1、1相交线第一部分 相交线、垂线课时目标：理解相交线的定义、对顶角的定义和性质、邻补角的定义，正确识别“三线八角” ；理解垂线的定义、点到直线的距离的定义，掌握垂线的性质；教师讲课要求【知识要点】：请学生看一下做好上课的准备 （一）相交线1. 相交线的定义在同一平面内，如果两条直线只有一个公共点，那么这两条直线叫做相交线，公共点称为两条直线的交点。如图 1 所示，直线 AB 与直线 CD 相交于点 O。ODC BA4 3 21ABCDO21OC BA图 1 图 2 图 32. 对顶角的定义若一个角的两条边分别是另一个角的两条边的反向延长线，那么这两个角叫做对顶角。如图 2 所示，1 与3、2与4
2、 都是对顶角。注意：两个角互为对顶角的特征是：（1）角的顶点公共；（2）角的两边互为反向延长线；（3）两条相交线形成 2对对顶角。3. 对顶角的性质对顶角相等。4. 邻补角的定义如果把一个角的一边反向延长，这条反向延长线与这个角的另一边构成一个角，此时就说这两个角互为邻补角。如图3 所示，1 与2 互为邻补角，由平角定义可知12180。（二）垂线1. 垂线的定义当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。 A B C D 1 A B C D 1 图 4如图 4 所示，直线 AB 与 CD 互相垂直，垂足为点 O，
3、则记作 ABCD 于点 O。其中“”是“垂直”的记号； 是图形中“垂直”(直角) 的标记。注意：垂线的定义有以下两层含义：（1）ABCD（已知） （2）190（已知）190（垂线的定义） ABCD（垂线的定义）2. 垂线的性质（1）性质 1：在同一平面内，经过直线外或直线上一点，有且只有一条直线与已知直线垂直，即过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。（2）性质 2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。即垂线段最短。3. 点到直线的距离直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。2mDCBAP图 5 图 6如图 5 所示，m 的垂线段 PB 的长度叫做点 P 到 直线
4、 m 的距离。4. 垂线的画法（工具：三角板或量角器）5. 画已知线段或射线的垂线（1）垂足在线段或射线上（2）垂足在线段的延长线或射线的反向延长线上（三） “三线八角”两条直线被第三条线所截，可得八个角，即“三线八角” ，如图 6 所示。（1）同位角：可以发现1 与5 都处于直线 l的同一侧，直线 a、 b的同一方，这样位置的一对角就是同位角。图中的同位角还有2 与6，3 与7，4 与8。（2）内错角：可以发现3 与5 都处于直线 的两旁，直线 、 的两方，这样位置的一对角就是内错角。图中的内错角还有4 与6。（3）同旁内角：可以发现4 与5 都处于直线 l的同一侧，直线 、 的两方，这样位
5、置的一对角就是同旁内角。图中的同旁内角还有3 与6。范例 1. 判断下列语句是否正确，如果是错误的，说明理由。（1）过直线外一点画直线的垂线，垂线的长度叫做这个点到这条直线的距离；（2）从直线外一点到直线的垂线段，叫做这个点到这条直线的距离；（3）两条直线相交，若有一组对顶角互补，则这两条直线互相垂直；（4）两条直线的位置关系要么相交，要么平行。分析：本题考查学生对基本概念的理解是否清晰。 （1） 、 （2）都是对点到直线的距离的描述，由“直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离”可判断（1） 、 （2）都是错的；由对顶角相等且互补易知，这两个角都是90，故（3）正确；同一平面内
6、，两条直线的位置关系是相交或平行，必须强调“在同一平面内” 。解答：（1）这种说法是错误的。因为垂线是直线，它的长度不能度量，应改为“垂线段的长度叫做点到直线的距离” 。（2）这种说法是错误的。因为“点到直线的距离”不是指点到直线的垂线段的本身，而是指垂线段的长度。（3）这种说法是正确的。（4）这种说法是错误的。因为只有在同一平面内，两条直线的位置关系才是相交或平行。如果没有“在同一平面内”这个前提，两条直线还可能是异面直线。说明：此题目的是让学生抓住相交线平行线这部分概念的本质，弄清易混概念。范例 2. 如下图（1）所示，直线 DE、BC 被直线 AB 所截，问 142与 ， 与 ， 34与
7、 各是什么角？ A D 1 2 3 E 4 B C 图（1）3A D 1 2 3 E 4 B C 图（2）范例 3 如下图（1） ， l2 3 6 4 5 1 2 l1 l3 图（1）（1） 与 是两条直线_与_被第三条直线_所截构成的_角。（2） 与 是两条直线_与_被第三条直线_所截构成的_角。（3） 4与 是 两 条 直 线 _与_被第三条直线_所截构成的_角。（4） 5与 6 是两条直线 _与_，被第三条直线_所截构成的_角。2.在下列各题的括号内加注理由。(1)如图 10，ABC=CDA，CBD=ADB求证：ABCD证明： ABC=CDA( )CBD=ADB( ) ABD=CDB(
8、) ABCD( )。(2)已知：CDE 是一直线，1=125 0，A=55 0求证： ABCD证明： CDE 是一直线(已知) 1+2=180 0( ) 1=125 0( ) 2=55 0( )又 A=55 0( ) 2=A( ) ABCD( )410 756894321(1)范例 4 按要求作图，并回答问题。一、判断（每题 1 分，共 10 分）1.顶点相同并且相等的两个角是对顶角.( )2.相交直线构成的四个角中若有一个角是直角,就称这两条直线互相垂直.( )3.直线外一点到这条直线的垂线段叫做这点到这条直线的距离.( )4.如图 1,2 和8 是对顶角.( ) 5.如图 1,2 和4 是
9、同位角.( )6.如图 1,1 和3 是同位角.( )7.如图 1,9 和10 是同旁内角,1 和7 也是同旁内角.( )8.如图 1,2 和10 是内错角.( )9.O 是直线 AB 上一点,D 分别在 AB 的两侧,且DOB= AOC,则 C,O,D三点在同一条直线上.( )DCABNM P(2) Qla7 56 8 43 21b(3)56 4321ABNM P(4)O Q42 1DCA B(5)O FE10.如图 2,其中共有 4 对同位角,4 对内错角,4 对同旁内角.( ) 二、填空（每空 1 分，共 29 分）11.如图 3,直线 L 截直线 a,b 所得的同位角有_对,它们是_
10、_;内错有_对,它们是_ _;同旁内角有_对, 它们是_ _;对顶角_ 对, 它们是_ _.12.如图 4,1 的同位角是_,1 的内错角是_,1 的同旁内角是_.13.如图 5,直线 AB,CD 相交于 O,OE 平分AOD,FO OD 于 O,1=40,则2=_ _,4=_.514.如图 6,ABCD 于 O,EF 为过点 O 的直线,MN 平分AOC,若EON=100 ,那么EOB=_ ,BOM=_ .15.如图 7,AB 是一直线,OM 为AOC 的角平分线,ON 为BOC 的角平分线,则 OM,ON 的位置关系是_.16.直线外一点与直线上各点连结的线段中,以_为最短.17.从直线外
11、一点到这条直线的_ _叫做这点到直线的距离.DCA BNM(6)OFECA BNM(7)OD CAB(8)O18.经过直线外或直线上一点,有且只有_直线与已知直线垂直.19.如图 8,要证 BOOD,请完善证明过程,并在括号内填上相应依据:AO CO,AOC=_(_).又COD=40( 已知), AOD=_.BOC= AOD=50 (已知), BOD=_,_(_).20.如图 9,直线 AB,CD 被 EF 所截,1=2,要证2+4=180,请完善证明过程, 并在括号内填上相应依据.直线AB 与 EF 相交 ,1= 3=(_),又1+ 4=180(_),1=2(已知),2=3,2+4=180
12、(_)三、选择（每题 3 分，共 30 分）.21.下列语句正确的是( )A.相等的角为对顶角 B.不相等的角一定不是对顶角C.不是对顶角的角都不相等D.有公共顶点且和为 180的两个角为邻补角22.两条相交直线与另外一条直线在同一平面内,它们的交点个数是( )A.1 B.2 C.3 或 2 D.1 或 2 或 323.如图 10,POOR,OQ PR,能表示点到直线( 或线段)的距离的线段有( )A.1 条 B.2 条 C.3 条 D.5 条(10)ROPQD CAB(11)ODCAB(12)FE24.如图,OAOB,OCOD,则( )A.AOC= AOD B.AOD=DOB C.AOC=B
13、OD D.以上结论都不对25.下列说法正确的是( )A.在同一平面内,过已知直线外一点作这条直线的垂线有且只有一条B.连结直线外一点和直线上任一点,使这条线段垂直于已知直线C.作出点 P 到直线的距离D.连结直线外一点和直线上任一点的线段长是点到直线的距离26.如图 12,与C 是同旁内角的有 ( ).A.2 B.3 C.4 D.527.下列说法正确的是( ).A.两条直线相交成四个角,如果有三个角相等 ,那么这两条直线垂直.B.两条直线相交成四个角,如果有两个角相等 ,那么这两条直线垂直.C.两条直线相交成四个角,如果有一对对顶角互余 ,那么这两条直线垂直.D.两条直线相交成四个角,如果有两
14、个角互补 ,那么这两条直线垂直.28.如果1 与2 互为补角,且12,那么2 的余角是( )6A. 12(1+ 2) B. 121 C. (1-2) D.12 229.已知 OAOC,AOB:AOC=2:3,则BOC 的度数是( )A.30 B.150 C.30或 150 D.以上答案都不对下图中共有 30.右图共有几对对顶角（ ） A.18 对 B.16 对C.20 对 D.22 对四、作图题（4+3=7 分）31、如图,按要求作出:(1)AEBC 于 E;(2)AFCD 于 F;(3)连结 BD,作 AGBD 于 G.32、如下左图，一辆汽车在直线形的公路 AB 上由 A 向 B 行驶，M
15、、N 分别是位于公路 AB 两侧的村庄， （1）现在公路 AB 上修建一个超市 C，使得到 M、N 两村庄距离最短，请在图中画出点 C （2）设汽车行驶到点 P 位置时离村庄 M 最近；行驶到点 Q 位置时，距离村庄 N 最近，请在图中公路 AB 上分别画出 P、Q 两点的位置。（1） （2）五、解答题.（每题 6 分，共 24 分）33.如图,已知ABC=90,1=2,DCA=CAB,求证:(1)CDCB;(2)CD 平分ACE. CA BOFE34.如图,OE,OF 分别是AOC 与BOC 的平分线,且 OEOF,求证:A,O,B 三点在同一直线上. 课时目标 理解平行线的概念，正确地表示
16、平行线，掌握两直线平行的判定方法和平行线的性质能综合运用平行线的性质和判定证明和计算。教师讲课要求知识要点：请学生看一下准备上课1. 平行线的概念在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。注意：（1）在平行线的定义中， “在同一平面内”是个重要前提；（2）必须是两条直线；（3）同一平面内两条直线的位置关系是：相交或平行，两条互相重合的直线视为同一条直线。两条直线的位置关系是以这两条直线是否在同一平面内以及它们的公共点个数 m进行分类的。名称 公共点个数重合直线 2m相交直线 1在同一个平面内平行直线 0不在同一个平面内 异面直线2. 平行线的表示方法21DCAB EDCAB7图 7 DCBA平
17、行用“”表示，如图 7 所示，直线 AB 与直线 CD 平行，记作 ABCD，读作 AB 平行于 CD。3. 平行线的画法4. 平行线的基本性质（1）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。 （2）平行公理的推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也平行。5. 平行线的判定方法：（1）两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。（2）两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。（3）两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。（4）两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行。（5）在同一平面内，如果两条直
18、线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行。6. 平行线的性质：（1）两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。简记：两直线平行，同位角相等。（2）两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。简记：两直线平行，内错角相等。（3）两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。简记：两直线平行，同旁内角互补。范例 1 如图，已知AMF=BNG=75，CMA=55 ，求MPN 的大小 P N M A B E F G H C D 范例 2 如图，1 与3 为余角，2 与3 的余角互补，4=115，CP 平分ACM，求PCM范例 3 如图，已知：1+2=180，3=78 ，求4 的大小8范例 4 如图，已知：BA
19、P 与APD 互补，1=2，说明：E=F范例 5 如图，已知 ABCD，P 为 HD 上任意一点，过 P 点的直线交 HF 于 O 点，试问：HOP、AGF、HPO有怎样的关系？用式子表示并证明范例 6 如图，已知 ABCD，说明：BBEDD=360 A B A B E F E C D C D 范例 7. 小张从家（图中 A 处）出发，向南偏东 40方向走到学校（图中 B 处） ，再从学校出发，向北偏西 75的方向走到小明家（图中 C 处） ，试问ABC 为多少度？说明你的理由。范例 8 如图，ADC=ABC， 12=180，AD 为 FDB 的平分线，说明：BC 为DBE 的平分线。范例 9
20、 如图，DE，BE 分别为BDC， DBA 的平分线，DEB=12（1）说明：ABCD（2）说明：DEB=90分析：（1）欲证平行，就找角相等与互补，但就本题，直接证CDB 与ABD 互补比较困难，而12=DEB ，若以 E 为顶点，DE 为一边，在DEB 内部作DEF=2，再由 DE，EB 分别为CDB， 9DBA 的平分线，就不难证明 ABCD 了， （2）由（1）证得 ABCD 后，由同旁内角互补，易证12=90，进而证得DEB=90第二段一. 选择题1. 如图 1，直线 a、b 相交，1120 ，则23（ ）A. 60 B. 90 C. 120 D. 180ab123ab1234图 1
21、 图 2 图 32. 如图 2，要得到 ab，则需要条件（ ）A. 24 B. 13180C. 12180 D. 233. 如图 3，给出了过直线外一点作已知直线的平行线的方法，其依据是（ ）A. 同位角相等，两直线平行 B. 内错角相等，两直线平行 C. 同旁内角互补，两直线平行 D. 两直线平行，同位角相等4. 如图 4，ABED，则ACD （ ）A. 180 B. 270 C. 360 D. 540A BCD E 图 4 图 55. 如图 5 所示， 1l 2， 1120 ，2100，则3（ ）A. 20 B. 40 C. 50 D. 606. 已知：如图 6，AOB 的两边 OA、OB
22、 均为平面反光镜， AOB40 ，在 OB 上有一点 P，从 P 点射出一束光线经 OA 上的 Q 点反射后，反射光线 QR 恰好与 OB 平行，则 QPB 的度数是（ ）A. 60 B. 80 C. 100 D. 120图 7 图 87下列说法正确的是（ ）10A. 两条不相交的直线叫做平行线 B. 同位角相等C. 两直线平行，同旁内角相等 D. 同角的余角相等8如果1 和2 是两平行线 a，b 被第三条直线 c 所截的一对同位角，那么（ ）A. 1 和2 是锐角 B. 12=180C. 1 2=90 D. 1= 29如图 5，ABCD，则结论：（1）1=2；（2）3=4；（3）13=24
23、中正确的是（ ）A. 只有（1） B. 只有（2） C. （1）和（2） C. （1） （2） （3）图 510如图 6，ABCD，若3 是1 的 3 倍，则3 为（ ）A. 45B. 5C. 20D. 90 图 6 图 711如图 7，DHEGBC，且 DCEF，则图中与1 相等的角（不包括1）的个数是（ ）A. 2 B. 4 C. 5 D. 612如图 8，已知 ABCD，CE 平分ACD ，A=110，则ECD 的度数为（ ）A 110 B. 70 C. 55 D. 35图 8 图 913如图 9，如果 DEBC，那么图中互补的角的对数是（ ）A. 2 对 B. 3 对 C. 4 对 D
24、. 5 对二. 填空题1 如图 7，CBAB，CBA 与CBD 的度数比是 5:1，则 DBA_度，CBD 的补角是_度。2 如图 8，ACBC，CD AB，点 A 到 BC 边的距离是线段_的长，点 B 到 CD 边的距离是线段_的长，图中的直角有_，A 的余角有_，和A 相等的角有_。3 如图 9，当1_时，ABCD；当D _180时，AB CD；当B_时，ABCD。11D 54 321CBAE21ODCBA图 9 图 104 如图 10，ABCD，直线 l 平分AOE，140，则2_5 若两个角的两边分别平行，而一个角比另一个角的 3 倍少 30，则两个角的度数分别是_。6如图 1，1=
25、2（ ）（ ） （ ） ，D=（ ） （ ）又D= 3（已知）（ ）=（ ）（ ）（ ） （ ）图 1 图 27如图 2，ADBC ，1=60，2=50，则A=（ ） ，CBD= （ ） ，ADB= （ ） ，AADB2= （ ）8图 3，由 A 测 B 的方向是（ ） ，由 B 测 A 的方向是（ ）图 3 图 49如图 4，ab，ABa 垂足为 O，BC 与 b 相交于点 E，若1=43，则2=（ 10如果两个角的两条边分别平行，而其中一个角比另一个角的 4 倍少 30，则这两个角的度数分别是（ ）和（ 11在同一平面内有三条直线 a、b、c，已知 ab，且 ca ，则 b 与 c 的位置
26、关系是（ ） 。三. 解答和证明1、如图 10，ABCD，BE 平分 ABC，CF 平分BCD，你能发现 BE 和 CF 有怎样的位置关系么？并证明你的结论。图 102、判断下面的结论是否正确，并说明理由（1）如图 11：AE 平分CAD，AEBC，那么B=C12图 11（2）如图 11：如果B=C ，AE BC，那么 AE 平分 CAD。3、如图 12，ABCD，ABE=FCD ，F=40，求E 的度数。图 124、已知，DBF：ABF ： BFC=1 ：2：3，ABCD ，说明：BA 平分EBF图 135 已知：如图，ABCD，直线 EF 分别交 AB、CD 于点 E、F ，BEF 的平分
27、线与DFE 的平分线相交于点P说明P 901a、b、c 是直线，且 ab，bc，则 a 与 c 的位置关系是 _2如图 5-1，MNAB ，垂足为 M 点，MN 交 CD 于 N，过 M 点作 MGCD，垂足为 G，EF 过点 N 点，且EFAB，交 MG 于 H 点，其中线段 GM 的长度是_到_的距离， 线段 MN 的长度是_到_的距离，又是_的距离，点 N 到直线 MG 的距离是_3如图 5-2，ADBC，EF BC，BD 平分ABC，图中与ADO 相等的角有_ 个，分别是_4因为 ABCD，EF AB，根据_，所以_5命题“等角的补角相等” 的题设_，结论是_GH NMFEDCBAFE
28、 ODCBA图 5-1 图 5-2136如图 5-3，给出下列论断： AD BC ：ABCD；A=C以上其中两个作为题设，另一个作为结论，用“如果，那么”形式，写出一个你认为正确的命题是_7如图 5-4，直线 AB、CD 、 EF 相交于同一点 O，而且 B OC= AOC，DOF = AOD ，那么FOC=_2313_ 度8如图 5-5，直线 a、b 被 c 所截，al 于 M，bl 于 N，1=66，则2=_9如图 5-6，ACB=90，CDAB，则图中与A 互余的角有 个，它们分别是 A= ，根据是 10如图 5-7，一棵小树生长时与地面所成的角为 80，它的根深入泥土，如果根和小树在同
29、一条直线上，那么2等于 11如图 5-8，量得1=80 ，2=80，由此可以判定 ，它的根据是 量得3=100，4=100 ，由此可以判定 ，它的根据是 13a、b、c 是直线，且 ab， bc， 则 a_c;a、b、c 是直线，且 ab， bc， 则 a_c;14 如图 5-9，直线 AD、BC 交于 O 点， ，则 的度数为 ABCOD10COD15 如图 5-10，直线 AB 与 CD 交于 O 点， ，则 = 3180216 如图 5-11，直线 AB、EF 相交于 O 点， 于 O 点， ，则 的度数分别CDABED189BOFA,为 二、选择题A B O C D A 4 D 2 1
30、C 3 BO C E A O B F D图 5-9 图 5-10 图 5-11DCBAFEODCBAc lNMba21图 5-3 图 5-4 图 5-5图 18GH图图 5-6 图 5-7 图 5-81417若 ab，cd 则 a 与 c 的关系是（ ）A平行 B垂直 C相交 D以上都不对18如图 5-12，ADE 和 CED 是（ ）A同位角 B内错角 C同旁内角 D互为补角19如图 5-13， ，则 （ ）l12052140/， ，A B C D 56657020如图 5-14，能与 构成同旁内角的角有（ ）A 5 个 B 4 个 C 3 个 D 2 个21如图 5-15，已知 ， 等于（
31、 ）CD/A B C D 780 8595A B 120 25C D B MC A N P D22如图 5-16， 平分 ，则 等于（ ）ABDMPABN/， ， M， ，403NMPA B C D 101 75.23如果两个角的两边分别平行，而其中一个角比另一个角的 4 倍少 ，那么这两个角是（ ）A B 都是4238、 1C 或 D 以上都不对、 0、24如图 5-17，ab，1 与 2 互余，3=115 0，则4 等于（ ）A115 B 155 C 135 D125 25如图 5-18，1=15 ， AOC=90 ，点 B、O 、D 在同一直线上，则2 的度数为（ ）A75 B15 C1
32、05 D 16526如图 5-19，能表示点到直线（或线段）距离的线段有（ ）A 2 条 B3 条 C4 条 D5 条27下列语句错误的是（ ）A连接两点的线段的长度叫做两点间的距离B两条直线平行，同旁内角互补11EDCBA l1 1 2 l2 图 5-12 图 5-13 图 5-14d18432 1cba20DCBAO19DCBA2 1图 5-17 图 5-18 图 5-19图 5-15 图 5-168 7654321DCBA图 5-2015C若两个角有公共顶点且有一条公共边，和等于平角，则这两个角为邻补角D平移变换中，各组对应点连成两线段平行且相等28如图 5-20，如果 ABCD，那么图
33、中相等的内错角是（ ）A1 与5，2 与 6； B3 与7，4 与8； C5 与1，4 与8； D2 与6，7 与329下列语句：三条直线只有两个交点，则其中两条直线互相平行；如果两条平行线被第三条截，同旁内角相等，那么这两条平行线都与第三条直线垂直；过一点有且只有一条直线与已知直线平行，其中（ ）A、是正确的命题 B、是正确命题C、是正确命题 D以上结论皆错30下列与垂直相交的洗法：平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行；一条直线如果它与两条平行线中的一条垂直，那么它与另一条也垂直;平行内， 一条直线不可能与两条相交直线都垂直，其中说法错误个数有（ ）A3 个 B2 个 C1 个 D0
34、个三、解答题31如图 5-21，过 P 点，画出 OA、OB 的垂线1. A PO B2. A O P B32如图 5-22，过 P 点，画出 AB、CD 的垂线 3. B A PC D34如图 5-24，AB BD，CDMN，垂足分别是 B、D 点，FDC=EBA（1）判断 CD 与 AB 的位置关系;（2）BE 与 DE 平行吗?为什么?NMF EDCBA图 5-21图 5-22图 5-23图 5-241635如图 5-25，1+2=180，DAE=BCF ，DA 平分BDF （1）AE 与 FC 会平行吗?说明理由（2）AD 与 BC 的位置关系如何?为什么?（3）BC 平分DBE 吗?
35、为什么FE21DCBA36如图 5-26，已知：CE=DF，AC=BD ， 1= 2求证： A= B38如图 5-27，已知：E、F 分别是 AB 和 CD 上的点，DE、AF 分别交 BC 于 G、H， A= D， 1= 2，求证：B= C 2 A B E C F D H G 1 39如图 5-28，已知：在 中， ，AC=BC，BD 平分 CBA， 于 E， 求证：AD+DE=BEABC90DAB 图 5-25 图 5-26 图 5-27B A C D F E 1 2 17E A B C D 40如图 5-29，已知：AB /CD，求证： B+ D+ BED= （至少用三种方法）360 E A B C D 图 5-28图 5-29
