1、1古诺均衡及其拓展假设市场反需求函数为 ，企业的生产成本为 ，()pQa()CQc求：（1）完全垄断市场结构下的均衡产量、价格和利润；（2）完全竞争结构下的均衡产量、价格和利润；（3）双寡头结构下的古诺均衡的产量、价格和利润；（4）n 家同质企业结构下的古诺竞争的产量、价格和利润，并证明这一结果包含了上述三种情形下的结果。（5）双寡头勾结下的产量、价格和利润；（6）如果双寡头中有一方遵守配额协议，另一方违反协议时，各自的产量、价格和利润；（7）比较（3） （6）的结果证明古诺均衡是一个纳什均衡，而勾结的配额是不稳定的；（8）求双寡头产量竞争在重复博弈结构下，选择合作的条件是什么？（9）求 n
2、家企业产量竞争在重复博弈结构下，选择合作的条件是什么？比较结果（8） （9） ，你会得出什么结论。（10）求双寡头在序贯行动情形下的 stackelberg 均衡解。并与古诺竞争均衡解对比，说明 first-mover advantages，并通过反应函数图来解释这两个均衡。（1）完全垄断结构下，只有一家企业，()()QMaxpCQ利润最大化的一阶条件为： 2cMa2p4Mac（2）完全竞争结构下，有 n 家相同企业，总需求函数2，每一家的边际成本为 ，而且完全竞争情形下价格是1()NipQaqc给定的（price-taker） ，对一家企业来说，边际收益就是 ，根据利润最大化p的条件 MR=
3、MC，这时最优的价格pc带入总需求函数 ，可以得到 ()QaQac根据对称性假设，每家企业的均衡产量为 iqn每一家的利润 0i（3）双寡头结构下， ，边际成本都为 。12()()pQac企业 1 的利润函数为1121()()qcqcq 1)Maxp利润最大化的条件为 21a容易看出，这一结果表明，企业 1 的最优产量取决于企业 2 的产量， 这也正是博弈论中战略依存（strategic-interdependence）这一核心理念的反映。我们把这一结果称为企业 1 的反应函数。同样道理，我们可以得出企业 2 的反应函数 12acq若存在一个战略组合（ ， ）同时满足这两个反应函数，则这个博弈
4、存1cq在一个古诺-纳什均衡解(Cournot-Nash Equilibrium)，容易得出123cacq3cap2129cac(4) n 家企业结构下，总需求函数 ，每一家的边际成1()NipQq本为 。企业 1 的利润函数为c1 1()Nipqaqc 3利润最大化的一阶条件： 21Niacqq这就是企业 1 的反应函数。根据对称性假设，每一家企业存在一个类似的反应函数。如果存在一个纳什均衡的战略组合，那么,.,ciaqiiNn1ancp2(),1.,ciaiiNn当 分别等于 1、2 时，这一结果等同于垄断和双寡头的结果，当 时，nlimli0cnnaqlimli1nnacp2limli(
5、)01cinna这一结果和完全竞争情形下结果相同。由此可见，古诺竞争模型是刻画市场竞争模型的更加一般的方法。（5）双寡头勾结情形下（串谋、卡特尔） ，相当于两家企业像一家独占企业一样行事，分配垄断产出配额和利润，维持垄断价格，所以 1124McolusincolusinQacqcolusinp2128Mcolusincolusinac（6）假设企业遵守卡特尔协议，则 24McolusinQacq而企业 1 则把企业 2 这一产量看做给定，去生产自己利润最大化的产量，所以企业 1 背叛情形下的利润最大化为1121()betray colusinpqcaqq13()8betrayc可以看出，这一产
6、量大于遵守勾结协议下的产量，而总产量的增加必然会导致均衡价格低于垄断价格，容易知道358betraycp8betraycolusinap因为市场存在的前提是保留价格大于边际成本，所以上式小于 0。4219()64betrayc而此时企业 2 的利润会因为均衡价格的下降而减少，所以被欺骗的的企业2 的产出和利润为224MfoledcolusinQacq223()foledac比较得， 22 22 1 13() 9()864Mfoledcolusincolusinbetrayca c （7）利用双寡头古诺竞争、勾结和背叛情形下的结构构造一个 Normal Form 的博弈框架如下F2Collusi
7、on BetrayCollusion 1colusin2colusin28a8a 1foled2betray23()ac9()64cF1Betray 1betray2foled29()64c3()ac 1cournt 2cournt299a假如两家企业都假设对方遵守协议的情况下会背叛，而且这是一个 common knowledge，那么双方的均衡就是古诺均衡。可以看出， （Betray，Betray）的古诺竞争均衡是这个博弈的纳什均衡，而（Collusion，Collusion）不是纳什均衡的结果。这个均衡说明给定对方遵守协议的情形下，每个企业都有背叛的积极性。这也就是现实中卡特尔协议难以稳定
8、存在的原因。从反应函数图上看，古诺产量组合（ ， ）是纳什均衡，而产量3ca组合（ ， ）不构成纳什均衡，因为给定企业 1 生产 ，企业 2 的4ca 4ca5反应函数表明他的最优产量是大于 的。4caq1q2 4ca32c)(21q)(12q从 Evolutionary Game 的角度看，古诺均衡的产出是在博弈双方头脑中理性计算多次互动后产生的。就是首先给定企业生产一个任意产量 ，企业 21q会把这一产量带入自己的反应函数，寻找自己的最优产出 ,依次类推，收)(12敛于（ ， ） 。这就是古诺-纳什均衡在动态意义是价值。这说明，即3ca使初始的产量决策没有完全的理性，但是通过多次的互动、学
9、习、适应调整，古诺均衡产量一定会出现。q1q2 3ca1q12q21)(12q)(21q6（8）在双寡头重复博弈的架构下，假设企业 1 有一个触发战略（Trigger Strategies，或称冷酷战略，Grim Strategies）： a，开始阶段选择勾结产量（也即选择合作） ；b,选择勾结产量直到企业 2 选择了古诺产量，然后永远选择古诺产量。本质上这个触发战略是个战略承诺。通俗的说，就是企业 1 会一开始会选择合作，直到对方出现不合作的行为，然后选择永远不合作。我们来分析在这一条件下，企业 2 的战略选择。如果选择与企业 1 合作，则每一期生产古诺均衡的产出 ，获得利润 ，设时间贴现因
10、子 ，则4ca28ac合作的长期收益为： 2 22(1.)8(1)n而如果选择不合作，则第一期获得利润 ，由于企业采取触发战略，29(64ac企业 2 从第二期开始各期利润为 。不合作的长期收益为：29c2 229() ()(.)6496491nacac企业 2 选择合作的条件是合作长期收益大于不合作的长期受益，即解不等式得： 。222()8(1)6491acac 179那么这一条件的含义是什么呢？我们来考虑贴现因子的经济学含义。贴现因子时间偏绿或者时间偏好程度的表达，反应了人们在当前和未来之间的财富替代程度，或者按照费雪的说法，反映了人们的不耐（impatient）程度。在数量上， ， 为利
11、息率。对于一个普通人来说，如果他愿意接受r16%的利息率而把钱存入银行，那么他的贴现因子就是 ，所以从94.0%61现实中的利息率的变动范围来看，正常人的不耐程度都是比较大的。所以 是个很容易满足的条件。这也说明了，在正常的时间眼界条件下，179合作在两个人长期博弈中是容易达成的。7（9）当上述合作结构不仅限于 2 家，而是在 n 家企业之间展开博弈时，合作的条件是什么呢？我们来看企业的 1 的决策行为。假定其他 n-1 家企业都坚持触发战略，那么企业选择合作的每一期产量为 利润为 ，长期利润为：ncaQM2ncaM4)(22 22(1.)44(1)nacacn背叛情形下的产量和利润。假定其他
12、 n-1 家企业分别生产合作的产量，那么企业 1 的最优产量为ncaQM2 11111 )2)()( qcnaqcaqpxNiq 利润最大化的产出为 ，此时的市场价格为n4(，企业 1 的利润为 。而此后其他企业选择触ncap43 216)(ca发战略，企业从第 2 期开始选择古诺均衡的产量 ，获得利润n2(1)acn选择背叛的长期利润为： 2 22 2(1) (1)(.61) 6(1)nac acnn n 所以选择合作的条件为： 2 22(1)4(6(1)acacnn解得：22122()6)()(16()nn 容易知，当 时， 趋近于 1，所以 n 家企业合作的条件随着企业数目8的增加而变得
13、越来越严峻，或者说越来越难以满足。总结上述结论，可以看出，合作的达成受到两个方面因素的影响：1.时间眼界，越有耐心合作越容易达成；2.参与博弈的人数。人数越多，合作越困难。（10）序贯行动的博弈和 Stackelberg 均衡解。假如博弈的顺序不是 simultaneous move，而是 sequential move：企业1 首先选择产量，然后企业 2 根据企业 1 的产量选择自己的最优产量。在这个博弈结构下，我们看到，企业 2 的决策受到了企业 1 决策的影响。我们用backward induction 方法来求解。在第二阶段企业 2 的最优决策：2 122()()qMaxpQqcaqc
14、q利润最大化的条件为： 1在第一阶段，企业 1 在明确企业 2 的反应函数（也就是战略）情形下做出自己的最优决策：s.t. 11121()()qMaxpQqcaqcq 12acq解得： ， ，12s24s 34sap18s226s与古诺均衡利润 相比，企业 1 获得更多利润，而企业 2 所获利2129cac润减少。9q1q24ca3ca2)(123Cournot-Nash EqilibriumStackelberg Equlibrium)(21q可以看出，通过率先采取行动，可以获得 First-mover Advantages，这就是战略承诺（strategic commitment）或威慑（
15、 deterrence）的价值。战略承诺有以下的表现形式：a.率先主动采取行动，先发制人，压缩对方的战略选择空间，使得对手选择退让，避免正面冲突导致两败俱伤大规模投资，造成沉没成本 sunk costb.事先发出声明；c.长期明确坚持某一原则。如不承诺放弃武力， （不）承诺不首先使用核武器，不与恐怖分子谈判；Leader-Follower matrixF2Leader FollowerLeader0 02()8ac2()16acF1Follower1cournt2cournt102()16ac2()8ac29ac29ac限止定价（Limit Pricing）和掠夺定价（Predatory Pr
16、icing）和消耗战假设在上述的 Leader-Follower 的 Stackelberg 模型中，其他条件不变，但是成本函数是 ()CqFc就是说，进入这一行业必须首先支付一个固定成本 ,比如建造工厂，租赁F店铺，或者前期的广告推广等等。所以这是一个更加接近现实的假定。我们再来看这种情形下竞争均衡。由于利润最大化是边际条件的决策，所以不影响均衡产量 ，12sacq24sacq34sacp但是成本的改变会改变利润量。所以 ， 218sF2216sacF可以看出，由于企业 1 是首先采取行动的，企业 2 的利润受到企业的产量的影响 21222()sssacqpqFa. 通过这个表达式可以看出，企业 2 的利润受到企业 1 产量的影响，所以企业 1 可以主动采取行动选择一个使得企业 2 利润为零的产量，从而掠夺企业2 的市场份额或者把企业 2 赶出市场。这就是限止定价或者掠夺性定价。b.企业也可以通过增加行业的进入或运营成本而使得 增大来侵蚀企业 2F利润，直到企业 2 的利润为 0，这就是消耗战。消耗战的典型形式的就是广告战。
