养老金收支平衡精算模型.doc

1、 养老金收支平衡精算模型组员：谢灏扬（组长） 邓安瑜 许柯 潘宇飞班级：11 级环水一班（2012 年 6 月）养老金收支平衡精算模型摘要本文针对企业退休职工养老金的问题，通过建立合理的假设，综合运用 Logistic阻滞增长模型、傅立叶级数拟合、折现率、精算模型等方法讨论影响职工养老金的各因素，并对影响养老金的各个因素作了详细的分析和提供了较为实际的建议。针对问题一，假设在未来中国经济发展稳定增长的情况下，根据附件提供的数据，运用曲线拟合和 Logistic 增长模型，建立年均工资预测模型。首先对原数据进行简单的曲线拟合，结果成指数趋势增长，而指数的增长趋势与经济发展规律和国家经济发展战略不

2、符，属于理想状况；之后通过引进与经济发展相关的 Logistic 增长模型对山东省职工的年均工资进行预测，并采用四点法求得 Logistic 增长趋势方程的最大上限值，确定 Logistic 增长模型的趋势方程式，最后采用 R 方检验法进行检验。预测得到山东省2011 年的年均工资为 37827.86 元，在 2021 年实现年均工资翻一番（64684.56 元） ，2035 年时年均工资翻两番，达到 93199.61 元，整体上符合国家的经济发展战略。针对问题二，建立养老金替代率计算模型。首先根据养老金原理得出基础养老金和个人账户养老金公式，运用问题一的 Logistic 增长模型，并在考虑

3、职工年龄阶段性跳层的基础上，引用傅立叶级数拟合 60-64 岁阶段的月均工资，获得 2000-2034 年各年龄段年均工资，在此基础上，借助 MATLAB 编程解出各缴费年龄段的替代率。最后对替代率进行灵敏度分析。 针对问题三，建立养老保险基金缺口分析模型。首先分别从基础养老金和个人账户养老金两方面讨论缺口情况，并在引进折现率的基础上综合讨论养老保险基金的缺口情况，主要针对社会统筹基金和个人账户基金两方面进行分析，最后推算缴存的养老保险基金和领取的养老金之间的平衡点。针对问题四，建立养老保险收支平衡精算模型。首先对影响养老保险收支平衡的因素进行取舍，忽略社会统筹基金中其他相关因素对收支平衡的影

4、响，只重点考虑影响个人账户的收入和支出的相关因素。通过考虑社会平均退休年龄、平均余命、生存概率等因素，并根据未来给付精算现值等于未来缴费精算现值的精算平衡方法，对个人账户养老金在计算时点的缴费现值和未来给付精算现值进行比较，得到收支平衡时的替代率与退休年龄和工资增长率的关系，并算出当满足目标替代率时退休年龄和工资增长率的范围。然后针对本问题养老金平衡模型的影响因素作了分析和提供了建议措施。最后，通过对中国养老保险的现状和弊端做了简单的分析和提出相应的建议。- 1 -目 录摘要 .I1、问题重述 .12、问题假设 .13、符号说明 .24、问题分析 .34.1 背景分析 34.2 问题一分析 3

5、4.3 问题二分析 34.4 问题三分析 44.5 问题四分析 45、模型建立与求解 .45.1 问题一 45.1.1 工资增长指数模型 .45.1.2 工资增长 Logistic 模型 .65.1.3 模型结果比较与分析 .95.2 问题二 105.2.1 基础养老金 .105.2.2 个人账户养老金 .115.2.3 替代率 .115.2.4 灵敏度分析 .135.3 问题三 145.3.1 基础养老金缺口分析 .145.3.2 个人账户养老金缺口分析 .155.3.3 养老保险基金缺口分析 .165.4 问题四 165.4.1 养老金平衡精算模型 175.2 关于养老金体系的思考 206

6、、模型优化与推广 .206.1 养老金平衡精算模型的敏感性分析 206.1.1 工资增长率 206.1.2 实际利率 217、模型的优缺点 .217.1 模型的优点 217.2 模型的缺点 211、问题重述养老金也称退休金，是一种根据劳动者对社会所作贡献及其所具备享受养老保险的资格，以货币形式支付的保险待遇，用于保障职工退休后的基本生活需要。我国企业职工基本养老保险实行“社会统筹”与“个人账户”相结合的模式，即企业把职工工资总额按一定比例（20%）缴纳到社会统筹基金账户，再把职工个人工资按一定比例（8%）缴纳到个人账户。这两个账户我们合称为养老保险基金。退休后，按职工在职期间每月（或年）的缴费

7、工资与社会平均工资之比（缴费指数） ，再考虑到退休前一年的社会平均工资等因素，从社会统筹账户中拨出资金（基础养老金） ，加上个人工资账户中一定比例的资金（个人账户养老金） ，作为退休后每个月的养老金。养老金会随着社会平均工资的调整而调整。如果职工死亡，社会统筹账户中的资金不退给职工，个人账户中的余额可继承。个人账户储存额以银行当时公布的一年期存款利率计息，为简单起见，利率统一设定为 3%。养老金的发放与职工在职时的工资及社会平均工资有着密切关系；工资的增长又与经济增长相关。近 30 年来我国经济发展迅速，工资增长率也较高；而发达国家的经济和工资增长率都较低。我国经济发展的战略目标，是要在 21

8、 世纪中叶使我国人均国民生产总值达到中等发达国家水平。现在我国养老保险改革正处于过渡期。养老保险管理的一个重要的目标是养老保险基金的收支平衡，它关系到社会稳定和老龄化社会的顺利过渡。影响养老保险基金收支平衡的一个重要因素是替代率。替代率是指职工刚退休时的养老金占退休前工资的比例。按照国家对基本养老保险制度的总体思路，未来基本养老保险的目标替代率确定为 58.5%. 替代率较低，退休职工的生活水准低，养老保险基金收支平衡容易维持；替代率较高，退休职工的生活水准就高，养老保险基金收支平衡较难维持，可能出现缺口。所谓缺口，是指当养老保险基金入不敷出时出现的收支之差。附件 1 是山东省职工历年平均工资

9、数据；附件 2 是 2009 年山东省某企业各年龄段职工的工资分布情况，附件 3 是养老金的计算办法。请建立数学模型，解决如下问题：问题一：对未来中国经济发展和工资增长的形势做出你认为是简化、合理的假设，并参考附件 1，预测从 2011 年至 2035 年的山东省职工的年平均工资。问题二：根据附件 2 计算 2009 年该企业各年龄段职工工资与该企业平均工资之比。如果把这些比值看作职工缴费指数的参考值，考虑该企业职工自 2000 年起分别从 30岁、40 岁开始缴养老保险，一直缴费到退休（55 岁，60 岁，65 岁） ，计算各种情况下的养老金替代率。问题三：假设该企业某职工自 2000 年起

10、从 30 岁开始缴养老保险，一直缴费到退休（55 岁，60 岁，65 岁） ，并从退休后一直领取养老金，至 75 岁死亡。计算养老保险基金的缺口情况，并计算该职工领取养老金到多少岁时，其缴存的养老保险基金与其领取的养老金之间达到收支平衡。问题四：如果既要达到目标替代率，又要维持养老保险基金收支平衡，你认为可以采取什么措施。请给出你的理由。- 1 -2、问题假设1、假设 21 世纪中叶我国人均国民生产总值达到中等发达国家水平。2、假设职工缴纳养老保险基金过程不会中断，直到该职工退休。3、假设所有的职工都是从每年的 1 月份开始缴费，每年缴足 12 个月，而退休后也是从每年的 1 月份开始领取养老

11、金。4、假设社会经济发展过程中无经济危机产生，国民经济增长稳定，并忽略老龄化影响。5、假设中等发达国家的人均收入标准为 9000-10000 美元 1。3、符号说明符号 符号定义(单位)P职工退休时养老金 (元)b职工退休时基础养老金 (元)r职工退休时基础个人账户养老金 (元)G职工退休时个人账户储存额 (元)M个人账户养老金计发月数 (月)T某企业上年度在岗职工月平均工资 (元)S本人指数化月平均缴费工资 (元)m职工实际缴纳基本养老保险费的年限(年)n职工实际缴纳基本养老保险费的月数(月)ix退休前第 年本人缴费工资额(元) i ),1(miic退休前第 年企业职工平均工资 (元) iN

12、退休前第 年的缴费指数i ),(iiS第 年职工参加养老保险的平均工资( )i 年元 /),1(miQ职 工 个 人 工 资 缴 纳 到 个 人 账 户 的 比 例 （ 8%）- 2 -L企 业 职 工 年 均 工 资 与 全 省 职 工 年 均 工 资 的 比 值iW第 i 个 年 龄 阶 段 的 企业各年龄段职工工资与该企业平均工资比值H替 代 率4、问题分析4.1 背景分析养老金也称退休金、退休费，是一种最主要的养老保险待遇。1997 年国务院发布的国务院关于建立统一的企业职工基本养老保险制度的决定和 2005 年 12 月 3 日国务院发布的国务院关于完善企业职工基本养老保险制度的决定

13、等国家有关文件规定，在劳动者年老或丧失劳动能力后，根据他们对社会所作的贡献和所具备的享受养老保险资格或退休条件，按月或一次性以货币形式支付的保险待遇，主要用于保障职工退休后的基本生活需要。现在我国养老保险改革正处于过渡期，在养老保险中养老金过低则退休职工的生活水准低，但养老保险基金收支平衡容易维持；养老金过高则退休职工的生活水准高，但养老保险基金收支平衡较难维持，有时还会出现缺口。故需要对养老保险进行管理，维持养老保险基金的收支平衡，稳定退休职工的正常生活，促进社会稳定发展，稳定养老保险基金可持续发展，稳定社会经济发展。4.2 问题一分析根据山东省 1978-2010 年全省职工年平均工资，首

14、先通过绘制散点图，分析变化趋势，满足指数函数增长趋势。假设在理想状况下，没有其它因素的影响，通过拟合得到指数函数，并检验该指数函数，且进行预测和制图。显然在现实实际中这种爆炸式的指数增长模式显然是不合理的，在经济增长的影响下，年均工资在未来发展过程中会受到阻滞而发生变化，以“S”型增长方式增长应更为合理。在这种情况下，无法得知年均工资受到阻滞后会发生何种变化，故引入人均 GDP 值。首先通过搜索 2011 年山东省统计年鉴，得到 1978-2010 年的人均 GDP，对此进行拟合，发现人均 GDP 在此时间阶段也是呈现指数增长。所以将人均 GDP 和理想年均工资进行相关性分析，且得到结果是两者

15、的相似度很高，说明了两者的增长趋势几乎一致。则可通过人均 GDP 的总体增长趋势，来间接体现年均工资的总体增长趋势。从整个社会发展趋势来看人均 GDP 的总体增长趋势是类似 S 型曲线增长，也就是符合 Logistic 阻滞增长趋势，后期的增长趋势会逐渐趋向于某一最大值。故此可以间接说年均工资的总体增长趋势也是满足 Logistic 阻滞增长模型的，对此建立年均工作Logistic 增长模型。可借助 MATLAB 和已知数据求出增长函数，并进行检验，通过检验验证的增长函数则可进行预测将来的年均工资。比较理想状况下和经济增长影响下的年均工资预测值，结合中等发达国家的人均收入标准为 9000-10

16、000 美元 1，和我国经济发展的战略目标，是要在 21 世纪中叶使我国人均国民生产总值达到中等发达国家水平，即在 2050 年左右达到中等发达国家水平。从中来比较说明两种模型中哪一种更加符合实际，能够用来进行预测。- 3 -4.3 问题二分析本问需要计算各种情况下的养老金替代率，那么则从确定替代率的因素入手。题中已经告知替代率是指职工刚退休时的养老金占退休前工资的比例，则问题转换为求解职工退休时的养老金和退休前的工资。由 于 一 个 企 业 的 状 况 是 不 可 能 稳 定 不 变 的 ， 所 以 题 目 提 供 的 2009 年 的 状 况不 能 代 表 其 它 年 份 的 企 业 情

17、况 ， 从 题 目 提 供 的 数 据 中 可 得 到 2009 年 山 东 省 某 企 业职 工 的 月 平 均 工 资 和 全 省 职 工 的 年 平 均 工 资 ， 而 且 全 省 职 工 的 年 平 均 工 资 是 符 合Logistic 增长模型的，那么可以通过对两者进行做比例处理，间接说明了企业职工月均工资也是符合 Logistic 增长趋势的。对 各 个 年 龄 阶 段 的 工 资 取 中 值 代 表 该 工 资 阶 段 的 数 值 ， 那 么 则 可 以 得 到 企 业 整体 的 月 均 工 资 和 各 年 龄 阶 段 的 月 均 工 资 。 企业各年龄段职工工资与该企业平均工

18、资的比值看作职工缴费指数的参考值，得到各年龄段的比值，从而也能够间接说明各年龄段职工工资也是符合 Logistic 增长趋势。那么就可以这些数据来计算预测各年龄阶段的基础养老金、个人账户养老金和替代率。并对影响替代率的因素进行简单的灵敏度分析。4.4 问题三分析本题需要分析在不同的年龄退休，养老保险基金的缺口情况，及养老保险基金和领取养老金之间的收支平衡。分别从社会统筹基金和个人账户基金的缺口和收支平衡，再结合两者分析养老保险基金的缺口情况。根据基础养老金计算公式得出基础养老金总额，根据企业把职工工资总额按一定比例（20% ）缴纳到社会统筹基金账户规则计算缴纳社会统筹基金总额，则单独分析其缺口

19、情况。根据个人账户养老金计算原理得到个人账户养老金总额，通过引进折现率计算个人账户基金总额。对社会统筹基金和个人账户基金都出现缺口；社会统筹基金和个人账户基金都高于平衡，不会出现缺口；还有可能出现社会统筹基金和个人账户基金两个基金中一个高于平衡而另一个低于平衡三种情况综合分析养老金的综合缺口情况。4.5 问题四分析由问题三的模型上可知，替代率是会受到缴费率、平均工资增长率和退休年龄等因素影响，而养老保险基金收支平衡则是会受到替代率的影响的，并且不仅仅只受到替代率单因素的影响。所以，针对养老保险的收支平衡问题，笔者建立基于中国现行基本养老保险制度的社会统筹与个人账户相结合的部分积累制养老保险收支

20、平衡模型，对涉及到的社会统筹基金收支平衡的影响因素不予以考虑，在社会统筹上仅考虑在未来给付时给与个人账户的现值，重点考虑在个人账户上收入和支出对整体养老金收支平衡的影响。在分析个人账户对养老金平衡影响的因素上，考虑社会平均退休年龄、平均余命和生存概率等因素，在现实的养老保险平衡问题上引用温利民在工程数学学报建立的个人账户养老金精算模型，通过利用整体的养老金在计算时点的缴费现值及未来给付精算现值比较，得出在养老保险基金收支平衡时，影响替代率的因素，详细分析相关因素的影响并给出相应的建议和措施等应对情况。- 4 -5、模型建立与求解5.1 问题一5.1.1 工资增长指数模型在理想状况下，忽略特殊情

21、况出现，假设未来中国经济发展过程中无经济危机发生，忽略老龄化影响，工资增长的形式是稳定的，随着社会经济的快速增展，职工的工资也会随之呈增长趋势发展。本题提供了 1978 年2010 年山东省职工平均工资数据，可通过绘画散点图得到该职工平均工资的增长趋势，得图如下：图 5.1.1 1978 年-2010 年山东省职工平均工资散点图由图 5.1.1，从增长趋势上看，职工平均工资的增长趋势近乎呈现指数增长，结合题目附件 1 的数据，借助 MATLAB 进行指数拟合，得到指数拟合函数：（5.1.1）tey1327.045根据（5.1.1）式，拟合出 1978-2010 年山东省职工年均工资，并与实际数

22、据相比较。表 5.1.1 1978-2010 年实际、预测年均工资表年份 实际年均工资 预测年均 工资 年份 实际年均工资 预测年均 工资 年份 实际年均工资 预测年均 工资1978 566 474.23 1989 1920 2041.42 2000 8772 8787.64 1979 632 541.53 1990 2150 2331.11 2001 10007 10034.67 1980 745 618.38 1991 2292 2661.92 2002 11374 11458.66 1981 755 706.13 1992 2601 3039.66 2003 12567 13084.73

23、 1982 769 806.34 1993 3149 3471.01 2004 14332 14941.55 1983 789 920.76 1994 4338 3963.57 2005 16614 17061.87 1984 985 1051.42 1995 5145 4526.03 2006 19228 19483.07 1985 1110 1200.63 1996 5809 5168.31 2007 22844 22247.86 1986 1313 1371.01 1997 6241 5901.73 2008 26404 25405.00 1987 1428 1565.56 1998 6

24、854 6739.23 2009 29688 29010.15 1988 1782 1787.73 1999 7656 7695.58 2010 32074 33126.91 采用标准差检验方法，借助 MATLAB 可运算得到实际年均工资的标准差为9041.1，指数年均工作的标准差为 9026.8，可见该拟合函数误差性低，可用于预测。- 5 -图 5.1.2 指数增长模型检验误差图利用（5.1.1）式，预测 2011-2035 年山东省职工年均工资，得到具体数据如下表：表 5.1.2 2011 年-2035 年山东省职工平均工资预测表年份 2011 2012 2013 2014 2015预测年

25、均工资 37827.86 43195.91 49325.73 56325.42 64318.41 年份 2016 2017 2018 2019 2020预测年均工资 73445.66 83868.15 95769.65 109360.07 124879.08 年份 2021 2022 2023 2024 2025预测年均工资 142600.34 162836.38 185944.06 212330.89 242462.21 年份 2026 2027 2028 2029 2030预测年均工资 276869.39 316159.20 361024.52 412256.56 470758.81 年份

26、 2031 2032 2033 2034 2035预测年均工资 537562.95 613847.10 700956.53 800427.43 914013.98 随着年份的增长，职工的平均工资持续上升，当 2035 年时，年均工资高达914013 元，平均每个月的工资约为 76168 元，相对于 2011 年，几乎增长了 30 倍，达到甚至超过了高等发达国家水平，这与经济增长规律和国家经济发展纲要不相符。汇总原数据和预测数据，作出相应的增长趋势图如下。显然，这种增长方式只适用于经济高速发展的初期和进行短期的预测，对于经济发展的后期和长期预测应该是不合理的。- 6 -图 5.1.3 1978

27、年-2035 年山东省职工平均工资指数拟合图5.1.2 工资增长 Logistic 模型在现实中，职工的年均工资不可能会一直处于指数增长状况，在增长过程中会受到经济发展、国家政策、环境变换等因素的影响。养老金的发放与职工在职时的工资及社会平均工资有着密切关系，工资的增长又与经济增长相关，所以从经济发展对工资增长的影响入手。图 5.1.4 1978 年-2010 年山东省的人均 GDP 值拟合图可以从图 5.1.3 看出人均 GDP 在 1978-2010 年是符合指数增长的，故将此图与工资指数增长模型图进行比较。- 7 -图 5.1.5 1978 年-2010 年山东省的人均 GDP 值与工资

28、增长比较图从比较图中可以看出两者之间的相似程度比较高，都具有一定的增长规律，故此对两者进行相关性分析，通过 SPSS 软件得到人均 GDP 与年均工资的相关性如下：表 5.1.3 人均 GDP 与年均工资的相关性相关性平均工资 GDPPearson 相关性 1 .998*显著性（双侧） 0平均工资N 33 33Pearson 相关性 .998* 1显著性（双侧） 0 GDPN 33 33*. 在 .01 水平（双侧）上显著相关。表中的 Pearson 相关性系数为 0.998，说明了人均 GDP 与年均工资两者呈现高度正相关，那么也就能够从侧面说明年均工资的增长趋势与人均 GDP 的增长趋势相

29、似，甚至趋于一致。而人均 GDP 符合从整个社会发展趋势来看是满足 Logistic 增长模型的，搜索可得 1950-2002 年美国人均 GDP 的增长趋势，也是呈现“S ”型增长，那么就可以间接说明年均工资的增长趋势也是符合 Logistic 增长模型。图 5.1.6 1950-2002 年美国人均 GDP 增长趋势图根据我国近 30 年来的经济发展，快速的经济发展导致工资增长率也随之增高，而- 8 -发达国家的经济增长比较缓慢，工资增长率也比较低。对此我国经济政策制定了经济发展的战略目标，争取要在 21 世纪中叶使我国人均国民生产总值达到中等发达国家水平。假设我国按照制定的经济发展战略步

30、骤走，在 21 世纪中叶达到中等发达国家水平，那么在达到该水平之前，我国的经济发展趋势将会是出现先快速增长，后类似发达国家的缓慢发展，趋近某个发展水平。这与前面的分析相符合。从年均工资的增长趋势类似人口的增长趋势的特点，建立阻滞增长模型 3（Logistic模型） ，Logistic 增长模型函数如下：（5.1.2）)(0max0)1(1trey其中 为 Logistic 方程中的最大上限值， 表示初始年份的初始数值， 表示max 0 0t初始年份时间，t 表示实际年份，r 为阻滞系数。本题中 =566， =1978 且根据年0x0t均工资各个点的数值，通过四点法 4公式确定 Logistic

31、 方程中的最大上限值。（5.1.3）nnnnxxx12 1212ma )()(代入实际数据，进行简单计算可得到 =101805。ma根据题目提供数据，并结合公式（5.1.2） ，通过计算解得 r=0.1305，代入各个参数值，得到年均工资的 Logistic 增长函数如下：（5.1.4）)1978(1305.)56108( tey借助 MATLAB 对公式（5.1.4）进行均方根误差（R 方）检验，检验得到 R 方=0.98431。R square 称为方程的确定系数，取值 0-1 之间，越接近 1，表明方程的变量对 y 的解释能力越强。经过检验获得的 R 方为 0.98431，且很接近 1，

32、那么说明该方程的变量对 y 的解释能力很强，误差性很小，则可通过本函数对未来的年均工资进行预测。需要预测 2011 年-2035 年每年的年均工资，即 t 的取值范围为34,58,将 t 值代入公式（5.1.4） ，计算得到 2011-2035 年的预测年均工资如下表：表 5.1.4 2011-2035 年的年均工资预测表年份 2011 2012 2013 2014 2015预测年均工资 32669.08 35629.29 38707.56 41883.45 45133.54 年份 2016 2017 2018 2019 2020预测年均工资 48431.97 51751.34 55063.5

33、0 58340.57 61555.82 年份 2021 2022 2023 2024 2025预测年均工资 64684.56 67704.82 70597.90 73348.69 75945.82 年份 2026 2027 2028 2029 2030预测年均工资 78381.62 80651.88 82755.58 84694.45 86472.54 年份 2031 2032 2033 2034 2035预测年均工资 88095.76 89571.45 90907.94 92114.22 93199.61 从年均工资预测表中可以看出随着年份的增长，平均工资也随之增长，以 2011- 9 -年

34、的预测年均工资为基底，在 2021 年实现年均工资翻一番，在 2035 年时的年均工资翻两番，并达到 93199.61 元，整体上符合国家的经济发展战略。为了能够明确的看出年均工资的增长趋势，将数据制成折线图如下：1978-2035年 平 均 工 资 表0 10000 20000 30000 40000 50000 60000 70000 80000 90000 100000 1978 1982 1986 1990 1994 1998 2002 2006 2010 2014 2018 2022 2026 2030 2034年 份平均工资 平 均 工 资图 5.1.7 1978 年-2035 年

35、山东省职工平均工资 Logistic 拟合图由折线图可以明显看出年均工资的增长趋势，2010 年-2022 年间呈现快速增长，而 2026 年后慢慢趋向平缓增长，与 1950-2002 年美国人均 GDP 的增长趋势相似，符合Logistic 增长模型的发展趋势。5.1.3 模型结果比较与分析指数拟合模型和 Logistic 增长模型均在不同的假设下，对 2011-2035 年山东省职工年平均工资进行预测，且都得出预测结果如下：表 5.1.5 指数拟合和 Logistic 增长工资预测总合表年份 2011 2012 2013 2014 2015指数拟合 37827.86 43195.91 49

36、325.73 56325.42 64318.41预测工资Logistic 增长 32669.08 35629.29 38707.56 41883.45 45133.54年份 2016 2017 2018 2019 2020指数拟合 73445.66 83868.15 95769.65 109360.1 124879.1预测工资Logistic 增长 48431.97 51751.34 55063.5 58340.57 61555.82年份 2021 2022 2023 2024 2025指数拟合 142600.3 162836.4 185944.1 212330.9 242462.2预测工资L

37、ogistic 增长 64684.56 67704.82 70597.9 73348.69 75945.82年份 2026 2027 2028 2029 2030指数拟合 276869.4 316159.2 361024.5 412256.6 470758.8预测工资Logistic 增长 78381.62 80651.88 82755.58 84694.45 86472.54年份 2031 2032 2033 2034 2035指数拟合 537563 613847.1 700956.5 800427.4 914014预测工资Logistic 增长 88095.76 89571.45 9090

38、7.94 92114.22 93199.61通过比较指数拟合模型和 Logistic 增长模型的结果，单从每年的结果增长变化看出，指数拟合模型的增长速度远比 Logistic 增长速度快，而在 2035 年，指数拟合预测得到的工资为 914014 元，Logistic 增长预测得到的工资为 93199.61 元，两者的数值相差 10 倍左右，而 Logistic 增长预测 2035 年的工资在指数拟合预测中 2018 年就已经达到。根据朱孔来在对世界“中等发达国家”的界定 1中推算 2050 年前后，中等发- 10 -达国家的人均 GDP 大致在 9000-10000 美元左右，换算成人民币约

39、 57508-63898 元，而我国经济发展的战略目标，是要在 21 世纪中叶使我国人均国民生产总值达到中等发达国家水平，即在 2050 年左右达到中等发达国家水平。若通过指数拟合进行预测，则在 2015 年就已经超出了中等发达国家的水平，且年均增长指数爆发，这显然是不符合实际现状的。而通过 Logistic 增长模型预测的情况，在 2019 年开始进入中等发达国家行列，并逐年缓慢增长。由于社会经济会随着时间增长，增长速率会每年不同，但受到的阻滞力越大，故本模型还是相对比较合理，比较符合实际的，可作为我国人均工资的预测。5.2 问题二根据 2005 年 12 月颁布的国务院关于企业职工基本养老

40、金保险制度的决定(国发200538 号),我国实行的是由社会统筹账户和个人账户相结合的现行统一的基本养老保险制度。参 加 市 城 镇 企 业 职 工 基 本 养 老 保 险 社 会 统 筹 的 人 员 ， 达 到 国 家 规 定 的退 休 年 龄 ， 实 际 缴 费 年 限 满 15 年 以 上 的 ， 按 月 计 发 基 本 养 老 金 。 职 工 退 休 时 的 养老 金 由 两 部 分 组 成 ： rbPP 为 养 老 金 ， 为基 础 养 老 金 ， 为退休时的个 人 账 户 养 老 金 ， 故本文从基础养老br金和个人账户养老金两方面讨论职工退休时的养老金。5.2.1 基础养老金根

41、据 基 础 养 老 金 的 原 理 计 算 公 式 ： %12 缴 费 年 限工 资 ）本 人 指 数 化 月 平 均 缴 费月 平 均 工 资（ 全 省 上 年 度 在 岗 职 工基 础 养 老 金那么可以从全省上年度在岗职工月平均工资、本人指数化月平均缴费工资和缴费年限来计算得出基础养老金的值，为了能够更好的进行运算，将以上原理公式转换为数学公式如下：（5.2.1）%12)(mSTPb而 公 式 （ 5.2.1） 中 的 本 人 指 数 化 月 平 均 缴 费 工 资 则 能 够 通 过 以 下 公 式 计 算 得到 。（5.2.2）ncxcxSm1211将公式（5.2.2）简化处理，提取

42、公因子，得到式子（5.2.3）如下：（5.2.3）ncxncxSimi11并将 S 代入（ 5.2.1）式，得到（ 5.2.4）式如下：%121mncxTPib （5.2.4）5.2.2 个人账户养老金现 已 知 个 人 账 户 养 老 金 的 计 算 原 理 为 ： 个 人 账 户 养 老 金 =个 人 账 户 储 存 额 计- 11 -发 月 数 。我 国 企 业 职 工 基 本 养 老 保 险 是 企 业 把 职 工 工 资 总 额 按 一 定 比 例 （ 20%） 缴 纳 到社 会 统 筹 基 金 账 户 ， 再 把 职 工 个 人 工 资 按 一 定 的 比 例 （ 8%） 缴 纳

43、到 个 人 账 户 中 。在 这 种 方 案 中 ， 是 职 工 在 拿 到 个 人 工 资 前 ， 企 业 已 经 从 原 本 的 职 工 工 资 总 额 缴 纳 到社 会 统 筹 基 金 账 户 中 ， 发 给 职 工 的 实 际 工 资 再 按 8%的 比 例 缴 纳 到 个 人 账 户 中 去 。而 个 人 账 户 储 存 额 以 银 行 当 时 公 布 的 一 年 期 存 款 利 率 计 息 ， 本 题 中 将 利 率 统 一 设 定为 3%。根 据 上 述 条 件 约 束 ， 得 出 个 人 账 户 养 老 金 的 计 算 公 式 如 下 ：（5.2.5）),.21()31(1 m

44、iMQTGPimmir 5.2.3 替代率已知基础养老金和个人账户养老金的计算公式，则讨论在实际状况中，某企业的整体体系是不可能一直保持稳定不变的，2009 年的企业状况不能代表 2000 年的状况，对此需要进行深入探讨。从题目附件提供的数据，仅可以得知 2009 年山东省某企业分年龄职工数量及薪酬分布表、1978-2010 年山东省职工平均工资。根据某企业分年龄职工数量及薪酬分布表，对各个月工资范围采取取中值的方法，通过计算可得到该企业的月平均工资为2580 元。在此则具有 2009 年山东省某企业的月平均工资和 2009 年山东省职工年平均工资，而全省的经济发展是带动企业的经济发展的，那么

45、某企业的平均工资则也会与省职工的平均工资有一定的影响。假设省职工平均工资与企业职工平均工资存在一定的影响比例，设两者之间的比值为 L，则比例关系式如下： 资年 山 东 省 职 工 年 平 均 工资年 某 企 业 职 工 月 平 均 工比 值 20912L代入具体数值可解得比值 L=1.043。人 的 年 龄 会 随 着 时 间 的 增 长 而 增 长 ， 即 要 考 虑 工 资 也 会 随 着 时 间 的 增 长 而 改 变 ，在 本 题 中 ， 主 要 考 虑 员 工 年 龄 阶 段 性 地 跳 层 。 即 每 过 5 年 ， 员 工 的 工 资 都 会 因 年龄 阶 段 的 改 变 而 改

46、 变 。 而 员 工 的 在 处 于 某 个 年 龄 阶 段 时 ， 该 年 龄 阶 段 的 工 资 也 会 受企 业 的 人 均 工 资 水 平 的 影 响 ， 在问题一中已经得出省职工年平均工资符合 Logistic 增长规律，那么企业职工平均工资也符合 Logistic 增长规律，已求得企业职工年均工资与省职工年均工资的比例为 1.043，可获得某年企业职工年平均工资增长规律式如下：（5.2.6）)1978(1305.)56108( teLy企 业 年 均 工 资而 企 业 各 年 龄 阶 段 职 工 工 资 与 企 业 平 均 工 资 的 比 值 是 一 个 定 值 ，且可以看作职工缴

47、费指数的参考值，则可以间接说明企业各年龄段职工工资也是符合 Logistic 增长规律的。通过 2009 年山东省某企业各年龄段工资分布表可知各年龄阶段在各个月收入范围的计数，该企业的月平均工资为 2580 元，得到各年龄阶段的职工月平均工资如下：- 12 -表 5.2.1 2009 年各年龄阶段的职工月平均工资表年龄阶段 20-24 岁 25-29 岁 30-34 岁 35-39 岁月平均工资 1726.95 2077.00 2535.12 2752.21 年龄阶段 40-44 岁 45-49 岁 50-54 岁 55-59 岁月平均工资 3026.02 3268.04 3118.52 29

48、80.20 2009 年该企业各年龄段职工工资与该企业平均工资之比，那么则可以通过上述数据进行简单计算求解，具体数据如下：表 5.2.2 2009 年职工缴费指数表年龄阶段 20-24 岁 25-29 岁 30-34 岁 35-39 岁比值 0.669301 0.804966 0.982519 1.066655年龄阶段 40-44 岁 45-49 岁 50-54 岁 55-59 岁比值 1.172771 1.266571 1.208621 1.155013设该企业各年龄段职工工资与该企业平均工资之比的比值为 W，那么某年各年龄阶段的职工月平均工资表达式为：（5.2.7）)1978(1305.i

49、)56108(wteLy职 工 月 均 工 资假设从 2000 年开始全省年平均工资都落在 Logistic 曲线上，由于时间和年龄的需要，假设当 2000 年开始缴纳养老保险，某职工 30 岁，该职工等到 65 岁才退休，那么该职工需要缴纳养老保险到 2034 年，2035 年退休开始领取养老金。而其余缴纳养老保险的年龄和领取养老金的年龄假设都在这个假设范围内，因此有必要进行预测到2034 年的数据。单单从题目提供的数据，只能知道 55 岁和 60 岁退休前的工资，而不能得到 65岁退休前的工资，那么引用傅立叶级数 )*()*()( 110 xwSinbxwCosaxf 对已有数据进行拟合，得到函数如下：（5.2.8）)3964.0(245.0)3964.(*38.6.0)( ixf拟合得到 60-64 岁阶段的月平均工资为 2688.34 元，计算得出职工缴费比值为 1.0419。根据 Logistic 增长函数（5.1.4）计算得到 2000-2034 年山东全省年平均工资，由式子（5.2.6）和（5.2.7）分别可以求出 2000-2034 年企业年均平均工资和