1、泸州市高 2015 级（2018 届）第二次教学质量诊断性考试数 学（理科） 本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分. 第 I 卷 1 至 2 页，第 II 卷3 至 4页.共 150 分.考试时间 120 分钟. 第 I 卷 （选择题 共 60 分）一、 选择题：本大题共有 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的1复数 的虚部是2iA B1 C Di i12已知全集 ， ， ，则图中阴影部分表示的集合是UR|Mx|(3)0NxA B |3x|C D|10 |3x3在 1，2，3，4，5，6，7 这组数据中，随机取出五个不
2、同的数，则数字 5 是取出的五个不同数的中位数的所有取法为A6 B12 C18 D24 4抛物线 C： 的焦点为 F， 为 C 上一点，过点 P 作其准线的垂线，垂足为 Q，若24yxP，则 的长度为|3PF|QA B C D323425将函数 的图像向右平移 m 个长度单位后得到函数 ，若 与()sinfx ()gx()的零点重合，则 m 的一个可能的值为co3hA B C D 6236如图是 2017 年第一季度五省 GDP 情况图，则下列陈述中不正确的是A2017 年第一季度 GDP 总量和增速由高到低排位均居同一位的省只有 1 个B与去年同期相比，2017 年第一季度五个省的 GDP
3、总量均实现了增长C去年同期河南省的 GDP 总量不超过 4000 亿元D2017 年第一季度 GDP 增速由高到低排位第 5 的是浙江省7设 a， b 是两条不同的直线， 、 是不重合的两个平面，则下列命题中正确的是A若 ， ，则 B若 ， ，则a/b/a/aC若 ， ，则 D若 ， ， ，则/bb/8甲、乙、丙三人参加某公司的面试，最终只有一人能够被该公司录用，得到面试结果以后，甲说：“丙被录用了” ；乙说：“甲被录用了” ；丙说：“我没被录用” 若这三人中仅有一人说法错误，则下列结论正确的是A甲被录用了 B乙被录用了 C丙被录用了 D无法确定谁被录用了9若正整数 除以正整数 后的余数为 ，
4、则记为 ，例如 NmnmodNn如图程序框图的算法源于我国古代闻名中外的中国102od4剩余定理 执行该程序框图，则输出的 等于A20 B21C22 D2310一个几何体的三视图及尺寸如图所示，则该几何体的外接球的表面积为A B2448C D96 311双曲线 的左右焦点分别为 、 ，点 P 是双曲21(0,)xyab1F2线右 支 上 一 点 ， 若 双 曲 线 的 一 条 渐 近 线 垂 直 平 分 ， 则 该 双 曲 线 的 离P心 率 是A B C2 D 25512已知函数 ， （e 是自然对数的底数） ，若关于 x 的方程2,0()exf ()xg恰有两个不等实根 、 ，且 ，则 的
5、最小值为gfxm1212x21xA B C D1(ln)21ln2ln(ln)第 II 卷 （非选择题 共 90 分）注意事项：(1)非选择题的答案必须用 0.5 毫米黑色签字笔直接答在答题卡上，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用 0.5 毫米黑色签字笔描清楚，答在试题卷和草稿纸上无效.(2)本部分共 10 个小题，共 90 分.二、填空题：本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分13已知变量 满足约束条件 ，则 的最大值为 xy， 02xy2zxy14二项式 展开式中的常数项是 （用数字做答） 831()x15已知函数 ，若 ，则实数 a 的取值范围sinf2()(faf 0是 16
6、如图，在 中，角 的对边分别为 ， .ABC , ,abc(sinco)C若 ， 为 外一点， ， ，则四边形 面2D 2DB1CABD积的最大值为 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共 60 分。17（本小题满分 12 分）已知数列 的前 项和为 满足 nanS*21()naN（）求数列 的通项公式；（）求数列 的前 项的和 *(1)3()2nba2n2nT18 （本小题满分 12 分）某企业库存有某批产品若干件，现从中随机抽取该种产品 500 件，测
7、量出了这些产品的质量指标值，由测量数据经整理获得如下统计表（质量指标值满分为 135）：质量指标值 X 65,7),85),9)5,10),15),2)15,3频数 Y 10 45 110 165 120 40 10已知该批产品的质量指标值 ，其中 近似为样本的平均数， 近似为样2(,)XN: 2本方差 （同一组数据用该区间的中点值作代表）.2s（）求 的值；(12.4.)PX（）当产品的质量指标值 时，称该产品为一等品.某商家面向全社会招标采12购该类产品，期望所购买的该类产品中一等品的件数不得低于 10，以此期望为决策依据，试问该企业的该类产品是否可以参与该商家的招标采购？请说明理由.参考
8、数据： 12.2.150若 ，则 ， ，2(,)ZN:()0.682PZ(PZ2)0.954.(33974P19 （本小题满分 12 分）如图，三棱锥 的侧面 是等腰直角三角形， ， ，ABCDAB 90BADC，且 120BDC2（I）求证：平面 平面 ；（II）求二面角 的余弦值20 （本小题满分 12 分）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，若 到过椭圆左焦点、斜2:10xyCab12,F率为 的直线的距离为 ，连接椭圆的四个顶点得到的四边形面积为 4 33（I）求椭圆 C 的方程；（II）设椭圆 C 的左、右顶点分别为 A、 B，过点 的直线 l 与椭圆 C 相交于 P、 Q(1,0)M两
9、点，证明：直线 、 的交点在直线 上APBQ4x21 （本小题满分 12 分）已知函数 1()=2lnafxx（I）若 在 上恒成立，求正数 a 的取值范围；0f,)（II）证明： .1+ln(1)232()n*N （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。22 （本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线D CBAl 的极坐标方程为 ， 的极坐标方程为 3cosin30C4sin()6（I）求直线 l 和 的普通方程；C（II）直线 l
10、与 有两个公共点 A、 B，定点 P ，求 的值(2,3)|PAB23 （本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲设函数 ()1,()2fxgxa（I）当 a时，求不等式 的解集；()1fgx（II）若关于 x 的不等式 有解，求 a的取值范围2()泸州市高 2015 级（2018 届）第二次教学质量诊断性考试数 学（理科）参考答案及评分意见评分说明：1本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则2对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度可视影响的程度决定后继部分的给分，但不
11、得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分3解答右侧所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数4只给整数分数，选择题和填空题不给中间分一、选择题二、填空题132； 1428； 15. ； 16 .(,21,)524三、解答题17解：（）当 时， ，1n12a题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 B C A C B A D A C C B D所以 ， 1 分1a因为 ， ，2nS*nN所以 时， ， 2 分 12a两式相减得： ，即 ， 4 分1nn12na因为 ，所以数列 是以 1 为首项，2 为公比的等比数列， 5 分 10
12、a所以 ； 6 分2()nN（）由 可知，3nnba当 为奇数时， ； 7 分nb当 为偶数时 ， 8 分n3a则 9 分21321242()()nnTb 10 分. 12 分21(4)6613nn18解： () 由题得各组频率如下：0.02， 0.09， 0.22， 0.33，5,7)75,8)85,9)95,10)0.24， 0.08， 0.021012123所以，抽取产品质量指标值的样本平均数 x和样本方差 2s分别为7.280.90.0.410.83.02x， 2 分122222(3).().(1).3.s080， 4 分15所以，由题得 ，(1,5)XN:从而 ； 6 分0.94.6
13、82(2. 0.1359P（）因一件产品中一等品的概率为 ， 7 分(.).4720.8PX设商家欲购产品的件数为 m,且其中一等品可能的件数为 ，所以 ， 8 分(,0.28)B:所以 m 件产品中一等品的期望 ， 10 分0.28E又因商家欲购 m 产品中一等品的期望为 ， 11 分 10.m因 ，0.1E所以该批产品不能达到商家要求，不能参与招标. 12 分19证明：（I）如图，取 BD 中点 E，连结 、 ， 1 分ACE因为 是等腰直角三角形，ABD所以 ， 2 分E设 ，则 ， 3 分a2Ca在 中，由余弦定理得：， 4 分222()()cos120CE27a因为 ， ，ABaAE
14、a所以 ，即 ， 5 分22C又 ， ，ED所以 平面 ，AB所以平面 平面 ； 6 分D（II）解法一：过点 E 在平面 内作 交 于点 F，由（I）知 平面 ，CEFBCAEBCD分别以 为 x 轴， y 轴， z 轴建立如图空间直角坐标系， 7 分,BFA不妨设 ，2D则： ， 8 分(0,1)(,)(1,0)(2,30)C则 ， ， ， 9 分3ACAB(1,)D设平面 的法向量 ，(,)xyzm则 ，取 ， 10 分023xzy1,3设平面 的法向量 ， ABC(,)xyzn则 ，取 ， 11 分023xyz3,1所以 ， 05cos|7:mn,因为二面角 的平面角是锐角，BACD所
15、以二面角 的余弦值为 . 12 分1053解法二：过点 D 作 DN AC 于点 N，设 D 在平面 ABC 上的射影为 M，连接 MN，则 AC MN，所以 DNM 为所求二面角的平面角， 7 分zyxFEB CDA设 AB=1,则 AD=1,BD=CD= ， AC=2， BC= ,26在 ADC 中，cos DAC= ,34所以 DN= , 8 分74在 ABC 中，cos BAC= ,所以 sin BAC= , 9 分14154由 ,DABCDV所以 ,2115132()343M即 , 11 分0在 DMN 中，sin DNM= ,4235所以 cos DNM= ,10所以二面角 的余弦
16、值为 . 12 分BACD105320解：（） 的坐标分别为 ， ， 其中 ，12,F(0)c， (， c过椭圆的左焦点、斜率为 的直线的方程为： ， 1 分3()yxc到直线 的距离为 3，所以有 ， 解得 ， 2 分2AB231c所以有 ，2ab由题意知: ， 即 ， 3 分142ab解得： ， ，2ab所求椭圆 C 的方程为 ； 4 分241xy（）设直线 l 的方程为 ，代入椭圆 C 的方程消去 x 整理得：m， 5 分2(4)30y设 ， ，1,Px2(,)Qxy所以 ， ， 6 分4ym1234直线 方程为 ，直线 方程为 ， 7 分A1()yxBQ2()yx解法一：要证明直线 、
17、 的交点在直线 上，AP4xAD CBMN只需证明 ， 8 分12(4)(4)2yyxx即证明 ， 9 分112360只需证明 ， 10 分212()()60myyy即证明 ，而 成立，1234m所以直线 、 的交点在直线 上 12 分APBQx解法二： ， 8 分12()()2yyxx解得： 9 分12463my因为 ， 10 分12y即 11 分1223()y所以 146mx. 12 分2216()43y21. 解：（）因为 ， ，则 ， 1 分()=1lnafxx1,)(1)=0f. 2 分22 2()() ()xaaf x当 ，时，此时 ， 3分10a1当 ，则 ， 在1,)a上是减函数，所以在1(,)a上存x()0fx()fx在 x0，使得 0()1fxf，在 上不恒成立； 4分 ,当 时， ， 在 上成立， 2a a ()0fx 1,)在 上是增函数， ， 5分()fx1,)(f在 上恒成立， 0综上所述，所求 a的取值范围为 ； 6分1,)2
