1、第32讲 等差数列,江苏省南通第一中学,主要内容,一、聚焦重点 等差数列的定义，知三求二的策略,二、廓清疑点 等差数列前n项和Sn 的最值中，如何确定n的值,三、破解难点 等差数列性质的应用,聚焦重点：等差数列的定义,基础知识,文字语言：,符号语言：,问题研究,如何判断一个数列是等差数列？,经典例题1,思路分析,思路 1：分别计算a2a1，a3 a2，,思路 3：对字母p、q分类讨论,此法不妥！,没有必要！,思路 4：直接由通项公式判断,没有根据！,求解过程,回顾反思,（1）思想方法：回到定义去！,（3）思维误区：逐一作差；无根据判断,（4）思维定势：见字母就讨论,经典例题2,思路分析,思路1
2、：由Sn求an，化归为例1情景,思路2：根据Sn是二次函数，且常数项为0，直接判断.,思路2没有根据,求解过程,回顾反思,（1）思想方法：化归转化（由Sn向an转化）,（2）思维误区：由Sn是二次函数（常数项0）直接判断,（3）思维瑕点：由an =Sn Sn1求通项，忽视n=1,聚焦重点：知三求二的策略,基础知识,2等差数列的前n项和公式,问题研究,对于等差数列an中的a1，d，n，an，Sn，如何由其中已知的三个量求出其余两个量？,经典例题3,思路分析,思路1（通法）：将已知条件直接代入an与Sn的公式，解方程（基本量思想，方程思想）,思路2（通法）：将Sn中的量统一到基本量a1、d 后再用
3、公式，解方程（基本量思想，方程思想）,求解过程,求解过程,回顾反思,（2）思想方法：基本量思想、方程思想,（3）通性通法：方法一、二均是通法方法一思维量小，运算量相对较大；方法二思维量相对较大，运算量小,（1）解题关键：合理选用公式，抓住基本量 （基本量思想）,（4）基本题型：等差数列中，由五个量a1，d，n，an，Sn中的三个可求出其余两个（知三求二），共10种题型,思维经济,运算经济,廓清疑点：如何确定n的值,问题研究,在求等差数列前n项和Sn的最值中，如何确定n的值 ？,基础知识,方法扫描,1 借助二次函数求Sn最值.,等差数列an中,有关Sn的最值问题的处理方法：,经典例题,思路分析,
4、思路一： 先由a3、S5求基本量a1，d，再将Sn表示为关于项数n的二次函数，求这个二次函数的最值,思路二 ： 判断数列首项为正数且是单调递减的，将求数列前n项和Sn的最大值问题转化为找数列an中的哪些项为非负即可（邻项变号法）,求解过程,将a3、S5用基本量a1、d表示,思考：如果Sn=2(n3.5)2+16，如何求n?,由于 ，所以，当n=3时，Sn取最大值21,，,求解过程,回顾反思,（1）基本方法： 将Sn用关于n的二次函数表示并求其最值 （邻项变号法）将求Sn的最大值问题转化为相 邻两项的正负问题，解不等式组,（2）方法比较： 法一思维经济简捷，求二次函数最值方法多； 法二邻项变号，
5、解不等式组方便实用,（3）思维误区：法一容易忽视自变量n的取值范围为 正整数集，或忽视n的取值可能有2个的情景,破解难点：等差数列性质的应用,问题研究,如何应用等差数列的性质，优化解题过程？,an=am+(nm)d （其中m、nN*）,可变形为,基础知识,基础知识,警示：若m+n=t，则am+an=at是错误的！,经典例题5,思路分析,思路1：（通性通法）由a5、a8先求a1、d，再求a14,思路2：（用等差数列性质）利用 an=am+(nm)d 直接求d，再求a14,思路3：（用等差数列性质） a5，a8，a11，a14看成 一个新等差数列的前4项，公差是a8 a5 ， 从而直接求a14,求
6、解过程,求解过程,方法二比方法一经济！,求解过程,a11设而不求!,方法三比方法二经济！,回顾反思,（1）通性通法：方法一先求基本量首项与公差，是通性通法，但运算量比后两种方法大（2）方法比较：方法二实际上是方法一的改良，其 回避了求a1（因a1非必求量） （3）辩证思维：方法三辩证地将a5，a8，a11，a14看 成一个新等差数列的前4项，a11设而不求，思维 灵活，要求高方法三具有局限性,总结提炼,一、聚焦重点：等差数列的定义，知三求二的策略二、廓清疑点：等差数列前n项和Sn的最值中，如何 确定n的值 三、破解难点：等差数列性质的应用,知识与内容,总结提炼,思想与方法,（2）基本量思想，方程思想,（3）化归转化思想,（1）通性通法,（4）辩证思维（来源于细心观察、分析）,（5）设而不求,总结提炼,绿色思维（思维过程优化，解题过程优化）：（1）合理的思维程序（有序观察、结构差异分析、 解题目标引领）（2）有效的解题策略（倡导通性与通法）（3）经济的解题结果（简洁迅捷，合乎题意）（4）正确的表达程序 ,再见,同步练习,参考答案,
