1、复习案：极差、方差与标准差数据的离散程度【学习目标】一. 教学内容：数据的离散程度二. 学习目标：1. 掌握极差的定义，了解极差反映一组数据的变化范围，能够通过极差的大小来判断一组数据的波动情况。2. 了解衡量一组数据的波动大小除了平均数、极差外，还有方差、标准差、理解方差、标准差的定义，会计算一组数据的方差和标准差，了解样本的方差，样本标准差、总体方差的意义，会用简化的计算公式求一组数据的方差、标准差，会比较两组数据的波动情况。三. 重点：极差的定义，方差、标准差的应用。四、难点：会用极差的意义判断一组数据的波动情况，利用方差、标准差描述社会生活的方方面面，在实际运用时理解相关数据之间的规律
2、。【学习内容】（一）知识要点知识点 1：表示数据集中趋势的代表平均数、众数、中位数都是描述一组数据集中趋势的特征数，只是描述的角度不同，其中平均数的应用最为广泛。知识点 2：表示数据离散程度的代表极差的定义：一组数据中最大值与最小值的差，能反映这组数据的变化范围，我们就把这样的差叫做极差。极差=最大值最小值，一般来说，极差小，则说明数据的波动幅度小。知识点 3：生活中与极差有关的例子在生活中，我们经常用极差来描述一组数据的离散程度，比如一支篮球队队员中最高身高与最矮身高的差。一家公司成员中最高收入与最低收入的差。知识点 4：平均差的定义在一组数据 x1，x 2，x n 中各数据与它们的平均数
3、的差的绝对值的平均数即 T=x叫做这组数据的“平均差” 。|)|(|n1“平均差”能刻画一组数据的离散程度， “平均差”越大，说明数据的离散程度越大。知识点 5：方差的定义在一组数据 x1，x 2，x n 中，各数据与它们的平均数差的平方，它们的平均数，即S2= 来描述这组数据的离散程度，并把 S2 叫做这)x()()(n1 2组数据的方差。知识点 6：标准差方差的算术平方根，即用 S= 来描述这一组)x()x()x(n12n22数据的离散程度，并把它叫做这组数据的标准差。知识点 7：方差与平均数的性质若 x1，x 2，x n 的方差是 S2，平均数是 ，则有xx 1+b， x2+bxn+b
4、的方差为 S2，平均数是 +bax 1， ax2，ax n 的方差为 a2s2，平均数是 aax 1+b， ax2+b，ax n+b 的方差为 a2s2，平均数是 a +bx【典型例题】例 1. 从甲、乙、丙三个厂家生产的同一种产品中各抽取 8 件产品，对使用寿命进行跟踪调查，结果如下：（单位：年）甲：3、4、5、6、8、8、8、10乙：4、6、6、6、8、9、12、13丙：3、3、4、7、9、10、11、12三个厂家在广告中都称该产品的使用寿命是 8 年。请根据结果判断厂家在广告中分别运用平均数、众数、中位数中的哪一种表示集中趋势的特征数。甲： 乙： 丙： 解：众数、平均数、中位数例 2.
5、下表是南京 2005 年 2 月下旬和 2006 年同期的每日最高气温（单位：）如何对两段时间的气温进行比较？2 月21 日2 月22 日2 月23 日2 月24 日2 月25 日2 月26 日2 月27 日2 月28 日2005 年 12 13 14 22 6 8 9 122006 年 13 13 12 9 11 16 12 10解：2005 年 2 月下旬和 2006 年 2 月下旬的气温的极差（即温差）分别是：2005 年 2 月下旬：226=16（）2006 年 2 月下旬：169=7（）可以看出，2005 年 2 月下旬最高气温与最低气温之间差距较大，相差 16，即极差为16，200
6、6 年 2 月下旬气温的极差为 7，气温变化的范围不大。例 3. 某班四个小组的人数如下：10，10，x，8，已知这组数据的中位数与平均数相等，求这组数据的中位数。解：平均数是 4x2810中位数一定是四个数据中的两个数据的平均数（1）当 x8 时， 9892中 位 数 为（2）当 8x10 时， （舍去）x4810x（3）当 x10 时， x=12，此时中位数为 10102例 4. 从甲、乙两种棉花中各抽取 10 株，测得它们株高分别如下（单位：cm）甲：25，41，40，37，22，14，19，39，21，42；乙：27，16，44，27，44，16，40，40，16，40。（1）哪种棉花
7、长得较高？（2）哪种棉花长得较齐？解：（1） （25+41+40+37+22+14+19+39+21+42 ）=3010x甲（27+16+44+27+44+16+40+40+16+40）=3110x乙 甲 乙乙种棉花长得高（2） 2.104)342()3041()25(10S2甲 8637乙 2甲 乙甲种棉花长得整齐例 5. 小李参加体育项目训练，近期 5 次的测试成绩为 13，14，13，12，13。求测试成绩的极差、方差和标准差。 （精确到 0.01）解：极差=1412=263.04S4.0)1()12( )13(5)234(1x22例 6. 为了从甲、乙两名学生中选拔一人参加电脑知识竞赛
8、，在相同条件下对他的电脑知识进行了 10 次测试，成绩如下：（单位：分）甲的成绩 76 84 90 86 81 87 86 82 85 83乙的成绩 82 84 85 89 79 80 91 89 74 79回答下列问题：（1）甲学生成绩的众数是 分，乙学生成绩的中位数是 分。（2）若甲学生成绩的平均数为 ，乙学生成绩的平均数为 ，则 与 的大小甲x乙x甲 乙x关系是 。（3）经计算知 =13.2， =26.36，这说明 。2S甲 2乙（4）若测验分数在 85 分（含 85 分）以上为优秀，则甲的优秀率为 ，乙的优秀率为 。解：（1）86，83 （2） 甲x乙（3）甲学生的成绩比乙学生的成绩稳
9、定 （4）50%， 40%。例 7. 已知： x1，x 2，x n 的平均数是 ，标准差是 Sx。3x 1+5，3x 2+5，3x n+5 的x平均数是 ，标准差是 Sy，试说明：y（1） =3 +5（2）S y=3Sx解：（1）5x3)x(n3n1)5x3()5x3()(ny212（2）)y()y()y(S 2n21 2x 2n221 nS9 )x()x()(n99 )5x3(5x35x3n y3【模拟试题】 （答题时间：30 分钟）一、选择题1. 6 个数据的平均数为 10，其中的一个为 5，那么其余 5 个数的平均数是（ ）A. 10 B. 9 C. 11 D. 122. 甲、乙两个样本
10、中， 则两个样本的波动情况是（ ）2.0S,4.2乙甲A. 甲的波动比乙大 B. 乙的波动比甲大C. 甲、乙波动一样大 D. 无法比较3. 如果 10 个数的平方和是 370，方差是 33，那么平均数是（ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 44. 能反映一组数据与其平均数的离散程度的是（ ）A. 极差和方差 B. 极差和标准差 C. 方差和标准差 D. 以上都不对5. 一组数据的方差为 S2，将这组数据中的每个数据都乘 2，所得到的一组新数据的方差是（ ）A. B. S2 C. 2S2 D. 4S226. 甲、乙两人在相同条件下各射靶 10 次，他们射击的环数的方差分别为：=2.4 ， =
11、3.2，则射击的稳定程度是（ ）S甲 2乙A. 甲高 B. 乙高 C. 一样高 D. 不能确定二、填空题7. 某次考试 5 个班级的平均成绩如下（单位：分）53，62，63，48，54 则这 5 个班级的平均成绩的极差是 。8.已知某班第 8 小组 8 位男生的身高如下（单位：m ）： 1.78， 1.68， 1.72，1.80， 1.64，1.69，1.71，1.82 则他们的平均身高是 。9.一组数据的方差为 S2，将这组数据中的每个数据都乘以 2，再减去 3，则所得新数据的方差为 。10.已知样本 4，2，x 的方差 S2= ，则 x 的值 。311.一组数据为 1，1，0，1，1，则这
12、组数据的极差、方差、标准差分别为 ， ， 。12. 若 1，2，3，a 的平均数是 3，且 4，5，a，b 的平均数是 5，则样本0，1，2，3，4，a，b 的方差是 。13. 已知甲、乙两名学生 5 次考试数学成绩如下： 甲：97，103，95，110，95 乙：90，110，95，115，90（1） ，S 甲 （精确到 0.01） ， = 甲x 2S甲（2） ，S 乙 （精确到 0.01） ， = 乙 乙三、解答题14. 甲、乙两名学生各进行了 5 次立定跳远测试，两人平均成绩相同，其中甲的成绩的方差是 0.005，乙的成绩如下：2.20m ，2.30m.2.30m， 2.40m，2.30
13、m，那么甲、乙的成绩谁更稳定些？说说你的理由。15. 在一次中考模拟考试中，某校初三（1）和初三（2）班的学生成绩如下表所示：分数人数 50 60 70 80 90 100（1）班3 5 16 3 11 12（2）班2 5 11 12 13 7请你根据所学的统计知识，分别从平均数和方差的角度判断这两个班的成绩谁优谁次？16. 某校初三（1）班、 （2）班各有 49 名学生，两班在一次数学测验中的成绩如下表所示：（单位：分）班级 平均数 众数 中位数 标准差一班 79 70 87 19.8二班 79 70 79 5.2（1）请你对下面一段话，给予简要分析：初三（1）班的小刚回家对妈妈说：“昨天的
14、数学测验，全班平均 79 分，得 70 分的人最多，我得了 85 分，在班里可算上游了！”（2）请你根据表中的数据对这两个班的测验情况进行评价，并提出建议。【试题答案】1. C 2. A 3. B 4. C 5. D 6. A7. 15 8. 1.73m 9. 4S2 10. 3 11. 2 0.8 0.8912. 4 13. （1）100，5.80 ，33.6 （2 ）100，10.49，11014. 解：乙的成绩更稳定些。因为 04.S 30.2).40.232(5x2乙乙甲乙而 所以乙的成绩更稳定些。15. 解：平均成绩均为 80 分，故两班成绩一样好。 （2 ）班成绩较为整齐。24S1108221S故（2）班的成绩较好。16. 解：（ 1）由中位数可知 85 分排在第 25 位以后，从位次上讲不能说 85 分是上游。但也不能单纯以位次来判断学习的好坏，小刚得 85 分，说明他对阶段学习内容掌握较好，从掌握学习内容上讲，也可以说属于上游。（2）初三（1 ）班成绩的中位数为 87，而平均分为 79 分，标准差很大，说明两极分化严重。建议：采取措施，加强“帮扶” 工作。初三（2）中位数和平均分都是 79 分，标准差较小，说明差别不大，两头学生少。建议：采取措施， “提优”工作要加强。
