基于“数据重用”的常模盲均衡算法分析.doc

1、2009 年 7 月 Journal on Communications July 2009第 30 卷第 7 期 通 信 学 报 Vol.30 No.7基于“数据重用”的常模盲均衡算法分析许华 1，郑辉 2，张冬梅 3（1. 空军工程大学 电讯工程学院，陕西 西安 710077；2. 西南电子电信技术研究所信号盲处理国防科技重点实验室，四川 成都 610041；3. 空军工程大学 理学院，陕西 西安 710051）摘 要：基于“数据重用”的常模均衡算法可以用于解决短时突发信号的盲均衡问题，但是对于这类算法应用中重要特性的研究还需要进一步深入。首先对数据重复导致的误收敛特性进行了分析并给出了产

2、生这种误收敛的约束条件；然后对短数据重用常模算法能够达到和无重复使用的长数据常模均衡相同稳态误差的条件进行了详细分析并给出了相应的结论。这些分析和结论对于该类盲均衡方法的应用非常重要，计算机仿真验证了这些分析和结论的有效性。关键词：常模算法；数据重用；误收敛中图分类号：TN929.53 文献标识码：A 文章编号：1000-436X(2009)07-0073-05Analysis of constant modulus blind equalizationalgorithms base on “data reuse”XU Hua1, ZHENG Hui2, ZHANG Dong-mei3(1.T

3、he Telecommunication Engineering Institute, AFEU, Xian 710077, China;2. National Defence Key Laboratory of Blind Processing of Signals, Southwest Inst. of Electron. 3. College of Science, AFEU, Xian 710051, China)Abstract: The constant modulus blind equalization algorithm based on “data reuse” could

4、 be used to solve the problem of blind equalization of short burst signals, but its important properties hadnt been studied. The ill-convergence caused by data reuse was analyzed and the restriction was given firstly, and secondly, the conditions of data reuse constant modulus algorithm reaching to

5、the performance of long time signals equalization was analyzed in detail and gave the corresponding results. The validity of these analyses is proved by computer simulation.Key words: data-reusing; constant modulus algorithm; ill-convergence1 引言对 短 时 突 发 信 号 的 盲 均 衡 问 题 是 当 前 盲 均 衡 领域 面 临 的 一 个 新 的

6、问 题 。 短 时 突 发 信 号 的 盲 均 衡 问题 与 一 般 盲 均 衡 问 题 的 区 别 主 要 在 于 短 时 突 发 信 号的 “短 ”上 面 。 一 般 Bussgang 类 的 算 法 在 适 当 步 长收 敛 到 稳 态 所 需 的 符 号 数 是 2 00010 000 个 符 号 ，但 是 短 突 发 信 号 一 般 只 有 几 百 个 甚 至 几 十 个 符 号 ，这 样 均 衡 器 无 法 在 这 么 短 的 时 间 内 收 敛 到 稳 态 又 保证 稳 态 误 差 较 小 ； 基 于 高 阶 统 计 量 的 均 衡 算 法 由 于高 阶 统 计 量 的 估 计

7、需 要 较 长 的 数 据 ， 并 不 适 合 短 时信 号 的 应 用 ； 基 于 循 环 二 阶 统 计 量 的 方 法 ， 虽 然 收敛 速 度 较 快 ， 但 是 其 运 算 的 复 杂 性 、 对 条 件 的 依 赖性 及 其 实 际 应 用 中 性 能 还 不 能 令 人 满 意 等 缺 点 。当 前 对 短 时 突 发 信 号 盲 均 衡 算 法 的 研 究 成 果 中出 现 了 一 类 简 单 有 效 的 方 法 ： 基 于 数 据 重 用 （ data 收稿日期：2007-11-17；修回日期：2009-04-1774 通 信 学 报 第 30 卷reusing） 的 盲 均

8、 衡 算 法 13。 文 献 1给 出 了 一 种 针对 移 动 通 信 中 TDMA 信 号 盲 均 衡 算 法 ， 文 献 2给出 了 一 种 针 对 短 波 跳 频 信 号 盲 均 衡 方 法 ， 以 上 2 种算 法 的 实 质 都 是 基 于 数 据 重 用 的 Bussgang 类（ CMA 与 LMS-DD 算 法 的 结 合 ） 盲 均 衡 算 法 ； 文献 3给 出 了 一 种 基 于 数 据 重 用 并 联 合 使 用 数 据 辅 助自 适 应 均 衡 和 盲 均 衡 方 式 的 半 盲 短 时 信 号 均 衡 算 法 。但 是 短 时 信 号 和 长 时 连 续 信 号

9、有 着 很 大 的 差 别 ， 如由 于 持 续 时 间 有 限 ， 它 无 法 呈 现 出 和 长 时 连 续 信 号相 同 的 统 计 特 性 （ 如 噪 声 的 时 间 平 均 值 明 显 不 为 零等 特 点 ） 。 当 前 虽 然 数 据 重 用 的 盲 均 衡 算 法 在 某 些条 件 下 ， 能 够 解 决 短 时 信 号 的 盲 均 衡 问 题 ， 但 是 现有 的 研 究 成 果 还 没 有 分 析 基 于 数 据 重 用 的 盲 均 衡 在什 么 条 件 下 能 够 正 确 收 敛 ， 在 什 么 条 件 下 可 以 达 到和 无 重 复 使 用 的 长 数 据 序 列 相

10、 同 的 均 衡 效 果 等 问 题 ，本 文 分 析 了 数 据 重 用 常 模 算 法 14的 有 关 收 敛 特 性 。2 数据重用常模算法及误收敛问题描述数据重用还在对 LMS 算法的改进中进行了研究 57， 设 输 入 信 号 为 ，111 nMnNxx令 输 入 数 据 向 量 ， T ， ， T12nnMx N， 那 么 输 入 数 据 矩 阵 可 以 表 示 为N， H11()AxH()nA1nx对 于 一 般 的 LMS 算 法 或 者 归 一 化 LMS 算2n法 每 次 迭 代 使 用 一 个 数 据 向 量 （ 如 第 n 次 迭 代 使 用xn） ； 对 于 双 归

11、一 化 数 据 重 用 LMS 算 法 （ BNDR-LMS） ， 每 次 迭 代 使 用 2 个 输 入 数 据 向 量 （ 如 第 n 次迭 代 使 用 xn 和 xn1） ， 这 样 总 体 来 看 每 个 数 据 向 量 都被 使 用 了 两 次 ； 而 对 于 仿 射 投 影 算 法 每 次 迭 代 使 用一 个 N 维 的 输 入 数 据 矩 阵 （ 如 第 n 次 迭 代 使 用 ）()A， 这 样 总 体 看 来 每 个 数 据 矢 量 都 被 使 用 了 次 。N虽然（归一化）LMS 算法、双归一化LMS（BNDR-LMS）算法和仿射投影算法的推导过程都是采用最小扰动原理，其

12、使用的数据向量的不同只是对应到约束条件的变化，但是在收敛速度上三者的差异明显。在归一化 LMS 算法、BNDR-LMS 算法和仿射投影算法三者的收敛速度比较中，重复使用输入数据向量次数最多的仿射投影算法最快，只重复使用数据两次的 BNDR-LMS 算法其次，没有重复使用输入数据向量的（归一化）LMS 算法最慢。可见，数据重用处理带来的好处是加快了算法收敛的速度，而带来的问题是增大了稳态误差。在这种“数据重用”方式下，Bussgang 类盲均衡算法可以得到和 LMS 算法基本相同的效果提升。但是由于在相同的条件下，Bussgang 类盲均衡算法本身的收敛速度比LMS 算法慢，而收敛后稳态误差都要

13、比 LMS 算法大，所以“数据重用”后的“噪声放大”作用更加明显。为了既得到数据重用的好处又克服“噪声放大”问题可以采用“数据矢量的循环重用” 1,2的数据重用方式，重用方式可表示为：xnxn-1xn-N+1xn+Nxn+N-1xn+1xn+2N xn+2N-1xn+N+1重复 R 次 重复 R 次 重复 R 次逆时序数据矢量循环重用方法xn-N+1xn-N+2xnxn+1xn+2xn+Nxn+N+1xn+N+2xn+2N重复 R 次 重复 R 次 重复 R 次时序数据矢量循环重用方法通过仿真和实际应用证明，该数据重用方式不存在明显的噪声放大问题 2，但是这种周期的数据重用方法在某些条件下会产

14、生误收敛问题。以这种数据重用方式进行的常模算法，在重用之后，总体看来一段时间内输入的信号是一个周期信号，其周期为突发的时间长度：NT，T 表示符号周期，可以通过一个简单的例子来仿真误收敛问题。信噪比 17dB，CMA 均衡器长度为21，均衡器步长 0.05，重用数据长度为 30，重用次数为 400 次。从图 1 和图 2 可以看出：对 CMA 的数据重用均衡的收敛过程中，MSE 经历了从下降到上升再到平稳的过程，平稳后 MSE 较大。但是其计算误差值（代价函数值）却是一个稳步变小的过程，所以可见这种条件下的数据重用 CMA 算法的收敛方向出现了问题，它没有朝期望的方向收敛到MSE 最小的点，而

15、是收敛到另外一个非期望的代价函数最小点，这个点就是周期重复的数据产生的常模特性第 7 期 许华等：基于“数据重用”的常模盲均衡算法分析 75图 1 数据循环重用常模算法 MSE 的收敛曲线图 2 数据循环重用常模算法误差值的收敛曲线引起的误收敛。周期信号的常模特性可以解释为：周期信号在频谱上是多个离散频率分量的组合，这个信号通过一个均衡器（也就是一个滤波器）之后，可以得到一个或者多个频率分量合成的常模信号。3 误收敛特性分析采用数据重用方式的一个短时信号，其输入均衡器的效果相当于一个离散的周期信号输入均衡器。一个周期为 N 的离散周期系列对于任何整数 n 都有 ，该周期信号可以表示为xnr傅立

16、叶级数，该级数相当于成谐波关系的复指数序列之和，这些复指数（谐波）的角频率为。由于任何周期为 的离散时间信号的2/()T傅立叶级数，只需要 个成谐波关系的复指数 8，N所以 的傅立叶级数有如下的形式xn(1)1j(2/)0eNknkX这里傅立叶级数的系数 可以表示为(2)1j(2/)0eNNknnx假设均衡器已经收敛（即均衡器系数的变化非常小：传输函数 已经确定） ，那么输入的()Hz离散周期序列通过均衡器以后将仍然是一个周期为 的离散时间信号，而且由于常模算法的约束N关系，输出信号的模值符合常模特性。将均衡器的输出信号 的傅立叶级数表示为如下的形式ny(3)1j(2/)0eNNknkY这里输

17、出信号的模值 ，其傅立叶y常 数级数的系数为(4)1j(2/)0eNNknkY而 和 的关系可以表示为kX, k0,N1 (5)H其中， 为符合式(5) 的理想均衡器的频率响应在角频率 上的增益值。为了使输出2/()nNT符合常模特性，均衡器只需要在对这些复单y频信号的增益值（傅立叶级数的系数）进行调整即可。对于一个实际 M 阶的横向均衡器（实质是一个 FIR 滤波器） ，其频率响应可以表示为(6)j j0(e)()ewwmHb其中，序列 为均衡器的抽头系,1,bm数，而式（5）中用于调整傅立叶系数增益的复序列 可以表示为k(7)j2/0()()eMkmNmHkb对于一个任意的 长序列 (,H

18、都可以表示成傅立叶级数的形式0,1kN(8)1j2/0j/()()ekNmkmk通过式（7）和式（8）对比可以看出：当时（即重用数据周期小于或等于均衡器1NM长度的时候） ，式（7）中的复单频信号包含了傅立叶级数式（8）中全部的频率信息，所以式（7）能够表示所有的序列 ；(),01,HkN也就是说当 时，通过调整均衡器系数，1能够使均衡器精确地收敛到周期信号的常模特性上。当 时，式（7）中没有包含了傅立NM叶级数表示式（8）中全部的频率信息，所以式（7）不能精确表示所有的序列76 通 信 学 报 第 30 卷。但是这时常模均衡器仍(),01,HkN然有可能收敛到周期信号的常模特性上，原因是当

19、与 M+1 差别在一定范围之内时，不能被精确表示的序列H(k)能够在较小的误差范围内被表示出来。由于输入信号的随机性，笔者难以给出均衡器收敛到周期信号常模特性关于重用数据长度和均衡器长度 M+1 的精确关系式。仿真分析表N明：要使均衡器不收敛到周期信号的常模特性上，则 （具体多数情况下需要 ） ；15(1)NM信号信噪比对误收敛的影响表现为：在 与 M+1的关系确定时，信噪比越大误收敛到周期信号的概率越小，而信噪比越小误收敛到周期信号的概率越大。本文在下一节对“数据重用”常模均衡的最优收敛特性进行了分析，其结论表明最优收敛的条件比避免“误收敛”的要求更严格，重用数据长度只要满足最优收敛条件一般

20、都能满足避免误收敛的条件。因此，本文为节省篇幅将对误收敛的仿真分析省略（可以参阅文献9） 。4 最优收敛特性分析前面研究了在数据重用方式下，常模均衡器误收敛到周期信号的原因，并给出了消除误收敛到周期信号的条件和一些结论，但是均衡器不误收敛到周期信号并不能表明它就能收敛到和无重复使用的长数据序列相同的水平。所以本小节则是讨论数据重用常模均衡器的另外一个重要问题：数据重用常模均衡器能够达到常模均衡器对无重复使用的长数据序列均衡性能（即最优收敛）的条件。让 S 表 示 所 有 可 能 感 兴 趣 的 “输 入 希 望 ”数据 对 集 (,)dx， 不 考 虑 噪 声 条 件 下 ， 令 表 示属 于

21、 S 时 ， 所 有 使 输 出 误 差 为 零 的 w， 那 么,可 写 为(9)H(,):0NdSdxwRx常模算法的期望序列 为非线性无记忆变i换形式，如 ，R 为信号模epjangl()i i值。如果使用 个“输入希望”数据对k来收敛自适应滤波器， 表示 i 时刻，1,kidxiH使输出误差为零的所有 w 值的集合(10):0Ni iiHdx它的边缘是一个超平面。定义集合 是k的交集。那么,1,iHk(11)1kiH可见，集合 在任意时刻都是 的子集，只k有当信号遍历了 S 中的所有数据对时，它们才是相等的。集合 表示收敛到理想的状态， 表示使用若干数据进行训练以后达到的状态，当满足训

22、练信号遍历了 S 中的所有数据对时， 和 是k相等的，也就是均衡器收敛到了理想状态。S 中所有“输入希望”数据对，可以通过输入均衡器的数据情况来分析。S 中输入均衡器的信号总样式数（也就是信道的输出信号总样式数）是由输入信道的数据信号维数和信道的阶数情况决定的：假设信道使用 FIR 滤波器来近似，其阶数为 Q（长度为 Q+1） ；输调制信号的维数为M1（MPSK 或者 MQAM） ，那么输入数据 xk 的类型总数为 。这里得到的是 时刻均衡器的(1)输入数据 xk，虽然 S 中分析的是输入均衡器（阶数为 M）的矢量 x，而输入矢量 x 的总样式数依然为 。当采用 LMS 类算法时， “希望”数

23、据(1)Q是 dkP ，P 为某个固定延时；当采用常模算法时，“希望”数据固定为模值 R，总体来说，输入矢量x 的总样式数也就是 S 中“输入希望”数据对的总个数。因此数据重用常模均衡器最优收敛需要个不同的输入数据矢量，这个结论与文献(1)Q1给出的结论类似（但是文献1没有给出原因分析） ，从上面的结论来看，收敛到理想状态需要的数据个数由原始信号的维数（ ） 、信道的长度1M（ ）来决定，2 个参数的变大都会使“输入1希望”数据对数目增加，从而导致最优收敛需要的数据长度增加。对于上述结论，需要进行以下 3 点说明。1) 结论给出最优收敛需要的 个不同的(1)Q输入数据矢量，但是如果仅仅只有 M

24、1(Q+1)个输入数据并一定能得到最优收敛，因为 个输入)数据很可能有些是相同的，这样一般需要的数据长度要多于 个，由于输入信号的随机性，(1)QM对于实际信号需要的数据长度也不是固定的；文献1给出了一个信道长度为 3，QPSK 信号的仿真，仿真结果显示数据重用盲均衡器最优收敛需要的数据长度大约在 60100 之间，而其 的值为(1)QM第 7 期 许华等：基于“数据重用”的常模盲均衡算法分析 774364。2) 再考虑噪声的影响；在有噪声的条件下，对收敛过程产生两方面的影响：噪声使一个数据矢量每次收敛的方向和程度的随机性变大（抖动变大） ，收敛速 度 将 减 慢 ； 噪 声 的 影 响 就

25、表 现为 整 体 MSE 的 提 高 ， 这 样 收 敛 曲 线 需 要 经 过 的 “路程 ”减 少 ； 的 影 响 使 最 优 收 敛 需 要 的 数 据 长 度 增加 ， 的 影 响 使 最 优 收 敛 需 要 的 数 据 长 度 减 小 ， 通过 仿 真 （ 如 图 3 和 图 4 所 示 ） 显 示 总 体 上 噪 声 对 最优 收 敛 需 要 的 平 均数据长度有一定的增加，而且增加了随机性。3) 实际中信道阶数 Q 是未知的，所以如果要确定数据重用常模均衡算法最优收敛所需的数据长度，就需要首先对信道阶数进行估计，这一点本文不作进一步讨论。仿 真 验 证 ： 均 衡 器 长 度 1

26、1， 信 噪 比 为 20dB 和10dB， 信 道 冲 激 响 应 为 ： w(k)=0.224j0.304 0.854+ j0.5200.218+j0.273， 信 号 调 制 方 式 为 8PSK， 仿 真曲 线 图 的 横 坐 标 为 均 衡 器 运 算 的 总 迭 代 次 数 ， 纵 坐标 为 均 方 误 差 （ MSE） ， 单 位 为 dB 并 由 下 式 定 义 ：H2H2()()snhh其中， =0 0 1 0 0； 为 均 衡 器 的 系 数 ； h为 信 道 响 应 ， 和 分 别 为 信 号 和 噪 声 的 方 差 。2sn图 3 信噪比为 20dB 时，重用数据长度和

27、收敛后的 MSE 曲线图 4 信噪比为 10dB，重用数据长度和收敛后的 MSE 曲线根据上述仿真条件，即信道长度为 3，调制维数为 8，其 的值为 83512。从图 3 可以看(1)QM出，信噪比为 20dB 时，从重用数据大于 200 之后MSE 的变化比较慢了，重用数据长度在大于 600之后 MSE 的变化就基本无变化了；从图 4 可以看出，信噪比为 10dB 时，重用数据长度在大于 900之后 MSE 基本无变化了，可见以上仿真和文献1的仿真证明了最优收敛需要的 个不同的输(1)Q入数据矢量的合理性，同时图 3 和图 4 还显示信噪比的降低会使最优收敛需要的数据长度有所增加。5 结束语

28、“数据重用”使常模算法，这种需要较长数据才能收敛的 Bussgang 类盲均衡算法，能够处理短时突发信号的均衡问题，但是数据重用也使常模算法在特性上有明显的变化，本文对这些新特性进行了研究和分析：对数据重用常模算法由于数据重复使用导致的误收敛特性进行了分析，并给出了产生这种误收敛的约束条件，给出了避免这种误收敛的数据长度限制；对数据重用常模算法能够达到与使用无重复的长数据序列均衡相同水平的条件进行了详细分析，并给出了相应的结论。计算机仿真验证了这些结论的有效性，同时这些结论也指导了笔者在实际工作中的应用。参考文献：1 KIM B J, COX D C. Blind equalization f

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