1、习题4-1. 如图所示的圆锥摆，绳长为 l，绳子一端固定，另一端系一质量为 m 的质点，以匀角速 绕铅直线作圆周运动，绳子与铅直线的夹角为 。在质点旋转一周的过程中，试求：（1）质点所受合外力的冲量 I；（2）质点所受张力 T 的冲量 IT。解：（1）根据冲量定理： tPd00F其中动量的变化： vm在本题中，小球转动一周的过程中，速度没有变化，动量的变化就为 0，冲量之和也为 0，所以本题中质点所受合外力的冲量 I 为零（2）该质点受的外力有重力和拉力，且两者产生的冲量大小相等，方向相反。重力产生的冲量=mgT= 2mg/；所以拉力产生的冲量 2mg/，方向为竖直向上。4-2.一物体在多个外
2、力作用下作匀速直线运动，速度 =4m/s。已知其中一力F 方向恒与运动方向一致，大小随时间变化内关系曲线为半个椭圆，如图。求：（1）力 F 在 1s 到 3s 间所做的功；（2）其他力在 1s 到 s 间所做的功。解：（1）由做功的定义可知： JSvFdtvtdxW6.125313121 椭 圆（2）由动能定理可知，当物体速度不变时，外力做的总功为零，所以当该F 做的功为 125.6J 时，其他的力的功为-125.6J 。4-3.质量为 的质点在 平面内运动，运动学方程为mOxy，求：jirtbtasnco（1）质点在任一时刻的动量；（2）从 到 的时间内质点受到的冲量。0t/2t解：（1）根
3、据动量的定义： (sincos)Pmvatbtj（2）从 到 的时间内质点受到的冲量等于它在这段时间内动0t/2t量的变化，因为动量没变，所以冲量为零。4-4.质量为 M=2.0kg 的物体（不考虑体积） ，用一根长为 l=1.0m 的细绳悬挂在天花板上。今有一质量为 m=20g 的子弹以 =600m/s 的水平速度射穿物体。0v刚射出物体时子弹的速度大小 =30m/s，设穿透时间极短。求：v（1）子弹刚穿出时绳中张力的大小；（2）子弹在穿透过程中所受的冲量。解：（1）解：由碰撞过程动量守恒可得： 10Mvmv代入数据 可得：1230.62.0s/7.5根据圆周运动的规律：T-G= vMR21
4、84.6vTgNR（2）根据冲量定理可得： smI 0.04-5. 一静止的原子核经放射性衰变产生出一个电子和一个中微子，巳知电子的动量为 ，中微子的动量为 ，两动量方/skg10.2 236.41kg/s向彼此垂直。 （1）求核反冲动量的大小和方向；（2）已知衰变后原子核的质量为 ，求其反冲动能。8.56由碰撞时，动量守恒，分析示意图，可写成分量式：cossin21minP所以 21.40/Pkgms9.15（2）反冲的动能为：280.7kPEJ4-6. 一颗子弹在枪筒里前进时所受的合力大小为 ，3/1045tF子弹从枪口射出时的速率为 。设子弹离开枪口处合力刚好为零。求：m/s30（1）子
5、弹走完枪筒全长所用的时间 ；t（2）子弹在枪筒中所受力的冲量 ；I（3）子弹的质量。解：（1）由 和子弹离开枪口处合力刚好为零，则可3/1045tF以得到： 算出 t=0.003s。/40t（2）由冲量定义： 0.30.3 0.35 52410/3401/6IdttdttNs（ ）（3）由动量定理：0.30.6.6/2IFdtPmvNskg所 以 ：4-7. 有质量为 的弹丸，从地面斜抛出去，它的落地点为 。如果它在m2 cx飞行到最高点处爆炸成质量相等的两碎片。其中一碎片铅直自由下落，另一碎片水平抛出，它们同时落地。问第二块碎片落在何处。解：在爆炸的前后，质心始终只受重力的作用，因此，质心的
6、轨迹为一抛物线，它的落地点为 xc。因为 ，12cmx12m12cx故 23,4ccmxx4-8. 两个质量分别为 和 的木块 ，用一劲度系数为 的轻弹簧12mBA、k连接，放在光滑的水平面上。 紧靠墙。今用力推 块，使弹簧压缩 然后释0x放。 （已知 ， ）求：m132（1）释放后 两滑块速度相等时的瞬时BA、速度的大小；（2）弹簧的最大伸长量。解：分析题意，可知在弹簧由压缩状态回到原长时，是弹簧的弹性势能转换为 B 木块的动能，然后 B 带动 A 一起运动，此时动量守恒，可得到两者相同的速度 v ，并且此时就是弹簧伸长最大的位置，由机械能守恒可算出其量值。 20201kxmv2）（ 21所
7、以 kxv340（2） 212201vmm）（ 那么计算可得： 0x4-9. 二质量相同的小球，一个静止，一个以速度 0 与另一个小球作对心碰撞，求碰撞后两球的速度。 （1）假设碰撞是完全非弹性的；（2）假设碰撞是完全弹性的；（3）假设碰撞的恢复系数 . 5e解：由碰撞过程动量守恒以及附加条件，可得（1）假设碰撞是完全非弹性的，即两者将以共同的速度前行： mv20所以： 021v（2）假设碰撞是完全弹性的， 210m22vv两球交换速度， 0102（3）假设碰撞的恢复系数 ，也就是5.e210mvv5.201所以： ， 4v0243v4-10. 如图，光滑斜面与水平面的夹角为 ，轻质弹簧上端固
8、定今30在弹簧的另一端轻轻地挂上质量为 的木块，木块沿斜面从静止开始kg.1M向下滑动当木块向下滑 时，恰好有一质cm30x量 的子弹，沿水平方向以速度kg01.m射中木块并陷在其中。设弹簧的劲度系/s2v数为 。求子弹打入木块后它们的共同速N5度。解：由机械能守恒条件可得到碰撞前木快的速度，碰撞过程中子弹和木快沿斜面方向动量守恒，可得：(碰撞前木快的速度)21sinMvkxg10.83vcom（ ） 94-11. 水平路面上有一质量 的无动力小车以匀速率 0 运动。kg51mm/s2小车由不可伸长的轻绳与另一质量为 的车厢连接，车厢前端有一质2量为 的物体，物体与车厢间摩擦系数为 。开始时车
9、厢静止，kg203m.绳未拉紧。求：(1)当小车、车厢、物体以共同速度运动时，物体相对车厢的位移；(2)从绳绷紧到三者达到共同速度所需要的时间。( 车与路面间摩擦不计，取g =10m/s2) 解：（1）由碰撞过程动量守恒，可得vmv）（ 3210 2.0ms)(2101 sv31502123213vgs ）（mgmvs 601)(332121 ）（2） tv33 st.12.4-12. 一质量为 千克的木块，系在一固定于墙壁的弹簧的末端，静止在M光滑水平面上，弹簧的劲度系数为 .一质量为 的子弹射入木块后，弹簧长度km被压缩了 .L(1)求子弹的速度；(2) 若子弹射入木块的深度为 ，求子弹所
10、受的平均阻力。s解：（1）碰撞过程中子弹和木块动量守恒，碰撞结束后的运动由机械能守恒条件可得， vMmv）（02212kL）（计算得到： ）（v0（2）子弹射入木快所受的阻力做功使子弹动能减小，木块动能增加，两次作功的位移差为 s，所以： ）（ 201vmfx其中M sx所以： skLf24-13. 质量为 、长为 的船浮在静止的水面上，船上有一质量为 的人，l m开始时人与船也相对静止，然后人以相对于船的速度 从船尾走到船头，当人走u到船头后人就站在船头上，经长时间后，人与船又都静止下来了。设船在运动过程中受到的阻力与船相对水的速度成正比，即 .求在整个过程中船的kvf位移 .x4-14 以
11、初速度 0 将质量为 m 的质点以倾角 从坐标原点处抛出。设质点在Oxy 平面内运动，不计空气阻力，以坐标原点为参考点，计算任一时刻：（1）作用在质点上的力矩 M；（2）质点的角动量 L解：（1） ktgvFr cos0（2） tmdtvmt 204-15 人造地球卫星近地点离地心 r1=2R， （R 为地球半径） ，远地点离地心r2=4R。求：（1）卫星在近地点及远地点处的速率 1 和 2（用地球半径 R 以及地球表面附近的重力加速度 g 来表示） ；（2）卫星运行轨道在近地点处的轨迹的曲率半径 。解：利用角动量守恒： 21mvrL214v同时利用卫星的机械能守恒，所以： RMGvRmv42
12、2100gMG20所以： 31v62gv（2） 可得到：20mR384-16 火箭以第二宇宙速度 沿地球表面切向飞出，如图所示。在飞2vg离地球过程中，火箭发动机停止工作，不计空气阻力，求火箭在距地心 4R 的 A处的速度。解：第二宇宙速度 ，由机械0E能守恒: 2104AMmvGRg24sinAv代入：Rg30思考题 44-1. 一 粒子初时沿 轴负向以速度 运动，后被位于坐标原点的金核所xv散射，使其沿与 轴成 的方向运动(速庹大小不变)试用矢量在图上表出120粒子所受到的冲量 的大小和方向。I见图 4-25。4-2. 试用所学的力学原理解释逆风行舟的现象。可用动量定理来解释。设风沿与航向
13、成 角的方向从右前方吹来，以风中一小块沿帆面吹过来的空气为研究对象， 表示这块空气的质量， 和 分别m1v2表示它吹向帆面和离开帆面时的速度，由于帆面比较光滑，风速大小基本不变，但是由于 的速度方向改变了，所以一定是受到帆的作用力，根据牛顿第三定m律， 必然对帆有一个反作用力 ，此力的方向偏向船前进的方向，将 分f f解为两个分量，垂直船体的分量与水对船的阻力相平衡，与船的航向平行的分量就是推动帆及整个船体前进的作用力。4-3. 两个有相互作用的质点 和 （ ） ，已知在不受外力时它们1m21的总动量为零， 的轨迹如图，试画出 质点的运动轨迹。12见图 4-26。4-4. 当质量为 的人造卫星
14、在轨道上运动时，常常列出下列三个方程：m1e22e1rmGvrv1sinsi2ermv试分析上述三个方程各在什么条件下成立。4-5. 在水平冰面上以一定速度向东行驶的炮车，向东南（斜向上）方向发射一炮弹，对于炮车和炮弹这一系统，在此过程中（忽略冰面摩擦力及空气阻力）哪些量守恒？对于这个系统，能量守恒，因为没有外力做功；4-6. 体重相同的甲乙两人，分别用双手握住跨过无摩擦滑轮的绳子两端，当他们由同一高度向上爬时，相对于绳子，甲的速度是乙的两倍，则到达顶点情况是：（A）甲先到达；（B）乙先到达；（C）同时到达；（D）谁先到达不能确定。答:本题测试的是刚体系统的角动量定理和角动量守恒的概念.当两小孩质量相等时,M=0.则系统角动量守恒,两人的实际的速度相同,将同时到达滑轮处,与谁在用力,谁不在用力无关.选择 C。
