1、洛阳市 20172018 学年高中三年级第二次统一考试数学试卷（理）第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合 ，则 （ ） 1|ln,|03xAxyBABA B C D (0,3)(,()(,)2. 若复数 满足为 虚数单位） ，则 （ ）z3iizA B C D1453. 在 中， “ ”是“ ”的（ ）AsiniABA充要条件 B充分不必要条件 C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件4. 若 是两条不同的直线， 是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）,mn,A 且 ，则 B
2、且 ，则 /mn,/n/mnC 且 ，则 D 且 ，则/, /5. 在 展开式中，含 项的系数是（ ）23(1)x5xA B C D16. 数学家发现的“ 猜想”是指：任取一个自然数，如果它是欧式，我们就把除以 2，如果它是奇数，我们就是它乘以 3 在加上 1，在这样一个变换下，我们就得到一个新的自然数，如果反复使用这个变换，我们就会得到一串自然数，猜想就是：反复进行上述运算后，最后结果为 1，现根据此猜想设计一个程序框图如图所示，执行该程序框图输入的 ，20n则输出的结果为 （ ）A B C D67897. 若 满足约束条件 ，则 的最小值于最大值的和为（ ,xy2103xy2xyz）A B
3、 C D 321258. 如果一个三位数的各位数字互不相同，且各数字之和等于 10，则称此三位数为“十全十美三位数” （如 ） ，任取一个“十全十美三位数” ，该数为奇数的概率为（ ）5A B C D132071259. 设函数 ，已知正实数 满足0190sin8xfx,ab，则 的最小值为（ ）(2)4)fafb1abA B C D12410. 若锐角 满足 ，则函数 的单调增区间为（ 2sinco2cos()fx）A B 52,()12kkZ5,()12kkZC D7711. 已知 分别为双曲线 的左右焦点，以 为直径为圆与双12,F2(0,)xyab12F曲线右支上的一个交点为 ，线段
4、与双曲线的左支交于点 ，若点 恰好平分线M1FN，则双曲线离心率为（ ）1MFA B C D317512. 已知函数 ，若 成立，则 的最小值为（ 1,ln2xxfegfagba）A B C D 1ln2lnll2第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13.若 ，则向量 在向量 方向上的投影为 (2,4)(3,)abab14.已知 的三个内角 的对边分别为 ，面积为 ，若 ，ABC,ABC,cS224()abc且 ，则的最大值为 c15.某三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球表面积为 16.已知直线 与抛物线 交于 两点，过线段 的中点作 轴2yx2
5、(0)yax,PQPx的垂线，交抛物线于点 ，若 ，则 APAa三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知等差数列 的公差 ，且 成等比数列。na0d31235,a（1）求数列 的通项公式；（2）设 是数列 的前 项和，若对任意正整数 ，不等式21,4nnbSanbn恒成立，求实数 的取值范围。1()0nSa18. 如图，在三棱锥 中， 为 的中点。PABC0,9,PCBADAC（1）求证： ；D（2）若 ，求二面角 的余弦值。0919.某超市计划月订购一种冰激凌，每天进货量相同，进货成本每桶 5 元，售价每桶 7 元，未售出的冰激
6、凌以每桶 3 元的价格当天全部成立完毕，根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位： ）有关，如果最高气温不低于 25，需求量 600 桶，为了确定六月份C的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：以最高气温位于各区间的频数代替最高气温位于该区间的概率。（1）六六月份这种冰激凌一天需求量 X（单位：桶）的分布列；（2）设六月份一天销售这种冰激凌的利润为 Y（单位：元） ，当六月份这种冰激凌一天的进货量 （单位：桶）为多少时，Y 的数学期望取得最大值？n20. 如图，已知圆 是椭圆 的内接 的内24:()9Gxy2:1(04)6xyTbABC切圆，其中 A 为椭
7、圆 的左顶点，且 。TABC（1）求椭圆 的标准方程；（2）过点 作圆 的两条切线角椭圆于 两点，试判断直线 与圆 的位置关(0,1)M,EFEFG系并说明理由。21.已知函数 。ln()fxaR（1）若曲线 与直线 相切，求实数 的值；yfx10ya（2）若函数 有两个零点 ，证明 。f12,x12lnx请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.已知极坐标的极点在平面直角坐标系的原点 处，极轴与 轴的正半轴重合，且长度单O位相同，曲线 的方程是 ，直线 的参数方程为 为参C2sin()4l1cos(2inxtty数， ） ，设 ，直线 与曲线 交于 两点
8、。0(1,)PlC,AB（1）当 时，求 的长度；AB（2）求 的取值范围。223.已知函数 。1(0)2fxa（1）若不等式 恒成立，求实数 的最大值；fmm（2）当 时，函数 有零点，求实数 的取值范围。a1gxfxa试卷答案一、选择题1-5:ADABB 6-10: CDCBA 11、A 12：C 二、填空题13. 14. 15. 16.221032三、解答题17.（1）因为 成等比数列，所以 ，解得3125,a1215()(4)adad，1,2d所以数列 的通项公式为 。na21na（2）因为，2221 11()4(1)4()22nbannnn 所以 ，121() )(351nSb 依题
9、意，对任意正整数 ，不等式 ，n1()02na当 为奇数时， ，即 ，所以 ；n11()02na223a当 为偶数时， ，即 ，所以 ；1n45所以实数 的取值范围是 。a4(,)3518.(1)取 的中点为 ，连接 ，因为 ，所以 ，ABODPABOP因为 ，所以 ，又 ，所以 平面 ，0/,9DCBABD因为 平面 ，从而 。PAP（2）因为 ，即 ，所以 平面 ，所以 平面 ，所09BBCPBAOPBA以 ，OD以 为坐标原点， 所在的直线为 轴建立空间直角坐标系，,ODP,xyz设 ，则 ，1OB(,0)(,3),(01),(2)PDC所以 ，D设 是平面 的一个法向量，则 ，即 ，(
10、,)mxyzB0mBP03xyz不妨设 ，则 ，所以 ，13(3,1)同理可求得平面 的一个法向量为 ，PDC,n所以 ，1cos,7mn因为二面角 是锐二面角，所以其余弦值为 。B1719.（1）由已知得， 的可能取值为 ，记六月份最高气温低于 20 为事件 ，X20,461A最高气温位于区间 为事件 ，最高气温不低于 25 为事件 ，20,5A3A根据题意，结合频数分布表，用频率估计概率，可知,1 2 383662(20)(,(40)(,(60)(905905905PXAPXAPXA故六月份这种冰激凌一天的需求量 （单位：桶）的分布列为：（2）结合题意得当 时， ，20n()240EYn当
11、 时，04，146()20(20)(210(4,655EYnn当 时，46n()()()(2，28056,45n当 时，60n1()0()(20(40)(2EY n，6)17256所以当 时， 的数学期望 取得最大值 。4()EY6420.（1）设 与圆 切于点 交 轴于点 ，连接 ，08(,),3ByABG,DBCxHDG由 ，得 ，解得 ，DGHA022649y2059又点 ，在椭圆上，故 ，解得 ，08(,)3By20241169b2b故所求椭圆 的标准方程为 。T2xy（2）设过点 与圆 相切的直线方程为 ，(0,1)M24()91ykx则 ，即 ，23k23650k设 的斜率分别为
12、，则 ，,FE12,12125,83kk将 ，代入 ，得 ，解得 或 ，1ykx26y(6)0x2316kx0设 ，则 ，12(,),(1)FEkx12123,kk于是直线 的斜率为 ，212164EFxk从而直线 的斜率为 ，EF221133()646kkyx将 代入上式化简得 ，211365k7y则圆心 到直线 的距离 ，(,0)EF32916d故直线 与圆 相切。G21.（1）由 ，得 ，lnfxa1fxa设切点横坐标为 ，依题意得 ，解得 ，即实数 的值为0001ln2xx012xaa1。（2）不妨设 ，由 ，得 ，120x12ln0ax2121ln()xx即 ，21lna所以 ，21
13、221 12112 2ln()l lnxxxxax 令 ，则 ，21tx212121ln0,llnxttx设 ，则 ，即函数 在 上递减，lgtt20tggt(1,)所以 ，从而 ，即 。10gt2121ln0xx21lnx22.（1）曲线 的方程是 ，化为 ，C2sin()422(sincos)化为 ，所以 ，2sinco2xyx曲线 的方程 ，22(1)()xy当 时，直线 ，代入方程 ，解得 或 ，0:l 22(1)()xy0x2所以 。2AB（2）将 代入到 ，1cosinxty22(1)()xy得 ，由 ，(42)30tt24cosin)10化简得 ，3si15所以 ，12 12(cosin),t t所以 ，2 221(4cosin)60sin()6PABtt所以 2(6,423.（1）因为 、11)()22fxfmxaxma，所以 ，即 的最大值为 1.()xa（2） ，211gfxxa即 ，3,1,223,aagxxa
