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北京市东城区2015-2016学年高二上学期期末考试数学(文)试卷.doc

1、1北京市东城区 2015-2016 学年上学期高二年级期末考试数学试卷(文科)本试卷共 100 分,考试时长 120 分钟。一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1. 圆 的半径为( )01422yxA. 1 B. C. 2 D. 42. 直线 的倾斜角是( )3A. 30 B. 60 C. 120 D. 1503. 过点(1,0)且与直线 0 平行的直线方程为( )2yxA. B. 02yx 01yxC. D. 4. 双曲线 的实轴长为( )82A. 2 B. C. 4 D. 245. 已知 表示两条不同直线, 表

2、示平面,下列说法正确的是( )nm, A. 若 m ,则 m n B. 若 m ,mn,则 nC. 若 m n,则 n D. 若 m ,则 mn, ,6. 若 满足 ,则 的最大值为( )yx,01,yxz2A. 0 B. 1 C. D. 237. 已知抛物线 上一点 P 到 y 轴的距离是 4,则点 P 到该抛物线焦点的距离为( xy82)A. 4 B. 6 C. 8 D. 128. 一个四棱锥的底面为长方形,其三视图如图所示,则这个四棱锥的体积是( )2A. 1 B. 2 C. 3 D. 49. 过点 的直线 与圆 有公共点,则直线 的斜率的取值范围是( ),3(Pl12yxl)A. B.

3、 C. D. ,0(3,0(3,03,010. 甲工厂八年来某种产品年产量与时间(单位:年)的函数关系如图所示。现有下列四种说法:前三年该产品产量增长速度越来越快;前三年该产品产量增长速度越来越慢;第三年后该产品停止生产;第三年后该产品年产量保持不变。其中说法正确的是( )A. B. C. D. 二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 3 分,共 18 分)11. 抛物线 的准线方程为_。xy4212. 以边长为 1 的正方形的一边所在直线为旋转轴,将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于_。313. 双曲线 的两条渐近线的方程为_。1962yx14. 是 的导函数,则 _。)(f3xf )1(

4、f15. 设椭圆 的左、右焦点分别为 ,右顶点为 A,上顶)0(1:2bayC21,F点为 B,已知 ,则 C 的离心率为_ 。|21FA16. 如图所示,正方体 的棱长为 1, ,M 是线段1DBAOCB上的动点,过点 M 作平面 的垂线交平面 于点 N,则点 N 到点 A 距OD1 1离的最小值为_。三、解答题(本大题共 5 小题,共 52 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17.(本小题满分 10 分)已知三角形的三个顶点 ,求 BC 边上中线和高线所在的直)4,1()0,36,4(CBA线方程。18.(本小题满分 10 分)已知圆 C 经过 两点,且圆心在直线 上。)1,(3

5、,xy()求圆 C 的方程;()设直线 经过点 ,且 与圆 C 相交所得弦长为 ,求直线 的方程。l)2,(l 32l19.(本小题满分 10 分)如图,在四棱锥 中,底面 ABCD 是菱形,PAPB,且侧面 PAB平面ABDPABCD,点 E 是 AB 的中点。4()求证:CD平面 PAB;()求证:PEAD;()若 CACB,求证:平面 PEC平面 PAB。20.(本小题满分 11 分)已知函数 。Raxaxf ,21)36(2)(2()若 ,求曲线 在点 处的切线方程;1afy)0(f()求 在 上的最小值。)(f,21.(本小题满分 11 分)已知椭圆 的长轴长为 ,离心率 ,过右焦点

6、 F 的)0(12bayx 22e直线 交椭圆于 P,Q 两点。l()求椭圆的方程;()当直线 的斜率为 1 时,求POQ 的面积;l()若以 OP,OQ 为邻边的平行四边形是矩形,求满足该条件的直线 的方程。l【试题答案】一、选择题(共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分)1. C 2. A 3. A 4. C 5. A6. D 7. B 8. B 9. D 10. D二、填空题(共 6 小题,每小题 3 分,共 18 分)11. 12. 13. 1x2yx4314. 3 15. 16. 26三、解答题(共 5 小题,共 52 分)17.(本小题满分 10 分)5解:设 BC 边中点为

7、 ,),(0yxM因为 ,4,1)0,3(CB所以 ,2(x。2)0y所以 。 2 分,(M又 A(4,6) ,。 4 分3k所以 BC 边上中线所在的直线方程为 。 6 分023yx设 BC 边上的高线为 AH,因为 AHBC,所以 。 8 分21BCAHk所以 BC 边上高线所在的直线方程为 。 10 分02yx18.(本小题满分 10 分)解:()设圆 C 的圆心坐标为 。),(a依题意,有 ,2222 )1(3)1( a即 ,解得 。 2 分962所以 , 4 分4)()(22r所以圆 C 的方程为 。 5 分)1(2yx()依题意,圆 C 的圆心到直线 的距离为 1,l所以直线 符合

8、题意。 6 分2设直线 的方程为 ,即 ,l )2(xky 02kyx6则 ,解得 。1|3|2k34k所以直线 的方程为 ,即 。 9 分l )2(xy 0234yx综上,直线 的方程为 或 。 10 分019.(本小题满分 10 分)解:()因为底面 ABCD 是菱形,所以 CDAB 。 1 分又因为 平面 PAB, 2 分CD且 平面 PAB,AB所以 CD平面 PAB。 3 分()因为 PAPB,点 E 是棱 AB 的中点,所以 PEAB , 4 分因为平面 PAB平面 ABCD,平面 PAB,PE所以 PE平面 ABCD, 6 分因为 平面 ABCD,AD所以 PEAD。 7 分()

9、因为 CACB,点 E 是 AB 的中点,所以 CEAB。 8 分由()可得 PEAB,又因为 ,PC所以 AB平面 PEC, 9 分又因为 平面 PAB,AB所以平面 PAB平面 PEC。 10 分20.(本小题满分 11 分)解: 。 2 分)(26)2(6)( axaxxf ()当 时, ,1a)0(,1ff7所以切线方程为 ,即 。 4 分xy1202y()令 ,解得: 。0)(xf a, ,则当 时, 在 上单调递减,2a),)()(xff ),所以,当 时, 取得最小值,最小值为 。 6 分(f a3642 ,则当 时,)2,x当 x 变化时, 的变化情况如下表:(),f2 ),a

10、)2,(a2)(f 0 x10 极小值 a364所以,当 时, 取得最小值,a)(xf最小值为 。 8 分26)(3f ,则当 时, 在 上单调递增,2),()(,0)(xff )2,所以,当 时, 取得最小值,xxf最小值为 。 10 分af120)(综上,当 时, 的最小值为 ;a)(f a120当 时, 的最小值为 ;2x63当 时, 的最小值为 。 11 分)(f421.(本小题满分 11 分)解:()由已知,椭圆方程可设为 。 1 分)0(12bayx因为长轴长为 ,离心率 ,2e所以 ,,1acb所求椭圆方程为 。 3 分12yx()因为直线 过椭圆右焦点 ,且斜率为 1,l)0,

11、(F所以直线 的方程为 。 4 分x设 ,),(),(21yQxP由 得 ,解得 ,,2y01331,21y8所以 。 6 分32|21|211 yyOFSPQ()当直线 与 x 轴垂直时,直线 的方程为 ,此时POQ 小于 90,ll1xOP, OQ 为邻边的平行四边形不可能是矩形。 7 分当直线 与 轴不垂直时,设直线 的方程为 。l l)(ky由 可得 。),1(22xky 024)(22xk因为 ,)1(846k所以 。 9 分22121,xkx因为 ,)()(yy所以 。221k因为以 OP,OQ 为邻边的平行四边形是矩形,所以 ,OQPk因为 ,121xy所以 得 。 10 分0212kk2所以 。k所以所求直线的方程为 。 11 分)(xy

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