1、4.2 两角和与差、二倍角的公式（一）知识梳理1.C（ + ） 的推导角 的始边为 Ox，交单位圆于 P1，终边 OP2交单位圆于 P2，角 的始边为 OP2，终边交 单 位 圆 于 P3， 角 的 始 边 为 Ox， 终 边 交 单 位 圆 于 P4， 由 | |=| |， 得3142 cos（ + ） 1 2+sin2（ + ）=cos （ ）cos 2+sin（ ）sin 2.xyOab-bPPPP 2143cos（ + ）=cos cos sin sin .2.S（ ） 、C （ ） 、T （ ） 以及推导线索（1）在 C（ + ） 中以 代 即可得到 C（ ） .（2）利用 cos（
2、 ）=sin 即可得到 S（ + ） ；再以 代 即可得到2S（ ） .（3）利用 tan = 即可得到 T（ ） .cosin说明：理清线索以及各公式间的内在联系，是记忆公式的前提.只有这样才能记牢公式，才能用活公式.点击双基1.（2004 年重庆，5）sin163 sin223+sin253sin313等于A. B. C. D.21212323解 析 ： 原 式 =sin17（ sin43） +（ sin73） （ sin47）= sin17sin43+cos17cos43=cos60= .1答案：B2.（2005 年春季北京，7）在ABC 中，已知 2sinAcosB=sinC，那么AB
3、C 一定是A.直角三角形 B.等腰三角形C.等腰直角三角形 D.正三角形解析：由 2sinAcosB=sinC 知 2sinAcosB=sin（A+B） ，2sinAcosB =sinAcosB+cosAsinB.cos AsinBsinAcosB=0.sin（BA）=0.B=A.答案：B3. 的值是70sin21co2A. B. C. D.212332解析：原式= 70sinico）（= = = .i20sin330s）（ cos203答案：C4.已知 （0， ） ， （ ，） ，sin（ + ）= ，cos = ，则226515sin =_.解析：由 0 ， ，得 + .23故由 sin（
4、 + ）= ，得 cos（ + ）= .65365由 cos = ，得 sin = .112sin =sin（ + ） =sin （ + ）cos cos（ + ）sin = （653）（ ） = .1356513284507答案： 84075.ABC 中，若 b=2a，B=A+60，则 A=_.解析：利用正弦定理，由 b=2a sinB=2sinA sin（A+60）2sinA=0 cosA3sin A=0 sin（30A）=0 30A =0（或 180）3A=30.答案：30典例剖析【例 1】 设 cos（ ）= ，sin（ ）= ，且 ，0 ，2912322求 cos（ + ）.剖析：
5、=（ ）（ ）.2依上述角之间的关系便可求之.解： ，0 ， ， .24242故由 cos（ ）= ，得 sin（ ）= .29195由 sin（ ）= ，得 cos（ ）= .323cos（ ）=cos（ ）（ ） = = .2275cos（ + ）=2cos 2 1= .7293评述：在已知角的某一三角函数值而求另外一些角的三角函数值时，首先要分析已知和要求的角之间的关系，再分析函数名之间的关系.其中变角是常见的三角变换.【例 2】 （2000 年春季京、皖）在ABC 中，角 A、B、C 对边分别为 a、b、c.证明： = .2cbaCBAsin）（剖 析 ： 由 于 所 证 结 论 是
6、三 角 形 的 边 、 角 关 系 ， 很 自 然 地 使 我 们 联 想 到 正 弦 定 理 、 余 弦 定 理 .证明：由余弦定理 a2=b2+c22bccosA，b 2=a2+c22accosB，a 2b 2=b2a 22bccosA +2accosB，整理得 = .cos依正弦定理有 = ， = ， = = .Csincbsi2cbaCAAsincosciCBin）（ 评述：在解三角形中的问题时，首先应想到正余弦定理，另外还有A+B+C=，a+ bc，ab AB sinAsinB 等.【例 3】 已知 、 、 （0， ） ，sin +sin =sin ，cos +cos =cos ，求
7、2 的值.剖析：由已知首先消去 是解题关键.解：由已知，得 sin =sin sin ，cos =cos cos .平方相加得（sin sin ） 2+（cos cos ） 2=1.2cos（ ）=1.cos（ ）= . = .13sin =sin sin 0， . = .3评述：本题极易求出 = ，如不注意隐含条件 sin 0，则产生增根.因此求3值问题要注意分析隐含条件.闯关训练夯实基础1.（2004 年上海，1）若 tan = ，则 tan（ + ）=_.214解析：tan（ + ）= = =3.44tan1t12答案：32.要使 sin cos = 有意义，则应有3m6A.m B.m1
8、7C.m1 或 m D.1m 3 37解析：2sin（ ）= sin（ ）= .3m463m42由1 1 1m .4237答案：D3.（2004 年福建，2）tan15+cot15等于A.2 B.2+ C.4 D. 34解析一：tan15+cot15= + = = =4.15cosini 15sincoi22 0sin解析二：由 tan15=tan（4530）= = = .30tan45t113原式= + =4.3答案：C4.在ABC 中，若 = ，则ABC 的形状为_.2baBAtn解 析 ： 左 边 利 用 正 弦 定 理 ， 右 边“切 变 弦 ”， 原 式 可 化 为 = =BA2si
9、nsincoBAiABcossin2A=sin2B 2A=2B 或 2A=2B A=B 或 A+B= .2答案：等腰三角形或直角三角形5.（2004 年湖南，17）已知 tan（ + ）=2，求 的值.42cossin1解：由 tan（ + ）= =2，得 tan = .4tan131于是 = = = = .2cossin222cositan2132）（6.已知 cos = ，cos（ + ）= ， 、 （0， ） ，求 .7114解：由 cos = ，cos（ + ）= ，得 cos =cos（ + ） = ，21得 = .3培养能力7.已知 sin（ x ）= ，0 x ，求 的值.413
10、54）（ xcos2分析：角之间的关系：（ x）+（ +x）= 及 2x=2（ x） ，利用余角间的4三角函数的关系便可求之.解：（ x）+（ +x）= ，cos（ +x）=sin（ x）.424又 cos2x=sin（ 2x ）=sin2 （ x ）=2sin（ x）cos（ x） ，4 =2cos（ x）=2 = .）（ 4cos4138.已知 sin =msin（2 + ） （m 1） ，求证：tan （ + ）= tan .m1证明：sin =msin（2 + ） ，sin（ + ） =msin（ + ）+ .sin（ + ）cos cos（ + ）sin =msin（ + ）cos
11、+mcos（ + ）sin .（1m）sin（ + ）cos =（1+m）cos（ + ）sin .tan（ + ）= tan .19.（2005 年北京西城区抽样测试）已知 sin2 = ， （ ， ）.53423（1）求 cos 的值；（2）求满足 sin（ x ）sin（ +x）+2cos = 的锐角 x.10解：（1）因为 ，所以 2 3.45235所以 cos2 = = .sin14由 cos2 =2cos2 1，所以 cos = .10（2）因为 sin（ x ）sin（ +x）+2cos = ，所以 2cos （1sinx）= .所以 sinx= .102因为 x 为锐角，所以
12、x= .6探究创新10.sin +sin = ，求 cos +cos 的取值范围.2解：令 t=cos +cos ， sin +sin = ， 2+ 2，得 t2+ =2+2cos（ ）.12cos（ ）=t 2 2，2.3t ， .14思悟小结1.不仅要能熟练推证公式（建议自己推证一遍所有公式） 、熟悉公式的正用逆用，还要熟练掌握公式的变形应用.2.注意拆角、拼角技巧，如 =（ + ） ，2 =（ + ）+（ ）等.3.注意倍角的相对性，如 3 是 的倍角.24.要时时注意角的范围的讨论.教师下载中心教学点睛1.本节公式多，内在联系密切，建议复习时，要使学生理清公式间的推导线索，让学生亲自推
13、导一下 C（ + ） .2.公式应用讲究一个“活”字，即正用、逆用、变形用，还要创造条件应用公式.如拆角、拼角技巧等，要注意结合题目使学生体会其间的规律.拓展题例【例 1】 已知 a=（cos ，sin ） ，b=（cos ，sin ） ， （ab）.求证：（a+b）（ab）.分析：只要证（a+b）（ab）=0 即可.证法一：（a+b）（ab）=|a| 2| b|2=11=0，（a+ b）（ab）.证 法 二 ： 在 单 位 圆 中 设 =a， =b， 以 、 为 邻 边 作 OACB， 则 OACB 为 菱 形 .OABOABxy AOBC .OCBA =0，即（a+b）（ab）=0.（a+b）（ab）.【 例 2】 、 （ 0， ） ， 3sin2 +2sin2 =1， 3sin2 2sin2 =0 ， 求 +2 的值.解：由得 3sin2 =12sin 2 =cos2 .由得 sin2 = sin2 .3cos（ +2 ）=cos cos2 sin sin2=3cos sin2 sin sin2 =0.2 、 （0， ） ， +2 （0， ）.23 +2 = .2
