1、高 一 数 学 必 修 1、 4知 识 、 方 法 总 结第一部分： 高一数学必修 1 知识、方法总 结第一章 集合与函数概念一、集合有关概念1. 集合的含义2. 集合的中元素的三个特性：(1)元素的确定性如：世界上最高的山(2)元素的互异性如：由 HAPPY 的字母组成的集合H,A,P,Y(3)元素的无序性: 如：a,b,c和a,c,b是表示同一个集合3.集合的表示： 如：我校的篮球队员，太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋(1)用拉丁字母表示集合：A=我校的篮球队员,B=1,2,3,4,5(2)集合的表示方法：列举法与描述法。 注意：常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集） 记作：N正整数集
2、N*或 N+ 整数集 Z 有理数集 Q 实数集 R1） 列举法：a,b,c2） 描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。xR| x-32 ,x| x-323） 语言描述法：例：不是直角三角形的三角形4） Venn 图:4、集合的分类：(1)有限集 含有有限个元素的集合(2)无限集 含有无限个元素的集合(3)空集 不含任何元素的集合 例：x|x 2=5二、集合间的基本关系1.“包含”关系子集注意： 有两种可能（1）A 是 B 的一部分，；（2）A 与 B 是同一集B合。反之: 集合 A 不包含于集合 B,或集合 B 不包含集合 A,记作 AB 或 BA2“相等”关系
3、：A=B (55，且 55，则 5=5)实例：设 A=x|x 2-1=0 B=-1,1 “元素相同则两集合相等”即： 任何一个集合是它本身的子集。AA真子集:如果 AB,且 A B 那就说集合 A 是集合 B 的真子集，记作A B(或 B A)如果 AB, BC ,那么 AC 如果 AB 同时 BA 那么 A=B3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为 规定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。 有 n 个元素的集合，含有 2n个子集，2 n-1个真子集三、集合的运算运算类型交 集 并 集 补 集定 义由所有属于 A 且属于 B 的元素所组成的集合,叫做 A,B的交集记作A B
4、（读作A 交B），即A B=x|x A，且 x B由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素所组成的集合，叫做A,B 的并集记作：AB（读作A 并 B），即 A B =x|x A，或 x B)设 S 是一个集合，A是 S 的一个子集，由S 中所有不属于 A 的元素组成的集合，叫做S 中子集 A 的补集（或余集）记作 ，即CSCSA= ,|x且韦恩图示A B图1A B图2SA性 质A A=A A =A B=B AA B AA B BA A=AA =AA B=B AA B A B B(CuA) (CuB)= Cu(A B)(CuA) (CuB)= Cu(A B)A (CuA)=UA (CuA)=
5、例题：1.下列四组对象，能构成集合的是 （ ）A 某班所有高个子的学生 B 著名的艺术家 C 一切很大的书 D 倒数等于它自身的实数2.集合a，b，c 的真子集共有个 3.若集合 M=y|y=x2-2x+1,x R,N=x|x0，则 M 与 N 的关系是.4.设集合 A= ，B= ，若 A B，则 的取值范围是1xxaa5.50 名学生做的物理、化学两种实验，已知物理实验做得正确得 有40 人，化学实验做得正确得有 31 人，两种实验都做错得有 4 人，则这两种实验都做对的有人。6. 用描述法表示图中阴影部分的点（含边界上的点）组成的集合 M=.7.已知集合 A=x| x2+2x-8=0, B
6、=x| x2-5x+6=0, C=x| x2-mx+m2-19=0, 若 BC，AC=，求 m 的值SA二、函数的有关概念1函数的概念：设 A、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合 A 中的任意一个数 x，在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应，那么就称 f：AB 为从集合 A 到集合 B 的一个函数记作： y=f(x)，xA其中，x 叫做自变量，x 的取值范围 A 叫做函数的定义域；与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值，函数值的集合f(x)| xA 叫做函数的值域注意：1定义域：能使函数式有意义的实数 x 的集合称为函数的定义域。求函数的定义域时列不等式组的
7、主要依据是：(1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被开方数不小于零；(3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于 1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的 x 的值组成的集合.(6)指数为零底不可以等于零， (7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. 相同函数的判断方法：表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）；定义域一致 (两点必须同时具备)(见课本 21 页相关例 2)2值域 : 先考虑其定义域(1)观察法 (2)配方法(3)代换法3. 函数图象知识归纳(1)定义：在平面直角坐标系中，以
8、函数 y=f(x) , (xA)中的 x 为横坐标，函数值 y 为纵坐标的点 P(x， y)的集合 C，叫做函数 y=f(x),(x A)的图象C 上每一点的坐标 (x， y)均满足函数关系 y=f(x)，反过来，以满足 y=f(x)的每一组有序实数对 x、 y 为坐标的点 (x， y)，均在 C 上 . (2) 画法A、 描点法：B、 图象变换法常用变换方法有三种1) 平移变换2) 伸缩变换3) 对称变换4区间的概念（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间（2）无穷区间（3）区间的数轴表示5映射一般地，设 A、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合 A 中的任意
9、一个元素 x，在集合 B 中都有唯一确定的元素 y与之对应，那么就称对应 f：A B 为从集合 A 到集合 B 的一个映射。记作“f（对应关系）：A（原象） B（象）”对于映射 f： A B 来说，则应满足：(1)集合 A 中的每一个元素，在集合 B 中都有象，并且象是唯一的；(2)集合 A 中不同的元素，在集合 B 中对应的象可以是同一个；(3)不要求集合 B 中的每一个元素在集合 A 中都有原象。6.分段函数 (1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。(2)各部分的自变量的取值情况(3)分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集补充：复合函数如果 y=f(u)(uM
10、),u=g(x)(xA),则 y=fg(x)=F(x)(xA) 称为 f、g的复合函数。二函数的性质1.函数的单调性(局部性质)（1）增函数设函数 y=f(x)的定义域为 I，如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量 x1，x 2，当 x11，且 *nN 负数没有偶次方根；0 的任何次方根都是 0，记作 。0当 是奇数时， ，当 是偶数时，an)(|an2分数指数幂正数的分数指数幂的意义，规定：，)1,0(*nNmanm ,1*n 0 的正分数指数幂等于 0，0 的负分数指数幂没有意义3实数指数幂的运算性质（1） ra sr；),(Rsa（2）s)(；（3）srb),0(r（二
11、）指数函数及其性质1、指数函数的概念：一般地，函数 叫做指数函数，)1,0(ayx且其中 x 是自变量，函数的定义域为 R注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和 12、指数函数的图象和性质a1 01 00，a 0，函数 y=ax 与 y=loga(-x)的图象只能是 ( )2.计算： ; =； =;64log2733log422log7l531 =213431 0.6)(80. 7.03.函数 y=log (2x2-3x+1)的递减区间为 4.若函数 在区间 上的最大值是最小值的 3 倍，则 a=)1(log)axf 2,a5.已知 ，（1）求 的定义域（2）求使 的 的取值范围
12、()log(0)axf且 ()fx()0fx第三章 函数的应用一、方程的根与函数的零点1、函数零点的概念：对于函数 ，把使 成立的)(Dxfy0)(xf实数 叫做函数 的零点。x)(xfy2、函数零点的意义：函数 的零点就是方程 实数根，亦即函数 的图象与 轴交点的横坐标。)(f即：方程 有实数根 函数 的图象与 轴有交点 函0)(xfy数 有零点xy3、函数零点的求法：（代数法）求方程 的实数根； 1 )(xf（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数 的 2 )(xfy图象联系起来，并利用函数的性质找出零点4、二次函数的零点：二次函数 )0(2acbxy（1），方程 有两不等实根，
13、二次函数的图象与轴有两个交点，二次函数有两个零点x（2），方程 有两相等实根，二次函数的图象与2轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点（3），方程 无实根，二次函数的图象与 轴无交0cbxa x点，二次函数无零点5.函数的模型检验收集数据画散点图选择函数模型求函数模型用函数模型解释实际问题符合实际不符合实际第二部分： 高 一 数 学 必 修 4知 识 、 方 法 总 结基本三角函数 2、 、2、 终边落在 x 轴上的角的集合： 终边落在 y 轴上的角的集合：z, 终边落在坐标轴上的角的集合：z,2 z,2 2 1 2rlSr弧 度 度弧 度 弧 度 弧 度度 801 360.倒数关系：
14、 正六边形对角线上对应的三角函数之积为 11cottanSeCsi平方关系： 22221tanscoti 基本三角函数符号记忆：“一全，二正弦，三切，四余弦” 或者“一全正，二正弦，三两切，四余弦”三个倒立三角形上底边对应三角函数的平方何等与对边对应的三角函数的平方CosSintatec 乘积关系： ， 顶点的三角函数等于相邻的点对应的函数乘积CosSinta 诱导公式 终边相同的角的三角函数值相等zk ,tan2tanksCosii 轴 对 称关 于与 角角 xtantaCossSii 轴 对 称关 于与 角角 yttii 关 于 原 点 对 称与 角角 tantaCososSiSi 对 称
15、关 于与 角角 xy2 cot2tanSiosi t2is上述的诱导公式记忆口诀：“奇变偶不变，符号看象限” 周期问题 2T ,0b , ,0A ,b , , ,02T , ,A , xACosySinxiyACosSinT ,0 ,A ,cotan , , ,t TxAy 三角函数的性质性 质 xSiny xCosy 定义域 R R值 域 1,1,周期性 22奇偶性 奇函数 偶函数单调性 减 函 数增 函 数,23,2,zkk减 函 数增 函 数,zkk对称中心 z,0 zk,02对称轴 kx,2x,图像54321-1-2-3-4-5-6y-8 -6 -4 -2 2 4 6 8xO / 2
16、- -2 3 /2- /2-3 /254321-1-2-3-4-5y-8 -6 -4 -2 2 4 6 8xO /2 3 /2- /2-3 /2 - -2 2 性 质 xy tanxy cot定义域 zx,2z,值 域 R R周期性奇偶性 奇函数 奇函数单调性 增 函 数,2,zkk增 函 数,zkk对称中心 ,0,02对称轴 无 无线段定比分点坐标公式 12xy线段定比分点向量公式.线段中点坐标公式 线段中点向量公式. 21OP图像-15 -10 -5 5 10 15x108642-2-4-6-8-10yO /2 3 /2- /2-3 /2 - ？kxASinySinxy变 化 为怎 样 由
17、振幅变化： 左右伸缩变化：左右平移变化 xAiy )(xASiny上下平移变化 kxSiny)(平面向量共线定理：一般地，对于两个向量 如 果 有,0,ba是 共 线 向 量与是 共 线 向 量 ； 反 之 如 果与则使 得一 个 实 数 abab,0,.使 得那 么 又 且 只 有 一 个 实 数 线段的定比分点点 分有向线段P21所 成 的 比 的 定 义 式 21P. OP当 时 当 时1121y 向量的一个定理的类似推广向量共线定理： 0 ab21xxy0推广平面向量基本定理： 不 共 线 的 向 量为 该 平 面 内 的 两 个其 中 2121, , eea推广空间向量基本定理： 不
18、 共 面 的 向 量为 该 空 间 内 的 三 个其 中 3213, , ea一般地，设向量 ayxba如 果且 ,0,21 0121yxb那 么反过来，如果 .ayx则021 一般地，对于两个非零向量 有 ，其中 为两向量的夹角。 , Cos221yxbaCos特别的， aa或 者 0 , , , 21 211yxba yxb特 别 的 则且如 果 0O ,2121 nn AAAn则的 中 心 为边 形若 正三角形中的三角问题 - ,2 , CBCBCBA 2os 2osososSinSinSin正弦定理： SinCBSinAcbaRSinCciBbiAa2余弦定理： 2 ,2222 osc
19、 os变形： abcCosabb2 , 22 CBACBAtanttanttan三角公式以及恒等变换两角的和与差公式： )(S ,inosSii变形： )()()()(T , tan1tant ,inSosCos 为 三 角 形 的 三 个 内 角其 中 ,tantanta1二倍角公式： 2 222ta1t 1SinCosSinCossSii半角公式： 2ososSin SinCosios11tn降幂扩角公式： 2 ,122SiC积化和差公式：CososSinCsoiniisSn21和差化积公式： （ ）222SiniCosCosisiii SC2万能公式: ( ) 2tan1tan2CosS
20、i CTS2tan1t三倍角公式： CosCosSiniSin34323tan1ta“三四立，四立三，中间横个小扁担” . . , . 1., ,: tan , y.4 tan , .3 t , an .2 t , 122222比 较 容 易 理 解 和 掌 握与 差 的 与 弦 来 靠项 是 余 弦 的 就 用 两 角 和 第 一的 正 弦 来 靠正 弦 的 就 用 两 角 和 与 差一 般 是 表 达 式 第 一 项 是的 就 可 以 直 接 写 出 其 它的 推 导 即 表 达 技 巧只 要 记 忆不 需 要 死 记 公 式求 解 最 值 问 题 进 而 可 以化 归相 同 的 形 式
21、也 有 不 同 的归不 同 的 形 式 有 不 同 的 化注 其 中其 中其 中其 中其 中其 中其 中 bCosbaSinbSinaCososbabSinsiobaibaSinCsy bSni 补充： 1. 由公式 )()(T , tan1ttant可以推导 ： 2tan1t ,z ,4 时当在有些题目中应用广泛。2. tantanttant3. 柯西不等式 222()(),.bcdcbcdR补充1常见三角不等式：（1）若 ，则 .(0,)2xsintax(2) 若 ，则 . (3) .(0,)2x1sico|sin|cos|1x2. (平方正弦公式);22sin(sin.co)()i= (
22、辅助角 所在象限由点 的象限决定,iab2s)ab()ab).tanb3. 三倍角公式 ： .3si3in4siins()sin()3.cococo.32tatn3tan()tan()134.三角形面积定理：（1） （ 分别表示 a、b、c 边上的高）1abcShhabc、 、.（2） . (3)1sinsisin2CAB.2(|)()OABSBO5.三角形内角和定理在ABC 中，有 (2CAB.2()C6. 正弦型函数 的对称轴为 ；对称中心为sinxAy )(2Zkkx；类似可得余弦函数型的对称轴和对称中心；)(0,(Zk三易错点提示：1. 在解三角问题时，你注意到正切函数、余切函数的定义域了吗？你注意到正弦函数、余弦函数的有界性了吗？2. 在三角中，你知道 1 等于什么吗？（这些统称为 1 的代换) 常数 “1”的种种代换有着广泛的应用3. 你还记得三角化简的通性通法吗？（切割化弦、降幂公式、用三角公式转化出现特殊角. 异角化同角，异名化同名，高次化低次）4. 你还记得在弧度制下弧长公式和扇形面积公式吗？( )
