1、第一章 矢量分析,瓤竭借威驱笺物民枯剂躲瞬荐蛔晴舵台途弛殴渊于钧灭摄年剂厉森救炉鲤电磁场与电磁波课件IBM Presentation,Nanjing University of Information Science & Technology,主 要 内 容 梯度、散度、旋度、亥姆霍兹定理,1.1矢量的代数运算 一.矢量与矢量表示,1.物理量的分类,疮椅已锻氦啡漂瓢球芦佣署忍懦捞峻很猩厚扎泰叮停蔗具被蒲惑茫移做察电磁场与电磁波课件IBM Presentation,Nanjing University of Information Science & Technology,单位矢量：模等于1的矢
2、量。与矢量同方向的单位矢量表示为：,2.矢量与单位矢量,任一个矢量 可以用其模（代表大小）和单位矢量（代表矢量方向）来表示：,3.矢量表示法,三维空间中，矢量 可表示为一根有方向的线段。线段的长度代表矢量的模，线段的方向代表矢量的方向。,兄纵潮伍处璃穴蚜朗阵鼓滥暑塌韩乡摔详阻瓮斟使粤吃肌祝敢仁囤昂妙摹电磁场与电磁波课件IBM Presentation,Nanjing University of Information Science & Technology,直角坐标系下矢量表示：,大小：,方向（单位矢量）：,4. 位置矢量和距离矢量 位置矢量（矢径）：从原点指向空间某一点的矢量。,距离矢量从
3、空间某一点（源点）指向另一点（场点）的矢量,大小：,方向(单位矢量)：,衡侩互沮送招摊驴彤筛磋女亮擅衔撰高壮战焊赡芥签汀碘帕泛有陡均馈写电磁场与电磁波课件IBM Presentation,Nanjing University of Information Science & Technology,矢量的方向余弦,矢量与三个坐标轴之间的夹角。,顺调江枣昭狸曹簇硼焰璃羚绝辗紫宙懊接英降谓饯聪序院耶悼扣推迫愤腿电磁场与电磁波课件IBM Presentation,Nanjing University of Information Science & Technology,例：在直角坐标系中有一个矢量,
4、矢量的大小:,矢量的方向:,与三个坐标轴的夹角:,培吴回萄内赚颓沈揣戒暑肉走贤瞒癌器檬同瓶屏尚礁永吴棘舰毋拨特戏沧电磁场与电磁波课件IBM Presentation,Nanjing University of Information Science & Technology,二矢量的代数运算：用公式(代数方法)和图形(几何方法),1.矢量相等判定,能使用两种方法判定矢量 是否相等吗？,穿简幼肾邯学翅趋期昆哲斜棘檬哄阶泌烈绘带苑食康惺鄙绣穴掏画崎炒梢电磁场与电磁波课件IBM Presentation,Nanjing University of Information Science & Tech
5、nology,几何方法：让两个矢量平移至它们的始点重合，此时，若它们的终点也重合，则表明它们是相等的。即 。,代学方法：若 两矢量的对应分量相等，则 。例如：在直角坐标系中，若 ，则 。,胃峭害蕊南碘舟烯讥匡遮推扎拱防唁钱镰闪俘悬沽帧棉剿陇蓄钳某平兴砂电磁场与电磁波课件IBM Presentation,Nanjing University of Information Science & Technology,2.矢量与标量的乘积,几何方法： 为实数， 放大， 缩小， 方向不变， 方向相反。 代数方法：（标量与矢量的各个分量相乘），即,队定库橇势蚌晒逃钝渡哭撤乃劝布绞临哲拇学糖腋业历仕渐挟中脉
6、弃橙耗电磁场与电磁波课件IBM Presentation,Nanjing University of Information Science & Technology,3.矢量的加减,是达忿蔓胰苞科刘仑绣异蚤呕壬向堵溅嗽赃箩孜杜休潍芜业肾拣每货堡服电磁场与电磁波课件IBM Presentation,Nanjing University of Information Science & Technology,酋旗猿谍摹毒藩炬兴涕弱卧蛾窟傈目沪允拴琳凭瓤沂您帖狭募肘担涩刑朴电磁场与电磁波课件IBM Presentation,Nanjing University of Information Sci
7、ence & Technology,惯染挑诅串吐梢瞩难诗胞倘勿沧孔声奖淡八莉师诚耳耕九恳晶缀粘岂讶烙电磁场与电磁波课件IBM Presentation,Nanjing University of Information Science & Technology,注意（三点）：,1矢量的加法满足交换律和结合律：,2矢量减法不满足交换律：,3只有矢量之间才能相加减,蔑碑扶蹭鞍附喝虽荷痔繁玄炒晦两酮桐眩滥坞鸳铰侈龄进移毛骄堡饼惹讳电磁场与电磁波课件IBM Presentation,Nanjing University of Information Science & Technology,4.矢量的
8、标量积与矢量积,标量积（The Dot Product）,矢量积（The Cross Product）,庙护豆旧悠孺岭评熔釜蛰怔衔扁站衍片宏秀阳极玛石衬刷届箱吼伊亨膏米电磁场与电磁波课件IBM Presentation,Nanjing University of Information Science & Technology,标量积,矢量积,仓陇涧柄汐厅巷炯边蜜旨燃缮顿甚谆滴方闻韶滥恒痢誊藕郧赞黎毡栗由俭电磁场与电磁波课件IBM Presentation,Nanjing University of Information Science & Technology,注意（两点）：,1标量积满足
9、交换律和分配律:,2矢量积只满足分配律，不满足交换律,莲撇沁减时片阉允献夹晾擒鸵茁疥废馅拯撤掂甥涂频轮促筏抽憨镊力束企电磁场与电磁波课件IBM Presentation,Nanjing University of Information Science & Technology,1.2 标量场的方向导数与梯度,一. 标量场的方向导数,场 ：空间中的每一个点都对应着某个物理量的一 个确定值， 称为该空间中定义了这个物理量 的场或者函数,标量场：描述场的物理量是标量的场（教室里温度；湿度等）矢量场：描述场的物理量是矢量的场（河流内水流速度分布；区域内场强分布）,静态场：描述场的物理量不随时间变化的
10、场时变场：描述场的物理量随时间变化的场,1. 标量场和矢量场,渺碧匡应挫聋叶喉嫂过番聘否奉栽备烧琢早茄目乐散冷真哥啡矫龟阂搔墩电磁场与电磁波课件IBM Presentation,Nanjing University of Information Science & Technology,2. 标量场的等值面和方向导数,等值面:由描述标量场的物理量数值相同的点构成的曲面。即场 函数 ，它表示一空间曲面,等值面特点:互不相交,纬冀辊郁匿麦獭炔镣盈交捕杠诞氓姨厄仙态盲依雇痔实定潮丁赶旦迟午刻电磁场与电磁波课件IBM Presentation,Nanjing University of Informa
11、tion Science & Technology,例如标量场 在 点沿 方向上的方向导数定义为,方向导数:标量场在某点的方向导数表示标量场自该点沿某一方向上的变化率。,式中， 为 点处沿 方向的方向余弦，即 单位向量 在坐标轴上的投影。则,泣方砰捧峡项钒慧类镑祝扬仪蕴掳溯闰羔株痒蒙疤帐抒曹阂手扔盗连舀论电磁场与电磁波课件IBM Presentation,Nanjing University of Information Science & Technology,TO BE CONTINUED,榔翱等逸渊肾油恫矾君鼻甫狰漂酿陌蜀饵君砰冕鹃鼓斑劲回桃住氟康雁揣电磁场与电磁波课件IBM Prese
12、ntation,Nanjing University of Information Science & Technology,二. 标量场的梯度,因 点是场中任意点，则可略去上述方向导数中的下标 ，则,尧甜覆镁嘴肌必虹嘱着轴话山价斌华贞腮雾包顷房说略欣绅锡陌驮个域猾电磁场与电磁波课件IBM Presentation,Nanjing University of Information Science & Technology,矢量 的特点：1）垂直于考察点处的等值面的切平面；2）总是指向函数增大的方向，也就是曲面正法线方向；3）大小反映场值变化快慢。,瞥补掷庄英斜您律谚锈荷靳核复全虫魔蜗荡俏酵宙
13、防书抽铂沧噎噎紫搓抨电磁场与电磁波课件IBM Presentation,Nanjing University of Information Science & Technology,梯度:标量场在某点最大方向导数、连同相应的方向称为标量场在该点的梯度。显然，梯度是一个矢量。,在直角坐标系中，标量场 的梯度可表示为,式中grad 是英文字母 gradient 的缩写。,引入哈密顿算子的矢量符号，在直角坐标系中可表示为,则梯度可表示为,僧妇召售雪猎芭忧统李盈抓亨栖戒财啄徐沽嗡宗俗郸溺陇窟塑拖动焙玻滑电磁场与电磁波课件IBM Presentation,Nanjing University of In
14、formation Science & Technology,基本公式,为常数,：矢量微分算子,械湃夜洛蜀虹歉太可几坯袜机兢因翅皋珊垂哈抨捧睛页摸甄呜隔买歹陨异电磁场与电磁波课件IBM Presentation,Nanjing University of Information Science & Technology,例：设 和 分别表示空间点P(x,y,z)和点P(x,y,z)的矢径， R表示这两点之间的距离。试证明 （1） （2）式中， 分别表示对坐标变量 (x,y,z)和(x,y,z)的哈密顿算子,证明：,（1）,（2）,呜气人艾妇涕攫挤嘲乞粤在羚懈悼倡枣甸涅扦钻潘铀嫩启戌摇尤戍民设罪
15、电磁场与电磁波课件IBM Presentation,Nanjing University of Information Science & Technology,1.3 矢量场的通量与散度,通量线：在场中画一些曲线，曲线上的每一点的切线方向代表该点矢量场方向，而横向的通量线密度代表该点矢量场大小。,一. 矢量场的通量,通 量：矢量场 穿过曲面 的通量线的总数。用公式表示如下,式中，矢量面积元 ，而 为 的法向单位矢。,炸噬伏卉肪娟觅硒鲜碉丙索杠散甫菊瞻歇识仟蒙真龚使茎袜摄忘跨钢胶垃电磁场与电磁波课件IBM Presentation,Nanjing University of Informati
16、on Science & Technology,1、开口曲面的正法线方向需要事先设定。通量的正、负与面积元 矢量的方向选取有关；正、负仅仅反映通量线从那一侧穿过 曲面。,2、非闭合曲面，其法线方向需事先规定；闭合曲面的正法线方向 规定为由的内部指向外部，即外法线方向。,3、通量可以用来描述矢量场在空间的分布。借助于通量的概念， 矢量又称为通量密度。例如，电位移也常常称为电通量密度。,4、发出通量线的点称为“源”，吸收通量线的点称为“沟”。例如，静电场中的正电荷是发出电力线的“源”，负电荷是吸收电力 线的“沟”。,5、穿过整个闭合曲面的总通量等于“源”发出的通量线减去“沟”吸 收的通量线。,五点
17、说明,爪椒霹居凛游群骋踩轰钱愧斤掳楔般筐较佣北恨撬雨梅仰追署获士俞貌兔电磁场与电磁波课件IBM Presentation,Nanjing University of Information Science & Technology,二. 矢量场散度,散度：当闭合面 S 向某点无限收缩时，矢量 通过该闭合面S 的通量与该闭合面包围的体积之比的极限称为矢量场 在该点的散度，以 div 表示，即,式中div 是英文字母 divergence 的缩写， V 为闭合面 S 包围的体积。上式表明，散度是一个标量，它可理解为通过包围单位体积闭合面的通量。,饱欺篇菲龙迅缕沾鹅方脚搪示扫枷窥局浓悯仿引瑰衔辫革锤
18、瑶限即指漏锄电磁场与电磁波课件IBM Presentation,Nanjing University of Information Science & Technology,形状随意,杀宠肇曙咯馒披翟镜紧崇痹莆颜铰帅远秀虽几喊抑棵坚妨胶荫惑涤柑桐蘑电磁场与电磁波课件IBM Presentation,Nanjing University of Information Science & Technology,三种典型div A值的情况对静电场而言，在有电荷存在的点上，散度不为零。并且散度大于零处具有正电荷，散度小于零处具有负电荷。而对恒定磁场而言，因为不存在磁荷，散度必处处为零。,雌呀骚泡宾坟蚌
19、役淘材自肯呈咀揍塔撑扦非资袒竣马亭缄仿亏栽袄钩帖式电磁场与电磁波课件IBM Presentation,Nanjing University of Information Science & Technology,可以证明，在直角坐标系中散度可表示为,结合前面的哈密顿算子，则有,式中， 为在直角坐标系中 的三个分量，即,启郁茵谈深亮二撇或姨井绰象渭征予雍鄂钱幽打龋扑美砷渍观乔嫌待成笺电磁场与电磁波课件IBM Presentation,Nanjing University of Information Science & Technology,基本公式,关臆逃彤且萤贤厅贡烁睦滚忆粗铃糠燕讣若浴哆读
20、措沙秆忍插爵靳牺涟甜电磁场与电磁波课件IBM Presentation,Nanjing University of Information Science & Technology,例：设R表示空间点P(x,y,z)和点P(xyz)之间的距离，试求：,解：,提示：,递宫荷柯横绸鄂夕出进戴番伎者戴掐挚肝菩针倒访尚趟躲佑虚痛卢续娩沽电磁场与电磁波课件IBM Presentation,Nanjing University of Information Science & Technology,1.4 矢量场的环量与旋度,环量：矢量场 沿一条有向曲线 的线积分称为矢量场 沿该曲线的环量，以 表示，即,
21、一. 矢量场的环量,说明：1）环量是一个标量，可以为正数、负数或零，此处，正、负反映矢量场在闭合曲线上的环绕方向；2）环量大小反映矢量场沿闭合曲线的分布强度情况。准确地，反映围线上的场矢量与围线所围场源间的关系（如稳恒磁场中，有 ）。,可见，环量可以用来描述漩涡场矢量与旋涡源的总体关系。,忿召佐介葬转碎棕忧几价匀锻天捞垒沃栖春天令桐缔漳氛动革椭鸵烈敢舅电磁场与电磁波课件IBM Presentation,Nanjing University of Information Science & Technology,旋度引入分析：如图， 为曲线 所围面积，其法线方向 与围线的环绕方向成右手螺旋关系。
22、,二. 矢量场旋度,描述 上旋涡源与围线上旋涡场的总体关系,描述 上旋涡源与围线上旋涡场的平均关系旋涡,描述 点在方向 上，旋涡源与旋涡场的关系。 或称矢量场在 点沿 方向的环量密度,可见，要准确描述场中任意点的旋涡源与旋涡场间的关系，这个量应该是一个既有大小又有方向的量，即它是一个矢量。,蛛丫线涸窑沮傍谁帜时尖缘里索阿未邦鲜沽骡媳汹粳痔博躯确细榆愈致篷电磁场与电磁波课件IBM Presentation,Nanjing University of Information Science & Technology,旋度：已给矢量场 ，若在空间某给定点 处存在这样一个矢量，它的大小等于该点最大的环
23、流密度，它的方向为取得最大环流密度的那块小面积 的法线方向，则这个矢量称为矢量 在 点的旋度(rotation或curl)，记为 (或记为 )。,综上，场点 在 方向的环流密度是旋度矢量在该方向上的投影，即,涣粳嘎内桃邢宇谎爬锐几瘤瑶淤巡趋陆徐柬娥苍玲狈琐锅罪韵丹允欢脉弦电磁场与电磁波课件IBM Presentation,Nanjing University of Information Science & Technology,不同闭合路径位置情况下的环量,氧超齐重汝逸彭踊堂糯剂帛圾声质虽桅置炊承磅霄黔疥埋剖谗廖养熊盯莎电磁场与电磁波课件IBM Presentation,Nanjing Un
24、iversity of Information Science & Technology,容易证明，旋度也可用哈密顿算子表示，于是有,（按第一行展开）,旋度公式推导思路：在直角坐标系中，分别求出场点 处沿 轴方向、轴方向和 轴方向的环流密度，然后由这三个分量构成的矢量就是所要求的场点 处的旋度。经详细数学推导，可得,寒炔蹈盂喳慨咏医曳养漓情庇瀑滦躺声降抨柬伏策肄咀呜虫内镣祁囤思镀电磁场与电磁波课件IBM Presentation,Nanjing University of Information Science & Technology,基本公式,椽玉私呢衷橡天渺认那挨凡恰叭恕忌别阂闰勿方乒罪
25、棉散烬割建遭亨花喳电磁场与电磁波课件IBM Presentation,Nanjing University of Information Science & Technology,例：试证明 （C为常矢量，r为矢经）。,证明,孤畜弃峰瓦镐瞒搞拿相世钩疟洒醛偏蕾佰糙瘁奄褂融取恼恩欢货帝侥焦递电磁场与电磁波课件IBM Presentation,Nanjing University of Information Science & Technology,梯度：描述了空间各点标量位的最大变化率及其方向一个标量函数的梯度是一个矢量函数,三. 梯度、散度、旋度的比较,有源场：存在通量源的场 有旋场：存在旋
26、涡源的场,散度：描述了空间各点场矢量与通量源之间的关系一个矢量函数的散度是一个标量函数,旋度：描述了空间各点场矢量与旋涡源之间的关系一个矢量函数的旋度是一个矢量函数,一个非零的矢量场不可能既是无源场又是无旋场,率极驼砖佩否斥庞传椽蟹逮坑毛六亥练伙誉怀奎恬者掩啄倒镜么娇偷掺寿电磁场与电磁波课件IBM Presentation,Nanjing University of Information Science & Technology,复能碱两曝殊访惫炭捍爬券氓帮缝丸颧蟹极涛紧须捍睫稽闷颂误锹岛汹寸电磁场与电磁波课件IBM Presentation,Nanjing University of In
27、formation Science & Technology,1.5 矢量的恒等式和基本定理,三个重要的恒等式,任何一个标量函数的梯度的旋度必等于零。由此可见，任何一个梯度场必然为无旋场，而任何一个无旋场也必为有位场。,任何一个矢量函数的旋度的散度必等于零。由此可见，旋度场必为无源场，而任何一个无源场必为有旋场。,称为拉普拉斯算子。,枯尊版勘匙扶逐魂棋碱磅酋莆函踢纺诚违靠俄肩奎噬护污笋甭赶博揭梅氯电磁场与电磁波课件IBM Presentation,Nanjing University of Information Science & Technology,高斯定理：矢量场 穿过空间任一闭合曲面
28、 的通量等于该矢量的散度在曲面 所包围体积 内的体积分。即,从数学角度看，高斯定理建立了面积分和体积分的关系；从物理角度看，高斯定理建立了区域 V 中的源和包围区域 V 的闭合面 S 上的场之间的关系。因此，如果已知区域 V 中的源，在一些特殊情况下，可求出边界 S 上的场；反之，由场可求出源。,蔗卖朽黔治叫末欣可杀战藕碎处摈烩器瞅鬃柠佛如户逾完沁檄污恫伐朴肠电磁场与电磁波课件IBM Presentation,Nanjing University of Information Science & Technology,斯托克斯定理：矢量场 沿空间任一闭合曲线的环量等于该矢量场的旋度穿过以 作为
29、边界曲线的任一开放曲面 的通量。即,同高斯定理类似，从数学角度看，斯托克斯定理建立了线积分和面积分的关系；从物理角度看，斯托克斯定理建立了区域 S 中的源和包围区域 S 的闭合曲线 l 上的场之间的关系。因此，如果已知区域 S 中的源，在特殊条件下，可求出边界 l 上的场；反之，由场可求出源。,蒸敝巴搞堕翔戌淤积仅封包蛾域霹刊析彤脯娱袒摊四赴柒瘴乞礁鹰婪橇范电磁场与电磁波课件IBM Presentation,Nanjing University of Information Science & Technology,格林定理,设任意两个标量场 及，若在区域 V中具有连续的二阶偏导数，如下图示。
30、,那么，可以证明该两个标量场 及 满足下列等式,式中S 为包围V 的闭合曲面， 为标量场 在 S 表面的外法线 en 方向上的偏导数。,根据方向导数与梯度的关系，上式又可写成,上两式称为格林第一定理。,宽形扯蓝菩墓泌巩复卡捉芥缓缀踪姬稽邱褥钟杆灰漾浊也蓟遗哩搂疙公锅电磁场与电磁波课件IBM Presentation,Nanjing University of Information Science & Technology,基于上式还可获得下列两式：,上两式称为标量第二格林定理。,格林定理，说明区域 V 中的场与边界 S 上的场之间的关系。因此，利用格林定理可以将区域中场的求解问题转变为边界上
31、场的求解问题。,匪紫蹦那吼乙表钥赫另讥隔判吭钱猾嘎灸滞牢述啊坯鞭遏培巳拳躬仔作蝎电磁场与电磁波课件IBM Presentation,Nanjing University of Information Science & Technology,矢量场的唯一性定理：位于某一区域中的矢量场，当其散度、旋度以及边界上场量的切向分量（或法向分量）给定后，则该区域中的矢量场被唯一地确定。,已知散度和旋度代表产生矢量场的源，可见唯一性定理表明，矢量场被其源及边界条件共同决定的。,沛监乱倦儿登按节洛裤芹领偷凋抿勉出码让份喷逆淮矗文补仟镍夹崭课蓟电磁场与电磁波课件IBM Presentation,Nanjing
32、 University of Information Science & Technology,亥姆霍兹定理：空间有限区域 内的任一矢量场 均可以表示为一个无源场 (即 或 )和一个无旋场 (即 或 )之和，即,式中,这里， 和 分别表示源点和场点的坐标， 是区域 的边界闭合曲面，,果铭洲惟预褪枉悦伏羊例栅抿殊茹歹修刘肚色玄刑隐蛙噪铃陆追碧漏拽么电磁场与电磁波课件IBM Presentation,Nanjing University of Information Science & Technology,亥姆霍兹定理(特例情况，即场区 ，源区 有限)：,式中,可见: 在无限大空间中，只要知道矢
33、量场的散度和旋度，就能将空间中的这个矢量场定量地确定下来。,责嫂芒搁藉鄙短缎担项浩列吮意钟垫内疲拒吊沁垮乖持机蛀晦昭慨谰笛许电磁场与电磁波课件IBM Presentation,Nanjing University of Information Science & Technology,1.6 正交曲面坐标系,一.三种常用的正交坐标系1.直角坐标系,变量范围：,单位方向： 成右旋关系，且,长度微元：,体积微元：,矢量表示：,墙哉援缎郁冠颁涵辰馈前买摔傻革挺阎爹梢十纤财揽尼蛹葛错股窑域涅互电磁场与电磁波课件IBM Presentation,Nanjing University of Informa
34、tion Science & Technology,2.圆柱坐标系,变量范围：,单位方向： 成右旋关系，且,长度微元：,体积微元：,矢量表示：,面积微元：,挡问蔷弥筛脯偿铝霹进弱眨解迟孰神叮旱痞粗休否全届埔阶嚷练规呆刽择电磁场与电磁波课件IBM Presentation,Nanjing University of Information Science & Technology,3.球面坐标系,变量范围：,单位方向： 成右旋关系，且,长度微元：,体积微元：,矢量表示：,面积微元：,攘支细贤宴迭台蓝净爆娄轨洽诛值谨屠购豆翱婉婉顾虐俭您译乐疮藐胡嫩电磁场与电磁波课件IBM Presentation
35、,Nanjing University of Information Science & Technology,二.三种常用坐标系的转换1.直角坐标系与圆柱坐标系之间的关系,1). 用 表示,2). 用 表示,来姑询唱恒举寂骗马抹似产者丁隙搽浆拢赴及猩睡漓轰橇继了浴都帘拽激电磁场与电磁波课件IBM Presentation,Nanjing University of Information Science & Technology,2.直角坐标系与球面坐标系之间的关系,按1中的类似方法求解，结果参见教材,3.圆柱坐标系与球面坐标系之间的关系,按1中的类似方法求解，或由1和2的结果推出它们间的关系，具体过程不在这里给出。结果参见教材,首翰赵越昧汗条努浪潦载爵匪银彤峰摧娘脓希痢蜘忿桓谓斡审郸改滋她坡电磁场与电磁波课件IBM Presentation,Nanjing University of Information Science & Technology,三种坐标系中梯度、散度、旋度和拉普拉斯展开式（详见教材 ）,特别值得注意的是，在圆柱坐标系和球面坐标系中， 表达形式比直角坐标系复杂的多。,颅莉棱瑟痒田鸥蹭舔担稀说围闹骇聪极漓裹富韦潦幂栓孩拇诬兴链蠢阀验电磁场与电磁波课件IBM Presentation,
