1、 第 九 章 压 杆 稳 定 知识要点1 压杆稳定性的概念 压杆稳定性是指压杆保持或恢复原有平衡状态的能力。压杆的临界压力是指压杆由稳定平衡转化为不稳定平衡时所受轴向压力的临界值。一般由 表示。crF2 细长中心受压直杆的临界压力在线弹性和小变形条件下，有着不同杆端约束的细长压杆的欧拉临界压立公式可统一写成2crlEIF式中，系数 称为压杆的长度因数，与杆端的约束条件有关。称为压杆的相当长度，其物理意义是指压杆的挠曲线两个l拐点之间的直线距离。各种常见支撑条件下细长压杆的相当长度和长度系数列于表 9-1 中。3 压杆的临界应力总图 （1）压杆的柔度（长细比）il（2）临界应力总图：表示压杆的临
2、界应力随柔度不同而变化的曲线，如土 9-1 所示。4 三类压杆的临界力 （1） 大柔度杆 P临界压力和临界应力按欧拉公式计算2crlEIF2IcrilEPp,表 9-1 各种支撑约束条件下等截面细长压杆临界力的欧公式（2）中柔度杆 PS当压杆的临界应力超过比例极限时，压杆的临界应力的计算需按折减弹性模量公式计算2EIcr式中， 为弹性模量，其表达式按压杆截面形式不同而异。rE（3）小柔度杆 S对于小柔度杆，已不是稳定问题，它属于强度问题，临界应力 )(bscr或5 压杆的稳定计算（1）稳定条件 压杆横截面上的工作应力不得超过材料的强度，许用应力与稳定因数 的乘积，即AF（2）稳定因数 根据试验
3、，有设计规范给出。在钢结构设计规范中，钢结构截面分为 a,b,c 三类，其稳定因数 被列入文献 1 的表 9-2，9-3 中。在木结构设计规范中，按树种强度等级给出两种 的计算公式：a 树种强度等级为 TC17,TC15 及 TB20 时 280175，230,75b 树种强度等级为 TC13， TC11 ，TB17 及 TB15 时26519，2809，习题详解9-1 两端球形铰支的等截面细长压杆，按题 9-1 图(a)所示坐标系及挠曲线形状，导出的临界力公式为2crlEIF试分析当分别取题 9-1 图(a)，(b)，(c)所示坐标系及挠曲线形状时，压杆在 作用下的挠曲线微分方程是否与题 9
4、-1 图cr(a)情况下的相同，由此所得的 公式又是否相同。crF解 在讨论压杆稳定问题时规定压力 取正值，挠度 以沿crFy 轴正方向者为正。曲率 的正负号按高等数学的规则确定。所以在题 9-1 图(a)，(d)中，x 截面的弯矩为正值，曲率为负值。在题 9-1 图(b)， (c)中 x 截面的弯矩为负值，曲率为正值。所以题 9-1 所示 4 种情况的挠曲线近似微分方程都是crFEI4 种情况的边界条件也相同，所以 4 种情况的临界压力公式也必然相同。9-2 如题 9-2 所示各种材料和截面均相同，试问杆能承受的压力哪跟最大，哪跟最小（题 9-2 图(f)所示杆在中间支承处不能转动）？解 细
5、长中心受压杆的临界力的欧拉公式统一形式为2crlEIF因各杆材料和截面均相同，即 EI 相同，所以只需比较各杆的相当长度 值即可。l题 9-2 图(a)所示杆两端铰支， 所以 = 。,m5l,1lm51题 9-2 图(b)所示杆一端固定，另一端铰支， 所以,m7l,.0= 。题 9-2 图(c)所示杆两端固定，lm9.47.0所以 = 。题 9-2 图(d) 所示杆一端固,5lm5.49.0定，另一端自由， 所以 = 。题 9-2 图(e),2l,lm42所示杆一端固定，另一端可沿水平方向相对转动，所以 = 。题 9-2 图(f)所示，由于杆在中,m8l,1lm81间支承处不能转动，即在 B
6、点处的转角和挠度均为 0，可以把杆分为 AB 和 BC 两段研究：AB 段杆可看作两端固定，则 所以 =,m5l,.0111l。BC 段杆可看作一端固定，另一端铰支，则m5.2.0所以 = 。所以题 9-2 图(f) 所示杆,l,722l.357.0的相当长度 = 最小，所以他的临界压力 最大。l.3 crF9-3 如题 9-3 图(a)，(b)所示的两细长杆均与基础刚性连接，但第一根杆（题 9-1 图(a)）的基础放在弹性地基上，第二根杆（题 9-1 图(b)）的基础放在刚性地基上。试问两杆的临界力是否均为 = ？为什么？并由此判断压杆长度因crF2minlEI数 是否大于 2。螺旋千斤顶（
7、题 9-3 图(c)）的底座对丝杆（起千斤顶）的稳定性有无影响？校核丝杆稳定性时，把它看作下端固定（固定于底座上） ，上端自由，长度为 的压杆是否l偏与安全?解 细长中心受压等直杆临界力的欧拉公式2crlEIF上式说明临界力不仅与杆横截面的弯曲刚度和杆长有关，而且与杆端的约束情况有关。杆端约束愈强，杆的抗弯能力就愈强，其临界力也就愈高。题 9-3 图(a)中杆的基础放在弹性地基上，而题 9-3 图(b) 中杆的基础放在刚性地基上，因题 9-3 图(a)中的杆放松了 A 端的约束，所以临界力要比题 9-3 图(b)所示杆的临界力要低，题 9-3 图(b) 中杆的因题 9-3 图(a)中杆的临界力
8、比题 9-3 图(b)中杆的临界,2力要低，所以题 9-3 图(a)中杆的 大于 2。由此可知，题 9-3 图(c)所示的螺旋千斤顶的底座对丝杆的稳定性必有影响，校核其丝杆的稳定性时，视为一端固定，另一端自由的压杆。所得临界力将比实际上的临界力偏大。9-4 试推倒题 9-4 图(a)所示两端固定，弯曲刚度为 EI，长度为 的等截面中心受压直杆的临界力 的欧拉公式。l crF解 截取题 9-4 图(a)所示压杆的一段，所受力图，如题 9-4 图(b)所示。利用平衡条件可得 x 截面上的弯矩。crEFMx所以挠曲线微分方程为crExI引用记号 ，上式可写成EFkcr2crEFMk2微分方程的通解为
9、crEkxBAossin上式对 x 的一阶导数为 kxksinco 应用边界条件确定界分常数：由 得 0时 ，x crEFMB由 得 时 ， 0A将 A,B 值代入式 ，得crEcrEFMkxos将 时 ，代入式得,lx01cos,0cosklklFcrErE满足上式条件是 所以有,.321n,kl225.04lIlIcr只有当 时， 才有最小值，故临界力为1ncrF9-5 长 5m 的 10 号工字钢,在温度为 时安装在两个固定C0支座之间，这是杆不受力。已知杆的线膨胀系数， 。试问当温度升高至多少时，杆107l C125GPa20E将丧失稳定？解 这是个温度应力问题。设温度升高 时，压杆稳
10、定，则t有EAlFtcrl即tLcr将欧拉公式 = 代入上式，得crF2minlEI2min2minlAIElItLL查文献 1 中附录 型钢表可得到 10 号工字钢的截面几何性质,3.14,3,2452cmAcIcmIyx 因 ,所以选取xIy代m5l,.0,C025,0.1A,03 17l2448min 入式的压杆失稳时的温度升高值t 0024782 .95.103.159-6 两根直径为 d 的立柱，上，下端分别与强劲的顶，底块刚性连接，如 9-6 图所示。是根据杆端的约束条件，分析在总压力 F 的作用下，立柱可能产生的几种失稳形态下的挠曲线形状，分别写出对应的总压力 F 之临界值的算式
11、（按细长杆考虑） ，确定最小临界力 的算式。cr解 在总压力 F 的作用下，立柱有三种失稳情况：（1） 每根立柱视为两端固定的压杆分别失稳，则 其,5.0临界力为=crF24342285.0. lEdllEI（2）设两根立柱为下端固定上端自由的体系在二立柱轴线构成的平面内失稳，则 失稳时整体绕 y 轴在平面内弯曲，2其临界力为=crF22324224186adlEldadlI（3）视两根立柱为下端固定上端自由的体系在二立柱轴线构成的平面外失稳（饶 z 轴弯曲）则 ，其临界力为2=crF243242186lEdldlI综上所述，面外失稳时， 最小cr9-7 如题 9-7 图(a)所示结构 ABC
12、D 由三根直径为 d 的圆截面杠杆组成，在 B 点铰支，而在 A 点和 C 点固定，D 为铰接点， 。若结构由于杆件在平面 ABCD 内弹性失稳10dl而丧失承载能力，是确定作用于结点 D 处的荷载 F 的临界值。解 取点 D 为研究对象，左受力图，如题 9-7 图(b)所示。利用静力学平衡条件列平衡方程32,0NxF03coscos001 FNy由变形相容条件（题 9-7 图(c)所示）可得32013cosll202101coscos/NNFEAEA联立式，解得FoFN326.0cs2145.21比较以上二式，得653.021NF各杆的欧拉临界力为=crN12lEI= = crNF2crN3
13、 22053.1os7. lEIlEI65.021crN由两式可见，在压力 F 作用下，杆 DB 的内力首先达到临界值，但此时结构仍有承载能力，直到杆 OA 和 DC 的轴力也达到临界值时，整个结构才被破坏。在杆 DB 达到临界状态而杆 DA 和杆 DC 尚未失稳时，可认为杆 DB 的内力保持其临界值，当压力 F 继续增大时，增加部分则由杆 DA和杆 DC 承担，直到三杆内的轴力皆达到临界值，此时的压力才是结构的临界力。故其中， 10dl,64I9-8 如题 9-8 图(a)所示铰接杆系 ABC 由两根具有相同截面和同样材料的细长杆所组成。若由于杆件在平面 ABC 内失稳而引起破坏，试确定荷载
14、 F 为最大时的荷载 角 假设（）20解 取 B 点为研究对象，左受力图，如题 9-8 图(b) 所示。利用静力学平衡条件可知sin,cosFFBCNABN设 ，则各杆的欧拉临界力为lAC=ABcr22sin,oslEIlEIBCcr但杆 AB 和杆 BC 同时达到各自的临界力时，杆系 ABC 承受的压力 F 最大，所以有22sinicolEIFlBCNA比较以上二式，得2cotarnt9-9 下端固定，上端铰支，长 的压杆，由两根 10 号m4l槽钢焊接而成，如题 9-9 图所示，并符合钢结构设计规范中实腹式 b 类截面中心受压杆的要求。已知杆的材料为 钢，235Q强度许用应力 ，试求压杆的
15、许可荷载。MPa170解 利用从文献 1 附录 型钢表查得 10 号工字钢的截面几何性质，分别计算组合截面积对其形心轴 y,z 的惯性矩为464264 1053.5.187.1265093mcI mcyz 由于 ，说明压杆的弱轴为 y 轴，计算对 y 轴的柔度zIy4.78102453.6yil查文献 1 中 9-3 的 钢 b 类截面中心受压直杆的稳定因数Q表，并用插值法得到698.071.694.017. 古压杆的许可荷载为 kNAF 3024.28.69-10 如果杆分别由下列材料制成：（1）比例极限 弹性模量 的钢；,MPa20pGPa190E（2） ，含镍 3.5%的镍钢;,49pG
16、15E(3) 松木。a0试求可用欧拉公式计算临界力的压杆的最小柔度。解 设可用欧拉公式计算临界力的压杆的最小柔度的界限值为 的压杆，可用欧拉公式; 压杆，不能用欧拉p, p公式。柔度界限值PPpE2（1） 钢杆的最小柔度3.92012PpE钢（2）镍钢杆的最小柔度65.8490123p镍 钢（3）松木杆的最小柔度7.32012PpE松 木9-11 两端铰支，强度等级为 的木柱，截面为TC的正方形，长度 ，强度许用应力m150m5.3l。试求木柱的许可荷载。MPa解 正方形截面的面积和惯性矩47422109.150mIAyx 惯性半径43.102.54947miyx木柱的柔度8.013.4yyz
17、il因 ，故木柱的稳定因数918.039.0658.16522木柱所能承受的许可荷载 kNAF 4.81051039. 669-12 如题 9-12 图(a) 所示结构由钢曲杆 AB 和强度等级为 的木杆 BC 组成。已知结构所有的连接均为铰连接，13TC在 B 点处承受竖向荷载 ，木材的强度许用应力kN3.1F。试校核杆 BC 的稳定性。MPa0解 取铰 B 为研究对象，其受力分析如题 9-12 图(b) 所示，利用静力学平衡条件列平衡方程045coscs,021NNxFFini, 021y解上两式并注意到 ，得53s,4coFN751木材的工作应力MPaAN58.01403.7561正方形
18、截面的惯性矩454103.2012mIyz 惯性半径1.5402.135mAIiyz木材的柔度21605.13yyzil因 ，代入公式91280求得稳定因数06.218杆 BC 的稳定许用应力MPast 6.0106.由式，可知，杆 BC 的工作应力小于稳定许用应力，所以满足稳定性要求。9-13 题 9-13 图所示的一支柱由 4 根 的m680角钢组成，并符合钢结构设计规范中实腹式 b 类截面中心受压杆的要求。支柱的两端为铰支，柱长 ，压力为6l。若材料为 钢，强度许用应力 ，试求支kN450235QMPa170柱横截面边长 a 的尺寸。解 查文献 1 附录 型钢表，得到 的m68角钢截面的
19、几何性质mZImAy 9.21,1035.7,7.930412 则题 9-13 图所示组合截面对 y 轴的惯性矩AzaIyy2014由压杆的稳定条件31045F确定稳定因数704.1.839410766查文献 1 中 9-3 的 钢 b 类截面中心受压直杆的稳定因数25Q表可知， 介于柔度 之间， 701.,870., 2211 和利用插值法求柔度107.04. x5.x.组合截面的惯性半径mli17.5.76故组合截面对 y 轴的惯性矩47 466221038. 10.930.AiI由式，可解得支柱横截面的边长ma9.9-14 某桁架的受压弦杆长 ，由缀板焊成一体，并符合钢6结构设计规范中实
20、腹式 b 类截面中心受压杆的要求，截面形式如题 9-14 图所示，材料为 ， 。若按两端235QMPa170铰支考虑，试求杆所能承受的许可压力。解 当角钢如十字状放置时， ，所以当角钢如题 9-zyI14 图所示放置时， 不变， 增大，故 ， ，因此，zIyIyzminzI轴为弱轴。因以 轴计算压杆的柔度，并查文献 1 附录 z型钢表，可得故柔度5.82105.483mil查文献 1 中 9-3 的 b 类截面受压稳定因数表，得，并应用插值法得 68.0,3;675.0,8272.275弦杆的许可压力 kNAF 57103.41076.02 469-15 题 9-15 图所示结构中 BC 为圆
21、截面杆，其直径，AC 为边长为 的正方形截面杆。已知该结m80dm70a构的约束情况为 A 端固定，B ，C 为球铰。两杆材料均为钢，弹性模量 ，可各自独立发生弯235QGPa2,2Ep曲互不影响。若结构的稳定安全因数 ，试求所能承受5.nst的许可压力。解 对于材料为 钢，能应用欧拉公式的压杆柔度的界限235Q值4.910262pPE杆 BC 两端铰支， ，惯性半径和其柔度分别为141di1048231il因 ，可利用欧拉公式计算临界压力p1=crF1kNlEI 1042218.64049212 杆 CA 一端铰支，另一端固定，则 ，其惯性半径和7.02柔度分别为aAIi631242pil
22、1047.302可用欧拉公式计算杆 CA 的临界压力=crF2kNlEI 4.9037.0.124922 应取两杆临界压力的较小者作为结构的许可压力 9-16 如题 9-16 图(a)所示一简单托架，其撑杆 AB 为圆截面木杆，强度等级为 TC15。若架上受集度为的均布荷载作用，AB 两端为柱形铰，材料mkNq/50的强度许用应力 ，试求撑杆所需的直径 d。MPa1解 取横梁 BC 为研究对象，所受力图，如题 9-16 图(b)所示，利用静力学平衡条件04.23sin6.123,00NCFqM确定 AB 杆的内力 kFN.对于材料强度等级为 TC15 的木杆分别用两组公式计算木材截面的直径：（
23、1） 假设 ，则利用 来计算稳定因数，因此有7523022203.41.301.cos.dil有临界压力公式得AFN将 代入式求得直径MPakdA1,3.21,4,3.22m79.40.6因 d=179mm 时，杆 AB 的柔度75621.dil不符合假设（2） 当 确定直径 d280175时 ， 利 用应用，两式及 ，并将2代入式，可得MPakNFdAN1,3.21,42 0247.93.24d解上式，可得撑杆所需的直径 m5.19-17 如题 9-17 图(a)所示结构中杆 AC 与 CD 均由 钢制235Q成,C，D 两处均为球铰。已知强度因,40,235,20,18,0,2 MPaaG
24、Pamhbmd bs 数 n=2.0 稳定安全因数 。试确定该结构的许可荷载。.3stn解 取 AB 梁为研究对象，其受力分析如题 9-17 图(b) 所示，由静力学平衡条件得013,0FMNA压杆 CD 的材料为 ，查文献 1 中的表 2-1， ，235QMPap20则3.9202pPE压杆 CD 的柔度Pil20143因压杆 CD 的柔度大于使用欧拉公式的柔度界限值，所以杆CD 的临界压力=crNFkNlEI 5.1102.64202492 此时梁 AC 的最大弯矩在 B 处mNMB 3.005.13梁内的最大正应力MPaWZB1.98.01632max 梁的强度工作安全系数0.23.19
25、25maxnnsw满足梁的强度要求，故结构的许可荷载 MPaF5.19-18 题 9-18 图(a)所示结构中，钢梁 AB 及立柱 CD 分别由16 号工字钢和连成一体的两根 的铰钢m563制成，杆 CD 符合钢结构设计规范中实腹式 b 类截面中心受压杆的要求。均布荷载集度 。梁及柱kNq/48的材料均为 钢， 。试验算梁和235QGPaEMa210,170柱是否安全。解 查文献 1 中附录 型钢表，得到以下两种型钢截面的几何性质:6.INO mdbmhcmWcZZ 6,8,9.,160,4,13034 cicIAL yY4.1,7.2,.6:56. 4（1）梁的强度校核梁受力分析，如题 9-
26、18 图(b) 所示，为一次超静定梁，由变形相容条件lCFqN得EAaFIlEIqlNZZ248353由静力学平衡条件得kNNIlAaIqlFzzN4.18 10348103.620354884 83 由静力学平衡条件得 kNFqlNBA 8.3624.182AC 段梁任一截面上的弯矩为21qxxMA弯矩取最大值的条件是mxdxMqFdA76.04830,2所以，最大弯矩 mkNkxM 1.476.0214876.013276.0ma截面 C 的弯矩MkNk4.22148.36作梁的弯矩图，如题 9-18 图(b) 所示，梁内的最大正应力MPaWMZC 1391039.264.83max 满足
27、梁的强度要求。梁跨中 C 处工字钢截面的腹板和翼缘连接处一点的应力分量为 MPaIhMZC 1391039.264.283Pa PadIbIFZZzS1.571061301029.8.98.62048383max应用第四强度理论MPar 17.531932224 相当应力大于许用应力 ，在工程允许范围内，0故满足强度要求。（4） 立柱的稳定性校核柱的柔度 10394.2il查文献 1 中 9-3 的 b 类截面受压稳定因数表，得563.0立柱的稳定许用应力MPast 1.9170563.立柱的工作应力将立柱的工作应力与稳定许用应力比较，有工作应力超过稳定许用应力 5.8%，所以立柱不满足稳定性要求，不安全。
