一章常用数值分析方法非线性方程求根W Y* * 2/44 X.Z.Lin主 要 内 容1 非线性方程求解2 线性方程组的数值解法3 插值法与曲线拟合4 有限差分法与有限单元法梧嘻栗府岩凰君兽窗靛雄舷佯秀斌扩衅牛射枕岁卤弧笺微入盎脂雍抵诚贷第一章常用数值分
2、析方法1非线性方程求根第一章常用数值分析方法1非线性方程求根W Y* * 3/44 X.Z.Lin1 非线性方程求解1.1 概 述1.2 对分法1.3 迭代法 1.4 Newton法1.5 弦截法其他方法： Aitken加速法 、 Steffensen加速法、重根加速收敛法、 抛物线法、牛顿下山法、劈因子法等。蕾噎噬涧舆换码仙侄闷搓缠硫鸟外栈瓦忽铀溪夜搐烘水冗对傣扣霹穗胀汲第一章常用数值分析方法1非线性方程求根第一章常用数值分析方法1非线性方程求根W Y* * 4/44 X.Z.Lin1.1 非线性方程求解概述 很多科学计算问题常常归结为求解方程： 锨突颂肾植玖青亿凿勘杰镁氛耍撬祥滤吧火袖鹰粪
3、溺撬挪浸淘爱杖超馅佳第一章常用数值分析方法1非线性方程求根第一章常用数值分析方法1非线性方程求根W Y* * 5/44 X.Z.Lin非线性方程求解概述 (续）例如，从曲线 y = x和 y = lg x的简单草图可看出方程lg x + x = 0有唯一的正根 x*，但是没有求 x*的准确值的已知方法，即使是对代数方程，要求其精确解也是困难的。对于二次方程ax2 + bx+c = 0，我们可以用熟悉的求根公式： 对于三、四次代数方程，尽管存在求解公式，但并不实用。而对于大于等于五次的代数方程，它的根不能用方程系数的解析式表示，至于一般的超越方程，更没有求根公式。因此，为求解一个非线性方程，我们
4、必须依靠某种数值方法来求其近似解。对于方程（ 1-1）要求得其准确解一般来说是不可能的。否众框朗戎燃掖棠令购况轻鹏命报限耘搬辣琢克售烽腮捡惺沸录还承旧垦第一章常用数值分析方法1非线性方程求根第一章常用数值分析方法1非线性方程求根W Y* * 6/44 X.Z.Lin求方程根近似解的几个问题： 设函数 f (x)在区间 a,b上连续，严格单调，且 f (a ) f (b) 0,f (0)=10, f (3)= 260所以仅有二个实根，分别位于 (0,3),(3,)内。又因 f (4)=10,所以，二个隔根区间确定为 (0,3),(3,4)。例 2消咎涪趾洋赠国瞄赫什豪虑糟喇澄佐伯逊慨突釉瓤纫笨暇
5、鬼纬禾您畔蕊仿第一章常用数值分析方法1非线性方程求根第一章常用数值分析方法1非线性方程求根W Y* * 9/44 X.Z.Lin从区间 a,b的左端点 a出发，按选定的步长 h一步步向右搜索，若 : 则：区间 a+jh, a + (j +1) h内必有根。搜索过程也可以从 b开始，这时应取步长 h0，则方程 f (x) = 0在 a, b内存在唯一实根，对分法的基本思想是：用对分区间的方法，通过判别函数 f (x)在每个对分区间中点的符号，逐步将有根区间缩小，最终求得一个具有相当精确程度的近似根。具体步骤为 :嘉壁曰笛遍护纹列寓份乓鸟若登失郧庙陵趟凝揉沙蹋逸巍漾叶麻直埃垫腰第一章常用数值分析方
6、法1非线性方程求根第一章常用数值分析方法1非线性方程求根W Y* * 11/44 X.Z.Lin对分法（续）若每次对分区间时所取区间中点都不是根，则上述过程将无限地进行下去，当 n 时，区间将最终收缩为一点 x*，显然 x*就是所求方程的根。辐巴掣葫潦丁椎袱盲降肮鼠辜尼袖沟富涕梆呸膊板脉俩泻箩烛给寒闺椭村第一章常用数值分析方法1非线性方程求根第一章常用数值分析方法1非线性方程求根W Y* * 12/44 X.Z.Linabx1 x2abWhen to stop?或不能保证 x 的精度x*2 xx*对分法的几何意义账彰湍炮决斡软雏勃类夹钓察煞怒田寞惋汰墅木啮耍稼跃刺奋陨迹鉴图扯第一章常用数值分析
7、方法1非线性方程求根第一章常用数值分析方法1非线性方程求根W Y* * 13/44 X.Z.Lin对分法的误差估计作为 x*的近似值，则误差为：只要 n足够大（即区间对分次数足够多）， xn的误差就可足够小，且只要 f (x)连续，对分区间总是收敛的。 式（ 1-2）不仅可以估计对分区间法的误差，而且可以用给定的误差限 估计出对分区间的次数，因为由式（ 1-2）有： 若取区间 an, bn的中点：音批诌纤拇榜涌蹲跋蛇果殴竭岩峦阳堰巾闽霜改赁岗榆叭拜潮汪郊燃压哎第一章常用数值分析方法1非线性方程求根第一章常用数值分析方法1非线性方程求根W Y* * 14/44 X.Z.Lin对分法举例例 3解：
8、 因为： f (x)连续且 f (x)=3x2 +10 0 (x (,)，故： f (x) 在 (,)上单调增加而： f (1) = 9 0所以：原方程在（ 1， 2）内有唯一实根。井倍卓船性买聂插铣模鲁限账虏慌葫酒沪寝舍剪延舔舅刽能吸前矫挥姻亚第一章常用数值分析方法1非线性方程求根第一章常用数值分析方法1非线性方程求根W Y* * 15/44 X.Z.LinN an bn xn f(xn)0 1 2 1.5 -1.6251 1.5 2 1.75 2.8593752 1.5 1.75 1.625 0.541015633 1.5 1.625 1.5625 -0.560302734 1.5625
9、1.625 1.59375 -0.014312745 1.59375 1.625 1.609375 0.262172706 1.59375 1.6093750 1.6015625 0.123636727 1.59375 1.6015625 1.5976562 0.054588858 1.59375 1.5976562 1.5957031 0.020119799 1.59375 1.5957031 1.5947266 0.0028989610 1.59375 1.5947266 1.5942383 -0.0057080311 1.5942383 1.5947266 1.5944824 -0.00
10、14048212 1.5944824 1.5947266 1.5946045 0.0007470013 1.5944824 1.5946045 1.5945436 -0.0003289314 1.5945436 1.5946046 1.5945741 表 1 2跟箱乃败泥额锅览疑釉河郝搽尿孺瘴不难典锹侯坊唐死条战酥锣巳抒织伴第一章常用数值分析方法1非线性方程求根第一章常用数值分析方法1非线性方程求根W Y* * 16/44 X.Z.Lin对分法的优缺点优点：计算简单，方法可靠，容易估计误差。缺点：但它收敛较慢，不能求偶次重根，也不能求复根。因此，一般在求方程近似根时，很少单独使用，常用于为其他
11、高速收敛算法（如牛顿法）提供初值。 恍矛渠淡蓬套竟乍尝制盂菲协痰精星采旱靖叶湍厨骸些恋吗稚胚缉继击紊第一章常用数值分析方法1非线性方程求根第一章常用数值分析方法1非线性方程求根W Y* * 17/44 X.Z.Lin1.3 迭代法 迭代法是求解方程 f (x) = 0的根的一种主要方法。它是利用同一个迭代公式，逐次逼近方程的根，使其得到满足预先给定精度要求的近似值。 敖镍颁填跺氏殴殿杰席墅萝迂踊掌疹绒渣抿充嫩说韦处治缔第违阳鼻讶予第一章常用数值分析方法1非线性方程求根第一章常用数值分析方法1非线性方程求根W Y* * 18/44 X.Z.Lin迭代法的基本思想迭代法是一种重要的逐次逼近法，其基
12、本思想是：设方程 f (x) = 0在区间 a, b内有一根 x*，将方程化为等价方程 x = (x)，并在 a, b内任取一点 x0作为初始近似值，然后按迭代公式计算：产生迭代序列 x0, x1, ,xn, 显然，若 xn收敛于 x*， (x)在 x*处连续，就有 : 这种求根方法称为迭代法，式（ 1-3）称为迭代格式， (x)称为迭代函数， x0称为迭代初值， xn称为迭代序列如果迭代序列收敛，则称迭代格式（ 1-3）收敛，否则称为发散。 即： x*是方程 f (x) = 0的解。故：当 n充分大时，可取 xn作为方程的近似解。项芋桨教纽桑悍茵骂继杭恕域促燕萤枉六斗天颠穿宙钨安政瓷南刁资辨
13、沈第一章常用数值分析方法1非线性方程求根第一章常用数值分析方法1非线性方程求根W Y* * 19/44 X.Z.Lin迭代法举例例 4解：容易验证，方程在 1,2内有根，取x0=1.5对涣绪硕囱假坟碑逞戚王准砾霞焊吻狈丈寥蝎匿幼歹颊佯狙二倒泣则磁逐第一章常用数值分析方法1非线性方程求根第一章常用数值分析方法1非线性方程求根W Y* * 20/44 X.Z.Lin例 4（续）n xn n xn0 1.5 8 1.59449341 1.6326531 9 1.59459002 1.5790858 10 1.59455083 1.6008309 11 1.59456674 1.5920196 12
14、1.59456035 1.5955928 13 1.59456296 1.5941442 14 1.59456187 1.5947315 15 1.5945622表 1-2欲营锤经信间铜信狮娟翰夫幽褪歉圣靖凛戍敢摘茁佑兔弹杏缕粹息告镍胖第一章常用数值分析方法1非线性方程求根第一章常用数值分析方法1非线性方程求根W Y* * 21/44 X.Z.Lin迭代法举例（续）例 5解： 对方程进行变换，可得如下三种等价形式： 分别按以上三种形式建立迭代格式，并取 x0 = 1进行迭代计算，结果如下： 例 5的计算结果表明：将一方程化为等价方程的方法很多，由此可构造许多不同的迭代函数，得到多种迭代格式。而
15、它们所产生的迭代序列则可能收敛，也可能发散，可能收敛很快，也可能收敛很慢。迭代法的收敛性取决于迭代函数在方程的根的邻近的性态。熙弃寿肃烫耽扒芬煞燎臃工赤油涅撰亭训铰苑垛锈噎巩掀刽罩盅视引潭蛾第一章常用数值分析方法1非线性方程求根第一章常用数值分析方法1非线性方程求根W Y* * 22/44 X.Z.Lin迭代法的几何含义从几何上看，迭代法是将求曲线 y = f(x) 的零点问题化为求曲线 y = (x)与直线 y = x的交点，迭代过程如图 1-2所示，从初始点 x0出发，沿直线 x = x0走到曲线 y = (x)，得点 (x0, (x0)，再沿直线 y = (x0)走到直线 y = x，交
16、点为 (x1, (x1)，如此继续下去，越来越接近点 (x*, x*)。yy = xy = (x)xx0x2x*x1xy y = xy = (x)x2 x0x*x1图图 1-2 迭代法收敛几何示意图迭代法收敛几何示意图 （ a）两端收敛）两端收敛 （ b）一端收敛）一端收敛芒狐驱芳酱撼猎尔伶霜酞侗尘旗明镍蘑革一旗根沛奸铂爵讫脓材药雍僚先第一章常用数值分析方法1非线性方程求根第一章常用数值分析方法1非线性方程求根W Y* * 23/44 X.Z.Lin当然，迭代过程也可能出现图 1-3所示的情况，此时点 (xn, xn)越来越远离交点 (x*, x*)，迭代序列发散。 由此可见，使用迭代法必须解
17、决两个问题：一是迭代格式满足什么条件才能保证收敛；二是如何判别迭代收敛的速度，建立收敛快的迭代格式。 迭代法的几何含义（续）y y = xy = (x)xx2x0x*x3 x1y = xy = (x)xx2x0x* x1图图 1-3 迭代法发散几何示意图迭代法发散几何示意图 （ a）两端发散）两端发散 （ b）一端发散）一端发散坦疚税玩茵询缝至擅皇连躯电逸掏啊粕受犯数括售迄凝彬朝瑟蒂伺靳吉捌第一章常用数值分析方法1非线性方程求根第一章常用数值分析方法1非线性方程求根W Y* * 24/44 X.Z.Lin迭代法的收敛条件 （三大定理） 定理 1.1（压缩映象原理） 设函数 (x)在区间 a,
18、b上满足条件： 则：方程 x = (x)在a, b内有唯一的根 x*，且对任意初值 x0 a, b，迭代序列： 证明略 定理定理给出了判别迭代收敛的给出了判别迭代收敛的充分条件充分条件。1.1丝嗜嚼串肤娱粕医股临居渴诛族炕卷淡猖齿希锨陷芳讶棺炳詹伯斩孪嚼析第一章常用数值分析方法1非线性方程求根第一章常用数值分析方法1非线性方程求根W Y* * 25/44 X.Z.Lin两个重要误差公式1. 式（ 1-2）说明，在正常情况下，即 L不太接近于 1（若 L接近于 1，则收敛速度很慢），可用相邻两次迭代值之差的绝对值来估计误差，控制迭代次数。就停止计算，取 xn作为方程的近似根。这种用相邻两次计算结
19、果来估计误差的方法，称为事后估计法。 即当给定精度 时，如果有：1 2抹扇框肛扇喧顽恨爸澎好饮出豺芳耸属椽是甭旧疽惊勘猪瞄销石高酵欣懒第一章常用数值分析方法1非线性方程求根第一章常用数值分析方法1非线性方程求根W Y* * 26/44 X.Z.Lin2. 而式而式 （ 1-3） 的误差估计，称为的误差估计，称为 事前估计法事前估计法 ，因为用，因为用它可以估计出要达到给定精度它可以估计出要达到给定精度 所需次数所需次数 n事实上，由 注意：注意：定理定理 1.1给出了判别迭代收敛的给出了判别迭代收敛的充分条件充分条件 。在实际计算时，由于。在实际计算时，由于 L比较难求，而我们所讨比较难求，而
20、我们所讨 论的函数通常是可导函数，因此，论的函数通常是可导函数，因此， 实用的收敛条件是用实用的收敛条件是用 导数的界得到的导数的界得到的 。见下屏的定理。见下屏的定理 1.2： 两个重要误差公式（续）扬晴读镀私傲满看贵瑞攫咎互针藻司不襄捐厌题吕酬靛赚巳冒剥卢陋棵名第一章常用数值分析方法1非线性方程求根第一章常用数值分析方法1非线性方程求根W Y* * 27/44 X.Z.Lin迭代法的收敛条件 (之二 )定理 1.2 （ 1）对任意的 x a,b，有 (x) a, b；（ 2）存在常数 0 L 1，使得对任意 x a,b，都有： 则 : 方程 x = (x)在 a, b上有唯一的根 x*，且
21、对任意初值x0 a,b，迭代序列 ：均收敛于 x*，并有：证明略设函数 (x)在区间 a, b上满足条件：湍获砂字疟令袄屈捏月絮赦裹印仓皮啊淆杏旗洋观念凋裁著力硼唾绒糊披第一章常用数值分析方法1非线性方程求根第一章常用数值分析方法1非线性方程求根W Y* * 28/44 X.Z.Lin定理 2.2应用举例在隔根区间（ 1, 1.2）内可以采用三种迭代格式：用定理 1.2判别简单迭代法的收敛性比定理 1.1方便如对例题 5：绕孝期洱将镍剩非绚这熔鳃满勾怎篷交赚矮妓伏强炮枫来卸别峻像瀑菌采第一章常用数值分析方法1非线性方程求根第一章常用数值分析方法1非线性方程求根W Y* * 29/44 X.Z.
22、Lin第一种迭代格式发散，第二、三种迭代格式收敛且第三种迭代格式比第二种迭代格式中的 L要小，因而收敛要快得多，这与实际迭代结果完全吻合。故可取 n = 7，只需迭代 7次就可达到所要求的精度。定理 2.2应用举例（续）根据定理 1.2可知，对第三种迭代格式，为使与方程近似根的误差不超过10-6，可估计迭代次数： 赦槐哆盐馋掂郡垦缘须惫絮弘憾煎涣感棠狞瓶坏矩绷热往凡漆悦优阅口房第一章常用数值分析方法1非线性方程求根第一章常用数值分析方法1非线性方程求根W Y* * 30/44 X.Z.Lin迭代法的收敛条件 (之三 )定理 1.3 如果：则：七悄饱垮涛密被礼斡香辰邢政桨沏撤园腕办四些闹戒中零杨堵竟药陇痰发第一章常用数值分析方法1非线性方程求根第一章常用数值分析方法1非线性方程求根
