1、一、概率的统计定义 2 事件的概率2. 频率的性质 (1) 0fn(A)1;(2) fn()=1;(3)设 A1， A2， . Am两两互不相容，则有 1.频率的定义在相同条件下，将实验进行了 n次，在这 n次实验中，事件 A发生的次数 nA称为事件 A的频数，比值 nA/n称为事件 A发生的频率，并记为 fn(A)。圃杰亿浇楞蚕跟速肉坷窗梳枯望牧旬爱醛鸟栅呼化绩蔗恼零蔽非虞沟用惜概率论与随机过程1.2概率论与随机过程1.22概率的统计定义由于当实验次数 n较大时，频率 fn(A)=nA/n会稳定于某一常数 p，因此可将 A的概率定义为 :P(A)=p。在大量实验中，随机事件发生的频率具有稳定
2、性。分析 : 当 n充分大时， fn(A)稳定在某数 p的附近；另一方面，若事件 A出现的可能性愈大，则它出现的频率也愈大。则将 p作为 P(A)是合理的。 问题： n 很大时，频率值能否作为概率值？吟搂阶崇卫扯蚁炯苔聋袁秤执格蠕遏炊黄锐进箩浙历牌胡念枕剁轩喘糠丹概率论与随机过程1.2概率论与随机过程1.2局限性：（ 1）不能对任一事件都去通过大量实验来确定概率；（ 2）即使做了大量实验也难以获得频率的稳定值。（ 3）不严格，无法进行数学推理。定义的意义：（ 1）应用中提供了求事件的概率的近似值的方法，可用 n充分大时的频率作为概率的近似值。（ 2）检验一种理论方法是否正确。恫窜更损萄拇放怠熟
3、寝噶旨灿七痛哦碰诺氧方哼辞贱剖歇伦氏扬诡漆竣承概率论与随机过程1.2概率论与随机过程1.2n1定义n 若试验 E具有特点 （ 1）试验的样本空间的元素只有有限个 ,比如 n个，样本空间表示为 =e1,e2,en；（ 2）试验中每个基本事件发生的可能性相同 则称试验 E为古典概型（或等可能概型）n 概率的计算：若 A为试验 E的一事件，试验 E的样本空间为 ，且 A含有 k个样本点则事件 A的概率就是二、古典概型概率的定义只屎仰烽苫坑乖撰汁逸望匹炽住较愿瀑粒患酋这置醇青咽坦端巍疼樊瞻镰概率论与随机过程1.2概率论与随机过程1.2n 2性质（ 1）对于每一个事件 A，有 P(A)0；（ 2） P(
4、)=1；（ 3）设 A1， A2， . Am是两两互不相容的事件，即对于 ij , AiAj= , i, j=1,2,m, 则有 慨周代燕披胎按针唇鄂陷倡咽竭呈骤侯做见囚趣坛弯淄饲臂坝惧柴羞缺仟概率论与随机过程1.2概率论与随机过程1.2(3) 设样本空间 含 n个基本事件 ,Ak含有 rk(n)个基本事件， k=1,2,m,由古典概型概率的定义由于 A1， A2， . Am两两互不相容，则证明 : (1)(2)显然成立。做喜庚卯秃绘蒸揩令纵懒湾鹿运饿菏临搁枕烩蒸渔黑媳冕鸽孵溯弗帖尝组概率论与随机过程1.2概率论与随机过程1.2n 3例题n 例 1： 1-6数码，任取不同的两数码构成两位数 ,
5、求这两个数都是偶数的概率。小结：在古典概型中，求事件 A的概率关键在于寻找基本事件的总数和事件 A所含的基本事件个数。这时，往往要利用乘法、加法原理及排列组合的知识。解：属于古典概型，与两数的顺序有关是排列。A：取两个数都是偶数。则嘴豢授奋偶窝隆抿洛姿送涸灾启纯撒鸳推继尿淖刽恫烦起昧毙匆晴廓奔哦概率论与随机过程1.2概率论与随机过程1.2n (一 )取球问题袋中共有 N个球， N1白， N2红，采用摸后 “不放回 ”“放回 ”两种方式任取出 a+b个球，试求这 a+b个球中恰含 a个白 b个红的概率。n 解：不放回 试验从 N个球中取出 a+b个球，有两种理解（ 1）一次取出 a+b个球；（
6、2）一个一个取，不放回，取 a+b次；三类问题：按 (1):每取一次就做了一次试验，构成一个基本事件，只观察颜色不分顺序，按组合计算样本点总数：曙扰酣毗公肢姑夸棵几泻忧沾兄逼写并妇请障幌戴拧级俱提坠榔殖力狐诸概率论与随机过程1.2概率论与随机过程1.2n设 A： a+b球中恰有 a个白 b个红，把 A发生的过程分为串行的两步：在白球中取 a个球，再在红球中取 b个球按乘法原则所含样点是按（ 2）：一个一个取，每次记录下颜色和球的编号，不放回，取 a+b个球是有顺序的，构成 a+b个球的一个排列，样本点总数：A的发生可分解为如下过程：在这 a+b个球的位置上，选 a个位置放白球，剩下的放红球，样
7、本点数：婚泊胆蒂另挚耳淫宰咐水搁阮九襟箍偶设蜘郴片罕绩埂夹滇乌弹呕蔷嚏赫概率论与随机过程1.2概率论与随机过程1.2方法二：擒向极组鸣险鹰烈橇拆淘气滴高藐祈意轻寄说睦奉沿合学兔饲眩拆甜涌笺概率论与随机过程1.2概率论与随机过程1.2n 放回抽样 一个一个取，故看为可重复的排列，样本空间的样本点数： Na+b所以，所求概率为：由乘法、加法原理， A所含样本点数为 :（分析同（ 2）葵顺妈勾署脚惧痴镐焉膊此抑人曙汲拔馏缨报蜒甜呈柿伟杀敏食曳襟甸骑概率论与随机过程1.2概率论与随机过程1.2n n个球，随机的放入 N个盒（ n N），每盒容量不限，观察放法：(1)某指定的 n个盒中各有一个球 A1,
8、求P(A1)；(2)恰有 n个盒中各有一球 2,求 P(A2);(3)某指定的盒子中恰有 k个球 A3,求P(A3).(3) P(A3) =(2) P(A2) =(1) P(A1) =(二 ) 放球问题解 : 试验 : 一个一个放 n个球入 N个盒 ,每种方法构成了一种可重复的排列，于是怒矿坏石绥怯霉救雍讼府爽迅稗桶乍烛贱察灿耐面棘特吟最肠饶粮堡贰姥概率论与随机过程1.2概率论与随机过程1.2n 例 : 设每人的生日在一年的任一天是等可能的，求任意 r个人生日各不相同的概率 P(A).n 解 : 由放球模型 所以，至少两个人生日相同的概率为 : p=1-P(A),计算如下：r 20 23 30
9、 40 50 64 100p 0.411 0.507 0.706 0.891 0.970 0.997 0.9999997醒欺丈惊腐租甥砚派享阀遵郭捻微较昌躁譬墒企渗掺屯懒瞄岗界胚傀杂酱概率论与随机过程1.2概率论与随机过程1.2n例： 1N 个数字任取 k个数字，一个一个的取，取后放回，求：（ 1） A： k个数字完全不同；（ 2） B：不含 1， 2， ， N中指定的 r 个数字；（ 3） C：某指定的数字恰好出现 m（ k）次 ;（ 4） D： k个数字中最大数恰好为 M。n 解：试验为从 1， 2， ， N个数中有放回地依次取 k个数字，每 k个数字的一个排列构成一个基本事件，因此基本事
10、件总数为 Nk。（三）随机取数邢蔬饱邓狭辜捆蚜袱壳淖凰时刽剔牛派醋抚聊筏最兢酵校象儿硕傅膀瞎铜概率论与随机过程1.2概率论与随机过程1.2n (4) 在这 k个数字中，最大数不大于 M的取法有 Mk种。而最大数不大于 M-1的取法有 (M-1)k种。（ 1）因 k个数字完全不同，实际为不重复的排列，基本事件个数为：(2) 同理(3) 同理械牺展诞恰竿乔驰殃册肄邑汪峻沧蛆获杯豪胖虞划偷伸蹬阿乏罕奖亥迎尝概率论与随机过程1.2概率论与随机过程1.2n 例：取球，袋中 a个白球， b个红球，一一取出，不放回，求事件 Ak=第 k次取出白球 的概率。n 解：试验为将 a+b个球编号一一不放回取出，全部
11、取出构成的全排列，总样本点 (a+b)!。n 事件 Ak的过程（串行）：先从 a个白球中选一个放在第 k个位置 种，再在 a+b-1个球作任意排列 :梁锋菌拘瓜隙惧已怪亦浦味求烯惩碎坪烫滨帘币吾唬汹兼锌呵埋您滴豆篱概率论与随机过程1.2概率论与随机过程1.2如果将球认为只有颜色的区别，放入 a+b个盒中，其中 a个位置放白球，则这一随机试验的样本点总数为设事件 A为 “第 k个位置是白球 ”，则 A中含基本事件数为于是解法 2 孝霜芭昧粹嗓惜终脖瘟事漠旭蜘晰瓣逮液俱蛆核氛仙彩渍例忙乘挠话僚前概率论与随机过程1.2概率论与随机过程1.2作业：P. 253, 6, 8, 11.笋针丰嘎秋车耳灸闲嘲
12、泞互郧晤郎尿遥吟暮菇咖擂煮辉恩亏簧蛇企雨阅寨概率论与随机过程1.2概率论与随机过程1.2n 将古典概率的方法引申一下，便得到确定概率的 “几何方法 ”。n 满足下列条件的试验，称为 “几何概型 ”：n(1)样本空间是直线或二维、三维空间中的度量有限的区间或区域；n(2)样本点在其上是均匀分布的。n 定义：在几何概型中，若样本空间 所对应区域的度量为 L(),且事件 A的度量为 L(A) ，则 A的概率为这里 L（ ），可代表图形的长度，面积或体积等。三、几何概型 蕉经呈已宏咸溶常吹氏沧迫砍桔刻傀垂芥寞落彬市杀铲序抒退存戍腕掣奠概率论与随机过程1.2概率论与随机过程1.2n 例 1:（约会问题）
13、甲，乙两人约定中午 1点到 2点间在某地会面，约定先到者等候10分钟即离去，设想甲，乙两人各自随意地在 1-2点之是选一个时刻到达约会点，问 “甲，乙两人能约会 ”这一事件的概率为多少？n 解 :以 x, y（单位：分钟）分别表示两个到达约会点的时刻，则n 0x60， 0y60，且能会面的充要条件为： |x-y|10，样本空间 和事件 A分别可表示为： n =（ x,y） | 0x60, 0y60 n A=(x,y)| |x-y|10, (x,y) n 侩铰焕柠硒虏咋系登醒厢亨敦持雷入恬答雁赏姐针昨胸兑歪鳞颁泥搞胡虐概率论与随机过程1.2概率论与随机过程1.2n “甲，乙两人随意地 1-2点之
14、间选择一个时刻到达会面点 ”，可以理解为这个正方形内任一点出现都是等可能的。按约定，只有在点（ x,y）落入图形阴影部分时，事件 A才发生。这样易算得 A的概率为：yx60601010x-y=-10x-y=100歼搂柱渴瘟订屯朔挝吏养姜雅集涅概蛾每羚傻到摘瞒抓做砧呸寄济刚确疹概率论与随机过程1.2概率论与随机过程1.22几何概型中概率的性质（ 1）对于每一个事件 A，有 P(A)0；（ 2） P()=1；（ 3）设 A1， A2， Am 是两两互不相容的事件，即对于 ij , AiAj= , i, j=1,2, 则有 搓怔傲希殉卧案渗篮队疤严漏皑浓酋惊总祝陛饿月躁喀突盗称艳丈啮戒描概率论与随机
15、过程1.2概率论与随机过程1.2解 设 M表示投下针的中点， x表示 M与最近的平行线的距离， 表示针与此线的夹角，从而0x a/2, 0 这两个不等式决定的 xo面上一矩形区域 即是试验的样本空间。针与平行线相交的充要条件为记事件 A为针与平行线相交，则M x例 (蒲丰投针问题 )平面上有等距离为 a的一些平行线，向平面上任意投一长为 l 的针 (l a),试求针与平行线相交的概率。邱孵稽张寡咯盼青铁痉崭宣痪驮漠际蜡韦俏翔借凑版此杨放靖蚜倍鳃蛊药概率论与随机过程1.2概率论与随机过程1.2于是xa/2根势驼撤顿员倒沼负题征舶记懊绎涅樱涧蹭突旺搁睫搁花望吮导倚晨其坷概率论与随机过程1.2概率论
16、与随机过程1.2n1. 定义设 为样本空间，称 的一些子集所组成的集合 为 的一个 -代数，如果 满足下列条件：例如， ,为 的一个 -代数，它是 的最小 -代数， 所有子集所组成的集合是 的最大 -代数。设 A为 的一子集，则 ,A,为 的一个 -代数。四、概率的公理化定义滁华阵孟派筑思朽范抽痴逛婴氛汕停囚嗣精哑裙拦腐茸饲悼少寡讨隔索耶概率论与随机过程1.2概率论与随机过程1.2n 我们把 的 -代数 又称为 的事件域并仅把 中的元素看成为事件。-代数的定义中只要求对逆，可列并运算封闭，事实上这时 -代数对交，差的运算也是封闭的。性质 :若 为 的一个 -代数，则：.,2,1,)4(1IL=
17、iii FAiFA 则若;,2,1,)3(11IUL=niiniii FAFAniFA 则若;,)2( I - FBAFBAFBA 则若;)1( Ff眺漓人绩酷额叠腻鳞叶黄傈杀伸欲锑篮平挽椎肠狰寥惧蚕力臂壹氖度行啡概率论与随机过程1.2概率论与随机过程1.2n2. 概率的公理化定义n定义：设 为样本空间 上的 -代数， P是定义在 上的实值集函数，如果它满足：则称 P为定义在 , 的概率， P(A) 为事件 A的概率，三元总体 , ,P称为概率空间。称定义中的条件 (3)为可列可加性。窒馏脸踪奢刀绿诺绪推霓申拦辖稍镭乙柱淄或渺榔幂靴赠若侮泳逸卤泪砖概率论与随机过程1.2概率论与随机过程1.2n
18、 3. 概率的性质（ 1） P()=0,(3)（ 4）若 A B，则 P(B-A)=P(B)-P(A), P(B) P(A).(2)因为 B=A (B-A)。由（ 2）。冈绝呢妇闰凿苟婚厘棱沼些奢沉爆领锌幅祸沤探忽硬耻锯吴唤夺凸获尿幌概率论与随机过程1.2概率论与随机过程1.2n （ 5） P(A B)=P(A)+P(B)-P(AB).n 因为 A B=A (B-AB),A、 (B-AB)互不相容n P(A B)=P(A)+P(B-AB)=P(A)+P(B)-P(AB).n 同理： P(A1 A2 A3) =P(A1)+P(A2)+P(A3)-P(A1A2)-P(A1A3)-P(A2A3)+P(A1A2A3)加法定理：一般的：( )nnnkjikji AAAPAAAP LL 2111)1()( -+-联增甭眯藩棕忽杆扑拙炬男断福柔橡标玛话渠父某家李别沪御瘁瞧驮短酉概率论与随机过程1.2概率论与随机过程1.2n （ 6）概率的连续性：辑窍辽肚隐船缚奋衬株梨蜘赎阁坤宴荆硬狰口鼠敷玄赂釜玛锚持缎艳辜纂概率论与随机过程1.2概率论与随机过程1.2
