1、 271 已知 yx3x 计算在 x2 处当 x 分别等于 1 01 001 时的 y 及 dy 解 y|x2 x1(21)3(21)(232)18 dy|x2 x1(3x21)x|x2 x111 y|x2 x0.1(20.1)3(20.1)(232)1161 dy|x2 x0.1(3x21)x|x2 x0.111 y|x2 x001(2001)3(2001)(232)0110601 dy|x2 x001(3x21)x|x2 x001011 2 设函数 yf(x)的图形如图所示 试在图(a)、(b)、(c)、(d)中分别标出在点x0 的 dy、y 及 ydy 并说明其正负解 (a)y0 dy0
2、 ydy0 (b)y0 dy0 ydy0 (c)y0 dy0 ydy0 (d)y0 dy0 ydy0 3 求下列函数的微分 (1) x21(2) yxsin 2x (3) 1(4) yln2(1x) (5) yx2e2x (6) yexcos(3x) (7) 21arcsin(8) ytan2(12x2) (9) rt(10) sAsin(t) (A 是常数) 解 (1)因为 所以 xy12 dxdy)1(2(2)因为 ysin2x2xcos2x 所以 dy(sin2x2xcos2x)dx (3)因为 所以 1)(122 dxdy1)(2(4) xxdxdxy lnln)(ln (5)dyyd
3、x(x2e2x)dx(2xe2x2x2e2x)dx2x(1x)e2x (6) dyydxexcos(3x)dxexcos(3x)exsin(3x)dxexsin(3x)cos(3x)dx (7) dxdxdd 2222 1|)1()1)(arcsin(8) dydtan2(12x2)2tan(12x2)dtan(12x2)2tan(12x2)sec2(12x2)d(12x2)2tan(12x2)sec2(12x2)4xdx8xtan(12x2)sec2(12x2)dx (9) )1(1arctn2dydxxx 42)(1 (10) dydAsin( t)Acos( t)d(t)A cos(t)
4、dx 4 将适当的函数填入下列括号内 使等式成立 (1) d( )2dx (2) d( )3xdx (3) d( )costdt (4) d( )sin xdx (5) d( ) dx1(6) d( )e2xdx (7) d( ) x(8) d( )sec23xdx 解 (1) d( 2xC )2dx (2) d( )3xdx (3) d( sin tC )costdt (4) d( )sin xdx xcos1(5) d( ln(1x)C ) d1(6) d( )e2xdx 2(7) d( ) xx(8) d( )sec23xdx Ctan315 如图所示的电缆 的长为 s 跨度为 2l 电
5、缆的最低点 O 与杆顶连线 ABBOA的距离为 f 则电缆长可按下面公式计算 )321(lfs当 f 变化了 f 时 电缆长的变化约为多少？解 fldfldS38)21(6 设扇形的圆心角 60 半径 R100cm(如图 ) 如果 R 不变 减少 30 问扇形面积大约改变了多少？又如果 不变 R 增加 1cm 问扇形面积大约改变了多少？解 (1)扇形面积 21RS 2)(d将 60 R100 代入上式得3360(cm2) .4)(102S(2) Rd将 60 R100 R1 代入上式得3(cm2) 7.04S7 计算下列三角函数值的近似值 (1) cos29 (2) tan136解 (1)已知
6、 f (xx)f (x)f (x)x 当 f(x)cos x 时 有 cos(xx)cos xsin xx 所以cos29 8746.0123)180(6sinco)1806cos( (2)已知 f (xx)f (x)f (x)x 当 f(x)tan x 时 有 tan(xx)tan xsec2xx 所以tan136 9650.18043sectan)18043tan(28 计算下列反三角函数值的近似值(1) arcsin0.5002 (2) arccos 04995解 (1)已知 f (xx)f (x)f (x)x 当 f(x)arcsin x 时 有21arcsinarcsin所以02.5
7、1.0arcsin)0.5arcsin(502.arcsin 3047 2.36(2)已知 f (xx)f (x)f (x)x 当 f(x)arccos x 时 有21arcosarcos所以)05.(.15.0arcos)0.5arcos(49.0arcos 2602 .329 当 较小时 证明下列近似公式x(1) tan xx (x 是角的弧度值) (2) ln(1x )x (3) 1并计算 tan45 和 ln1002 的近似值(1)已知当 |x|较小时 f(x0x)f(x0)f (x0)x 取 f(x)tan x x00 xx 则有tan xtan(0x)tan 0sec20xsec2
8、0xx (2)已知当 |x|较小时 f(x0x)f(x0)f (x0)x 取 f(x)ln x x01 xx 则有ln(1x)ln1(ln x)|x1xx (3)已知当 |x|较小时 f(x0x)f(x0)f (x0)x 取 x01 xx 则有f)( |)(1tan4545001309 ln(1002)ln(10002) 0002 10 计算下列各根式的的近似值 (1) 396(2) 5解 (1)设 则当| x|较小时 有 nxf)( xnfxf 1)(1)( 987.043104109633 (2)设 则当| x|较小时 有 于是nxf)( xnfxf 1)()( 052.641216451
9、1 计算球体体积时 要求精确度在 2%以内 问这时测量直径 D 的相对误差不能超过多少？解 球的体积为 因为计算球体体积时 要求精度在361DVd22%以内 所以其相对误差不超过 2% 即要求 %23612d所以 %32D也就是测量直径的相对误差不能超过 3212 某厂生产如图所示的扇形板 半径 R200mm 要求中心角 为 55 产品检验时 一般用测量弦长 l 的办法来间接测量中心角 如果测量弦长 l 时的误差 101mm 问此而引起的中心角测量误差 x 是多少？解 由 得 2sinRl 40arcsin2arcsill当 55时 400sin2751847l |l|l ll1)40(2当 l1847 l01 时 (弧度) 56.1)4.8(22
