1、第八章 圆锥曲线的方程网络体系总览圆锥曲线椭 圆定 义双 曲 线定 义抛 物 线定 义标 准 方 程标 准 方 程标 准 方 程几 何 性 质几 何 性 质几 何 性 质作 图作 图作 图第 二 定 义第 二 定 义直 线 与 圆 锥 曲 线 的 位 置 关 系统一定义考点目标定位1.掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，了解椭圆的参数方程.2.掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质.3.掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质.4.能够根据具体条件利用各种不同的工具画椭圆、双曲线、抛物线的图形，了解它们在实际问题中的初步应用.5.结合所学内容，进一步加强对运动变化和
2、对立统一等观点的认识.复习方略指南本章主要内容有椭圆、双曲线、抛物线的定义，标准方程，简单几何性质.它们作为研究曲线和方程的典型问题，成了解析几何的主要内容，在日常生活、生产实践和科学技术上有着广泛的应用.因此在高考中，圆锥曲线成为命题的热点之一.分析近几年高考试题，有下面几个显著特点：1.注重双基 保持稳定圆锥曲线在题型、题量、难度等方面风格独特，每年的试卷中客观题 2 至 3 道，主观题 1 道，分值占全卷的 15%左右， “难、中、易”层次分明，既有基础题，又有能力题.2.全面考查 重点突出试题中，圆锥曲线的内容几乎全部涉及，考查的知识点约占圆锥曲线总知识点的四分之三，通过知识的重新组合
3、，考查学生系统掌握课程知识的内在联系，重点仍在直线与圆锥曲线的位置关系上.3.考查能力 探究创新试题具有一定的综合性，重点考查学生画图、数形结合、等价转换、分类讨论、逻辑推理、合理运算以及综合运用知识的能力.在今后的高考中，圆锥曲线仍将考查圆锥曲线的概念和性质、求曲线方程、直线和圆锥曲线的位置关系、解析几何中的定值最值问题.其中直线和圆锥曲线的位置关系仍是命题的热点，解析几何中的定值及最值问题也会有所加强.圆锥曲线内容的“应用性问题”和“探索性问题”将会出现在今后的高考中.学好本章的关键在于正确理解和掌握由曲线求方程和由方程讨论曲线的性质这两个问题.为此建议在学习中做到：1.搞清概念（对概念定
4、义应“咬文嚼字” ） ；2.熟悉曲线（会“速写”出符合题目数量特征要求的曲线） ；3.熟练运用代数、三角、几何、向量的知识；4.处理问题时要在“大处着眼” （即在整体上把握问题的综合信息和处理问题的数学思想） “小处着手” （即在细节上能熟练运用各种数学知识和方法）.8.1 椭圆知识梳理定义 1.到两个定点 F1、F 2 的距离之和等于定长（|F 1F2|）的点的轨迹2.到定点 F 与到定直线 l 的距离之比等于常数 e（0，1） ）的点的轨迹方程1. + =1（ab0） ，c= ，焦点是 F1（c ，0） ，F 2（c ，0）2xy2ba2. + =1（ab0） ，c= ，焦点是 F1（0，
5、c ） ，F 2（0，c ）2 2x=acos ，y=bsin性质E： + =1（ab0）2x1.范围：| x|a，|y| b2.对称性：关于 x，y 轴均对称，关于原点中心对称3.顶点：长轴端点 A1（a，0） ，A 2（a，0） ；短轴端点 B1（0， b） ，B 2（0，b）4.离心率：e= （0，1）c5.准线：l 1：x= ，l 2：x= c6.焦半径：P（x，y）Er1=|PF1|=a+ex，r 2=|PF2|=aex思考讨论 对于焦点在 y 轴上的椭圆 + =1（ab0） ，其性质如何？焦半径公式怎样推导？2yx点击双基1.（2003 年北京宣武区模拟题）已知 F1、F 2 是椭
6、圆 + =1 的两个焦点，过 F1 的162x9y直线与椭圆交于 M、N 两点，则MNF 2 的周长为A.8 B.16 C.25 D.32解析：利用椭圆的定义易知 B 正确.答案：B2.（2004 年湖北，6）已知椭圆 + =1 的左、右焦点分别为 F1、F 2，点 P 在椭圆162x9y上，若 P、F 1、 F2 是一个直角三角形的三个顶点，则点 P 到 x 轴的距离为3.参数方程 为参数A. B.3 C. D. 59 7949解析：由余弦定理判断P2，即 k0，00，n0） ，设 P（x 1，y 1） ，Q（x 2，y 2） ，解方程组y=x+1，mx2+ny2=1.消去 y，整理得（m
7、+n）x 2+2nx+n1=0. =4n24（m +n） （n1）0，即 m+nmn 0，OP OQ x1x2+y1y2=0，即 x1x2+（x 1+1） （x 2+1）=0 ，2x 1x2+（x 1+x2）+1=0， +1=0.m+ n=2. )(由弦长公式得 2 =（ ） 2，将 m+n=2 代入，得 mn= . 2)(4043m= ， m= ，2123n= n= . 31椭圆方程为 + y2=1 或 x2+ =1.x3y8.（2003 年南京市模拟题）设 x、yR ，i、j 为直角坐标平面内 x、y 轴正方向上的单位向量，若向量 a=xi+（y +2） j，b=xi+（y2）j ，且|a
8、|+| b|=8.（1）求点 M（x，y）的轨迹 C 的方程.（2）过点（0，3）作直线 l 与曲线 C 交于 A、B 两点，设 = + ，是否存在这OPAB解得 或样的直线 l，使得四边形 OAPB 是矩形？若存在，求出直线 l 的方程；若不存在，试说明理由.（1）解法一：a=xi+（y +2）j ，b=xi+（y2）j ，且|a|+|b|=8 ，点 M（x，y）到两个定点 F1（0，2） ，F 2（0，2）的距离之和为 8.轨迹 C 为以 F1、F 2 为焦点的椭圆，方程为 + =1.1x6y解法二：由题知， + =8，2)(yx2)(移项，得 =8 ，22)(两边平方，得 x2+（y +
9、2） 2=x2+（y2） 216 +64，22)(yx整理，得 2 =8y，)(两边平方，得 4x 2+（y 2） 2=（8y） 2，展开，整理得 + =1.16（2）l 过 y 轴上的点（ 0，3） ，若直线 l 是 y 轴，则 A、B 两点是椭圆的顶点. = + =0，OPP 与 O 重合，与四边形 OAPB 是矩形矛盾.直线 l 的斜率存在.设 l 方程为 y=kx+3，A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，y=kx+3，+ =1，12x6（21）0 恒成立，且 x1+x2= ，x 1x2= .348k234k = + ，四边形 OAPB 是平行四边形.若存在直线 l，使得四边
10、形 OAPB 是OPAB矩形，则 OAOB，即 =0.O =（x 1，y 1） ， =（x 2，y 2） ， =x1x2+y1y2=0，OAB即（1+k 2）x 1x2+3k（x 1+x2）+9=0，即（1+k 2）（ ）+3k（ ）+9=0，即 k2= ，得 k= .3423418k16545存在直线 l：y = x+3，使得四边形 OAPB 是矩形.5探究创新9.已知常数 a0，在矩形 ABCD 中，AB=4，BC=4 a， O 为 AB 的中点，点 E、F、G由 消 y 得（4+3k 2）x 2+18kx21=0.此时， =（18k 2）4（4+3k 2）分别在 BC、CD、DA 上移动
11、，且 = = ，P 为 GE 与 OF 的交点（如下图）.问是BCEDFAG否存在两个定点，使 P 到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由.O x yFA B C D G P E分析：根据题设条件首先求出 P 点坐标满足的方程，据此可判断是否存在两点，使得点 P 到两定点距离的和为定值.解：按题意，有 A（2，0） ，B（2，0） ，C （2，4a） ，D（2，4a）.设 = = =k（0k1） ，BCEDF由此有 E（2，4ak ） ，F（24k ，4a） ，G （2，4a4ak）.直线 OF 的方程为 2ax+（2k1）y=0. 直线 GE 的方程
12、为a（2k1）x+y2a=0. 由消去参数 k，得点 P（x ，y）满足方程 2a2x2+y22ay=0.整理得 + =1.22)(当 a2= 时，点 P 的轨迹为圆弧，所以不存在符合题意的两点.1当 a2 时，点 P 的轨迹为椭圆的一部分，点 P 到该椭圆焦点的距离的和为定长.当 a2 时，点 P 到椭圆两个焦点（ ，a） ， （ ，a）的距离之和为1 2121定值 .当 a2 时，点 P 到椭圆两个焦点（0，a ） ， （0，a+ ）的距离之1 2121和为定值 2a.评注：本题主要考查根据已知条件求轨迹的方法，椭圆的方程和性质，利用方程判定曲线的性质，曲线与方程关系等解析几何的基本思想和
13、综合解题能力.在解题过程中蕴涵着方程思想、分类讨论思想和构造法.思悟小结1.椭圆的定义是解决问题的出发点，尤其是第二定义，如果运用恰当可收到事半功倍之效（如关于求焦半径的问题）.2.要明确参数 a、b、c、e 的相互关系、几何意义及与一些概念的联系.灵活运用它们之间的关系可使问题顺利解决.3.椭圆参数的几何意义，如下图所示：（1）|PF 1|+|PF2|=2a， = =e；|1PMF|2（2）|A 1F1|=|A2F2|=ac ，|A 1F2|=|A2F1|=a+c；（3）|BF 2|=|BF1|=a，| OF1|=|OF2|=c；（4）|F 1K1|=|F2K2|=p= ，b|PM2|+|P
14、M1|= .cx y O F FP A A B111 21 222M MK K教师下载中心教学点睛本节的重点是椭圆的定义、方程、几何性质.难点是理解参数 a、b、c、e 的关系，及利用第二定义解决问题，关键是注意数形结合，函数与方程的思想，等价转化的运用.为此建议在教学中注意以下几点：（1）椭圆中有一个十分重要的三角形 OF1B2（如下图） ，它的三边长分别为 a、b、c.易见 c2=a2b 2，且若记OF 1B2= ，则 cos = =e.acx y Ol l a b cF FB11 222q（2）应理解椭圆是平面内到两个定点距离之和等于定长的点的轨迹，本质上，它与坐标系无关，而坐标系是研究
15、的手段.实际上，人们研究圆锥曲线的记录早于笛卡儿发明坐标系，从而椭圆本身所固有的性质并不依赖于坐标系，这些性质不因坐标系的选择而改变.例如上述的OF 1B2、公式 cos =e 等，均不因坐标系的改变而改变.（3）椭圆的定义中应注意常数大于|F 1F2|.因为当平面内的动点与定点 F1、F 2 的距离之和等于| F1F2|时，其动点轨迹就是线段 F1F2；当平面内的动点与定点 F1、F 2 的距离之和小于|F 1F2|时，其轨迹不存在.（4）椭圆标准方程中两个参数 a 和 b 确定了椭圆的形状和大小.两种标准方程中，总有 ab0；椭圆的焦点位置决定标准方程的类型；a、b、c 的关系是 c2=a
16、2b 2；在方程Ax2+By2=C 中，只要 A、B、C 同号，就是椭圆方程.（5）当题目中出现椭圆上的点与焦点的距离，焦点弦长相关时，常利用椭圆的第二定义，转化为点到准线的距离来研究，即正确应用焦半径公式.（6）使用椭圆的第二定义时，一定要注意动点 P 到焦点的距离与对应准线距离之比为常数 e.若使用的焦点与准线不是对应的，则上述之比就不再是常数了.拓展题例【例 1】 （2003 年太原市模拟题）如下图，已知OFQ 的面积为 S，且 =1.OFQF Q O（1）若 S2，求向量 与 的夹角 的取值范围；（2）设| |=c（c2） ，S= c，若以 O 为中心，F 为一个焦点的椭圆经过点 Q，
17、当|OF43|取最小值时，求椭圆的方程 .Q解：（1）由已知，得| | |sin（ ）= S，2F| | |cos =1.Otan =2S. S2，1tan 4.则 arctan4.4（2）以 O 为原点， 所在直线为 x 轴建立平面直角坐标系 .F设椭圆方程为 + =1（ab0） ，Q（x，y ）.2xy=（c，0） ，则 =（xc，y ）.FF | |y= c，y= .21O432又 =c（x c ）=1，x =c+ .Q1则| |= = （c 2）.2y49)(2可以证明：当 c2 时，函数 t=c+ 为增函数，1当 c=2 时，| |min= = ，OQ49)21(3此时 Q（ ， ）
18、.将 Q 的坐标代入椭圆方程，53+ =1， a2=10，24a9b得 解得a2b 2=4. b2=6.椭圆方程为 + =1.10x62y【例 2】 （2002 年春季全国）已知某椭圆的焦点是 F1（4，0） 、F 2（4，0） ，过点F2，并垂直于 x 轴的直线与椭圆的一个交点为 B，且F 1BF 2B10椭圆上不同的两点 A（x 1， y1） 、C（x 2，y 2）满足条件：F 2A、 F2B、F 2C成等差数列.（1）求该椭圆的方程；（2）求弦 AC 中点的横坐标；（3）设弦 AC 的垂直平分线的方程为 ykxm ，求 m 的取值范围.yxF F1 2ABBCO（1）解：由椭圆定义及条件
19、知2aF 1BF 2B10，得 a5.又 c4，所以 b 32ca故椭圆方程为 15x9y（2）解：由点 B（4，y B）在椭圆上，得F 2By B 59方法一：因为椭圆右准线方程为 x ，离心率为 454根据椭圆定义，有F 2A （ x 1） ，F 2C （ x 2） 5由F 2A、F 2B、F 2C成等差数列，得（ x 1） （ x 2）2 545459由此得出 x1x 28设弦 AC 的中点为 P（x 0，y 0） ，则 x0 4方法二：由F 2A、F 2B、F 2C成等差数列，得 211)4(yx2 ， 2)4(yx59由 A（x 1，y 1）在椭圆 1 上，得 y12 （25 x 1
20、2） ，2xy59所以 =211)4()(6811 （254x 1）. 21)5(x同理可得 （254x 2） 22)4(yx51将代入式，得 （254x 1） （254x 2） 518所以 x1x 28设弦 AC 的中点为 P（x 0，y 0） ，则 x0 421（3）解法一：由 A（x 1，y 1） ，C（x 2，y 2）在椭圆上，得9x1225y 12925， 9x2225y 22925 由得 9（x 12x 22）25（y 12y 22）0，即 9（ ）25（ ） （ ）0（x 1x 2）.121将 x 0=4， y 0， （k 0 ）代入上式，得212121xy9425y 0（ ）0
21、（k 0） 由上式得 k y0（当 k0 时也成立）.365由点 P（4，y 0）在弦 AC 的垂直平分线上，得 y04km，所以 my 04ky 0 y0 y09216由 P（4，y 0）在线段 BB（ B与 B 关于 x 轴对称）的内部，得 y 0 .59所以 m 516评 述 ： 在 推 导 过 程 中 ， 未 写 明 “x1 x2”“k 0”“k 0 时 也 成 立 ”及 把 结 论 写 为“ m ”也 可 以 .解法二：因为弦 AC 的中点为 P（4，y 0） ，所以直线 AC 的方程为 yy 0 （x4） （k0）. 1将代入椭圆方程 + 1，得25x9（9k 225）x 250（ky 04） x25（ky 04） 2259k 20所以 x1x 2 8)(ky解得 k y0（当 k0 时也成立） .365以下步骤同解法一.
