1、1北京市东城区 2015-2016 学年上学期高二年级期末考试数学试卷（文科）本试卷共 100 分，考试时长 120 分钟。一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 圆 的半径为（ ）01422yxA. 1 B. C. 2 D. 42. 直线 的倾斜角是（ ）3A. 30 B. 60 C. 120 D. 1503. 过点（1，0）且与直线 0 平行的直线方程为（ ）2yxA. B. 02yx 01yxC. D. 4. 双曲线 的实轴长为（ ）82A. 2 B. C. 4 D. 245. 已知 表示两条不同直线， 表
2、示平面，下列说法正确的是（ ）nm, A. 若 m ，则 m n B. 若 m ，mn，则 nC. 若 m n，则 n D. 若 m ，则 mn, ,6. 若 满足 ，则 的最大值为（ ）yx,01,yxz2A. 0 B. 1 C. D. 237. 已知抛物线 上一点 P 到 y 轴的距离是 4，则点 P 到该抛物线焦点的距离为（ xy82）A. 4 B. 6 C. 8 D. 128. 一个四棱锥的底面为长方形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的体积是（ ）2A. 1 B. 2 C. 3 D. 49. 过点 的直线 与圆 有公共点，则直线 的斜率的取值范围是（ ),3(Pl12yxl）A. B.
3、 C. D. ,0(3,0(3,03,010. 甲工厂八年来某种产品年产量与时间（单位：年）的函数关系如图所示。现有下列四种说法：前三年该产品产量增长速度越来越快；前三年该产品产量增长速度越来越慢；第三年后该产品停止生产；第三年后该产品年产量保持不变。其中说法正确的是（ ）A. B. C. D. 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分）11. 抛物线 的准线方程为_。xy4212. 以边长为 1 的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于_。313. 双曲线 的两条渐近线的方程为_。1962yx14. 是 的导函数，则 _。)(f3xf )1(
4、f15. 设椭圆 的左、右焦点分别为 ，右顶点为 A，上顶)0(1:2bayC21,F点为 B，已知 ，则 C 的离心率为_ 。|21FA16. 如图所示，正方体 的棱长为 1， ，M 是线段1DBAOCB上的动点，过点 M 作平面 的垂线交平面 于点 N，则点 N 到点 A 距OD1 1离的最小值为_。三、解答题（本大题共 5 小题，共 52 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.（本小题满分 10 分）已知三角形的三个顶点 ，求 BC 边上中线和高线所在的直)4,1()0,36,4(CBA线方程。18.（本小题满分 10 分）已知圆 C 经过 两点，且圆心在直线 上。)1,(3
5、,xy（）求圆 C 的方程；（）设直线 经过点 ，且 与圆 C 相交所得弦长为 ，求直线 的方程。l)2,(l 32l19.（本小题满分 10 分）如图，在四棱锥 中，底面 ABCD 是菱形，PAPB，且侧面 PAB平面ABDPABCD，点 E 是 AB 的中点。4（）求证：CD平面 PAB；（）求证：PEAD；（）若 CACB，求证：平面 PEC平面 PAB。20.（本小题满分 11 分）已知函数 。Raxaxf ,21)36(2)(2（）若 ，求曲线 在点 处的切线方程；1afy)0(f（）求 在 上的最小值。)(f,21.（本小题满分 11 分）已知椭圆 的长轴长为 ，离心率 ，过右焦点
6、 F 的)0(12bayx 22e直线 交椭圆于 P，Q 两点。l（）求椭圆的方程；（）当直线 的斜率为 1 时，求POQ 的面积；l（）若以 OP，OQ 为邻边的平行四边形是矩形，求满足该条件的直线 的方程。l【试题答案】一、选择题（共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）1. C 2. A 3. A 4. C 5. A6. D 7. B 8. B 9. D 10. D二、填空题（共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分）11. 12. 13. 1x2yx4314. 3 15. 16. 26三、解答题（共 5 小题，共 52 分）17.（本小题满分 10 分）5解：设 BC 边中点为
7、 ，),(0yxM因为 ，4,1)0,3(CB所以 ，2(x。2)0y所以 。 2 分,(M又 A（4，6） ，。 4 分3k所以 BC 边上中线所在的直线方程为 。 6 分023yx设 BC 边上的高线为 AH，因为 AHBC，所以 。 8 分21BCAHk所以 BC 边上高线所在的直线方程为 。 10 分02yx18.（本小题满分 10 分）解：（）设圆 C 的圆心坐标为 。),(a依题意，有 ，2222 )1(3)1( a即 ，解得 。 2 分962所以 ， 4 分4)()(22r所以圆 C 的方程为 。 5 分)1(2yx（）依题意，圆 C 的圆心到直线 的距离为 1，l所以直线 符合
8、题意。 6 分2设直线 的方程为 ，即 ，l )2(xky 02kyx6则 ，解得 。1|3|2k34k所以直线 的方程为 ，即 。 9 分l )2(xy 0234yx综上，直线 的方程为 或 。 10 分019.（本小题满分 10 分）解：（）因为底面 ABCD 是菱形，所以 CDAB 。 1 分又因为 平面 PAB， 2 分CD且 平面 PAB，AB所以 CD平面 PAB。 3 分（）因为 PAPB，点 E 是棱 AB 的中点，所以 PEAB ， 4 分因为平面 PAB平面 ABCD，平面 PAB，PE所以 PE平面 ABCD， 6 分因为 平面 ABCD，AD所以 PEAD。 7 分（）
9、因为 CACB，点 E 是 AB 的中点，所以 CEAB。 8 分由（）可得 PEAB，又因为 ，PC所以 AB平面 PEC， 9 分又因为 平面 PAB，AB所以平面 PAB平面 PEC。 10 分20.（本小题满分 11 分）解： 。 2 分)(26)2(6)( axaxxf （）当 时， ，1a)0(,1ff7所以切线方程为 ，即 。 4 分xy1202y（）令 ，解得： 。0)(xf a, ，则当 时， 在 上单调递减，2a),)()(xff ),所以，当 时， 取得最小值，最小值为 。 6 分(f a3642 ，则当 时，)2,x当 x 变化时， 的变化情况如下表：(),f2 ),a
10、)2,(a2)(f 0 x10 极小值 a364所以，当 时， 取得最小值，a)(xf最小值为 。 8 分26)(3f ，则当 时， 在 上单调递增，2),()(,0)(xff )2,所以，当 时， 取得最小值，xxf最小值为 。 10 分af120)(综上，当 时， 的最小值为 ；a)(f a120当 时， 的最小值为 ；2x63当 时， 的最小值为 。 11 分)(f421.（本小题满分 11 分）解：（）由已知，椭圆方程可设为 。 1 分)0(12bayx因为长轴长为 ，离心率 ，2e所以 ，,1acb所求椭圆方程为 。 3 分12yx（）因为直线 过椭圆右焦点 ，且斜率为 1，l)0,
11、(F所以直线 的方程为 。 4 分x设 ，),(),(21yQxP由 得 ，解得 ，,2y01331,21y8所以 。 6 分32|21|211 yyOFSPQ（）当直线 与 x 轴垂直时，直线 的方程为 ，此时POQ 小于 90，ll1xOP， OQ 为邻边的平行四边形不可能是矩形。 7 分当直线 与 轴不垂直时，设直线 的方程为 。l l)(ky由 可得 。),1(22xky 024)(22xk因为 ，)1(846k所以 。 9 分22121,xkx因为 ，)()(yy所以 。221k因为以 OP，OQ 为邻边的平行四边形是矩形，所以 ，OQPk因为 ，121xy所以 得 。 10 分0212kk2所以 。k所以所求直线的方程为 。 11 分)(xy
