1、6-1实验六 特征值与特征向量、若当标准形【实验目的】1了解特征值与特征向量基本概念及其性质；2了解若当标准型的基本概念；3学习、掌握 MATLAB 软件有关的命令。【实验准备】1特征多项式设 A 为 n 阶方阵, 如果数“ ”和 n 维列向量 x 使得关系式 成立, 则称 为方xA阵 A 的特征值, 非零向量 x 称为 A 对应于特征值“ ”的特征向量。poly(A)，返回矩阵 A 的特征多项式的向量表示形式，例如： clear A=1 0;2 3; p=poly(A) %矩阵 A 的特征多项式的向量表示形式p =1 -4 3 f=poly2str(p,x) %矩阵 A 的特征多项式f =x
2、2 - 4 x + 3或者由定义出发，计算特征多项式.例如： clear A=1 0;2 3; E=eye(2); %2 阶单位阵 syms x f=det(x*E-A) %矩阵 A 的特征多项式f =(x-1)*(x-3)2特征值与特征向量 eigenvalue求一个方阵的特征值与特征向量可以使用函数 eig( ).d=eig(A), 返回 A 所有特征值组成的列向量 d.V,D= eig(A), 返回 A 所有特征值组成的矩阵 D 和特征向量组成的矩阵 V.V,D= eigs(A), 返回 A 所有特征值 (按大小次序)组成的对角矩阵 D 和特征向量组成的矩阵V，且满足 D=V-1AV.d
3、=eig(A,B), 返回复数矩阵 A+Bi 所有特征值组成的向量 d.V,D= eig(A,B), 返回复数矩阵 A+Bi 所有特征值组成的矩阵 D 和特征向量组成的矩阵 V. 例如： clear（ format） （ format rat） A=0 1 0 0;1 0 0 0;0 0 0 1;0 0 1 0; d=eig(A) %求矩阵 A 的特征值6-2d =1-11-1 %特征值以列向量的形式输出，例如： V,D=eig(A) %求矩阵 A 的特征值与特征向量所组成的矩阵V =-0.7071 0 0 0.70710.7071 0 0 0.70710 -0.7071 0.7071 00
4、0.7071 0.7071 0D =-1 0 0 00 -1 0 00 0 1 00 0 0 1%说明（1）矩阵 D 的主对角线上的元素为特征值，所以方阵 A 的特征值为-1（二重） ，1（二重）.%说明（2）特征值-1 对应的特征向量为 V 中的第 1、 2 列，即 (-0.7071 0.7071 0 0)1kT(0 0 -0.7071 0.7071)T ，其中 为任意常数， 2k 12,k特征值 1 的特征向量为 V 中的第 3、4 列，即 (0 0 0.7071 0.7071)T3k( 0.7071 0.7071 0 0)T ，其中 为任意常数。 4k , V=sym(V) %以符号的形
5、式输出矩阵 VV = -sqrt(1/2), 0, 0, sqrt(1/2) sqrt(1/2), 0, 0, sqrt(1/2) 0, -sqrt(1/2), sqrt(1/2), 0 0, sqrt(1/2), sqrt(1/2), 0 V-1*A*V %验证 D=V-1AVans = -1, 0, 0, 0 0, -1, 0, 0 0, 0, 1, 0 0, 0, 0, 16-33.提高特征值的计算精度函数 balance格式 T,B = balance(A) %求相似变换矩阵 T 和平衡矩阵 B, 满足 。ATB1B = balance(A) %求平衡矩阵 B4实对称矩阵的对角化实对称
6、矩阵的对角化 P,D= eig(A) D 为对角化后的矩阵，P 为正交阵.在 Matlab 中，我们运用函数 eig 求出二次型矩阵 A 的特征值矩阵 D 和特征向量矩阵 P，所求的矩阵 D 即为系数矩阵 A 的标准形，矩阵 P 即为二次型的变换矩阵. 例如： clear A=2 2 -2;2 5 -4;-2 -4 5; %实对称矩阵 A P,D=eig(A) %矩阵 A 的对角化P=-0.2981 0.8944 0.3333-0.5963 -0.4472 0.6667-0.7454 0 -0.6667D =1.0000 0 00 1.0000 00 0 10.00004若当标准形若当标准型可
7、用函数 jordan( ) 来求.J = jordan(A), 其中 J 为 A 的若当标准型。例如 matlab 代码： clear A=2 1 0;-1 0 0;-1 1 2; %矩阵 A jordan(A) %矩阵 A 的若当标准形运算结果为：ans =2 0 0 0 1 1 0 0 1 注意：Matlab 中若当块是按上三角形定义的。5其他相关函数矩阵的迹 trace(A)将复对角矩阵转换为实对角矩阵 V,D=cdf2rdf(v,d) 在对角线上用 2*2 实数块代替共轭复数对.矩阵元素求和函数 sum(A,dim)，dim=1 则按列求和，dim=2 则按行求和sum(sum(A,1
8、),2) 返回矩阵 A 的所有元素之和.矩阵元素求积函数 prod(A,dim)，dim=1 则按列求积，dim=2 则按行求积。prod（prod(A, 1)，2）返回矩阵 A 的所有元素之积.【实验内容】6-4例 6-1：求矩阵 的特征值与特征向量，并将其对角化. 12A解一：相应的 matlab 代码及运算结果如下：clear A= 1 2 2;2 1 2; 2 2 1; d=eig(A) %求全部特征值所组成的向量d =-1.0000-1.00005.0000 V,D=eig(A) %求特征值及特征向量所组成的矩阵V =0.6015 0.5522 0.57740.1775 -0.797
9、0 0.5774-0.7789 0.2448 0.5774D =-1.0000 0 00 -1.0000 00 0 5.0000 inv(V)*A*Vans =-1.0000 0 -0.00000 -1.0000 -0.0000-0.0000 0.0000 5.0000 %A 可对角化，且对角矩阵为 D解二：相应的 matlab 代码及运算结果如下： clear A= 1 2 2;2 1 2; 2 2 1; p=poly(A) %矩阵 A 的特征多项式的向量表示形式p =1 -3 -9 -5 roots(f) %矩阵 A 的特征多项式的根，即 A 的特征值ans =5.0000 -1.0000
10、 + 0.0000i-1.0000 - 0.0000i解三：6-5相应的 matlab 代码及运算结果如下： clear A= 1 2 2;2 1 2; 2 2 1; E=eye(3); syms x f=det(x*E-A) %矩阵 A 的特征多项式f =x3-3*x2-9*x-5 solve(f) %矩阵 A 的特征多项式的根，即 A 的特征值ans =5-1-1 %所以 A 的特征值为 x1=5,x2=x3=-1. %（1）当 x1=5 时，求解（x1*EA）X=0 ，得基础解系 syms y y=5; B=y*E-A; b1=sym(null(B) %b1 为（x1*EA）X=0 基础
11、解系b1 =sqrt(1/3)sqrt(1/3)sqrt(1/3)%所以 b1 是属于特征值 5 的特征向量在基下的坐标 %（2）当 x2=-1 时，求解（ x2*EA）X=0，得基础解系 y=-1; B=y*E-A; b2=sym(null(B) %b1 为（x2*EA）X=0 基础解系null(A)齐次线性方程组 A*Z=0 的基础解系：b2 = sqrt(2/3), 0 -sqrt(1/6), -sqrt(1/2) -sqrt(1/6), sqrt(1/2) b21=b2(:,1),b22=b2(:,2) b21 =sqrt(2/3)-sqrt(1/6)-sqrt(1/6)b22 =6-
12、60-sqrt(1/2)sqrt(1/2)%b21，b22 是属于特征值-1 的特征向量在基下的坐标 T=b1,b2 %所有特征向量在基下的坐标所组成的矩阵T = sqrt(1/3), sqrt(2/3), 0 sqrt(1/3), -sqrt(1/6), -sqrt(1/2) sqrt(1/3), -sqrt(1/6), sqrt(1/2) D=T-1*A*T %将矩阵 A 对角化，得对角矩阵 D D = 5, 0, 0 0, -1, 0 0, 0, -1例 6-2：将矩阵 对角化，并将复对角矩阵转换为实对角矩阵0213A相应的 matlab 代码及运算结果如下： clear A=0 2 1
13、;-2 0 3;-1 -3 0; v,d=eig(A) %求特征值及特征向量所组成的矩阵v =-0.8018 -0.1572 + 0.3922i -0.1572 - 0.3922i0.2673 -0.6814 -0.6814 -0.5345 -0.1048 - 0.5883i -0.1048 + 0.5883id =0 0 0 0 0 + 3.7417i 0 0 0 0 - 3.7417i V,D=cdf2rdf(v,d) %复对角矩阵转换为实对角矩阵V =-0.8018 -0.1572 0.39220.2673 -0.6814 0-0.5345 -0.1048 -0.5883D =0 0 0
14、0 0 3.74170 -3.7417 0%说明：在对角线上用 22 实数块代替共轭复数对，由 D 可知 A 的特征值为 1， 3.7417i 和-3.7417i.6-7 V1=V(:,1),V2=V(:,2),V3=V(:,3); %由 V 可知 A 的两个共轭特征向量为 V2+ V3*i，即： V2+V3*ians =-0.1572 + 0.3922i-0.6814 -0.1048 - 0.5883i V2-V3*ians =-0.1572 - 0.3922i-0.6814 -0.1048 + 0.5883i例 6-3：求例 6-1 中矩阵 A 的迹，并验证 . 1ni相应的 matlab
15、 代码及运算结果如下：clear A= 1 2 2;2 1 2; 2 2 1; a=trace(A) %求矩阵 A 的迹a =3 d=eig(A) %求矩阵 A 的特征值d =-1.0000-1.00005.0000 b=sum(d,1) %矩阵 d 元素求和b = 3%说明：A 的所有特征值之和为 A 的迹 e=det(A)e =5 f=prod(d,1) %矩阵 d 元素求积，即特征值求积f =5%说明：A 的行列式值等于所有特征值乘积.%（1）函数 sum(A,dim)是矩阵元素求和函数， dim=1 则按列求和，dim=2 则按行求和。%（2）函数 prod(A,dim)是矩阵元素求积函数，dim=1 则按列求积，dim=2 则按行求积。6-8例 6-4：求矩阵 的若当标准型。126034A相应的 matlab 代码及运算结果如下： clear A=-1 -2 6;-1 0 3;-1 -1 4A =-1 -2 6-1 0 3-1 -1 4 J=jordan(A) %矩阵 A 的若当标准形J =1 1 00 1 00 0 1%说明：Matlab 中若当块是按上三角形定义的 .
