1、初 等 数 论 中 的 欧 拉 定 理定 理 内 容在 数 论 中 ， 欧 拉 定 理 （ 也 称 费 马 -欧 拉 定 理 ） 是 一 个 关 于 同 余 的 性 质 。欧 拉 定 理 表 明 ， 若 n,a 为 正 整 数 ， 且 n,a 互 素 ， (a,n) = 1， 则 a (n) 1 (mod n) 证 明首 先 证 明 下 面 这 个 命 题 ： 对 于 集 合 Zn=x1,x2,.,x (n),其 中 xi(i=1,2, (n)是 不 大 于n 且 与 n 互 素 的 数 ， 即 n 的 一 个 化 简 剩 余 系 ， 或 称 简 系 ， 或 称 缩 系 )， 考 虑集 合 S
2、 = a*x1(mod n),a*x2(mod n),.,a*x (n)(mod n) 则 S = Zn 1) 由 于 a,n 互 质 ， xi 也 与 n 互 质 ， 则 a*xi 也 一 定 于 n 互 质 ， 因 此 任 意 xi， a*xi(mod n) 必 然 是 Zn 的 一 个 元 素 2) 对 于 Zn 中 两 个 元 素 xi 和 xj， 如 果 xi xj 则 a*xi(mod n) a*xj(mod n)， 这 个 由 a、 n 互 质 和 消 去 律 可 以 得 出 。所 以 ， 很 明 显 ， S=Zn 既 然 这 样 ， 那 么 （ a*x1 a*x2.a*x (n
3、)） (mod n) = （ a*x1(mod n) a*x2(mod n) . a*x (n)(mod n)）(mod n) = （ x1 x2 . x (n)） (mod n) 考 虑 上 面 等 式 左 边 和 右 边 左 边 等 于 (a*（ x1 x2 . x (n)） ) (mod n) 右 边 等 于 x1 x2 . x (n)） (mod n) 而 x1 x2 . x (n)(mod n)和 n 互 质 根 据 消 去 律 ， 可 以 从 等 式 两 边 约 去 ， 就 得 到 ： a (n) 1 (mod n) 推 论 ： 对 于 互 质 的 数 a、 n， 满 足 a( (
4、n)+1) a (mod n) 费 马 定 理 : a 是 不 能 被 质 数 p 整 除 的 正 整 数 ， 则 有 a(p-1) 1 (mod p) 证 明 这 个 定 理 非 常 简 单 ， 由 于 (p) = p-1， 代 入 欧 拉 定 理 即 可 证 明 。 同 样 有 推 论 ： 对 于 不 能 被 质 数 p 整 除 的 正 整 数 a， 有 ap a (mod p) 编 辑 本 段平 面 几 何 里 的 欧 拉 定 理定 理 内 容设 三 角 形 的 外 接 圆 半 径 为 R， 内 切 圆 半 径 为 r， 外 心 与 内 心 的 距 离 为d， 则 d2=R2-2Rr 证
5、 明O、 I 分 别 为 ABC 的 外 心 与 内 心 连 AI 并 延 长 交 O 于 点 D， 由 AI 平 分 BAC， 故 D 为 弧 BC 的 中点 连 DO 并 延 长 交 O 于 E， 则 DE 为 与 BC 垂 直 的 O 的 直 径 由 圆 幂 定 理 知 ， R2-d2=(R+d)(R-d)=IAID （ 作 直 线 OI 与 O 交 于两 点 ， 即 可 用 证 明 ） 但 DB=DI（ 可 连 BI， 证 明 DBI=DIB 得 ） ， 故 只 需 证 2Rr=IADB， 即 2R DB=IA r 即 可 而 这 个 比 例 式 可 由 AFI EBD 证 得 故 得
6、 R2-d2=2Rr， 即 证 编 辑 本 段拓 扑 学 里 的 欧 拉 公 式V+F-E=X(P)， V 是 多 面 体 P 的 顶 点 个 数 ， F 是 多 面 体 P 的 面 数 ， E 是 多面 体 P 的 棱 的 条 数 ,X(P)是 多 面 体 P 的 欧 拉 示 性 数 。 如 果 P 可 以 同 胚 于 一 个 球 面 （ 可 以 通 俗 地 理 解 为 能 吹 胀 成 一 个 球 面 ） ，那 么 X(P)=2， 如 果 P 同 胚 于 一 个 接 有 h 个 环 柄 的 球 面 ， 那 么 X(P)=2-2h。 X(P)叫 做 P 的 拓 扑 不 变 量 ， 是 拓 扑
7、学 研 究 的 范 围 。 编 辑 本 段经 济 学 中 的 “欧 拉 定 理 ”在 西 方 经 济 学 里 ， 产 量 和 生 产 要 素 L、 K 的 关 系 表 述 为 Q Q(L， K)，如 果 具 体 的 函 数 形 式 是 一 次 齐 次 的 ， 那 么 就 有 ： Q L(Q/L) K(Q/K)， 换 句 话 说 ， 产 品 分 配 净 尽 取 决 于 Q 能 否 表 示 为 一 个一 次 齐 次 函 数 形 式 。 因 为 Q/L MPL w/P 被 视 为 劳 动 对 产 量 的 贡 献 ，Q/K MPK r/P 被 视 为 资 本 对 产 量 的 贡 献 ， 因 此 ， 此
8、 式 被 解 释 为“产 品 分 配 净 尽 定 理 ”， 也 就 是 所 有 产 品 都 被 所 有 的 要 素 恰 好 分 配 完 而 没 有剩 余 。 因 为 形 式 上 符 合 数 学 欧 拉 定 理 ， 所 以 称 为 欧 拉 定 理 。 【 同 余 理 论 中 的 “欧 拉 定 理 “】 设 a,m N,(a,m)=1,则 a(f(m) 1(mod m) (注 :f(m)指 模 m 的 简 系 个 数 ) 编 辑 本 段复 变 函 数 论 里 的 欧 拉 公 式定 理 内 容eix=cosx+isinx e 是 自 然 对 数 的 底 ， i 是 虚 数 单 位 。 它 将 三 角
9、 函 数 的 定 义 域 扩 大 到 复 数 ， 建 立 了 三 角 函 数 和 指 数 函 数 的 关 系 ，它 在 复 变 函 数 论 里 占 有 非 常 重 要 的 地 位 。 将 公 式 里 的 x 换 成 -x， 得 到 ： e-ix=cosx-isinx， 然 后 采 用 两 式 相 加 减 的 方 法 得 到 ： sinx=(eix-e-ix)/(2i)， cosx=(eix+e-ix)/2. 这 两 个 也 叫 做 欧 拉 公 式 。 “上 帝 创 造 的 公 式 ”将 eix=cosx+isinx 中 的 x 取 作 就 得 到 ： ei +1=0. 这 个 等 式 也 叫
10、做 欧 拉 公 式 ， 它 是 数 学 里 最 令 人 着 迷 的 一 个 公 式 ， 它 将 数学 里 最 重 要 的 几 个 数 学 联 系 到 了 一 起 ： 两 个 超 越 数 ： 自 然 对 数 的 底 e， 圆周 率 ， 两 个 单 位 ： 虚 数 单 位 i 和 自 然 数 的 单 位 1， 以 及 数 学 里 常 见 的0。 数 学 家 们 评 价 它 是 “上 帝 创 造 的 公 式 ”， 我 们 只 能 看 它 而 不 能 理 解 它 。 编 辑 本 段意 义（ 1） 数 学 规 律 ： 公 式 描 述 了 简 单 多 面 体 中 顶 点 数 、 面 数 、 棱 数 之 间
11、 特有 的 规 律 （ 2） 思 想 方 法 创 新 ： 定 理 发 现 证 明 过 程 中 ， 观 念 上 ， 假 设 它 的 表 面 是橡 皮 薄 膜 制 成 的 ， 可 随 意 拉 伸 ； 方 法 上 将 底 面 剪 掉 ， 化 为 平 面 图 形 （ 立 体 图 平 面 拉 开 图 ） 。 （ 3） 引 入 拓 扑 学 ： 从 立 体 图 到 拉 开 图 ， 各 面 的 形 状 、 长 度 、 距 离 、 面积 等 与 度 量 有 关 的 量 发 生 了 变 化 ， 而 顶 点 数 ， 面 数 ， 棱 数 等 不 变 。 定 理 引 导 我 们 进 入 一 个 新 几 何 学 领 域
12、： 拓 扑 学 。 我 们 用 一 种 可 随 意 变 形但 不 得 撕 破 或 粘 连 的 材 料 （ 如 橡 皮 波 ） 做 成 的 图 形 ， 拓 扑 学 就 是 研 究 图 形 在这 种 变 形 过 程 中 的 不 变 的 性 质 。 （ 4） 提 出 多 面 体 分 类 方 法 ： 在 欧 拉 公 式 中 ， f (p)=V+F-E 叫 做 欧 拉 示 性 数 。 欧 拉 定 理 告 诉 我 们 ，简 单 多 面 体 f (p)=2。 除 简 单 多 面 体 外 ， 还 有 非 简 单 多 面 体 。 例 如 ， 将 长 方 体 挖 去 一 个 洞 ， 连结 底 面 相 应 顶 点
13、得 到 的 多 面 体 。 它 的 表 面 不 能 经 过 连 续 变 形 变 为 一 个 球 面 ，而 能 变 为 一 个 环 面 。 其 欧 拉 示 性 数 f (p)=16+16-32=0， 即 带 一 个 洞 的 多 面体 的 欧 拉 示 性 数 为 0。 （ 5） 利 用 欧 拉 定 理 可 解 决 一 些 实 际 问 题 如 ： 为 什 么 正 多 面 体 只 有 5 种 ？ 足 球 与 C60 的 关 系 ？ 否 有 棱 数 为 7的 正 多 面 体 ？ 等 编 辑 本 段V+F-E=2 的 证 明方 法 1： （ 利 用 几 何 画 板 ）逐 步 减 少 多 面 体 的 棱 数
14、 ， 分 析 V+F-E 先 以 简 单 的 四 面 体 ABCD 为 例 分 析 证 法 。 去 掉 一 个 面 ， 使 它 变 为 平 面 图 形 ， 四 面 体 顶 点 数 V、 棱 数 E 与 剩 下 的面 数 F1 变 形 后 都 没 有 变 。 因 此 ， 要 研 究 V、 E 和 F 关 系 ， 只 需 去 掉 一 个 面变 为 平 面 图 形 ， 证 V+F1-E=1 （ 1） 去 掉 一 条 棱 ， 就 减 少 一 个 面 ， V+F1-E 不 变 。 依 次 去 掉 所 有 的 面 ，变 为 “树 枝 形 ”。 （ 2） 从 剩 下 的 树 枝 形 中 ， 每 去 掉 一
15、条 棱 ， 就 减 少 一 个 顶 点 ， V+F1-E不 变 ， 直 至 只 剩 下 一 条 棱 。 以 上 过 程 V+F1-E 不 变 ， V+F1-E=1， 所 以 加 上 去 掉 的 一 个 面 ， V+F-E =2。 对 任 意 的 简 单 多 面 体 ， 运 用 这 样 的 方 法 ， 都 是 只 剩 下 一 条 线 段 。 因 此 公式 对 任 意 简 单 多 面 体 都 是 正 确 的 。 方 法 2： 计 算 多 面 体 各 面 内 角 和设 多 面 体 顶 点 数 V， 面 数 F， 棱 数 E。 剪 掉 一 个 面 ， 使 它 变 为 平 面 图 形（ 拉 开 图 ）
16、,求 所 有 面 内 角 总 和 一 方 面 ， 在 原 图 中 利 用 各 面 求 内 角 总 和 。 设 有 F 个 面 ， 各 面 的 边 数 为 n1,n2， ， nF， 各 面 内 角 总 和 为 ： = (n1-2)180 度 +(n2-2)180 度 +(nF-2) 180 度 = (n1+n2+nF -2F) 180 度 =(2E-2F) 180 度 = (E-F) 360 度 （ 1） 另 一 方 面 ， 在 拉 开 图 中 利 用 顶 点 求 内 角 总 和 。 设 剪 去 的 一 个 面 为 n 边 形 ， 其 内 角 和 为 (n-2)180 角 ， 则 所 有 V 个
17、 顶点 中 ， 有 n 个 顶 点 在 边 上 ， V-n 个 顶 点 在 中 间 。 中 间 V-n 个 顶 点 处 的 内 角和 为 (V-n)360 度 ， 边 上 的 n 个 顶 点 处 的 内 角 和 (n-2)180 度 。 所 以 ， 多 面 体 各 面 的 内 角 总 和 ： = (V-n)360 度 +(n-2)180 度 +(n-2)180 度 =（ V-2） 360 度 （ 2） 由 (1)(2)得 ： (E-F) 360 度 =（ V-2） 360 度 所 以 V+F-E=2. 方 法 3 用 拓 扑 学 方 法 证 明 欧 拉 公 式图尝 试 一 下 用 拓 扑 学
18、方 法 证 明 关 于 多 面 体 的 面 、 棱 、 顶 点 数 的 欧 拉 公 式 。 欧 拉 公 式 ： 对 于 任 意 多 面 体 （ 即 各 面 都 是 平 面 多 边 形 并 且 没 有 洞 的 立 体 ）， 假 设 F， E 和 V 分 别 表 示 面 ， 棱 （ 或 边 ） ， 角 （ 或 顶 ） 的 个 数 ， 那 末 F-E+V=2。 证 明 如 图 （ 图 是 立 方 体 ， 但 证 明 是 一 般 的 ， 是 “拓 朴 ”的 ） ： （ 1） 把 多 面 体 （ 图 中 ） 看 成 表 面 是 薄 橡 皮 的 中 空 立 体 。 （ 2） 去 掉 多 面 体 的 一 个
19、 面 ， 就 可 以 完 全 拉 开 铺 在 平 面 上 而 得 到 一 个 平面 中 的 直 线 形 ， 像 图 中 的 样 子 。 假 设 F ， E 和 V 分 别 表 示 这 个 平 面图 形 的 （ 简 单 ） 多 边 形 、 边 和 顶 点 的 个 数 ， 我 们 只 须 证 明 F -E +V =1。 （ 3） 对 于 这 个 平 面 图 形 ， 进 行 三 角 形 分 割 ， 也 就 是 说 ， 对 于 还 不 是 三角 形 的 多 边 形 陆 续 引 进 对 角 线 ， 一 直 到 成 为 一 些 三 角 形 为 止 ， 像 图 中 的样 子 。 每 引 进 一 条 对 角
20、线 ， F 和 E 各 增 加 1， 而 V 却 不 变 ， 所 以 F -E +V 不 变 。 因 此 当 完 全 分 割 成 三 角 形 的 时 候 ， F -E +V 的 值 仍 然 没有 变 。 有 些 三 角 形 有 一 边 或 两 边 在 平 面 图 形 的 边 界 上 。 （ 4） 如 果 某 一 个 三 角 形 有 一 边 在 边 界 上 ， 例 如 图 中 的 ABC， 去 掉这 个 三 角 形 的 不 属 于 其 他 三 角 形 的 边 ， 即 AC， 这 样 也 就 去 掉 了 ABC。 这样 F 和 E 各 减 去 1 而 V 不 变 ， 所 以 F -E +V 也 没
21、 有 变 。 （ 5） 如 果 某 一 个 三 角 形 有 二 边 在 边 界 上 ， 例 如 图 中 的 DEF， 去 掉这 个 三 角 形 的 不 属 于 其 他 三 角 形 的 边 ， 即 DF 和 EF， 这 样 就 去 掉 DEF。 这样 F 减 去 1， E 减 去 2， V 减 去 1， 因 此 F -E +V 仍 没 有 变 。 （ 6） 这 样 继 续 进 行 ， 直 到 只 剩 下 一 个 三 角 形 为 止 ， 像 图 中 的 样 子 。这 时 F =1， E =3， V =3， 因 此 F -E +V =1-3+3=1。 （ 7） 因 为 原 来 图 形 是 连 在 一
22、 起 的 ， 中 间 引 进 的 各 种 变 化 也 不 破 坏 这 事实 ， 因 此 最 后 图 形 还 是 连 在 一 起 的 ， 所 以 最 后 不 会 是 分 散 在 向 外 的 几 个 三 角形 ， 像 图 中 那 样 。 （ 8） 如 果 最 后 是 像 图 中 的 样 子 ， 我 们 可 以 去 掉 其 中 的 一 个 三 角 形 ，也 就 是 去 掉 1 个 三 角 形 ， 3 个 边 和 2 个 顶 点 。 因 此 F -E +V 仍 然 没 有 变 。即 F -E +V =1 成 立 ， 于 是 欧 拉 公 式 ： F-E+V=2 得 证 。 编 辑 本 段欧 拉 定 理
23、的 运 用 方 法（ 1） 分 式 ： a r/(a-b)(a-c)+b r/(b-c)(b-a)+c r/(c-a)(c-b) 当 r=0,1 时 式 子 的 值 为 0 当 r=2 时 值 为 1 当 r=3 时 值 为 a+b+c （ 2） 复 数 由 e i =cos +isin ,得 到 ： sin =（ e i -e -i ） /2i cos =（ e i +e -i ） /2 （ 3） 三 角 形 设 R 为 三 角 形 外 接 圆 半 径 ， r 为 内 切 圆 半 径 ， d 为 外 心 到 内 心 的 距 离 ，则 ： d 2=R 2-2Rr （ 4） 多 面 体 设 v
24、为 顶 点 数 ， e 为 棱 数 ， f 是 面 数 ， 则 v-e+f=2-2p p 为 欧 拉 示 性 数 ， 例 如 p=0 的 多 面 体 叫 第 零 类 多 面 体 p=1 的 多 面 体 叫 第 一 类 多 面 体 (5) 多 边 形 设 一 个 二 维 几 何 图 形 的 顶 点 数 为 V， 划 分 区 域 数 为 Ar， 一 笔 画 笔 数 为B,则 有 ： V+Ar-B=1 (如 ： 矩 形 加 上 两 条 对 角 线 所 组 成 的 图 形 ， V=5,Ar=4,B=8) (6). 欧 拉 定 理 在 同 一 个 三 角 形 中 ， 它 的 外 心 Circumcent
25、er、 重 心 Gravity、 九 点 圆圆 心 Nine-point-center、 垂 心 Orthocenter 共 线 。 其 实 欧 拉 公 式 是 有 很 多 的 ， 上 面 仅 是 几 个 常 用 的 。 编 辑 本 段使 用 欧 拉 定 理 计 算 足 球 五 边 形 和 六 边 形 数问 ： 足 球 表 面 由 五 边 型 和 六 边 型 的 皮 革 拼 成 ， 计 算 一 共 有 多 少 个 这 样 的五 边 型 和 六 边 型 ？ 答 ： 足 球 是 多 面 体 ， 满 足 欧 拉 公 式 F E V 2， 其 中 F,E,V 分 别 表 示面 ,棱 ,顶 点 的 个
26、数 设 足 球 表 面 正 五 边 形 (黑 皮 子 )和 正 六 边 形 (白 皮 子 )的 面 各 有 x 个 和 y个 ， 那 么 面 数 F x y 棱 数 E (5x+6y)/2（ 每 条 棱 由 两 块 皮 子 共 用 ） 顶 点 数 V (5x+6y)/3（ 每 个 顶 点 由 三 块 皮 子 共 用 ） 由 欧 拉 公 式 ， x y (5x+6y)/2 (5x+6y)/3 2， 解 得 x 12。 所 以 ， 共 有 12 块 黑 皮 子 所 以 ， 黑 皮 子 一 共 有 125 60 条 棱 ， 这 60 条 棱 都 是 与 白 皮 子 缝 合 在一 起 的 对 于 白
27、皮 子 来 说 ： 每 块 白 色 皮 子 的 6 条 边 中 ， 有 3 条 边 与 黑 色 皮 子 的边 缝 在 一 起 ， 另 3 条 边 则 与 其 它 白 色 皮 子 的 边 缝 在 一 起 。 所 以 白 皮 子 所 有 边 的 一 半 是 与 黑 皮 子 缝 合 在 一 起 的 那 么 白 皮 子 就 应 该 一 共 有 602 120 条 边 ， 1206 20 所 以 共 有 20 块 白 皮 子 （ 或 者 ， 每 一 个 六 边 形 的 六 条 边 都 与 其 它 的 三 个 六 边 形 的 三 条 边 和 三 个五 边 形 的 三 条 边 连 接 ； 每 一 个 五 边 形 的 五 条 边 都 与 其 它 的 五 个 六 边 形 的 五 条边 连 接 所 以 ， 五 边 形 的 个 数 x=3y/5。 之 前 求 得 x=12， 所 以 y=20）
