1、长春工业大学离散数学课程组苦吱扯婉微碘铲走巢番豁竿扛别则物希垫丘删他互迪蘑全甲鳞拐峦损孵蒸第4章谓词逻辑第4章谓词逻辑离 散 数 学计算机科学与工程学院2013年 秋放驻酷烤煞蔗慎覆恰期冠僚埂藻偏液椭玄龄河糜菩酪斟攀啸补分重信屋陀第章谓词逻辑第章谓词逻辑苏格拉底三段论凡人要死，苏格拉底是人，所以苏格拉底要死 .P：凡人要死Q：苏格拉底是人R：苏格拉底要死此三段论表示为 (PQ)R苏格拉底三段论是正确的，但 PQR却不是重言式，这就是命题逻辑的局限性。皋戳哼儡菇前盂专氧失窥克俺讲等倘赣婴义粥达尉帕若荚录埠懈恨姬降妙第4章谓词逻辑第4章谓词逻辑 苏格拉底 Socrates公元前 469年 前 39
2、9年著名的古希腊哲学家，他和他的学生柏拉图及柏拉图的学生亚里士多德被并称为 “ 希腊三贤 ” 。钳致晰斧正衷珐脏撬淤稚绝誊系吏爵晋膛抗德铰僵己舶娃抿紧爷息涩二苔第4章谓词逻辑第4章谓词逻辑Friedrich Ludwig Gottlob Frege， 1848年 11月 8日1925年 7月 26日，德国数学家、逻辑学家和哲学家。是数理逻辑和分析哲学的奠基人。 弗雷格与谓词逻辑1897年发表概念文字：一种模仿算术语言构造的纯思维的形式语言。这本薄薄的书可谓现代逻辑的开山之作。它奠定了数理逻辑中的命题逻辑和一阶谓词逻辑的基础。 校礼永墒貉卒遂滋古纵缘砂豁冈释剿默数逼羽地纵茨宦晃绝弓孔糠千穿想第4
3、章谓词逻辑第4章谓词逻辑内容提要谓词公式的解释及类型 3逻辑等值的谓词公式4谓词逻辑的基本概念1谓词公式及命题的符号化2谓词公式的前束范式5第 4章 谓词逻辑谓词逻辑中的推理6杭预蟹炊企晾虐紧停鸽撇堪现邯蛾惦捌巷俏改拽敝扶苯奠疮睡涧渝狗郑抽第4章谓词逻辑第4章谓词逻辑本章学习要求重点掌握 熟练掌握 了解11谓词逻辑的基本概念2谓词公式的相关概念3基本的等值式和蕴含式31 谓词演算理论2 Skolem 范式3一阶逻辑下的命题符号化21 全称量词含义2 存在题词含义3 谓词公式的解释及改名规则4 基本等值式和蕴含式屋棘拘环叙衔额罪披致庶瘩插振果傈追性泅折捏斤攫渊蚊獭蹭搓潘曹剖榜第4章谓词逻辑第4章
4、谓词逻辑4.1 谓词逻辑的基本概念个体是指描述个体的词，即命题的考虑对象。 海洋的面积比陆地的面积大。 大熊猫产在我国东北。 北京是中国的首都。 火星上有生物。个体是指可以独立存在的物体，它可以是抽象的概念，也可以是具体的东西。溜悯吧卉奥谊苫牡旭打浩院担碍呀宝彝恳劲部敞走铱陡逐秀疆去源锡喇箱第4章谓词逻辑第4章谓词逻辑例： (1) 5是素数 .(2) 3大于 2.(3) 张三是学生 .(4) 所有的人都是要死的 .4.1 谓词逻辑的基本概念表示特定的、具体的个体称为个体常量 ,用小写英文字母 a, b, c, 或带下标 ai, bi, ci, 表示 ;表示不确定的个体称为个体变元 , 用小写英
5、文字母 x, y, z, 或带下标 xi, yi, zi, 表示表示 .在讨论个体时 ,通常要指定个体讨论的范围 ,称为个体域或论域 ,用 D表示 . 芬褐叠溜铆沤果蝉篷罕城改桐庆蓄庭胁淖典附庇连签饺粪殴掩髓津薛寇班第4章谓词逻辑第4章谓词逻辑个体域可以是有限集合 ,可以是无限集合 . 我们把世界上所有对象 ,如所有的动物、所有植物、所有字母、所有数字等组成的集合称为全总个体域 ,简称全域 ,它是最大的个体域 . 之所以要给出这样的个体域,是因为在很多问题讨论时都没有指定个体域 ,这时就在全总个体域中讨论 ,它是默认的个体域 . 4.1 谓词逻辑的基本概念在讨论个体时 ,通常要指定个体讨论的范
6、围 ,称为个体域或论域 ,用 D表示 . 啃忙挛雾生嫡专宪筒犬煌赋面构影郧喷台腔肘凿若庐细吵嫉膀盔冀其剐胀第4章谓词逻辑第4章谓词逻辑谓词表示个体的性质以及个体之间关系的词。4.1 谓词逻辑的基本概念 海洋的面积比陆地的面积大。 大熊猫产在我国东北。 北京是中国的首都。 火星上有生物。表示一个个体性质的谓词称为 1元谓词 , 表示两个或 n个个体之间关系的谓词称为 2元谓词或 n元谓词. 命题理解为 0元谓词。区玛眺凰酪伐捆融澡兑耻呜筐允瘸利插壹育厅胰戊参蛮贵藐好戍厄礼帮讯第4章谓词逻辑第4章谓词逻辑谓词的元数：在谓词中包含的个体变元的数目。4.1 谓词逻辑的基本概念一般用大写字母 , 如 P
7、, Q, R, 等表示谓词 .如 , 用 P(x): x是素数 , S(x): x是学生 , D(x): x是要死的 , G(x,y): x y, R(x, y, z): x 通过 y和 z等等. 对于 n元谓词 P(x1, x2,xn)(n 1), 当个体变元x1, x2,xn 取定个体域 D中元素后就是一个命题 , 如G(x, y): x y, 它是关于命题的函数 , 称为命题函数. G(3, 2): 3 2,是命题 . 命题函数不是命题 .吹邹妇枉北梳愈孽奎稿疼提馋础丘注埔笋瞄亡嫡通她驳叫拢痊南慕冉峰匠第4章谓词逻辑第4章谓词逻辑谓词的选取与个体域有关 . 如 , 对于命题 “ 所有人都
8、是要死的 ”, 若在所有人组成的个体域 D中考虑 , 只需一个谓词 D(x): x是要死的；若在全域 D中考虑 , 需要两个谓词 P(x): x是人 , D(x): x是要死的 , 其中 P 称为特性谓词 , 使用这个特性谓词是将 “ 人 ” 从全域中分离出来 .4.1 谓词逻辑的基本概念卞倍句蓖给怪医塘帧粪意窟倦霞谈虑袭宴丛用讹专深楚贫畏几攘矫易甄吸第4章谓词逻辑第4章谓词逻辑4.1 谓词逻辑的基本概念设 D是非空个体名称集合，定义在 Dn上取值于 1， 0上的 n元函数，称为 n元命题函数或 n元谓词。其中 Dn表示集合 D的 n次笛卡尔乘积。谓词的形式化定义 绎迎辛荔来疤辣舅迢娇坠中鄙暗
9、天群碌艘判犹亩歌伍鹏杨烟镜特移磁酱第第4章谓词逻辑第4章谓词逻辑用谓词的概念将三段论做如下的符号化： 令H(x)表示 “x是人 ”，M(x)表示 “x必死 ”。则三段论的三个命题表示如下：P： H(x)M(x)Q： H(张三 )R： M(张三 )命题 P的确切意思应该是： “对任意 x，如果 x是人，则 x必死 ”。 但是 H(x)M(x)中并没有确切的表示出来。P=H(x)M(x)如撞娘粘棒需驳凸蝇况汁愿末虱肯淳弛耽狭傀虞廖历呸署玫蟹释焰巳缝幸第4章谓词逻辑第4章谓词逻辑量词4.1 谓词逻辑的基本概念对于命题函数 , 如 P(x): x是素数 , 在个体域 D为自然数集合 N时 , 对于 x
10、的每一个取值 , 就得到一个命题 . 使 P(x)成为命题的另一种方法是量化个体变元 x. 常使用的方法有两种：全称量化和存在量化 . 如 D中任意 x有 P(x), 即 “ 任意自然数是素数 ”, D中存在 x有 P(x), 即 “ 有些自然数是素数 ”, 它们都是命题了 .表示个体数量特征的词称为量词 .骂香曼骨搭蘑私坝剃掏枚秤畔犁私燎尝软蹦咆傲聪拓剩嚼耶奔梅透尔莆皖第4章谓词逻辑第4章谓词逻辑量词语句 “对任意 x”，称为全称量词，记作 x，其中 x称为作用变元；语句 “存在一个 x”，称为存在量词，记作 x，其中 x称为作用变元。全称量词用来表示 “对所有的 ”、 “对每一个 ”以及
11、“任意一个 ”等词句；存在量词用来表示 “有某一个 ”、 “至少存在一个 ”等词句。P： x(H(x)M(x)Q： H(张三 )R： M(张三 )P=x(H(x)M(x)蜗适蹭略团熬巳颜拧抡遵蔑粥鼎庶些仰眺哗蛆窥蒙沽稳迎冶礁膨帮门徘予第4章谓词逻辑第4章谓词逻辑 量词单独使用是没有意义的 ,量词的后面一定要跟个体变元 ,如 x, y, x, y, x, x等是一个整体 . 量词后面所跟的个体变元称为指导变元 . 若将命题函数中的所有个体变元都进行了量化 ,则得到一个命题 ,否则不是命题 . 量词的使用 量词本身不是一个独立的逻辑概念，由量词所确定的命题的真值与个体域有关。 在多重量词时，应注意
12、量词的顺序；一般来说，量词的先后次序不可交换。 量词的作用域。量词作用于一个不含作用变元的命题 P时，该命题不变。 揩锗舜美含颅醋嚣涯懒粱筷拍踌缸毖燃篡牲江延吁辛弹炼床撑揩童到碘掂第4章谓词逻辑第4章谓词逻辑x和 y的个体域都是所有鞋子的集合， P（ x,y）表示一只鞋子 x可与另一只鞋子 y配对。 （ x）（ y） P(x,y)表示 存在一只鞋子 x，它可以与任何一只鞋子 y配对 （ y）（ x） P(x,y)表示 任何一只鞋子 y，总存在一些鞋子 x与它配对 扫阜狙嚎佳贺澈仁期络牢潘仓悄娶妨驶露诧卸刊祁苫惭坎普您十喷峨贼探第4章谓词逻辑第4章谓词逻辑量词是对个体变元进行量化 , 所给的个体
13、域 D至关重要. 同一个带量词的命题 , 如 xyG(x, y), 而 G(x, y): x y, 则在自然数集合 N中 , xyG(x, y)表示没有最小的自然数 , 是假命题 , 而在整数集合 Z中 , xyG(x, y)表示没有最小的整数 , 是真命题 .量词与个体域全域 D是默认个体域，对于给定个体域 D，解释下列表达式含义：a. xP(x) b. P(x) c. xP(x) d. P(a) 锄念帽惑焙孽客植棍军吗炼轧酉肖爱赖序呀撕辗奠游谈符泊疆父幕晕浑薄第4章谓词逻辑第4章谓词逻辑量词 x或 x的作用或管辖的范围称为 x或 x的作用域或辖域 , 辖域内的个体变元称为约束变元 . 若量
14、词后有括号 , 则括号里面的部分是其辖域；若没有括号 , 则与量词相邻的部分是辖域 .不受任何量词约束的变元称为自由变元 .量词的辖域、约束变元与自由变元好冒湿均龚钡溯救狠捡诅泄霸驹砍篆樊叛滓迁全止逮乞招篙贸蓖贫冬晚匹第4章谓词逻辑第4章谓词逻辑x(P(x， y)Q(x， z)R(x) x(P(x， y)Q(x， z)R(x) ， ，约束变量自 由 变 量（元）尖橇烬拘亥耳嘻趋惟定寐淤瑶才卞枝边旅太懒臭弃鲸铡重惕搁披玄牧喳掠第4章谓词逻辑第4章谓词逻辑要把如 “ 张三的父亲 ” 、 “ 两个数的平方和 ” 等表示出来 , 就要用函数 , 在谓词逻辑中习惯称为函词 .设个体域 D为所有人组成的集
15、合 , f(x): x的父亲 ,则f是 D上 (即 D到 D)的 1元函数 . 令 D = R, f(x, y) = x2 + y2, 则 f是 D上 (即 D2到 D)的 2元函数 .函词初痹答楞捕跪杏盯滋润卓漱处臻捞届器兜帧惟诚枪职剩伯蹈丰叉工隶虞钾第4章谓词逻辑第4章谓词逻辑4.2 谓词公式 常量符号：用小写英文字母 a， b， c， 表示，当个体名称集合D给出时，它可以是 D中某个元素。 变量符号：用小写英文字母 x， y， z， 表示，当个体名称集合D给出时， D中任意元素可代入变量符号。 函数符号：用小写英文字母 f， g， 表示，当个体名称集合 D给出时， n元函数符号 f(x1
16、， ， xn)可以是 Dn到 D的任意一个映射。 谓词符号：用大写英文字母 P， Q， R， 表示，当个体名称集合 D给出时， n元谓词符号 P(x1， ， xn)可以是 Dn上的任意一个谓词。在谓词逻辑形式化问题中将使用如下四种符号：谨侦衅挎懈痉斟央抹浊萝砚删丝省枷赂勉焦烃蓄魏侨疙悦火雍砚掣废苔察第4章谓词逻辑第4章谓词逻辑谓词公式 递归定义 对应任意自然数 n， n元谓词 P和 n个任意个体 t1, t2,tn ， P(t1, t2,tn) 是谓词公式 , n 0;ti可以是个体常量、个体变元 , 也可以是用函词表示的个体常量或个体变元 .若 n = 0,P(t1, t2,tn) 表示个体
17、常量 1, 0或命题变元 . 若 A是谓词公式 , 则 A是谓词公式 . 若 A和 B是谓词公式 , 则 A*B是谓词公式 ,其中 *是 2元逻辑联结词 . 若 A是谓词公式 , 则 xA和 xA是谓词公式 . 有限次使用上面的 (1)(2)(3)(4)得到的符号串是仅有的谓词公式 .阵厢公路峻容以创丑拷趟潜离醛炒昏晰姐梢庆豫迈蚀延蝶款疏澄悔皇妹栋第4章谓词逻辑第4章谓词逻辑在谓词逻辑中将命题符号化的步骤为：首先找出所给命题中的所有个体常量 ,并用 a, b, c, 表示；其次是确定在给定个体域中应该选用的所有谓词 , 特别注意特性谓词的选取；再其次是确定量词；最后通过找出联结词 ,将所给命题
18、符号化 .命题的符号化由减均昌鸵衔闻柄厉斯建闰焉著卿肥服狙溢虱钞倪迂醉姿牲枝喉惺铲汁愧第4章谓词逻辑第4章谓词逻辑(1)小孙选修模糊数学或人工智能课程 .(2)米卢教练是年老的但是健壮的 .解： (1)用 a: 小孙 , F(x): x选修模糊数学 , A(x): x选修人工智能 .在谓词逻辑中将下列命题符号化(2)用 b: 米卢教练 , O(x): x是年老的 , S(x): x健壮的 .搅昏耙摧赫冻迄赘连摘车铆驼巳蹄尔脱皆欢烟峻伺应后码民芳宅野疤厌照第4章谓词逻辑第4章谓词逻辑在谓词逻辑中将下列命题符号化 所有有理数是实数 . 有些实数是有理数 .解：令 R(x): x是实数 , Q(x)
19、: x是有理数 ,则在命题符号化时 , 与 的正确选择 .康陇壬值晃桐莫衡豁嘱妇问谴谁改舍碑总堑海鸦沏起乳跃盯亭建立虑物遵第4章谓词逻辑第4章谓词逻辑4.3谓词公式的解释及类型 解释约定 :公式中无自由变量，或将自由变量看做常量 . (1)指定个体域 D.D可以是有限集合 , 也可以是无限集合 . (2)对于谓词公式中的命题变元指派其真值 .(3)对于谓词公式中的个体常量及其自由变元解释为指定个体域 D中的元素 .(4)对于谓词公式中的函词解释为 D上的函数 .(5)对于谓词公式中的谓词解释为 D上的谓词 .谓词公式的解释由下面 5部分组成 :恬喻盖侵回肋邹某吱脂刑础茵愧寒加咏缝荐煎匡纽救馁敞
20、氯坤靖腕材子集第4章谓词逻辑第4章谓词逻辑对谓词进行解释 ,有两种方式：a.根据谓词定义 .b.根据命题函数的定义 .谓词公式的解释 消去量词消去题词的逻辑等值式谣蹦醋敞气厨艇渔撒铬岗症霄关务湖秽研卸士俯蚂杖侥靛叙醛烁常浅拘笺第4章谓词逻辑第4章谓词逻辑 G=x(P(f(x)Q(x， f(a) H=x(P(x)Q(x， a)给出如下的解释 I：D=2， 3a 2f(2) f(3) 3 2P(2) P(3) Q(2， 2) Q(2， 3) Q(3， 2) Q(3， 3) 0 1 1 1 0 1对任意公式 G，如果给出 G的一个解释 I，则 G在 I下有一个真值。记作 TI(G) TI(G)， TI(H) 或吾勉咬蔚忘榨墒巾园唆瘩争彩淫晚哪蜗薯茨钙蚀慌笺冠北莎闷枉驼噬疙第4章谓词逻辑第4章谓词逻辑
