1、12.2 等差数列22.1 等差数列自主学习知识梳理1等差数列的定义一般地，如果一个数列从第_项起，每一项与它的前一项的差都等于_常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的_，通常用字母_表示2等差中项如果 A ，那么 A 叫做 a 与 b 的_a b23等差数列的单调性等差数列的公差_时，数列为递增数列；_时，数列为递减数列；_时，数列为常数列4等差数列的通项公式an_，当 d0 时， an_， an是关于 n 的_函数；当 d0时， an_， an是关于 n 的_函数，点( n， an)分布在一条以_为斜率的直线上，是这条直线上的一列_的点5等差数列的性质(1)若 an是等差
2、数列，且 k l m n(k、 l、 m、 nN *)，则_(2)若 an是等差数列且公差为 d，则 a2n也是_，公差为_(3)若 an是等差数列且公差为 d，则 a2n1 a2n也是_，公差为_自主探究如果等差数列 an的首项是 a1，公差是 d，你能用两种方法求其通项吗？对点讲练知识点一 等差数列的通项公式例 1 若 an是等差数列， a158， a6020，求 a75.总结 方法一：先求出 a1， d，然后求 a75；方法二：应用通项公式的变形公式2an am( n m)d 求解变式训练 1 在等差数列 an中，已知 am n， an m，求 am n的值知识点二 等差数列的性质例 2
3、 已知等差数列 an中， a1 a4 a715， a2a4a645，求此数列的通项公式总结 要求通项公式，需要求出首项 a1和公差 d，由 a1 a4 a715， a2a4a645 直接求解很困难，我们可以换个思路，利用等差数列的性质，注意到 a1 a7 a2 a62 a4问题就简单了变式训练 2 成等差数列的四个数之和为 26，第二个数与第三个数之积为 40，求这四个数3知识点三 等差数列的判断例 3 已知数列 an满足 a14， an4 (n2)，令 bn .4an 1 1an 2(1)求证：数列 bn是等差数列；(2)求数列 an的通项公式总结 判断一个数列 an是否是等差数列，关键是看
4、 an1 an是否是一个与 n 无关的常数变式训练 3 若 ， ， 是等差数列1b c 1c a 1a b求证： a2， b2， c2成等差数列1证明数列 an为等差数列的方法(1)定义法： an1 an d (d 为常数， n1) an为等差数列或 an an1 d (d 为常数， n2) an为等差数列(2)等差中项法：2 an1 an an2 an是等差数列(3)通项法： an pn q (p、 qR) an是等差数列，只要说明 an为 n 的一次函数，就可下结论说 an是等差数列2三个数成等差数列可设为： a d， a， a d 或 a， a d， a2 d；四个数成等差数列可设为：
5、a3 d， a d， a d， a3 d 或 a， a d， a2 d， a3 d. 课时作业一、选择题41在等差数列 an中， a13 a8 a15120，则 2a9 a10的值为( )A24 B22 C20 D82已知等差数列 an中， a29， ，则 an为( )a3a2 23A14 n3 B16 n4 C15 n39 D15 n83等差数列 an的公差 d0 d0 d04 a1( n1) da1 常数 dn( a1 d) 一次 d 孤立55(1) ak al am an (2)等差数列 2 d(3)等差数列 4 d自主探究解 第一种方法：根据等差数列的定义，可以得到a2 a1 d， a
6、3 a2 d， a4 a3 d，.所以a2 a1 d，a3 a2 d( a1 d) d a12 d，a4 a3 d( a12 d) d a13 d，由此得出： an a1( n1) d.第二种方法：由等差数列的定义知， an an1 d(n2)，所以 Error! (n1)个将以上( n1)个等式两边分别相加，可得 an a1( n1) d，即 an a1( n1) d.对点讲练例 1 解 设 an的公差为 d.方法一 由题意知Error!解得Error!所以 a75 a174 d 74 24.6415 415方法二 因为 a60 a15(6015) d，所以 d ，a60 a1560 15
7、20 860 15 415所以 a75 a60(7560) d2015 24.415变式训练 1 解 方法一 设公差为 d，则 d 1，am anm n n mm n从而 am n am( m n m)d n n(1)0.方法二 设等差数列的通项公式为 an an b(a， b 为常数)，则Error!得 a1， b m n.所以 am n a(m n) b0.例 2 解 因为 a1 a72 a4， a1 a4 a73 a415，所以 a45.又因为 a2a4a645，所以 a2a69，即( a42 d)(a42 d)9，(52 d)(52 d)9，解得 d2.若 d2， an a4( n4)
8、 d2 n3；若 d2， an a4( n4) d132 n.变式训练 2 解 设这四个数为 a3 d， a d， a d， a3 d，则由题设得Error!Error! 解得Error! 或Error!所以这四个数为 2,5,8,11 或 11,8,5,2.例 3 (1)证明 an4 (n2)，4an 1 an1 4 (nN *)4an bn1 bn 1an 1 2 1an 2 12 4an 1an 2 .an2 an 2 1an 2 an 22 an 2 12 bn1 bn ， nN *.126 bn是等差数列，首项为 ，公差为 .12 12(2)解 b1 ， d .1a1 2 12 12
9、 bn b1( n1) d (n1) .12 12 n2 ， an2 .1an 2 n2 2n变式训练 3 证明 ， ， 是等差数列，1b c 1c a 1a b .1b c 1a b 2c a( a b)(c a)( b c)(c a)2( a b)(b c)( c a)(a c2 b)2( a b)(b c)2 ac2 ab2 bc a2 c22 ab2 ac2 bc2 b2 a2 c22 b2， a2， b2， c2成等差数列课时作业1A2C a29， ，a3a2 23 a3 (9)6， d a3 a215，23 an a2( n2) d9( n2)1515 n39.3D 由Error!
10、Error!Error!所以 an a1( n1) d，即 an8( n1)(2)，得 an2 n10.4C 方法一 设 an首项为 a1，公差为 d，则 a3 a4 a5 a6 a7 a12 d a13 d a14 d a15 d a16 d5 a120 d 即5a120 d450， a14 d90， a2 a8 a1 d a17 d2 a18 d180.方法二 a3 a7 a4 a62 a5 a2 a8， a3 a4 a5 a6 a7 (a2 a8)450，52 a2 a8180.5D 2 an1 2 an1， an1 an .12故数列 an是首项为 2，公差为 的等差数列12 a101
11、 a1100 d2100 52.126.43解析 n m3 d1， d1 (n m)13又 n m4 d2， d2 (n m)14 .d1d213 n m14 n m 4377.125解析 2 d，即 d .1a6 1a4 14 16 124所以 4 d ，所以 a10 .1a10 1a6 14 16 512 1258.12解析 由题意设这 4 个根为 ， d， 2 d， 3 d.则 2， d ，14 14 14 14 14 (14 3d) 12这 4 个根依次为 ，14345474 n ， m 或 n ， m ，14 74 716 34 54 1516 1516 716| m n| .129
12、解 设 an a1( n1) d，则 a4a9 a6a7( a13 d)(a18 d)( a15 d)(a16 d)( a 11 a1d24 d2)( a 11 da130 d2)6 d20，所以 a4a9a6a7.21 2110解 (1)依题意有 a13， d734， an34( n1)4 n1.设 an4 n1135，得 n34，135 是数列 an的第 34 项由于 4m194( m5)1，且 mN *，4 m19 是数列 an的第 m5 项(2) am、 at是数列 an中的项， am4 m1， at4 t1.2 am3 at2(4 m1)3(4 t1)4(2 m3 t1)1.2 m3 t1N *，2am3 at是数列 an中的第 2m3 t1 项
