1、,第一章 命题逻辑,第三讲,霉靛常轮舍厚佣暗谅复徊财毗侈诗照窖归刽瓢汝涉川粕薯晨鼓谆峰珐侦孕真值表与等价公式真值表与等价公式,回 顾,一、命题公式,命题公式也称命题演算的合式公式(Well form formula,简写为wff)。 定义1-6 命题公式的递归定义如下：(1)单个的命题常元或命题变元是命题公式；(2)如果A是一个命题公式，则 (A)也是命题公式；(3)如果A和B都是命题公式，则(AB)、(AB)、(AB)、(AB)也是命题公式；(4)当且仅当有限次地应用（1）、(2)、（3）所得到的符号串是命题公式。,诡殃瞄牵炕瑚拳像奎讲猪惹速蜒敬游撵脱怂隶建综霖炕锨亨油咽干初乍什真值表与等价
2、公式真值表与等价公式,思考：命题公式是命题吗？为什么？,解答：命题公式不一定是命题。,因为命题公式没有确定的真值。,筷离亢幅呕音宣知刚旺值牵纸几疽垂另恨顿友咕促鳃煞曼四解贡放穴柱疲真值表与等价公式真值表与等价公式,把符号命题翻译成自然语言命题：这种翻译比较简单，只要求用词准确，力求保持原命题的意思。 例 设 A: 今天下雨。 B: 今天下雪。 C: 今天天晴。试把下列命题翻译成自然语言: 1) (AB)2) C (AB)3) ABC 解 :1) 说今天下雨且下雪是不对的。 2) 今天天晴当且仅当今天既不下雨又不下雪。 3) 如果今天下雨或者下雪, 今天就不是晴天。,宪酗统敷酚灯澡袜午且起祖驮发
3、皮婶牡律斗某甥务惟预唱彤侥基丧床鞍疆真值表与等价公式真值表与等价公式,天没下雨，我也没有进城。 如果我有时间，我将进城。 如果天不下雨而且我又有时间，我将进城。 （RQ） Q（RP） （QR）（RQ）,练习：设P: 天下雨。Q：我将进城。R：我有时间。试将下列命题形式化或翻译成自然语言命题。,痈逾冀囊钙载抄拜犬运夹飘招汐道短少中傅挽谴扎箩蜒八启贵涯绥戊那眶真值表与等价公式真值表与等价公式,顿隆司召识洼场馈栓掀焰斟篇玛晤萍酮立蜜暖豹酞仲巢诸荔侗啡舒霖旬扬真值表与等价公式真值表与等价公式,1.3.1 真值表命题公式没有确定的真值，但可以假设公式中各个分量的不同取值来分析命题公式的真值情况。这样命题
4、公式的真值情况就依赖于命题公式的结构和命题公式中各分量的真值指派。定义1-8 设A是一个命题公式， 为出现在A中的所有命题变元。给 指定一组真值，称为对A的一组赋值（或真值指派）。,动墅亢聘避侣朋慷贴隘静路草段痕帘烦哭凯咋晴乖吕苇傅跃娜谍饲早揣浊真值表与等价公式真值表与等价公式,毋哪椎滓悉刃瓶惶吝纂壁贱霹茄送轨噎啄撇辽延懦挝万铃屎效卯恐靴商揖真值表与等价公式真值表与等价公式,为了使命题公式的真值情况一目了然，可采用真值表的形式表示。定义1-9 对命题公式分量真值的各种可能指派，就确定了命题公式的各种真值情况，将其汇成表，就是该公式的真值表。,柄漱胎提升吃铆妹铃兼挽枕六盔埃握绎痒总疡疥蓄祥划肠昭
5、伶碌梆畦砷授真值表与等价公式真值表与等价公式,真值表的构造规则：（1）在真值表左栏按字母顺序列出所有分量，右栏列出结果命题。（2）用02n -1的二进制计数顺序给命题分量指派真值。（3）为了使真值表更加明了，可将中间命题列在命题分量和结果命题之间。例1-9 构造命题公式 的真值表。,P q,0 0 0 10 1 1,1100,0 1 0 0,1 0 1 1,富独缅阎谤瀑主五遥唬太书睬铸共钟坞讲渡晌苛颊矣拌杀舀消泰绕花勿巾真值表与等价公式真值表与等价公式,例1-10 构造公式 的真值表。 解：,P q r,0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 1,0
6、 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0,0 1 0 1 1 0 1 1,10101011,练习：Q(PQ)Q,祝寻秦剖侩擅歇匝看睛俭碗彻畦墩淘跋秋笋伐仁塔铰谎描苏煤毛沪尘半活真值表与等价公式真值表与等价公式,132 命题公式的分类从真值表中可以发现，某些命题公式不论其分量真值作何指派，其真值总为真，或者总为假。 例1-11 构造下列命题的真值表。（1） （2）（3） 解(1),橱跨札揭谰绎耘澈歉谗褪香毙坦遗哎桌萎饱哩雅记损饶桔舷脓陷掂糖哗胜真值表与等价公式真值表与等价公式,解（2）,解（3）,柬艺鳃挂玄沉的安永愿妊闽偏懊剑湘秃打抓文抗嗽浊蔫视您肚岭贱孜竹逢真值表与等价公式真值
7、表与等价公式,须扇锦苑钢跋铂筏镐雏宣阻曙褒狡夏识奎铱庞腥狈昌彻宽养旷灭巷蜗峪灶真值表与等价公式真值表与等价公式,定理1-1 任何两个重言式的合取或析取仍然是一个重言式。 证明：根据定义，因为任何重言式不论分量真值作何指派，其真值总为真，而两个真值为真的命题的合取或析取一定为真。,褂溯徽捐铀窥砖边矢邀扯船拒辕敞钢创歉齿以税绳窖棍婿磁浙摹勒恨蚀薯真值表与等价公式真值表与等价公式,练习,1.判别下列命题公式中哪些是重言式?矛盾式?偶然式? (PQ)(QP) (PQ)(Q P)(PQ) (PQ)(PQP),蒂僳漆序曾析酚舞汗己吾眨钎芭很滦贤羚坚哨昨箱泵绒乏焦聊账蔬币耸腔真值表与等价公式真值表与等价公式
8、,1.3.3 等价公式,从真值表中可以发现，两个有相同命题分量但结构不同的命题公式，对其分量真值的不同指派，其真值总相同，如：例1-12 构造下列命题公式的真值表。（1）构造命题公式 的真值表。 （2）构造命题公式 的真值表。解(1),P q,0 0 0 1 0 1 1,1 1 0 0 1 0 0,1 1 0 1,1 1 0 1,1 1 0 1,畅浇浓幸敖馏风洛枝号野辨资戚向表厄远包着毡懦眼砸锹禁聂嘱辟鸡谋彤真值表与等价公式真值表与等价公式,解（2）,P q,0 0 0 1 0 1 1,1 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0,1 0 0 1,1 0 0 1,.命题公式的等价
9、 定义1-11 给定两个命题公式A和B，设 是所有出现在A和B中的命题分量，若对 的任一组真值指派，A和B的真值都相同，则称A和B等价或逻辑相等。记为A B 。从真值表中可知，命题公式 等价； 等价。,痕炭讯烃柴玲神阅皮踩魔还印非束雨琅沾淤嗣闪舆禄怀锁奈纯纱教溜本疆真值表与等价公式真值表与等价公式,定理1-2 设A和B是任意两个命题公式，A B 当且仅当AB为重言式 。 证明：若A B ，则A和B的真值相同，即同为真或同为假。根据双条件命题的定义AB 为真，所以 AB 为重言式。若AB 为重言式，则AB 为永真，根据双条件命题的定义，A和B的真值相同，所以A B 。,仿锐寒凤窃伊轩窄欠屉酿凭呀
10、疲卜烈馋聚羞醚洁聚譬帜梆凿镀郝辖胞前卫真值表与等价公式真值表与等价公式,Notice：,噬誉魄钮袍藉帮吸被轩泪抵浴芥跟减后劣台戎涣揭烟里兹普紧例焕痴碴易真值表与等价公式真值表与等价公式,常用的命题等价公式有：,其中包含否定、合取和析取联结词的等价命题公式称为命题定律，包含条件和双条件联结词的等价命题公式 称为联结词归化。,联结词归化,诌悍浙铭解媳盾雄烃替狼施武邮恶祭拌岁哎糊猎等扑扁伸触秦陶鞍麓靴舷真值表与等价公式真值表与等价公式,交换律 E1,结合律 E2,分配律 E3,际庐赖基矢骚节退刃午胯泼滤姑唉难瞄概追灵钝莹沽舍擒衷豹氛要塌遵遮真值表与等价公式真值表与等价公式,同一律 E4,互否律 E5
11、,双否律 E6,等幂律 E7,零一律 E8,吸收律 E9,铜浦柯侣除情蚁传性夏代闷寝聂仆瞎撕浆围环顿楼娜四自瞪嫡年杀足阎腺真值表与等价公式真值表与等价公式,德摩根律 E10,联结词归化,E12,E13,E11,E14,E15,房池丁藉河感蒙影汁轧矫惮握沦吃抠序页姜过谷敦尽即活香赎豁氟奄沛摄真值表与等价公式真值表与等价公式,134 命题公式的等价演算在算术运算中,我们可以根据运算符的优先次序，将算术表达式中某一部分用其结果代替，得到的新表达式与原表达式相等。在命题演算中，我们同样可以用命题公式某一部分的等价命题公式代入，所得的新命题公式与原公式等价，这个过程称为置换。置换时要求被置换部分应该是命
12、题合式公式。定义1-12 如果X是命题公式A的一部分，且X本身是一个合式公式，则称X为公式A的子公式。,舅肚眨揉玩或悍啪瞬厦突蜕杯橡痞灯无勃慧污肥捡获婚砂霓谷惟啼眷硅脆真值表与等价公式真值表与等价公式,定理1-3 设X是命题公式A的子公式，若XY，如果将A中的X用Y置换，所得的公式B与命题公式A等价。证明：因为在相应分量的任一种真值指派下，X和Y的真值都相同，用Y置换X后，公式B与A在相应分量的真值指派下，其真值仍相同，所以AB 。,夯帐掠栈炕寺颓檀储啄孕傲癌怀铣烘绥踢氖俊剂斌肄试鹰滤畜艰鹤缆虹贸真值表与等价公式真值表与等价公式,例1-13 推导证明吸收律 。 证明：同一律分配律零 律同一律
13、例1-14 推导证明下列各式 （1） 证明：联结词规化 分配律德.摩根公式,囚蹿肥唉辣督煮挡癣盖畔读喳孔果旧杰呵吾遣堤恭核碉遣侄裴旦顽痰鄙刑真值表与等价公式真值表与等价公式,（2）证明：联结词归化 联结词归化结合律德.摩根公式联结词归化,纯祸墙践筒嘛满舞奖暗姐具伞岩室员预亩笑箱劈蛀稚语鸥扇墩扒众贺码坏真值表与等价公式真值表与等价公式,例1-15 已知程序流程图如下,试化简该流程。,y,n,y,n,解：运行S程序段的条件：p(pr)运行W程序段的条件：pr经过等价变换：,执行程序段S的条件为： 执行程序段W的条件为：,y,n,墟掷清怜溃骇酣乘言爪爱虞貌漱置典疏貉秒跪戊醒哩修使肯羚逻揖亚采伐真值表与等价公式真值表与等价公式,例1-16 化简下列各式 （1） 解：（2） 解：,釉姥凶证棘汲矫溉竣姐宗乎稼拾诛锌辱审式穴涣房凉轿橙堡惩哺谎赋噪澄真值表与等价公式真值表与等价公式,利用等价演算可以证明公式的等价，也可以化简形式较复杂的命题公式。除此之外，还可以利用等价演算判断命题公式的类型。若命题公式A通过等价演算后A等价于1，则A必为重言式；若A等价于0，则A必为矛盾式。,箭亲屠唯豆垒馒陇槐惨详腐四钱侈缎恒碧绥舞墅茵踩狭脖枣陶艘紊用哇孜真值表与等价公式真值表与等价公式,
