1、2019/5/24,3 单纯形法的运用与改进,0 - 1,3 单纯形法的运用与改进,初始可行基与人工变量法求上界变量的单纯形法单纯形法的讨论单纯形法的矩阵描述改进单纯形法,矿业系统工程电子教案,2019/5/24,3 单纯形法的运用与改进,0 - 2,3.1 初始可行基与人工变量法,辅助问题及人工变量两阶段法大 法多余约束的剔除极小化问题的直接求解,2019/5/24,3 单纯形法的运用与改进,0 - 3,3.1.1 辅助问题及人工变量,( A ) max z=c1 x1 + c2 x2+cn xn s.t. a11x1+a12x2+a1nxn=b1a21x1+a22x2+a2nxn=b2 a
2、m1x1+am2x2+amnxn=bmx1 , x2 , , xn0,( B ) max =-xn+1 -xn+2 - -xn+m s.t. a11x1+a1nxn+xn+1 =b1a21x1+a2nxn +xn+2 =b2 am1x1+amnxn +xn+m=bmx1 xn 0 , xn+1 xn+m 0,X0= (x10,x20,xn0)T Y 0=(x10,x20,xn0,0,0)T 0=0 X =(x1, x2,xn )T =0 Y =(x1,x2, xn,xn+1,xn+m )T,2019/5/24,3 单纯形法的运用与改进,0 - 4,辅助问题的性质,问题(B)是问题(A)的辅助问
3、题，( B )中的单位矩阵称为人工基，它对应的m个变量叫做人工变量(artificial variables)。辅助问题 ( B )有两个特点：( i )约束方程为典式，表明有可行解；( ii)目标函数有上界，一定有最优解。,( B ) max = -xn+1 -xn+2 - -xn+m s.t. a11x1+a1nxn+xn+1 =b1a21x1+a2nxn +xn+2 =b2am1x1+amnxn +xn+m=bmx1 xn 0 , xn+1 xn+m 0 B 0=(Pm+1 ,Pm+2 , ,Pn)Y (0)=( 0,0, b1, b2 , bm)T,2019/5/24,3 单纯形法的运
4、用与改进,0 - 5,辅助问题的性质,问题(B)是问题(A)的辅助问题，( B )中的单位矩阵称为人工基，它对应的m个变量叫做人工变量(artificial variables)。辅助问题 ( B )有两个特点：( i )约束方程为典式，表明有可行解；( ii)目标函数有上界，一定有最优解。,( B ) max =-xn+1 -xn+2 - -xn+m s.t. a11x1+a1nxn+xn+1 =b1a21x1+a2nxn +xn+2 =b2 am1x1+amnxn +xn+m=bmx1 xn 0 , xn+1 xn+m 0 B 0 = (Pm+1 ,Pm+2 , ,Pn)Y (0) =(
5、0,0, b1, b2 , bm)T,2019/5/24,3 单纯形法的运用与改进,0 - 6,原理与应用,定理3.1 问题 ( A ) 有可行解的充要条件是：问题 ( B ) 的目标函数最优值等于零。推论3.1 问题 ( B ) 的最优基的基变量组中不含人工变量，则这个最优基和相应的基最优解分别是问题 ( A )的可行基和基可行解。,2019/5/24,3 单纯形法的运用与改进,0 - 7,原理与应用 ( 续 ),结论3.1 问题 ( B ) 的最优基的第l个基变量为人工变量，并且目标函数最优值等于零，而最优单纯形表中非人工变量在第 l 行的系数全为零，则表示问题 ( A) 的第 l 个约束
6、方程是多余的，应予删除。标准形式线性规划问题的 m个约束方程被假设为是相互独立的，上述结论中的情形在理论上不会出现，但在实际中经常碰到。,2019/5/24,3 单纯形法的运用与改进,0 - 8,3.1.2 两阶段法,依据推论3.1 ，可将问题(A)的求解分为两阶段：阶段 1 从人工基开始，用单纯形法求解问题(B) ，或是得到问题(A)的一个可行基和相应的基可行解，或是证实问题(A)沒有可行解；阶段 2 从阶段1得到的初始可行基出发，用单纯形法寻找问题 (A) 的最优解，或是查明问题 (A) 沒有最优解。,2019/5/24,3 单纯形法的运用与改进,0 - 9,两阶段法算例,例3.1 用两阶
7、段法求解问题 max z=3 x1 - x2- x3s.t. x1-2x2+ x3 +x4 =11-4x1+x2 +2 x3 -x5 =3-2x1 +x3 =1x1 , x2 , , x50,得:max z=3 x1 - x2- x3s.t. 3x1 +x4 -2 x5 =12x2 -x5 =1-2x1 +x3 =1x1 , x2 , , x50,解： max = - x6 - x7s.t. x1-2x2+ x3 +x4 =11 -4x1+x2 +2x3 -x5+ x6 =3-2x1 +x3 + x7=1x1 , x2 , , x70,2019/5/24,3 单纯形法的运用与改进,0 - 10
8、,表3.1 求可行解 ( 阶段 I ),2019/5/24,3 单纯形法的运用与改进,0 - 11,表3.2 求最优解 ( 阶段 II ),2019/5/24,3 单纯形法的运用与改进,0 - 12,3.1.3 大 法,大 法是将原问题及其辅助问题合并，集线性规划问题可行解和最优解的求证于一役。大 法也称罚函数法。,2019/5/24,3 单纯形法的运用与改进,0 - 13,大 法算例,例3.1max z=3 x1 - x2- x3s.t. x1-2x2+ x3 +x4 =11-4x1+x2 +2 x3 -x5 =3-2x1 +x3 =1x1 , x2 , , x50,解： max z=3 x
9、1 - x2- x3+0 x4+0 x5 -M x6 -M x7s.t. x1-2x2+ x3 +x4 =11 -4x1+x2 +2x3 -x5 + x6 =3-2x1 + x3 + x7 =1x1 , x2 , , x70,辅助问题 max = - x6 - x7 s.t. x1-2x2+ x3 +x4 =11 -4x1+x2+2x3 -x5+x6 =3-2x1 +x3 +x7=1x1 , x2 , , x70,2019/5/24,3 单纯形法的运用与改进,0 - 14,大 法的机理,形象地解释，变量在目标函数中的价值系数愈大，其对目标函数值的贡献愈大，则被录用为最优解的基变量的可能性愈大。
10、人工变量都是初始基变量，为了尽可能将人工变量从基变量组中换出，通常把人工变量在合并问题目标函数中的系数赋一个绝对值 M 充分大的负数 M ， M 称为惩罚因子。在代过程中，其价值系数 M 将迫使次人工变量逐步换出基变量组，换出一个就删除一个。在这种机制下，如果人工变量仍留在最优基的基变量组中，则可断定原问题沒有可行解。,2019/5/24,3 单纯形法的运用与改进,0 - 15,表3.3 大 法 的求解过程,3 -1 -1 0 0 -M -M,3-4M -1+M -1+2M 0 -M 0 -M,2019/5/24,3 单纯形法的运用与改进,0 - 16,表3.3 大 法的求解过程( 续 1 )
11、,2019/5/24,3 单纯形法的运用与改进,0 - 17,表3.3 大 法的求解过程( 续 2 ),2019/5/24,3 单纯形法的运用与改进,0 - 18,表3.3 大 法的求解过程,2019/5/24,3 单纯形法的运用与改进,0 - 19,表3.3 大 法的求解过程( 续 1 ),2019/5/24,3 单纯形法的运用与改进,0 - 20,表3.3 大 法的求解过程( 续 2 ),2019/5/24,3 单纯形法的运用与改进,0 - 21,大 法的运用,例3.2 将规划问题转化为(LP)的标准形式 。,max z= x1+|x2|+ x3s. t. x1- x2 + x322x1+
12、3x2+x33x10, 1x33,2019/5/24,3 单纯形法的运用与改进,0 - 22,令： x2=x2-x2, x20, x20x3= x3+10 x3 2,max z=1+x1+x2+x2+x3-Mx4-Mx4 s.t. x1-x2+x2+x3+x4-x4 =12x1+3x2-3x2+x3 +x5 =2x3 +x6 =2x1,x2,x2,x3,x4,x4, x5,x60,设： x4=x4-x4, x40,x40 x5 0 x6 0 令：z = z +1,max z=1+ x1 +x2+x2+ x3s. t. x1 - x2 + x2 + x3 12x1+3x2-3 x2+x3 2x3
13、 2x1, x2, x2 , x30,max z= x1+|x2|+ x3s. t. x1- x2 + x322x1+3x2+x33x10, 1x33,问题转化流程图,max z=x1+x2+x2+x3-Mx4-Mx4,2019/5/24,3 单纯形法的运用与改进,0 - 23,3.1.4 多余约束的剔除,线性规划问题的标准形式定义为 max z=c1 x1 + c2 x2+cj xj+cn xn (1.1) s.t. a11x1+a12x2+a1 jxj+a1nxn = b1a21x1+a22x2+a2 jxj+a2nxn = b2 (1.2) am1x1+am2x2+amjxj+amnxn
14、=bmx1 , x2 , , xj , , xn0 (1.3) 注：A= ( P1, P2 , Pm, Pm+1,Pn ) 是约束方程 (1.2) 的 mn系数矩阵，其秩为 m 。,2019/5/24,3 单纯形法的运用与改进,0 - 24,多余约束的算例,例3.3 采用两阶段法和大M法求解 线性规划问题。max z = x1 + x2 +2x3+3x4s. t. 3x1+ 2x2 + x3 +3x4 = 9x1 + x2 + x3 = 34x1+ 3x2 +2x3 +3x4=12x1 x4 0,2019/5/24,3 单纯形法的运用与改进,0 - 25,算例问题的两阶段法求解,例3.3max
15、 z = x1 + x2 +2x3+3x4s. t. 3x1+ 2x2 + x3 +3x4 = 9x1 + x2 + x3 = 34x1+ 3x2 +2x3 +3x4=12x1 x4 0,得：max z= x1 + x2 +2x3+3x4s.t. -(1/3)x2-(2/3) x3+ x4 =0x1 + x2 +x3 =3x1 , x2 , , x40,解： max z = - x5 - x6 - x7s. t. 3x1+ 2x2 + x3 +3x4+x5 = 9x1 + x2 + x3 + x6 = 34x1+ 3x2 +2x3 +3x4 +x7 =12x1 x7 0,2019/5/24,3
16、 单纯形法的运用与改进,0 - 26,表3.4 求可行解 ( 阶段 I ),2019/5/24,3 单纯形法的运用与改进,0 - 27,表3.5 求最优解 ( 阶段 II ),2019/5/24,3 单纯形法的运用与改进,0 - 28,3.1.5 极小化问题的直接求解,例3.4 用两阶段法求解问题 min z= -3 x1 + x2+ x3s.t. x1-2x2+ x3 +x4 =11-4x1+x2 +2 x3 -x5 =3-2x1 +x3 =1x1 , x2 , , x50,得:min z= -3 x1 + x2+ x3s.t. 3x1 +x4 -2 x5 =12x2 -x5 =1-2x1
17、+x3 =1x1 , x2 , , x50,解： min = x6+ x7s.t. x1-2x2+ x3 +x4 =11 -4x1+x2 +2x3 -x5+ x6 =3-2x1 +x3 + x7=1x1 , x2 , , x70,2019/5/24,3 单纯形法的运用与改进,0 - 29,表3.6 求可行解 ( 阶段 I ),2019/5/24,3 单纯形法的运用与改进,0 - 30,表3.7 求最优解 ( 阶段 II ),2019/5/24,3 单纯形法的运用与改进,0 - 31,3.2 求变量有上界的单纯形法,标准形式线性规划问题的决策变量都有非负限制，即有下界为零的限制。如果同时要求决策
18、变量不大于某个正数，则问题称为变量有上界的线性规划问题。,2019/5/24,3 单纯形法的运用与改进,0 - 32,上界问题的模型,变量有上界的线性规划问题为 max z=c1 x1 + c2 x2+cj xj+cn xn (1.1) s.t. a11x1+a12x2+a1 jxj+a1nxn = b1a21x1+a22x2+a2 jxj+a2nxn = b2 (1.2) am1x1+am2x2+amjxj+amnxn=bm0 xj dj , j =1,2,n (1.3) 其中：aij，bi，cj ，dj都是常数，xj 是未知变量。,2019/5/24,3 单纯形法的运用与改进,0 - 33
19、,3.3 单纯形法的讨论,2019/5/24,3 单纯形法的运用与改进,0 - 34,3.3.1 单纯形法的几何特征,单纯形法只关注问题可行域的顶点，可行域的其他点可以用顶点的凸组合来表示。用单纯形法求解线性规划问题就是以一定的方式去访问这些顶点。,2019/5/24,3 单纯形法的运用与改进,0 - 35,单纯形法算例 (附：图3.8),例3.5 用单纯形法求解问题 max z =3x1+2x2 s.t. -x1 +2x2 +x3 = 43x1+2x2 +x4 =14x1 - x2 +x5= 3x1, x2 , , x50X(0) = ( 0, 0, 4, 14, 3 )TX(1) = (
20、3 ,0, 7, 5, 0 )TX(2) = ( 4, 1, 6, 0, 0 )TX(3)= (5/2, 13/4,0,0,15/4)T,2019/5/24,3 单纯形法的运用与改进,0 - 36,单纯形法算例 (附：图3.9),max z =3x1+2x2 s.t. -x1 +2x2 +x3 = 43x1+2x2 +x4 =14x1 - x2 +x5= 3x1, x2 , , x50X(0) = ( 0, 0, 4, 14, 3 )TX(4) = ( 0 ,2, 0, 10, 5 )TX(3)= (5/2, 13/4,0,0,15/4)TX(2) = ( 4, 1, 6, 0, 0 )T,2
21、019/5/24,3 单纯形法的运用与改进,0 - 37,B=(P2, P1, P3 ) CB =(c2 , c1, c3 ) =(2, 3, 0 ),单纯形法算例 (附：图3.9),-1 2 1= 3 2 0 1 -1 0,0 1/5 -3/5 B-1= 0 1/5 2/5 1 -1/5 8/5,2019/5/24,3 单纯形法的运用与改进,0 - 38,图3.1 单纯形法的几何解释,-x1+x2=1,例1.3 图解变形 max z =3x1+2x2 s.t. -x1 +2x2 43x1+2x2 14x1 - x2 3x1, x2 x50,O,x1,x2,-,-,Q2(4, 1),Q3(5/
22、2, 13/4),Q4 (0,2),Q1(3, 0),X(0) =( 0, 0, 4, 14, 3 )TX(1) = ( 3 ,0, 7, 5, 0 )TX(2) = ( 4, 1, 6, 0, 0 )TX(3)= (5/2, 13/4,0,0,15/4)T,2019/5/24,3 单纯形法的运用与改进,0 - 39,图3.2 单纯形法的弊端,2019/5/24,3 单纯形法的运用与改进,0 - 40,单纯形法的弊端,Q,2019/5/24,3 单纯形法的运用与改进,0 - 41,3.3.2 退化,单纯形法计算中用规则确定换出变量时，有时存在2个以上相同的最小比值，这样在下一次迭代中就有一个或
23、几个基本量等于零，这就出现退化解。这时换出变量xl=0，迭代后目标函数值不变。这时不同基表示为同一顶点。当线性规划问题存在最优解时，在非退化的情况下，单纯形法的每次迭代都使目标函数值严格上升，经过有限次迭代，必定达到最优值；而对于退化情况，即使存在最优解，也有可能出现循环现象，即迭代过程总是重复解的某一部分序列，目标函数值总是保持不变，永远达不到最优解。,2019/5/24,3 单纯形法的运用与改进,0 - 42,1. 循环示例,1955年，E.Beale找到了一个至今为止最简约的循环示例，展示如下。例3.6 用单纯形法求解下述线性规划问题，按这样的迭代规则：1. 当不止1个的j同时是正的时，
24、选其中绝对值最大的j对应的变量 xj 作为换入变量；2. 如果有1个以上的基变量同时使达到最小，就取下标较小的那个基变量作为换出变量。,2019/5/24,3 单纯形法的运用与改进,0 - 43,循环示例（续 1）,Max z=(3/4)x1-150x2+(1/50)x3-6x4 s.t. (1/4)x1- 60x2 - (1/25)x3+9x4+x5 =0(1/2)x1- 90x2 - (1/50)x3+3x4 +x6 =0x3 +x7 =1xj0 (j=1,2,7),2019/5/24,3 单纯形法的运用与改进,0 - 44,循环示例（续 2）,解：在这个例子中有一个很明显的可行基 B =
25、 (P5 , P6 , P7 ) = (e1 ,e2 ,e3),相应的基可行解X(0) = (0, 0, 0, 0, 0, 0,1)T ，而这是一个退化基可行解。从这个可行基开始进行迭代，表3.4给出了前6 次的迭代的计算结果。在迭代过程中出现了 6 个不同的基，而基解始终没有变化。表中的6个基发生了循环，这6个基与同一个基解X(0) =(0, 0, 0, 0, 0, 0,1)T 相对应。,2019/5/24,3 单纯形法的运用与改进,0 - 45,表3.10 循环,2019/5/24,3 单纯形法的运用与改进,0 - 46,表3.10 循环（续）,2019/5/24,3 单纯形法的运用与改进
26、,0 - 47,2. 解决循环的规则,计算过程的循环现象尽管极少出现，但还是有可能的。如何解决这个问题，先后有人提出了各种方法。这些方法早期有 “辞典序法“，1952 年由 A. Charnes 提出的 “摄动法“。 1974年，勃兰特 ( Bland ) 提出了一种避免循环的简便方法，称为勃兰特规则。该方法当时在国际上引起了广泛关注，被认为是线性规划领域中一项重要成果。,2019/5/24,3 单纯形法的运用与改进,0 - 48,勃兰特(Bland)规则,勃兰特( Bland )规则 用单纯形法求解线性规划问题时按如下规则进行( l , k ) 旋转变换：1. 在所有j 0中,选取下标最小的
27、j对应的变量 xj 作为换入变量，即k = min j |j 0 , 1 j n 2. 如果有1个以上的基变量同时使达到最小，就取下标较小的那个基变量作为换出变量，即l = min Ji | (bi0/bik)= , 1 i m ,2019/5/24,3 单纯形法的运用与改进,0 - 49,3.3.3 算法复杂性理论,算法复杂性理论就是研究算法计算工作量的大小，该理论依据算法计算工作量 ( 或计算时间 ) 的确上限与问题规模参数 ( 变量数或方程数 ) n 或 m 的函数关系将算法分为两类： 有效算法(多项式算法) 算法计算工作量与问题规模呈多项式函数关系，可表示为0(kna): k0na +
28、k1na-1 +ka-1n1+kan0 , ( a 1 ) 无效算法(指数算法) 算法计算工作量与问题规模呈指数函数关系，即为0(kan): k0an +k1an-1 +kn-1a1+kna0 , ( a 1 ),2019/5/24,3 单纯形法的运用与改进,0 - 50,适度增长与恶性膨胀,假设 a =2 ( 1 ) ，则有：n n2 2n1 1 22 4 43 9 8 8 64 256 16 256 65536 ,2019/5/24,3 单纯形法的运用与改进,0 - 51,有效算法与无效算法,求解 n 阶线性方程组的高斯消去法是一个多项式算法，它的计算量为 (1/3)n3 的加法， (1/
29、3)n3 的乘法，(1/2)n2 的除法，即为0 (k n3 )。具有m 个约束 n 个变量的线性规划问题可能有 Cnm = n! / m!(n-m)! 个基。显然Cnm可表示为Cnm= (n/m)(n-1)/(m-1) (n -m+1)/1= a m , ( a 1 )这表明基的个数与问题规模是指数函数关系。,2019/5/24,3 单纯形法的运用与改进,0 - 52,单纯形法的计算复杂性,求解线性规划问题的单纯形法一般只需 m (3/2)m 次迭代就可以得到结果，实际效果令人相当满意。单纯形法是否为多项式算法人们一直不能从理论上加以肯定。不巧，在1972年 V. Klee 和 G. Min
30、ty 构造了一个 n 个变量 2 n 个不等式约束的例子，用单纯形法求解此线性规划时，其计算次数为 2n。因此，不能肯定单纯形法是好算法。,2019/5/24,3 单纯形法的运用与改进,0 - 53,求解线性规划问题的多项式算法,既然单纯形法不算好算法，于是就产生一个新问题，线性规划是否有多项式算法？ 1979 年苏联科学院计算中心的哈其扬 ( L.G. Khachian) 发表了 “ 求解线性规划问题的多项式算法 ” 一文，解决了这一问题。不久后，N. Karmarkar又提出一种新的多项式算法。1979年 哈其扬 椭球法 0 (n6 L2 )1984年 卡玛卡 內点法 0 (n3.5 L2
31、 ),2019/5/24,3 单纯形法的运用与改进,0 - 54,否定之否定,依据算法复杂性理论，哈其扬证明了自己的椭球算法是一个有效的多项式算法。但是，在实际应用时椭球算法的迭代次数比单纯形法要多得多。这就产生了一个悖论：有效算法不好用，好用算法又无效。由于上述原因，算法复杂性理论本身遭到质疑，悖论产生的原因在于该理论是从“状况最坏”的极端情形来评价问题。为了克服这种弊端，人们根据统计学原理又提出了平均复杂度理论，即评价算法好坏应按平均计算工作量判别。,2019/5/24,3 单纯形法的运用与改进,0 - 55,各有千秋,椭球算法实用价值不大，但理论上意义重大。因此，哈其扬在1982年的 1
32、1次国际数学规划会议上获得Fulkerson奖。 卡玛卡法是一个名符其实的好算法。对于小型问题虽比单纯形法稍逊一筹，但求解大规模问题的速度比单纯形法快得多。 按照平均复杂度理论，单纯形法成了名正言顺的好算法。事实上，卡玛卡法和单纯形法是两个内外有别的实用算法。,2019/5/24,3 单纯形法的运用与改进,0 - 56,图3.3 外点法与內点法,-x1+x2=1,例 求解问题 max z =c1x1+c2x2 s.t. a11x1+a12x2 b1a21x1+a22x2 b2a31x1+ a32x2 b3x1, x2 x30,O,x1,x2,-,-,外点法求解路径,内点法求解路径,2019/5
33、/24,3 单纯形法的运用与改进,0 - 57,当前研究方向,线性规划的内点算法 许国志：通过非线性规划解决线性问题，其成功是对数学思想的革新。 大规模问题的分解算法 大型复杂问题的近似算法,2019/5/24,3 单纯形法的运用与改进,0 - 58,3.4 单纯形法的矩阵描述,本节介绍用矩阵来描述单纯形法的运算机理。单纯形法的矩阵描述有助于加深对单纯形法的理解和探讨对单纯形法的改进。,2019/5/24,3 单纯形法的运用与改进,0 - 59,a11x1+a12x2+a1m xm+a1 m+1xm+1+ +a1kxk+a1nxn=b1a21x1+ a22x2+a2m xm+a2 m+1xm+
34、1+ +a2kxk+ +a2nxn=b2am1x1+am2x2+ammxm+am m+1xm+1+amkxk+amnxn=bm z =c1x1+ c2 x2+ cm xm + cm+1 xm+1+ckxk + + cnxn x1 + b1 m+1xm+1+b1kxk+ +b1nxn=b10x2 + b2 m+1xm+1+b2kxk +b2nxn=b20xm +bm m+1xm+1+bmkxk+bmnxn=bm0 z=z0+0 x1+0 x2+0 xm+(cm+1- zm+1) xm+1+ +(cn- zn) xnz0+0 x1+0 x2+0 xm +(cm+1- zm+1) xm+1+ +(c
35、n- zn) xn = z-z+0 x1+0 x2+0 xm+(cm+1- zm+1) xm+1+ +(cn- zn) xn = -z0,线性规划问题的单纯形法表达,2019/5/24,3 单纯形法的运用与改进,0 - 60,表3.11 单纯形表的作用,2019/5/24,3 单纯形法的运用与改进,0 - 61,线性规划问题的矩阵形式 ( I ),max z=CX s.t. AX=bX 0,max z= CB XB+ CN XN s.t. BXB+ N XN = b XB 0, XN 0,A=( B, N ) X=( XB , XN ) C =( CB , CN )B = (P1, P2, ,
36、Pm) N = (Pm+1, Pm+2, , Pn )XB=(x1, x2, , xm)T XN= (xm+1, xm+2, , xn )TCB=(C1,C2, ,Cm) CN=(Cm+1, Cm+2, , Cn ),2019/5/24,3 单纯形法的运用与改进,0 - 62,约束条件的变换关系 ( I ),BXB+ N XN = bXB+ B-1N XN = B-1bB-1BXB+ B-1N XN = B-1bI XB+ B-1N XN = B-1bXB+ B-1N XN = B-1bXB= B-1b - B-1N XN,2019/5/24,3 单纯形法的运用与改进,0 - 63,目标函数的
37、变换关系 ( I ),z = CB XB+ CN XNz =CBB-1b+(CN - CB B-1N ) XN- z +(CN - CB B-1N ) XN = -CBB-1bXB= B-1b - B-1N XNz= CB XB+ CN XN= CB (B-1b - B-1N XN) + CN XNz=CBB-1b+(CN - CB B-1N ) XNCBB-1b+(CN - CB B-1N ) XN = z,2019/5/24,3 单纯形法的运用与改进,0 - 64,单纯形法的矩阵描述 ( I ),XB +B-1N XN = B-1b- z +(CN - CB B-1N ) XN = -CB
38、B-1b,2019/5/24,3 单纯形法的运用与改进,0 - 65,线性规划问题的矩阵形式,max z=CX s.t. AX=bX 0,max z=c1x1+c2x2+cmxm+cm+1xm+1+cnxn s. t. P1x1+P2x2+Pmxm+Pm+1xm+1+Pnxn=b x1, x2, xm, xm+1, xn0,2019/5/24,3 单纯形法的运用与改进,0 - 66,线性规划问题的矩阵形式 ( II ),max z=CX s.t. AX=bX 0,max z= CB XB +cm+1xm+1+cnxn s. t. BXB +Pm+1xm+1+Pnxn=b XB 0, xm+1,
39、 xn0,2019/5/24,3 单纯形法的运用与改进,0 - 67,约束条件的变换关系 ( II ),BXB +Pm+1xm+1 + + Pnxn = bXB + B-1Pm+1 xm+1 + +B-1Pnxn = B-1bB-1BXB +B-1Pm+1xm+1+B-1Pnxn =B-1bXB +B-1Pm+1xm+1+B-1Pnxn =B-1bXB = B-1b - B-1Pm+1 xm+1 - - B-1Pnxn,2019/5/24,3 单纯形法的运用与改进,0 - 68,目标函数的变换关系 ( II ),z= CB XB +cm+1xm+1+cnxn z =CBB-1b+(cm+1 -
40、 CB B-1Pm+1) xm+1 + +(cn - CB B-1Pn) xn -z +(cm+1 - CB B-1Pm+1) xm+1 + +(cn - CB B-1Pn) xn =-CBB-1bXB = B-1b - B-1Pm+1 xm+1 - - B-1Pnxn z=CB (B-1b -B-1Pm+1 xm+1 - -B-1Pnxn)+(cm+1 xm+1+cn xn) z =CBB-1b+(cm+1 - CB B-1Pm+1) xm+1 + +(cn - CB B-1Pn) xnCBB-1b+(cm+1 - CB B-1Pm+1) xm+1 + +(cn - CB B-1Pn) xn
41、= z,2019/5/24,3 单纯形法的运用与改进,0 - 69,单纯形法的矩阵描述 ( II ),XB +B-1Pm+1 xm+1 + + B-1Pnxn = B-1b -z +(cm+1 - CB B-1Pm+1) xm+1 + +(cn - CB B-1Pn) xn = -CBB-1b,=,2019/5/24,3 单纯形法的运用与改进,0 - 70,单纯形法的矩阵描述,XB +B-1Pm+1 xm+1 + + B-1Pnxn = B-1b -z +(cm+1 - CB B-1Pm+1) xm+1 + +(cn - CB B-1Pn) xn =-CBB-1bXB = B-1b -B-1P
42、m+1 xm+1 - -B-1Pnxn z = CB XB+ CN XNz =CB (B-1b -B-1Pm+1 xm+1 - -B-1Pnxn)+(cm+1 xm+1+cn xn)z =CBB-1b+(cm+1 - CB B-1Pm+1) xm+1 + +(cn - CB B-1Pn) xn CBB-1b+(cm+1 - CB B-1Pm+1) xm+1 + +(cn - CB B-1Pn) xn= z,2019/5/24,3 单纯形法的运用与改进,0 - 71,单纯形表的矩阵形式,I B-1N B-1bT(B) =0 CN - CB B-1N - CBB-1b I B-1Pm+1 B-1P
43、k B-1Pn B-1b =0 cm+1-CBB-1Pm+1 ck-CBB-1Pk cn-CB B-1Pn -CBB-1b,2019/5/24,3 单纯形法的运用与改进,0 - 72,表3.12 单纯形表的数值形式,2019/5/24,3 单纯形法的运用与改进,0 - 73,单纯形表的计算公式 ( I ),b1 0 B-1b = bi 0 bm 0,j = cj - CB B-1 Pj =(B ,N ) = ( CB - CB B-1B , CN - CB B-1N )= ( 0 , CN - CB B-1N ),b1 j B-1Pj= bi j bmj,2019/5/24,3 单纯形法的运用
44、与改进,0 - 74,单纯形表的计算公式 ( II ),b1 0 B-1b = bi 0 bm 0,j = cj - CB B-1 Pj =(B ,N )=(CB - CB B-1B , CN - CB B-1N ) =(0, CN - CB B-1N ) =0,(cm+1 , , cn)- CB B-1 (Pm+1 ,Pm+2 , , Pn ),b1 j B-1Pj= bi j bmj,2019/5/24,3 单纯形法的运用与改进,0 - 75,算 例,例3.7 已知线性规划问题max z =2x1+3x2s.t. x1+ 2x2 +x3 = 84x1 +x4 = 164x2 +x5 = 12 x1, x2 , , x50 的一个基 B=(P1, P5, P2 ) ，试求B的逆B-1， 并构造相应的单纯形表T(B) 。,2019/5/24,3 单纯形法的运用与改进,0 - 76,单纯形法算例 (附：表3.13),max z =2x1+3x2 s.t. x1+ 2x2 +x3 = 84x1 +x4 = 164x2 +x5 = 12 x1, x2 , , x50,
