1、12011 年三升四暑假班讲义欢迎大家参加孙老师的暑假数学班，这几天我们将一起度过，希望大家能跟着老师的节拍，愉快地度过每一天。老师与你们是知心朋友，喜欢爱提问的孩子。无论你以前的数学功底如何，只要从现在开始努力，都会有美好灿烂的一天。从现在开始，不管遇到什么样的题目，有不懂的一定要问，千万别模糊不清地让它溜走。讲义上的每道题都要认真思考，题题过关。良好的生活习惯，有益于身体健康；良好的学习习惯，有利于取得好的学习成绩，有利于今后的独立学习和工作。下面谈谈该养成怎样良好的数学学习习惯：1、主动预习每天主动地把第二天要学的内容先看一看、想一想，对不理解的地方先思考一番，并作上记号。这样带着问题进
2、课堂，有利于培养学习的兴趣和自学探索能力。2、认真听讲课堂上不仅要专心听老师的讲解和提问，还要专心听同学的回答。边听边思考，并对同学的回答进行评价和补充。3、阅读课本阅读数学课本要逐字逐句地读，包括课本中的插图，示意图及文字说明，都要边读边想，抓住重点注重理解。阅读数学课本可以进一步加深理解数学知识，提高阅读能力。4、独立作业按时独立完成每天的作业，是最基本的学习习惯。作业要独立完成，做题要认真审题。弄清条件和问题，做完后要验算，发现错误立即纠正。5、手脑并用俗话说：百闻不如一见，百见不如一干。学数学要学会演示实验，自己操作，手脑并用，养成画一画，摆一摆，剪一剪，拼一拼等习惯，这样，不但可以更
3、好地理解数学知识，还有利于提高数学技能技巧。6、质疑问难要想获得数学知识，在学习过程中，必须开动脑筋，独立思考，敢于发表自己的独立见解，也要敢于质疑问难。7、及时总结每一次考试，每一次作业，针对自己的错误，用红笔圈出，认真思考当时自己错误的思路是什么，为什么犯错，做到“考后 100 分” 。8、保存好讲义知识是需要回顾的，曾经学得很好的章节也会遗忘，所以请保存好讲义，便于查看。下学期每上一个章节，请拿出讲义看一看，尤其是概念和自己曾经做错的题。2第一讲：除法1、 本单元的口算除数包括除数是整十数（商是一位数） 、两位数除以一位数（商是两位数）以及简单的两位数除以两位数。这些口算有不同的方法，大
4、家可以灵活运用。例如：9030，可以想 303=90，所以 9030=3；也可以想 93=3，所以 9030=3。2、 三位数除以两位数的竖式计算是非常重要的内容。试商时，我们可以用“四舍五入”的方法把除数看作是与它相接近的整十数来试商。在试除的过程中还要根据情况不断地调整商的大小。例如：86432 可以把 32 看成 30 来试商；89319 可以把 19 看成20 来试商。3、 计算除法是一定要牢记余数必须比除数小。可以用乘法验算除法计算是否正确， “商除数=被除数”或“商除数+余数=被除数” 。4、 “同头无除商八、九”是指被除数与除数首位上的数相同（俗称“同头” ） ，但被除数第二位上
5、的数小于除数第二位上的数，不够商 1（俗称“无除” ） ，那就可以在下一位上用 8 或 9 试商。例如：23926，53255，21524。5、 “除数折半商四、五” ，是指当被除数的前两位数与除数的一半十分接近的时候，就可以在下一位上用 4 或 5 试商。例如：33068，25248，36574。一、用竖式计算(带的题要验算)61063= 183 38= 32925= 864040=二、填空1、被除数与除数都是 16，商是 ；除数与商都是 16，被除数是 。2、37434 的商是 位数，试商可以把 34 看作 来试商，这时商会偏 ；26428 的商是 位数，试商可以把 28 看作 来试商，这
6、时商会偏 。3、 除以 23，商与余数都是 12。4、 3421 ，余数最大是 ，这时被除数是 。5、 个 14 是 112,368 是 23 的 倍。6、从 522 里连续减去 个 29，结果是 0。7、49 4 3 ，当 内填 时商的末尾有 0。38、360 分 时 780 秒 分624 时 天 60 分 秒 240 分（ ）时 96 个月（ ）年 48 时（ ）日200 秒（ ）分（ ）秒 450 分（ ）时（ ）分9、已知 78326，把被除数与除数同时扩大 10 倍，商是 。10、 7229，要使商是一位数， 内最大填 ，要使商是两位数， 内最小填 。11、已知 ， 150。 。12
7、、被除数与除数的和是 750，商是 24，被除数是 。13、要使5839 的商是一位数，里最大可以填（ ），要使5839 的商是二位数，里最小可以填（ ）。14、小明在计算一道乘法计算时,由于粗心, 把乘数 32 看成了 23,结果得到的积是 207,正确的积是（ ） 。15、小马虎在计算除法时，把除数 36 错当成了 63，结果得到商 14，余数是 8，如果你帮小马虎订正，正确的结果是( )。16、若 AB=5，说明 A 是 B 的（ ）倍。如果 AB216，则 A（ ） B（ ）。17、康星花园每上一层楼要走 18 级台阶，从一楼到小燕家要走 90 级台阶，她家住（ ）楼。18*、1125
8、,要使商的十位上是 2,里可以填( );1 824,要使商是 4,里可以填( );4634,要使商的个位上是 4,里可以填( )。三、判断。1、三位数除以两位数，商可能是两位数，也可能是一位数。 （ ）2、 2410 ，被除数最大是 249。 （ ）43、如果被除数的末尾有 0，商的末尾也一定有 0。 （ ）4、A16 的商一定比 A24 的商大。 （A 是一个非零的自然数） （ ）5、140 人乘座 40 座的大客车去参观，至少需要 4 辆这样的大客车。( )四、选择1、把除数 54 看作 50 来试商，商（ ）A 可能偏大 B 可能偏小 C 可能偏大，也可能偏小 2、90030 的商的末尾
9、有（ ）个 0。A、0 B、1 C、2 3、除法试商时，如果余数比除数大，应把商（ ） 。 A、改小 B、改大 C、不变4*、 * 26421 ，被除数里的 可以填的数有（ ）种情况。A、3 B、4 C、5 D、6 五、解决问题1、张大爷家养了 64 只鸡，一个星期共生蛋 384 只，平均每只鸡一个星期可生蛋多少只？2、如图，小明从家到公园要 15 分钟，如果他用同样的速度从家到学校要多长时间？3、一个工程队要修一条长 980 米的公路，已经修了 15 天还剩下 50 米没修，平均每天修多少米？4、大桥小学去年四个季度用水情况统计如下表：季度 第一季度 第二季度 第三季度 第四季度用水量（吨）
10、 189 204 351 156这个小学去年平均每个月用水多少吨？5、学校有一个长方形的苗圃，面积为 560 平方米，已知它的长是 35 米，它的宽是多少米？周长是多少米？小明家公园学校750m900m5第二讲：角基本概念：1、 一条线段有两个端点，长度是有限的。把线段的一端无限延长就得到了一条射线。两端都延长就得到了一条直线。射线和直线的长度都是无限的。线段和射线都是直线的一部分。连结两点的线段的长度叫做这两点间的距离。2、 从一点起画出两条射线，就可以组成一个角。角的大小与边的长短无关，只与两条边叉开的大小有关。角的大小可用量角器去量，计量的单位是“度” ，即“” 。量角的度数时，要使量角
11、器的中心点与端点重合，零刻度线与角的一条边重合，角的另一条边所对的度数就是所量角的度数。3、 角按其大小可分为锐角、直角、钝角、平角、周角、大小关系如下：锐角直角钝角平角周角一、 想想填填：1、角的计量单位是（ ） ，这个计量单位用符号表示是（ ） 。2、一条射线，绕它的端点点旋转一周所成的角是（ ） ，它是（ ）度。3、角的两条边在一条直线上，这时这个角是（ ） ，4、一个锐角和一个直角的和是（ ） 。5、2 时整，钟面上时针和分针所成的角是（ ） ， （ ）度。6、两个角的和是 180，其中一个角是锐角，另一个角是（ ） 。7、要使 3673的商是两位数，里最大可填（ ） ；要使这道算式的
12、商是一位数，里的数最小要填（ ） 。8、一共有 73 枚 1 元的硬币，换成 10 元一张的纸币，最多能换（ ）张，如果换成 20 元一张的纸币，最多能换（ ）张。9、把线段的一端无限延长，就得到一条（ ） ，把线段的两端（ ） ，就得到一条（ ） 。经过一点能画（ ）条直线，经过不在一条直线上的 4 点可以画（ ）条直线。10、1 平角（ ）度，1 周角（ ）度，1 周角（ ）平角（ ）直角二、请你做裁判： 1、李新说：平角就是一条直线，周角就是一条射线。 （ ）2、一个 60的角，用一个 5 倍的放大镜看是 300。 （ ）3、角有大小与两边的长短有关。 （ ）4、在除法算式中，商乘除数不
13、一定等于被除数。 （ ）5、直角一定比两个锐角的和大。 （ ）6、射线和直线都是无限长的。 （ ）7、过两点只能画一条直线。 （ ）68、用 10 倍的放大镜看一个 30 度的角就变成了 300 度的角。 （ ）9、大于 90 度的角都是钝角。 （ ）10、小超画了一条 4 厘米长的直线。 （ ）三、认真选择：1、在一个直角三角形中，其中一个锐角是 60，另一个锐角是（ ） 。A 、30 B 、60 C 、90 D、452、经过三点可以画（ ）条直线：A、4 条 B、3 条 C、1 条 D、1 条或 3 条。3、钟面上的分针从 3 走到 9 处，所形成的角是（ ）A、60 B、120 C、15
14、0 D、1804、钟面上 3 点半时，时针和分针所形成的角是（ ） ，9 点半时，时针和分针形成（ ） ；6 点半时，形成（ ） ；9 时整时形成（ ） 。A、直角 B、锐角 C、钝角 D、平角5、三根直的小棒最多可以拼（ ）个直角。A、2 个 B、8 个 C、10 个 D、3 个四、操作题。谁的风筝飞得高?周末思思和齐齐相约去放风筝,如果放风筝的线一样长,怎样才能知道谁放得高呢?思思 齐齐五、实践与探索：1、图 形名 称度 数72 2 1 ( )6431=（ ） 2= （ ） 3= （ ） 3、图形 N 边形内角和（所有角的总和）180边的条数4、 （1）经过一点可以画多少条直线? （2）经
15、过二点可以画多少条直线? (3)经过 3 个点中的每两个点画一条直线,最多可以画多少条?经过 4 个点中的每 2 个点呢?5 个点呢?(任意3 个点都不在同一条直线上)先画一画,再填在表格里,看看有什么规律?2、在一张长方形纸上按要求画直线。观察：画 1 条直线，长方形纸最多被分为 个部分；画 2 条直线，长方形纸最多被分为 个部分；点数 2 3 4 5 直线条数8画 3 条直线，长方形纸最多被分为 个部分；画 4 条直线，长方形纸最多被分为 个部分； 画 n 条直线，长方形最多被分为 n(n+1)2+1 个部分。第三讲：混合运算基本概念：1、 在一道混合运算的式子中，如果有乘法（或除法） ，
16、又有加法（或减法）运算，要按照先算乘、除法，再算加、减法的顺序去做。2、 如果一道混合运算的式子中包含有小括号，我们应该先做小括号里的算式，再算小括号外的算式。3、 当我们面临一些实际问题应该分析清楚题中的数量之间的关系，选择合适的运算方法列式进行计算。4、 三位数乘两位数与两位数乘两位数的方法类似，先要用两位数个位上的数乘三位数，再用两位数十位上的数乘三位数，然后把两次乘得的积相加。计算乘法末尾有 0 的乘法，可以先把 0 前面的数相乘，再根据两个乘数末尾一共有几个 0，就在乘得的数的末尾添上几个 0。一、认真思考，仔细填写：1、 根据要求，给算式添上括号：（1）先加，再减 2853667
17、（2）先加，再除 8017050（3）先减，再乘 418015 （4）先乘，再除 240420（5）先加，再除 7602715 （6）先加，再除 45030152、将下列分步算式合并成一道综合算式。7826=3 35050=400 3015=450 514=709012=78 252=50 45050=9 49070=73、在下面的里填上“” “”或“” 35207035+2070 8102781093 45095450（95） 365-（65+38）36565388052480（524） 130（8317）1308317720（94）72094 3651536（515）4、一本书，李明每天看
18、 25 页，14 天可以看完。如果每天看 35 页，可以看天；如果 7 天看完，每天看 页。95、东东在计算 1205 时，把运算顺序弄错了，结果得到 500。这道题的正确得数是 。6、在横线上写出每道算式所求的问题。食堂运来 40 袋大米和 30 袋面粉，每袋大米和面粉是 25 千克。 2540： ？ 40+30 ： ？ 25（40+30）： ？二、比一比，赛一赛： 1951266 132（328） 1568177 （15030）8 8001630 （10212）8三、解决实际问题：1、一张桌子 53 元，一张椅子 22 元。 四（2）班有 36 名学生，陈老师至少要带多少钱才能让四（2）班
19、每人有一套桌椅？ 陈老师带了 528 元，如果只买课桌，最多可以买多少张？只买椅子呢？2、东方小区新建的楼房一共住了 300 户人家。楼房每幢有 5 层，每层有 10 户，你知道新建了几幢楼房吗？（用两种不同的方法解答）3、一桶油，连桶共重 72 千克，倒出一半油后，连桶共重 37 千克。桶重多少千克？桶中原有油多少千克？4、大统华新上市一种碳酸饮料，3 瓶要 15 元，而且这几天搞促销， “买十送一” 。那么四（3）班 35 个同学，每人发一瓶，至少要用多少钱？105、江老师买一张光盘用去 26 元，买 5 张软盘用去 75 元。一张软盘比一张光盘便宜多少元？五、探索。先计算出前三道题的结果
20、，找出规律，再根据发现的规律在后面的括号里填上适当的数。1+1219=（ ） ； 2+2329=（ ） ； 3+3439=（ ） ；（ ）+（ ）9=4090；（ ）+565 （ ）=（ ） ；8+（ ） 9=（ ） 。第四讲：平行和相交基本概念：1、 平行和相交是同一平面内两条直线的位置关系。在同一平面内的两条直线不是平行就是相交。它们的位置关系可以用下图表示：同一平面内的两条直线有两种情况：平行或相交，相交又分为斜交和垂直。2、 同一平面内的两条直线不相交时，这两条直线就是相互平行。3、 两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直，其中一条直线是另一条直线的垂线，两条直线的交点叫做垂足。点到
21、直线的距离是指点到直线所作的垂直线段的长度。二、操作题：1、经过 A 点画出已知直线的平行线， 2、以下面的线段为一条边，画一个正方形。再画出它的垂线。 .A .3、画一画，想一想。（1）在同一个平面内，有两条直线和同 （2）在同一个平面内，有两条直线和同一条直线平行，这两条直线是什么关系？ 一条直线垂直，这两条直线是什么关系？114、三只蚂蚁举行跑步比赛,要从操场的一边跑到操场的另一边。如果它们分别从 A、B、C 三点起跑,裁判员将终点定在 D 点公平吗?你能画出三只蚂蚁合理的起跑路线吗?AD第五讲：找规律（植树问题）基本概念：在一定长度的线路上，等距离地安排若干个植树点，植树的棵树与段数之
22、间存在着某种关系，研究这种数量关系的问题通常被称为“植树问题” 。研究植树问题要弄清四个主要概念：总距离（全长）：在一条路上植树，植树路线的全长。棵距：相邻两棵树之间的距离。棵数：植树的总棵树。段数：每相邻的两棵树之间的距离叫做一段，有多少个这样的一段距离叫做段数。 全长=棵距 段数 段数= 全长棵距 棵距=全长段数解题的基本思路：1、仔细审题，画出线段图2、判断是哪种类型，弄清棵数与段数之间的关系。3、列算式，解答。植树问题一般分两种情况：一、 在直线或不封闭曲线上的植树问题，又叫开路植树问题。有 3 类：1、 一端植树，另一端不植树：棵树=段数全长=棵距 棵数 棵数= 全长棵距 棵距= 全
23、长棵数2、 两端都要植树： 棵数=段数+1全长=棵距 棵数 棵数= 全长棵距+1 棵距 =全长（棵数1）符合这种情况有爬楼梯和敲钟。3、 两端都不植树： 棵数=段数1全长=棵距 （棵数+1 ） 棵数=全长棵距1 棵距=全长（棵数+1）符合这种情况有剪绳子、锯木头问题（剪、锯的次数相当于棵数） 。二、 在封闭路线上的植树问题，又叫闭路植树问题。圆、正方形、长方形、闭合曲线等上面植树，因为头尾两端重合在一起，所以种树的棵数等于分成的段数。这类问题植树的棵数类似于不封闭路线中只有一端植树的情况。即棵数=段数=总距离 棵距正方形四周植树，如果角上植树，栽树数为（每边棵树1）4，如果角上不植树，栽树数为
24、每边棵树4。（一） 求棵树1、有一条 800 米的公路，在公路的一侧从头到尾每隔 20 米栽一棵杨树，需多少棵杨树苗？BC122、小红家门口到公路边有一条小路长 600 米，小红要在小路一旁每隔 3 米栽一棵树，计划家门口不栽，一共要栽多少棵树？ 3、在相距 50 米的两楼之间栽一排树，每隔 5 米栽 1 棵数，共可栽多少棵？ 4、在一条长 50 米的跑道两旁，从头到尾每隔 5 米插一面彩旗，一共插了多少面彩旗？5、一个车队长 205 米，每辆车长 5 米，两车之间相隔 15 米，这个车队共有多少辆车？（二） 求棵距1、红领巾公园内一条林荫大道全长 800 米，在它的一侧从头到尾等距离地放着
25、41 个垃圾桶，每两个垃圾桶之间相距多少米？ 2、一条公路长 500 米，在路的一边栽树，起点和终点是站牌不用栽，一共在了 19 棵树，每隔几米栽一棵？ 3、公园有一条道路长 200 米，在路的两旁从头到尾等距离地栽种菊花，共栽了 82 棵菊花，每两棵菊花之间相距多少米？ 4、一座桥有 10 个桥洞，从第一个桥洞到第 10 个桥洞全长 140 米，相邻两个桥洞之间间隔10 米，平均每个桥洞长多少米？ 13（三） 求全长1、在一条大道的一侧从头到尾每隔 15 米竖一根电线杆，共用电线杆 86 根，这条大道全长多少米？ 2、街心公园一条直甬道的一侧有一端原栽种着一株海棠树，现每隔 12 米栽一棵海
26、棠树直到路尾，共用树苗 25 棵，这条甬道长多少米？3、在一条公路上两侧每隔 16 米架设一根电线杆，共用电线杆 52 根，这条公路全长多少米？4、步行街的两边对称地摆设了一些长椅供行人休息，从街头到街尾共有 24 把长椅，每把椅子长 2 米，每两把椅子之间都相距 20 米。问这条步行街有多长？ 5、同学们排队做早操，每排有 10 个人，每两个人之间相隔 2 米。问每排的长度有多少米？（四）封闭图形1、一个圆形池塘，它的周长是 300 米，每隔 5 米栽种一棵柳树，需要树苗多少株？2、在一个正方形场地周围种树，四个顶点都种了 1 棵，这样每边都种有 4 棵，四周共种了多少棵树？3、一个圆形养鱼
27、池塘全长 200 米，现在池塘周围种上杨树 25 棵，隔几米种一棵才能都种上？4、一圆形花坛，在它的周围每隔 2 米栽一棵月季花，共栽 30 棵，花坛的周长是多少米？145、一个湖泊的周长是 2400 米，沿湖的周围每隔 8 米栽一棵柳树，每两棵柳树中间栽一棵桃树。湖的周围各栽了多少棵柳树和桃树？ （五）锯木头和剪布1、有一根木料，打算把每根锯成 3 段，每锯开一处，需要 5 分钟，全部锯完需要多少分钟？ 2、有三根木料，打算把每根锯成 4 段，每锯开一处，需要 3 分钟，全部锯完需要多少分钟？3、一根木材，锯成 4 段用 6 分钟，另外有同样的一根木材以同样的速度锯，18 分可锯多少段？锯成
28、 8 段要多少分钟？ 4、校办工厂制作校服，裁缝师傅把一匹布每 5 米剪下一段，剪了 10 次刚好剪完，这匹布有多长？（六）爬楼梯和敲钟。所走的台阶数=每层楼梯的台阶数（所到达的层数起点的层数）1、业务员小李爬一层楼要 18 秒，他爬到 4 楼需要几秒？2、业务员小李要到六楼联系工作，他从 1 楼到 4 楼用了 54 秒，照这样计算，小李走到 6 楼还需要几秒？ 3、一幢楼房每上一层要走 20 级台阶，花花回家要走 60 级台阶，花花家住几楼？ 4、小明上楼的速度是奶奶的 2 倍，奶奶从一楼到四楼要 6 分钟，那么小明从一楼到六楼要多少分钟？155、挂钟 6 点钟敲 6 下，10 秒敲完，那么
29、 9 点钟敲 9 下，几秒敲完？6、 公交车站每隔 6 分钟发出一班车，1 小时要发车多少次？ 第六讲：观察物体我们生活的世界丰富多彩。由于我们的视角不同，同一个物体观察的结果也是不同的。你能想象一下从 10 层楼上的一个窗户向下看，平时我们常见的汽车、树木等各是什么样的吗？这一章节比较简单，注意分清正面、上面、左右侧面。第七讲：运算律基本概念：1、 本单元学习加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律。运算 名称 字母公式 举例交换律 a+b=b+a 7+8=8+7加法结合律 (a+b)+c=a+(b+c) （19+73） +27=19+（ 73+27）交换律 ab=ba 95=59乘法
30、结合律 (ab)c=a(bc) （214）25=21（425）2、 运用上面的运算律可以使一些计算简便。在简便时要遵循“凑整”的思想。例如：172+228 就可以凑成整百数 400，425 就可以凑成整百数 100。在运算律保证正确的前提下，类似于这样能凑成整十、整百、整千的数尽量地先进行计算。简便运算：763+549+237 726+198-126 8915 162512524 780（44-18） 25（47） 25+26+27+28+2916135-204+665 543-149-111-40 2532125 251964125第八讲 解决问题的策略基本概念：1、 列表是我们解决问题的一
31、种常用策略。这种方法是要对给出的条件进行整理和分析。要抓住题中所包含的不变数量进行分析，例如一辆汽车的速度是每小时 60 千米，就是这辆汽车每小时都按 60 千米行驶。2、 这类问题一般被称为归一问题。归一问题中是要抓住单一量，如 5 张光盘 80 元，每张光盘就是 16 元，这就是单一量；归总问题是要抓住总量，如每行站 24 人，正好可以站 40 行，说明总人数有 960 人，这就是总量。简单的归一问题1、超市加工面包，5 天加工 400 千克，照这样计算，30 天可加工面包多少千克？加工 4800千克面包要多少天？2、三辆汽车一个月用油 1800 升，5 辆汽车 6 个月用汽油多少升？现有
32、 36000 升汽油，够多少辆汽车用 3 个月？3、4 个人 10 天修公路 840 米，照这样算，20 人要修 4200 米，要用多少天？4、工程队修一段路，6 个人 45 天完成，如果增加 9 人，需要多少天完成？175、要加工 1800 个零件，原计划用 10 人 12 天加工完，如果增加 2 人，几天能加工完？6、要加工 36300 件大衣，30 个人 10 天完成了 13200 件，其余的要求在 15 天内完成，要增加多少人？复杂的归一问题1、一块麦田，28 人 25 天可以收割完，收割 5 天后，要提前 10 天收割完成，应增加多少人？2、甲、乙、丙三人外出旅游，甲带了 5 个蛋糕
33、，乙带了 3 个蛋糕，丙没带，中午 3 人平分吃蛋糕，吃完后，丙应该拿出 1 元 6 角。那么甲、乙各应收回多少钱？3、甲、乙、丙三人去湖边钓鱼，甲钓了 11 条，乙钓了 7 条，丙钓了 6 条。中午，来了一位游客，四人将鱼烤熟平分了吃。最后，游客付了 6 元钱，那么，钱该怎样分合理？4、买 2 斤草莓、3 斤芒果需 13 元，买 3 斤草莓、2 斤芒果需 12 元，求 1 斤草莓、1 斤芒果各值多少钱？185、四年级（1）班六一儿童节去天目湖划船，全班分成 A、B 、C 三组，共租了 11 只船，租船的费用由三个小组平摊。A 组先付了 7 只船的租金， B 组付了 4 只船的租金，C 组暂时
34、没付。第二天老师结算了一下，C 组应交付 22 元。问：C 组交来的钱应分别还给 A、B 组各多少元？6、甲、乙、丙、丁四个小伙伴出去游玩，半路上肚子饿了，凑钱买了 5 盒饼干分着吃。甲拿出 3 盒饼干的钱，乙拿出 2 盒饼干的钱，丙和丁都没拿出钱来。丁边吃边算，自己和丙应该每人出 5 元钱。问甲和乙各应收回多少钱？第九讲 统计与可能性基本概念：1、 条形统计图与统计表比较，能更清楚地看出各种数量的多少，比统计表更直观。2、 在制作条形统计图时，要注意把纵轴等分成相等的若干份，每份表示一定的数量。3、 生活中和数学中许多事件发生的可能性是不同的，我们要能判断游戏规则是否公平，能正确地分析某种事
35、件可能出现的结果。第十章 认数基本概念：1、下面是数位顺序表，它是我们认数的基础。数 级 亿 级 万 级 个 级数 位 千亿位百亿位十亿位亿位千万位百万位十万位万位千位百位十位个位计 数单 位 千亿百亿十亿亿 千万百万十万万 千 百 十 个2、每相邻两个计数单位之间的进率都是 10 的计数方法叫做十进制计数法。3、有的时候，我们需要用四舍五入的方法将一些较大的数省略， “万”或“亿”后面的尾数取它的近似值。记住：不管精确到哪一位，只要看精确到的这一位的后一位数，如果这位数19小于 5 则舍去，如果这位数不小于 5，则进一位。4、读作时所有的数字大写，写作是数字表示，是小写。第十一讲 用计算器计
36、算这一章节非常简单，用计算器计算时小心不要按错键。计算器还有一些功能键，可以帮助我们解决许多问题。例如 CE 键，又叫“改错键 ”。第十二讲：整理与复习需要牢背的基本概念1、加法中的巧算：加法交换律： a+b =a-b 加法结合律： a+b+c=a+(b+c) 减法和加、减混合运算中的巧算：（1）一个数连续减去几个数，等于减去这几个数的和。相反，一个数减去几个数的和，等于连续减去这几个数。即 a-b-c=a-(b+c) a-(b+c) =a-b-c （2）在加、减混合运算中，如果算式中没有括号，那么计算时可以带着运算符号“搬家” 。如： a-b+c=a+c-b （3）加、减混合运算中去括号（或
37、添括号）时，如果括号前面是“”号，那么括号里“”变“+” ， “+”变“- ”；如果括号前面是“+”号，那么括号里的符号不变。如 a-(b-c)=a-b+c,a+(b-c)=a+b-c 如果两个数的和恰好可以凑成整十、整百、整千的数，那么其中一个数叫做另一个数的“互补数” 。“基准数加累计差”法：几个相近的数相加，可以选择其中一个数，最好是 整十整百 的数为“基准数” ，再找出每个加数与“基准数”的 差 ，大于“基准数”的差做 加数 ，小于“基准数”的差做 减数 ，把这些 差 累计起来，再加上“基准数”与加数个数的乘积就可以得到结果。2、乘法中的巧算：乘法交换律： ab=ba 乘法结合律： (
38、ab)c=a(bc) 乘法分配律： (a+b)c=ac+bc 、 (a-b)c=ac-bc 3、除法中的巧算：（1）除法交换律：abc=acb（2）根据“被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数，商不变”的规律，进行巧算。公式：如果 ab=c 则 (an)(bn)=c (an)(bn)=c n0（3）根据“一个数除以两个因数的积等于一个数连续除以这两个因数”的规律，进行巧算。公式：a(bc)= abc （4）根据“一个数除以两个因数的商等于一个数除以第一个因数乘以第二个因数”20公式：a(bc)= abc （5）除法分配律：(a + b)c = ac + bc ac + bc=(a + b)c4、
39、你知道巧算中有几对好朋友吗？请写出来： 25=10 425=100 8125=1000 16625=10000 337=111 71113=1001 370373=10101 5、 “头同尾合十”：头（头+1）100+尾尾“尾同头合十”：（头头+尾）100+尾尾6、平方差公式： a 2-b2=(a+b)(a-b) 7、配对求和，也就是等差数列求和。实质是变加法（连加）为乘法，这可以从乘法的意义来理解。公式：和= （首项+末项）项数2 项数= （末项-首项）公差+1 首项=末项-公差（项数-1） 末项（或者某一项）= 首项+公差（项数-1）公差= （末项-首项）（项数-1） 奇数项的等差数列的和
40、= 中间项项数 奇数项的等差数列的中间项= 和项数 = （首项+末项）28、1+2+3+（n-1）+n+(n-1)+3+2+1= nn 9、数字找规律的基本方法：1、首先观察数列是从小往大排还是从大往小排。2、后一项比前一项多几或者少几。3、后一项是前一项的倍数或者前一项是后一项的倍数。4、相邻两项的差依次是个等差数列。5、每一项都是项数乘以项数。6、前两项的和等于后一项或者前三项的和等于后一项。 （裴波拉契数列）7、前两项的积或商等于后一项。8、把数列分组看。9、跳着看。 （奇数项与奇数项，偶数项与偶数项成规律）10、图形找规律的基本方法：1、从图形的数量变化上来考虑。2、从图形的对称来考虑
41、。3、从图形的种类和位置变化上来考虑。4、把大、小图形分开考虑。11、图形计数的基本方法：1、数线段、数角、数三角形的总个数，往往就用基本图形的个数，依次加上比前一项少 1 的自然数，直到 1。或者用基本图形的个数（个数+1）=n(n+1)2、遇到稍微复杂的图形，可先把图分类成几个部分，数出各部分包含图形的个数后，再求出图形的总和。3、数“金字塔”式的三角形不仅要考虑单个的小三角形，还要考虑由单个三角形组成的新三角形。从边长 1，2，3去分类比较数，计数时先分层再平移计算就不会少数。4、长方形的个数可以这样算：长边的线段数宽边的线段数=长方形的个数5、正方形的个数可以这样算：11+22+33+
42、(n-1)(n-1)+nn(n 为正方形各边的基本线段数)216、正方体的个数可以这样算：111+222+333+nnn(n 为正方体各边的基本线段数)7、由正方体组成的立体图形，可以从上往下一层一层的算，最后把每层的个数加起来。12、长方形的周长=（长+宽）2 =（a+b）2 长= 周长2-宽 宽=周长2-长正方形的周长=边长4= a4 正方形的边长=周长413、自然数的个位数字是有规律的，a n 末位数字规律是：当 a 的末位是 0、1、5、 6 时，a n 的末位数字与 a 相同，不随 n 的变化而变化。当 a 的末位是 2、3、7、 8 时，a n 的末位数字都分别以 4 个不同的数循
43、环出现，周期是 4。当 a 的末位是 2 时，周期是 4，以 2、4、8、6 循环出现；当 a 的末位是 8 时，周期是 4，以 8、4、2、6 循环出现；当 a 的末位是 3 时，周期是 4，以 3、9、7、1 循环出现；当 a 的末位是 7 时，周期是 4，以 7、9、3、1 循环出现。当 a 的末位是 4 和 9 时， an 的末位数字都分别以 2 个不同的数循环出现，周期是 2。当 a 的末位是 4 时，周期是 2，以 4、6 循环出现；当 a 的末位是 9 时，周期是 2，以 9、1 循环出现。三升四暑假班 速算与巧算1、 接近整十、整百、整千的数看成所接近的数进行简算。例题：254
44、8+503 574+798根据“和”的变化规律，即一个加数增加多少，另一个加数反而减少同样的数，和不变。根据“被减数和减数同时增加或减少同一个数，差不变”的规律。例题：956-597 3475-3082、 两个数相加，如果恰好凑成整十、整百、整千、整万等，就把其中的一个数叫做另一个数的补数，为计算简便，可以先把两个互为补数的数先凑成整十或整百的数，然后再与别的加数相加求和。例题：783+25+175 2803+（2178+5497）+47223、 连续几个数相加，它们都接近同一个基准数，利用基准数计算。例题：93+95+98+96+88+89+87+91+93+91=9010+（3+5+8+6
45、-2-1-3+1+3+1）22995+996+997+998+999第一种：=10005-（5+4+3+2+1）第二种：=9975 （此种方法利用“移多补少”变成 5 个 997）4、 几个数相加，每个数都接近不同的整十、整百、整千例：9999+999+99+9=10000+1000+100+10-45、 几个数相加减，算式中含有括号，利用去括号。如算式中有两项互补，可加括号。例： 1654-（54+78） 2937-493-2076、 当数字特别巨大，而被减数和减数的前几位相同时，可去掉相同的这几位数。例题：657897-657323+297=897-323+2977、 用“移位凑整”来速算
46、例：1000-91-1-92-2-93-3-94-4-95-5-96-6-97-7-98-8-99-9=1000-(91+9)+(92+8)+(93+7)+(99+1)=1000-10098、 “取中间数相乘” ，当连续相加的个数为单数个时，我们可以取中间数乘以加数的个数来进行巧算，这个连续数必须是等差数列。例题：1+3+5+7+9=552+6+10+14+18=10590+93+96+99+102+105+108=9、配对求和，也就是等差数列求和。实质是变加法（连加）为乘法，这可以从乘法的意义来理解。公式：和=（首项+末项）项数2 项数=（末项-首项）公差+1公差=（末项-首项）（项数-1） 首项=末项-公差（项数-1）末项=首项+公差（项数-1）例题： 2+4+6+100 1+3+5+572310、利用乘法公式
