1、1数学运算方法与典型问题数学运算考察综合分析和推理能力，及数量统计类型题目，包括排列和组合题型，重在考察考生数学原理的实际应用能力；观察近年的题型，多题型复合问题增多，要求考生具有综合分析推理能力，并对数学基础知识可以灵活运用。一、基础知识1. 数的整除及余数（1）能被2、4、8、5、25、125 整除的数的数字特性能被2（或 5）整除的数，末一位数字能被2（或 5）整除；能被4（或 25）整除的数，末两位数字能被4（或 25）整除；能被8（或125）整除的数，末三位数字能被8（或125）整除；一个数被 2（或 5）除得的余数，就是其末一位数字被 2（或 5）除得的余数一个数被4（或 25）除
2、得的余数，就是其末两位数字被4（或 25）除得的余数一个数被8（或125）除得的余数，就是其末三位数字被8（或125）除得的余数（2）能被3、9 整除的数的数字特性（适用于用于多位数乘法，弃三、弃九法）能被3（或9）整除的数，各位数字和能被3（或9）整除。一个数被 3（或 9）除得的余数，就是其各位相加后被 3（或 9）除得的余数。（3）能被 6 整除的数：它必定是偶数并且能被 3 整除，即尾数是偶数且其各位数之和能被3 整除。（4）能被 7，11，13 整除的数的判断:就是判断其末三位与剩下的数之差能否被7，11，13；例如：456834，从后三位画条线，即 456|834，然后用大数减去小
3、数得 834-456=378，而 378 能被 7 整除，故 456834 也能被 7 整除。又如：345632198，画线：345632|198，用大数减去小数得 345632-198=345434，在判断 345434 能否被 7 整除，画线 345|434，大数减去小数得 434-345=89，而 89 不能被 7 整除，因此 345632198不能被 7 整除。（5）能被 11 整除的数的判断：奇位数字之和与偶位数字之和的差能否被 11 整除。如：29485839293，其奇位数字之和为 2+4+5+3+2+3=19,偶位数字之和为 9+8+8+9+9=43，之差为 43-19=24，
4、故其不能被 11 整除。（6）余数相关问题余数问题：利用余数基本恒等式解题： 被 除 数 =除 数 商 +余 数同余问题：余同取余，合同加和，差同减差，公倍数做周期余同:“一个数除以 4 余 1，除以 5 余 1，除以 6 余 1”，则取 1，表示为：60n+1；和同：“一个数除以 4 余 3，除以 5 余 2，除以 6 余 1”，则取 7，表示为：60n+7；差同：“一个数除以 4 余 1，除以 5 余 2，除以 6 余 3”，则取 3，表示为：60n-3；【例 1】 （国考 2006-50）（7）奇偶法则与比例法则（）. 两个奇（偶）数之和（差）为偶数；（）. 一奇一偶之和（差）为奇数；（
5、）. 两个整数之和为奇数，则他们的奇偶性相同，两个整数之和为偶数，则他们的奇偶性相反；2（）. 两个整数的和（差）为奇数，则其差（和）也为奇数，两个整数的和（差）为偶数，则其差（和）也为偶数；（8）比例倍数关系核心判定特征如果 ( 互质)，则 是 的倍数； 是 的倍数。:abmn,ambn如果 ( 互质)，则 ab 应该是 mn 的倍数。【例 1】 （国家 2006-40 题）【例 2】 （国家 2009-109，114 ，117 题）二、基本方法1. 代入排除法：首先根据数字特性先排除，然后代入；也可直接代入，原则是：从简单代起。【例 1】有 10 个连续的奇数，第一个数等于第十个数的 5/
6、11，则第一个数为（ ）A . 5 B . 11 C. 13 D. 15【例 2】 （北京 2009）某个三位数的数值是其各位数字之和的 23 倍。这个三位数为（ ）A. 702 B. 306 C. 207 D. 203【例 3】粗细不同的两支蜡烛，细蜡烛的长度是粗蜡烛长度的 2 倍，点完细蜡烛需要 1 小时，点完粗蜡烛需要 2 小时。有一次停电，将这样两支蜡烛同时点燃，来电时，发现两支蜡烛所剩长度一样，则此次停电共停了（ ） A10 分钟 B20 分钟 C40 分钟 D60 分钟 2. 枚举归纳法：【例 1】 （四川 2009）将参加社会活动的 108 名学生平均分成若干个小组，每组人数在
7、8人到 30 人之间，则共有（ ）种不同的分法A. 1 B. 4 C. 5 D. 6【例 2】 （国家 2010-46 题）【例 3】十阶楼梯，小张每次只能走一阶或者两阶，请问走此十阶楼梯共有多少方法( )A. 55 B. 67 C. 74 D. 89【例 4】有 9 颗相同的糖，从明天起，每天至少吃一颗糖，吃完为止，请问一共有多少种吃法( ) A. 256 B. 512 C. 1024 D. 2048【例 5】体育课上老师叫大家排队报数, 报到最后一个是 50, 芳芳站在从左向右数的第 38位, 亮亮站在从右向左数的第 24 位, 芳芳和亮亮的中间有几个同学( )A. 9 B. 10 C.
8、11 D. 123. 极端算法: 一般把至少，最少的问题转化为至多，最多从反面去考虑【例 1】 （国家 2006-43 题）【例 2】 （国家 2009-118 题）【例 3】 （国家 2008-56 题）共有 100 个人参加某公司的招聘考试，考试的内容共有 5 道题，15 题分别有 80，92，86，78 和 74 人答对，答对 3 道和 3 道以上的人员能通过考试。请问至少有多少人能通过这次考试( )3A. 30 B. 55 C. 70 D. 74【例 4】 （国家 2010-55 题）注: 抽屉(鸽笼)原理也可用极端算法4. 方程法：其核心是“通过题干，找到不变量(等式关系 )”注:
9、用于牛吃草为题, 盈亏问题等5. 特值法：【例 1】（四川 2008）木材原来的水分含量为 28%，由于挥发，现在的水分含量为 10%，则现在这些木材的重量是原来的（ ）A. 50% B. 60% C. 70% D. 80%【例 2】 （十三省联考 2010-15 题）【例 3】 （国家 2011-69 题）6. 作图法：适用于行程问题，重叠问题，比例问题等。【例 1】 （安徽 2008 题）某单位职工 24 人中，有女性 11 人，已婚的 16 人。在已婚的 16人中有女性 6 人。问这个单位的未婚男性有多少人（ ）A.1 B.3 C.9 D.12.【例 2】 （国家 2006-37 题）三
10、、典型问题及解法（一） 、计算问题1. 尾数法及除法尾数法【例 1】 （国家 2005） 173162()A.926183 B.936185 C.926187 D.926189【例 2】 （北京 2007） (8498)(7419)(A.1 B.2 C.3 D.4【练习 1】 （广西 2008） (126)3()A.20 B.35.5 C.19 D.36【练习 2】 （安徽 2009） 4578690123457896()A.-1 B.0 C.1 D.22. 多位数乘法【例 1】 （江西 2009） 132()A.290133434 B.290173434 C.290163434 D.2901
11、53434注：弃九法3. 周期数的表示1681680,1234123401【例 1】 （云南 2009） 50A. B. C. D.231314. 乘方尾数：41)底 数 留 个 位 ;2指 数 (末 两 位 )除 以 4留 余 数 （ 余 数 为 0则 看 做 为 4）【例 1】 （浙江 2007） 的值的个位数是（ ）207272071359A.5 B.6 C.8 D.9【例 2】 （广东 2008） 的尾数是（ ）208A.1 B.3 C.5 D.75.裂项相加法：公式： 1bbmaa【例 1】 （江苏 2006） 的值为（ ）12345910A. B. C. D.2900【例 2】 （
12、江苏 2009） 123(1)n A.0 B.0.5 C.1 D.2【练习 1】 （浙江 2008） 的值是（ ）456790A. B. C. D.65812【练习 2】 （江苏 2008） 22 1357n A. B.1 C. D.无法计算1416.分母有理化：【例 1】 （福建、辽宁、海南联考 2009）的值为（ ）112324398A. B.2 C. D.3 8（二） 、等差数列问题等差数列通项与求和公式：1. ，1()nad2. ，中位数也是平均数。1()22nndsa中 位 数 项 数3. ,mnklkl5【例 1】 （国家 2008） 是一个等差数列， , , 则数列前 13na3
13、7108a14a项之和是（ ）A. 32 B. 36 C. 156 D. 182【例 2】 （天津、湖北陕西联考 2009）一本 100 多页的书，被人撕掉了 4 张，剩下的页码总和为 8037，则该书最多有多少页（ ）A. 134 B. 136 C. 138 D. 140注：结合奇偶特性【例 3】 （国家 2009-120 题）（三） 、周期问题问题【例 1】 （广西 2008）学校举行运动会，要求按照红、黄、绿、紫的颜色插彩旗于校门口，请问第 58 面旗是什么颜色（ ）A.黄 B.红 C.绿 D.紫【例 2】 （ 浙江 2008）把分数 化成小数后，小数点后面第 2008 位上的数字是几（
14、 ）47A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【练习 1】 （福建 2009）一个数列为 1，-1，2，-2 ，-1，1，-2，2，1，-1，2，-2 ，-1，1，-2，2,.则该数列的第 2009 项为（ ）A.-2 B. -1 C. 1 D.2注：除周期找余数，被除数与余数同（四） 、星期、日期问题平年与闰年判断方法 一共天数 2 月平年 年份不能被 4 整除 365 天 有 28 天闰年 年份可以被 4 整除 366 天 有 29 天小月与大月包括月份 共有天数大月 一、三、五、七、八、十、十二月 31 天小月 二、四、六、九、十一月 30 天（2 月除外）星期的计算1. 星期以 7 为
15、周期，即每过 7 天，星期不变，或每隔 6 天星期不变；2. 过 1 个平年（365 天） ，星期加一，过一个闰年（366 天,注意要过 2 月 29 日） ，星期加二；3. 同一月内同一星期对应的日期为公差是 7 的等差列【例 1】 （浙江 2009）已知 2008 年的元旦是星期二，问 2009 年的元旦是星期几?( ) A.星期二 B.星期三 C.星期四 D.星期五【例 2】 （广西 2008）2005 年 7 月 1 日是星期五，问 2008 年 7 月 1 日是星期几?( ) A.星期三 B.星期四 C.星期五 D.星期二【例 3】 （安徽 2008）某日小李发现日历有好几天没有翻，
16、就一次翻了 6 张，这 6 天的日期加起来的数字和是 141，他翻的第一页是几号（ ）A . 18 B. 21 C. 23 D. 246【例 4】 （河北 2009） 假如今天是 2010 年的 8 月 25 日，那么再过 260 天时 2011 年的几月几日（ ）A . 5 月 11 日 B. 5 月 12 日 C. 4 月 13 日 D. 5 月 13 日【例 5】 （陕西 2008）某个月有五个星期六，已知这五个日期之和为 85，则这个月中最后一个星期六是多少号 ( )A. 10 B. 17 C. 24 D. 3l（五） 、差倍原理研究不同量之间的和、差、倍、比关系的数学应用题【例 1】
17、 （四川 2009）甲乙丙三名羽毛球选手某天训练共用了 48 个羽毛球，其中甲比已多用了 4 个，已比丙多用了 4 个，甲乙丙三人所用羽毛球数的比是（ ）A. 5：4：3 B. 6：5：4 C. 4：3：2 D. 3：2：1【例 2】 （内蒙 2009）一个班教室里有若干名学生，走了 10 名女生后，男生是女生的 2 倍，又走了 9 名女生后，男生是女生的 5 倍。最初有多少名女生（ ）A 15 B 12 C 10 D 9【例 3】 （国家 2009-117 题）（六） 、浓度问题浓度问题解题的关键是牢记：浓度= 100%= 100%溶 质溶 液 溶 质溶 质 溶 剂 溶解度= 10%溶 质溶
18、 剂【例 1】 （国家 2009-113 题）【例 2】 （上海 2005）在 20时 100 克水中最多能溶解 36 克食盐。从中取出食盐水 50 克，取出的溶液的浓度是多少（ ）A 36% B 18% C 26.5% D 72%【练习】 （安徽 2008）从装满 1000 克浓度为 50%的酒精瓶中倒出 200 克酒精，再倒入蒸馏水将瓶加满，这样反复三次后，瓶中的酒精浓度时多少？（ ）A.22.5% B.24.4% C.25.6% D.27.5%（七） 、行程问题（1）相遇追及背离：相遇（反向行驶）：路程速度之和时间；追及（同向行驶）：路程速度之差时间；背离（反向行驶）：路程速度之和时间。
19、（2）顺风、顺水、顺电梯顺水速度船速水速；逆水速度船速水速。注：电梯路程的单位为级、阶、台等；速度单位为级/秒、阶/ 秒、台/秒等【例 1】 （国家 2010-54 题）（3）火车过桥：列车完全在桥上的时间（桥长车长）列车速度（假设：桥长车长）；列车从开始上桥到完全下桥所用的时间（桥长车长）列车速度；（4）队伍行进问题：7队伍长度=（人速+ 队伍速度）从队头到队尾所需时间；（相当于相遇问题）队伍长度=（人速-队伍速度）从队尾到队头所需时间；（相当于追及问题）【例 2】 （十三省联考 2010-15 题）【例 3】 （国家 2006-39 题）【例 4】 （国家 2011-67，68 题）【例
20、5】 （甘肃三支一扶 2008 年）姐弟俩出游，弟弟先走一步，每分钟走 40 米，走 80 米后姐姐去追他。姐姐每分钟走 60 米，姐姐带的小狗每分钟跑 150 米。小狗追上弟弟又转去找姐姐，碰上姐姐又转去追弟弟，这样来回跑来跑去，直到姐弟相遇小狗才停下来。问小狗一共跑了多少米？（ ）A.600 B.800 C.1200 D.1600（八） 、工程问题工作量=工作效率工作时间，总量一般设为 1. “凑”的方法。【例 1】 （国家 2011-70 题）【例 2】 （国家 2009-110 题）【例 3】 （十三省联考 2010-9 题）【例 4】 （国家 2007 年）一篇文章现有甲乙丙三人，如
21、果甲乙两人合作翻译，需要 10 小时完成，如果由乙丙两人合作翻译，需要 12 小时，现在先由甲丙两人合作翻译 4 小时，剩下的再由乙单独翻译，需 12 小时才能完成。则这篇文章由乙单独翻译，需要多少小时（ ）A15 B.18 C20 D25（九） 、利润问题，利润率即是增长率。售 价 进 价 （ 成 本 ） 利 润（ 成 本 ） 利 润 率 进 价 （ 成 本 ） 进 价 （ 成 本 ）现 售 价折 扣 原 售 价【例 1】 （国家 2010-53 题）【例 2】 （国家 2011-72 题）（十） 、几何问题常用周长公式 C4;C2;C2Raab正 方 形 周 长 长 方 形 周 长 圆 形
22、 周 长常用面积公式2 2S;S;S正 方 形 面 积 长 方 形 面 积 圆 形 面 积三角形面积 S= ； 平行四边形面积 S=1sinahbah梯形面积 S= ； 扇形面积 S=()20362R8常用表面积公式正方体表面积=6 ； 长方体的表面积= ;2a2()abc球的表面积=4 = ；圆柱的表面积= +2 ,侧面积=RDRh2Rh常用体积公式正方体体积= ； 长方体的体积= ; 球的体积= =3aabc34316D圆柱的体积= ； 圆锥的体积=2h2h正余弦定理11sinsisinSabCcBbcA22oca常用不规则图形周长、面积、表面积、体积求法：割与补【例 1】 （天津，湖北，
23、陕西联考 2009 年）在右图中，大圆的半径为 8,求阴影部分的面积是多少（ ）A. 120 B. 128 C. 136 D. 144【例 2】 （国家 2010-51 题）【例 3】 （国家 2011-74 题）（十一） 、鸡兔同笼问题【例 1】 今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？格式：设全为鸡，则共有足 235=70，实际上多 24 足（每只）兔（比鸡）多 2 只兔 =12 只注 1：第一步是乘法，数字越简单越容易计算，注 2：若先设为鸡，计算出来的是兔。【例 2】 （国家 2006-41 题）【例 3】 （国家 2009-47 题）（十二） 、牛吃草问题不变量：单位
24、面积原有草量；每头牛每天吃草量默认为“1”设单位面积新长草量可供 头牛吃，则x单位面积原有草量=（牛数 ）时间x9【例 1】有一块牧场，可供 10 头牛吃 20 天，15 头牛吃 10 天，则它可供 25 头吃 多少天？（ ）A.3 B.4 C.5 D.6【例 2】 （国家 2009-119 题）【例 3】22 头牛吃 33 公亩牧场的草，54 天可以吃尽，17 头牛吃同样牧场 28 公亩的草，84天可以吃尽。请问几头牛吃同样牧场 40 公亩的草，24 天吃尽？( )A.50 B.46 C.38 D.35 【练习 1】由于天气逐渐变冷，牧场上的草每天一均匀的速度减少。经计算，牧场上的草可供 2
25、0 头牛吃 5 天，或供 16 头牛吃 6 天。那么可供 11 头牛吃几天？( )A.12 B.10 C.8 D.6（十三） 、年龄问题1、 不变量：年龄差不变2、 代入排除法与方程是常见的两种方法3、 当没有倍数是可用平均分段法【例 1】小白兔说：“妈妈，我到你现在这么大时，你就 13 岁啦！”大白兔说:“我像你这么大年龄时，你只有 1 岁。 ”请问小白兔现在几岁？（ ） 【例 2】 （国家 2010-52 题）（十四） 、统筹安排，推理问题【例 1】 （国家 2006-38 题）【例 2】 （国家 2006-48 题）【例 3】 （国家 2010-53 题）【例 4】 （国家 2011-7
26、3 题）（十五） 、时钟问题1、辅助工具：指针式手表，2、坏钟问题：快慢比例不变，标准比不变。3、有些钟表问题是追击问题，单位都化为分钟来计算，4、时钟每圈 12 格，每格 30 度，5、时针: 0.5 度/分钟，分针: 6 度/分钟。【例 1】 （国家 2006-45 题）【例 2】 （国家 2005 年）一个快钟每小时比标准时间快分钟，一个慢钟每小时比标准时间慢分钟，如果两个钟同时调到标准时间，结果在小时里，快钟显示点整时，慢钟显示九点整。则此时的标准时间是（ ） 。点分 点分 点分 点分（十六） 、折上折问题【例 1】 （国家 2006-49 题）四、计数相关问题（一） 、重叠问题（容斥
27、原理）1.两图重叠10ABAB2.三图重叠 ()ABCBCABC【例 1】 （国家 2005）对某单位的 100 名员工进行调查，结果发现他们喜欢看球赛和电影、戏剧。其中 58 人喜欢看球赛，38 人喜欢看戏剧，52 人喜欢看电影，既喜欢看球赛又喜欢看戏剧的有 18 人，既喜欢看电影又喜欢看戏剧的有 16 人，三种都喜欢看的有 12 人，则只喜欢看电影的有：（ ）A22 人 B28 人 C30 人 D36 人【例 2】 （国家 2006-42 题）【例 3】 （国家 2009-116 题）【例 4】 （国家 2010-48 题）【例 5】 （国家 2011-75 题）注：注意三图重叠时的容斥关
28、系（二） 、排列组合 , !P=n(1)(2)(1)C! !()!mmnmn nnm 个 基 本 概 念排 列 ： 与 顺 序 有 关加 法 原 理 ： 分 类 用 加 法乘 法 原 理 ： 分 步 用 乘 法 组 合 ： 与 顺 序 无 关排 列 公 式 ：组 合 公 式 ：组 合 恒 等 式 ：【例 1】 （国家 2006-46 题）【例 2】 （国家 2009-115 题）【例 3】 （国家 2010-46 题）【例 4】 （国家 2011-71 题）（三） 、比赛计数N 支队伍的比赛所需场次， 默认的循环赛为单循环赛 2NCP 仅 需 决 出 冠 、 亚 军 比 赛 场 次 =-1淘
29、汰 赛 需 决 出 第 1、 2、 3、 4名 比 赛 场 次 单 循 环 （ 任 意 两 个 队 打 一 场 比 赛 ） 比 赛 场 次循 环 赛 双 循 环 （ 任 意 两 个 队 打 一 场 比 赛 ） 比 赛 场 次11【例 1】 （国家 2007 年）学校举办一次中国象棋比赛，有 10 名同学参加，比赛采用单循环赛制，每名同学都要与其他 9 名同学比赛一局，比赛规则，胜者得 2 分，负者 0 分，平局各得陇望蜀分，比赛结束后，10 名同学的得分各不相同，已知：（1） 比赛第一名和第二名都是一局没输过；（2） 前两名的得分比第三名多 20 分；（3） 第四名的得分与与最后 4 名得分相
30、等。那第五名同学的得分是（ ）A8 B9 C10 D11【例 2】 （广西 2009 年）16 支球队分两组，每组打单循环赛，共需打（ ）场比赛。A16 B56 C64 D120（四） 、抽屉原理抽屉原理：关键是构造抽屉，一般以种类，类型构造抽屉。关键词：保证，至少。【例 1】 （国家 2007 年）从一幅完整的扑克牌中，至少抽出多少张牌，才能保证至少 6 张牌的花色相同（ ）A.21 B.22 C .23 D.24【例 2】 （浙江 2010 年）某区要从 10 位候选人中投票选举人大代表，现规定每位选举人必须从这 10 中任选两位投票，问至少要有多少位选举人参加投票，才能保证有不少于 10
31、 位选举人投了相同两位候选人的票？（ ）A382 位 B406 位 C451 位 D516 位（五） 、植树问题n n线 形 植 树 ： 棵 树 =间 隔 +1楼 间 植 树 ： 棵 树 间 隔 -环 形 植 树 ： 棵 树 间 隔 间 隔 总 长 间 距若 植 树 方 式 是 “边 植 树 ”在 “单 边 植 树 的 基 础 上 棵 树 即 可 。剪绳问题：一条绳对折 次，从中剪 刀，则被剪成了 段NM(21)NM【例 1】 （国家 2006-47 题）（六） 、方阵问题一、实心方阵人数=，长方形阵=M。二、方阵最外层人数=4（N-1）三、每层人数比相邻内层人数多 8，所以成等差列四、每边人数=（每层人数4）+1作 图【例 1】有一队学生，排成一个空方阵，最外层的人数共 48 人，最内层人数为 24 人，则12该方阵共有多少人？（ ）A.120 B.144 .176 D.194
