1、“将军饮马”类题型大全一求线段和最值1（一）两定一动型例 1：如图， AMEF，BNEF，垂足为 M、N，MN12m，AM5m，BN4m， P是 EF上任意一点，则 PAPB 的最小值是_m分析：这是最基本的将军饮马问题，A，B 是定点，P 是动点，属于两定一动将军饮马型，根据常见的“定点定线作对称”，可作点 A关于 EF的对称点 A，根据两点之间，线段最短，连接 AB，此时 APPB 即为 AB，最短而要求 AB，则需要构造直角三角形，利用勾股定理解决解答：作点 A关于 EF的对称点 A，过点 A作 ACBN 的延长线于 C易知 AMAMNC5m，BC9m，ACMN12m，在 RtABC 中
2、，AB15m，即PAPB 的最小值是 15m变式：如图，在边长为 2的正三角形 ABC中，E，F，G 为各边中点，P 为线段 EF上一动点，则BPG 周长的最小值为_分析：考虑到 BG为定值是 1，则BPG 的周长最小转化为求 BPPG 的最小值，又是两定一动的将军饮马型，考虑作点 G关于 EF的对称点，这里有些同学可能看不出来到底是哪个点，我们不妨连接 AG，则 AGBC，再连接 EG，根据“直角三角形斜边中线等于斜边的一半”，可得 AEEG，则点 A就是点 G关于 EF的对称点最后计算周长时，别忘了加上 BG的长度解答：连接 AG，易知 PGPA，BPPGBPPA，当 B，P，A 三点共线
3、时，BPPGBA，此时最短，BA2，BG1，即BPG 周长最短为 3.2（二）一定两动型例 2：如图，在ABC 中，ABAC5，D 为 BC中点，AD5，P 为 AD上任意一点，E为 AC上任意一点，求 PCPE 的最小值分析：这里的点 C是定点，P，E 是动点，属于一定两动的将军饮马模型，由于ABC是等腰三角形，AD 是 BC中线，则 AD垂直平分 BC，点 C关于 AD的对称点是点B，PCPEPBPE，显然当 B，P，E 三点共线时，BE 更短但此时还不是最短，根据“垂线段最短” 只有当 BEAC 时，BE 最短求 BE时，用面积法即可解答：作 BEAC 交于点 E，交 AD于点 P，易知
4、 ADBC，BD3，BC6，则 ADBCBEAC，46BE5，BE4.8变式：如图，BD 平分ABC，E，F 分别为线段 BC，BD 上的动点，AB8，ABC 的周长为 20，求 EFCF 的最小值_分析：这里的点 C是定点，F，E 是动点，属于一定两动的将军饮马模型，我们习惯于“定点定线作对称”，但这题这样做，会出现问题因为点 C的对称点 C必然在 AB上，但由于 BC长度未知，BC长度也未知，则 C相对的也是不确定点，因此我们这里可以尝试作动点 E关于 BD的对称点解答：如图，作点 E关于 BD的对称点 E，连接 EF，则 EFCFEFCF，当 E，F，C 三点共线时，EFCFEC，此时较
5、短过点 C作 CEAB 于 E，当点 E 与点 E重合时，EC 最短，EC 为 AB边上的高，EC5.（三）两定两动型例 3：如图，AOB30，OC5，OD12，点 E，F 分别是射线 OA，OB 上的动点，求 CFEFDE 的最小值.分析：这里的点 C，点 D是定点，F，E 是动点，属于两定两动的将军饮马模型，依旧可以用“定点定线作对称”来考虑作点 C关于 OB的对称点，点 D关于 OA的对称点解答：作点 C关于 OB的对称点 C，点 D关于 OA的对称点 D，连接 CD CFEFDE CF EF DE，当 C，F， E，D四点共线时，CFEFDE CD最短易知DOC90，OD12，OC5，
6、CD13，CFEFDE 最小值为 13变式：（原创题）如图，斯诺克比赛桌面 AB宽 1.78m，白球 E距 AD边 0.22m，距 CD边 1.4m，有一颗红球 F紧贴 BC边，且距离 CD边 0.1m，若要使白球 E经过边AD，DC，两次反弹击中红球 F，求白球 E运动路线的总长度分析：本题中，点 E和点 F是定点，两次反弹的点虽然未知，但我们可以根据前几题的经验作出，即分别作点 E关于 AD边的对称点 E，作点 F关于 CD边的对称点 F，即可画出白球 E的运动路线，化归为两定两动将军饮马型解答：作点 E关于 AD边的对称点 E，作点 F关于 CD边的对称点 F，连接 EF，交 AD于点
7、G，交 CD于点 H，则运动路线长为 EGGHHF 长度之和，即 EF长，延长 EE交 BC于 N，交 AD于 M，易知 EMEM0.22m，EN1.780.222m，NFNCCF1.40.11.5m，则 RtENF中，EF2.5m，即白球运动路线的总长度为 2.5m小结：以上求线段和最值问题，几乎都可以归结为“两定一动”“一定两动”“两定两动”类的将军饮马型问题，基本方法还是“定点定线作对称”，利用“两点之间线段最短”“垂线段最短”的 2条重要性质，将线段和转化为直角三角形的斜边，或者一边上的高，借助勾股定理，或者面积法来求解当然，有时候，我们也需学会灵活变通，定点对称行不通时，尝试作动点对
8、称（二）求角度例 1:P为AOB 内一定点，M，N 分别为射线 OA，OB 上一点，当PMN 周长最小时，MPN80（1）AOB_（2）求证：OP 平分MPN分析：这又是一定两动型将军饮马问题，我们应该先将 M，N 的位置找到，再来思考AOB 的度数，显然作点 P关于 OA的对称点 P，关于 OB的对称点 P，连接 PP，其与 OA交点即为 M，OB 交点即为 N，如下图，易知DPC 与AOB 互补，则求出DPC 的度数即可解答：（1）法 1：如图，12100，1P323，2P424，则3450，DPC130，AOB50再分析：考虑到第二小问要证明 OP平分MPN，我们就连接 OP，则要证56
9、，显然很困难，这时候，考虑到对称性，我们再连接 OP，OP，则57，68，问题迎刃而解解答：（1）法 2：易知 OPOP，785680，POP100，由对称性知，911，1012，AOB91050（2）由 OPOP，POP100知，7840，5640，OP平分MPN变式：如图，在五边形 ABCDE中，BAE136，BE90，在 BC、DE 上分别找一点 M、N，使得AMN 的周长最小时，则AMNANM 的度数为_分析：这又是典型的一定两动型将军饮马问题，必然是作 A点关于 BC、DE 的对称点A、A，连接 AA，与 BC、DE 的交点即为AMN 周长最小时 M、N 的位置解答：如图，BAE136，MAANAA44由对称性知，MAAMAA，NAANAA，AMNANM2MAA2NAA88思考题：1.如图所示，正方形 ABCD的边长为 6，ABE 是等边三角形，点 E在正方形ABCD内，在对角线 AC上有一点 P，使 PD+PE的和最小，则这个最小值为_2.如图，在矩形 ABCD中，AB=4，AD=3P 为矩形 ABCD内一点，若矩形 ABCD面积为PAB 面积的 4倍，则点 P到 A，B 两点距离之和 PA+PB的最小值为_
