1、几种特殊性质的函数的周期：y=f(x)对 xR 时，f(x +a)=f(xa) 或 f(x2a )=f(x) (a0)恒成立,则 y=f(x)是周期为2a 的周期函数；y=f(x)对 xR 时，f(x+a)=f(x)( 或 f(x+a)= ，则 y=f(x)是周期为 2 的周期)(1xfa函数；若 y=f(x)关于点(a,0),(b,0) 对称，则 f(x)是周期为 2 的周期函数；bay=f(x)的图象关于直线 x=a,x=b(ab)对称，则函数y=f(x)是周期为 2 的周期函数；如：正弦函数basinyx若 y=f(x)是偶函数，其图像又关于直线 x=a 对称，则f(x)是周期为 2a
2、的周期函数；正（余）弦型函数定义域为 R，周期为 T，那么，对于任意 ，区间Rm内有且只有两个量 ，满足 。正切型函数则只有一个。Tm, 21,x21xff ，0)()axf或 ，)(f或 ,1()fxfx例 1若函数 在 R 上是奇函数，且在 上是增函数，且 ，则01，)()2(xfxf 关于 对称；)(xf 的周期为 ； 在（1，2）是 函数（增、减） ；)(xf = ，则 。时时0)(xf2)(log182f例 2设 是定义在 上，以 2 为周期的周期函数，且 为偶函数，在区间)(f,)(xf2，3上= ,则 = 。)(xf4)32时,0x)(xf4函数（图象）的对称性1）证明一个函数图
3、象自身的对称问题及证明两个函数图象的对称关系问题证明函数 )(xfy图像对称性：即证明图像上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在图像上；证明函数 )(xfy与 )(g图象的对称性，即证明 )(xfy图象上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点在 xy的图象上，反之亦然；1） 函数图象的对称性与相应函数或方程间的关系曲线 C1:f(x,y)=0 关于点（0,0）的对称曲线 C2 方程为：f( x,y)=0;曲线 C1:f(x,y)=0 关于直线 x=0 的对称曲线 C2 方程为：f( x, y)=0; 曲线 C1:f(x,y)=0 关于直线 y=0 的对称曲线 C2 方程为：f(x, y)=0
4、;曲线 C1:f(x,y)=0 关于直线 y=x 的对称曲线 C2 方程为：f(y, x)=0f(a+x)=f(b x) （xR） y=f(x)图像关于直线 x= ba对称；特别地：f(a+x)=f(a x) （xR ） y=f(x)图像关于直线 x=a 对称；两个函数 与 的图象关于直线 对称.)(afy)(xbfy2x若 ,则函数 的图象关于点 对称; 若)(xf)0,(a,则函数 为周期为 的周期函数.)(f2函数 afy， ybx的图像关于直线 bx（由 xb确定）对称.函数图象（或方程曲线）对称性的证明思路 详见我的论文集曲线自身的对称问题 详见我的论文集两条曲线的对称问题 详见我的论文集例。 （1）已知函数 的图象过点（1，1） ，则 的反函数的图象过点 )(xfy)4(xf。（2）由函数 的图象，通过怎样的变换得到 的图象？x)2( 2logy
