1、2012 高考典型题集锦 3: 概率与统计 北京市海淀区夏繁军整理 11.【2012 高考湖北理 20】 （本小题满分 12 分）根据以往的经验，某工程施工期间的降水量 X（单位：mm）对工期的影响如下表：历年气象资料表明，该工程施工期间降水量 X 小于 300，700，900 的概率分别为0.3，0.7，0.9. 求：（）工期延误天数 Y的均值与方差； （）在降水量 X 至少是 30的条件下，工期延误不超过 6 天的概率. 1.【答案】 （）由已知条件和概率的加法公式有：(30).,P(7)(70)(30).730.4PPX，799.9.2.101.XX.所以 Y的分布列为：于是， ()0.
2、32.460.21.3EY；2 2()()(0).198D.故工期延误天数 的均值为 3，方差为 9.8. （）由概率的加法公式， .7PXPX，又 (309)(0)(3)3.6P. 由条件概率，得 60)Y(09)0.67PX.故在降水量 X 至少是 3mm 的条件下，工期延误不超过 6 天的概率是 . 2.【2012 高考江苏 25】 （10 分）设 为 随 机 变 量 ， 从 棱 长 为 1 的 正 方 体 的 12 条 棱 中 任 取 两 条 ，当 两 条 棱 相 交 时 ， ； 当 两条棱平行时， 的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，01（1）求概率 ；()P（2）求 的 分 布
3、 列 ， 并 求 其 数 学 期 望 ()E2【答案】解：（1）若两条棱相交，则交点必为正方体 8 个顶点中的一个，过任意 1 个顶点恰有 3 条棱，共有 对相交棱。238C降水量 X 30709090X工期延误天数 Y0 2 6 100 2 6 10P0.3 0.4 0.2 0.12012 高考典型题集锦 3: 概率与统计 北京市海淀区夏繁军整理 2 。23184(0)=6CP（ 2） 若 两条棱平行，则它们的距离为 1 或 ， 其 中 距离为 的 共 有 6 对 ，22 ，21()=PC。416(1)=(0)(2)=PP随机变量 的 分 布 列 是：0 1 2()P4161其 数 学 期
4、望 。 62=2=1E【考点】概率分布、数学期望等基础知识。【解析】 （1）求出两条 棱 相 交 时 相交棱的对数，即可由概率公式求得概率 。(0)P（ 2） 求出两条 棱 平行且 距离为 的 共 有 6 对 ， 即 可 求 出 ，从而求出2(2（两条 棱 平行且 距离为 1 和 两条棱异面） ，因此得到随机变量 的 分 布 列 ， 求 出 其 数(1)P 学 期 望 。3.【2012 高考江西理 18】 （本题满分 12 分）如图，从 A1（1,0,0） ，A 2（2,0,0） ，B 1（0，2，0） ，B 2（0,2,0） ，C 1（0,0,1） ，C 2（0,0,2）这6 个点中随机选取
5、 3 个点，将这 3 个点及原点 O 两两相连构成一个“立体” ，记该“立体”的体积为随机变量 V（如果选取的 3 个点与原点在同一个平面内，此时“立体”的体积V=0） 。（1）求 V=0 的概率；(2)求 V 的分布列及数学期望。2012 高考典型题集锦 3: 概率与统计 北京市海淀区夏繁军整理 33.解：（1）从 6 个点中随机地选取 3 个点共有 3620C种选法，选取的 3 个点与原点 O 在同一个平面上的选法有 1342C种，因此 V=0 的概率 12()05PV（2）V 的所有可能值为 0,6，因此 V 的分布列为V 0 343P 35120210由 V 的分布列可得：EV= 34
6、906【点评】本题考查组合数，随机变量的概率，离散型随机变量的分布列、期望等. 高考中，概率解答题一般有两大方向的考查.一、以频率分布直方图为载体，考查统计学中常见的数据特征：如平均数，中位数，频数，频率等或古典概型；二、以应用题为载体，考查条件概率，独立事件的概率，随机变量的期望与方差等.来年需要注意第一种方向的考查.4.【2012 高考安徽理 17】 （本小题满分 12 分）某单位招聘面试，每次从试题库随机调用一道试题，若调用的是 类型试题，则使用A后该试题回库，并增补一道 类试题和一道 类型试题入库，此次调题工作结束；若调用AB的是 类型试题，则使用后该试题回库，此次调题工作结束。试题库
7、中现共有 道试题，B nm其中有 道 类型试题和 道 类型试题，以 表示两次调题工作完成后，试题库中 类nmXA试题的数量。（）求 的概率；2X（）设 ，求 的分布列和均值（数学期望） 。4.【答案】本题考查基本事件概率、条件概率，离散型随机变量及其分布列，均值等基础知识，考查分类讨论思想和应用于创新意识。【解析】 （I） 表示两次调题均为 类型试题，概率为2nA12nm（） 时，每次调用的是 类型试题的概率为 ，m 12p随机变量 可取X,1， ，2()(4Pnp(1)2()PXn21()4PXnp14。11()(2)44EXnn2012 高考典型题集锦 3: 概率与统计 北京市海淀区夏繁军
8、整理 4答：（） 的概率为 ，2Xn12nm（）求 的均值为 。15.【2012 高考山东理 19】 （19） （本小题满分 12 分）先在甲、乙两个靶.某射手向甲靶射击一次，命中的概率为 ，命中得 1 分，没有命中得340 分；向乙靶射击两次，每次命中的概率为 ,每命中一次得 2 分，没有命中得 0 分.该射手23每次射击的结果相互独立.假设该射手完成以上三次射击.（）求该射手恰好命中一次得的概率；（）求该射手的总得分 的分布列及数学期望 .XEX5.解：（）记“该射手恰好命中一次”为事件 A；“该射手设计甲靶命中”为事件 B；“该射手第一次射击乙靶命中”为事件 C；“该射手第二次射击乙靶命
9、中”为事件 D由题意知， 3()4PB， 2()3PD，由于 AC，根据事件的独立性与互斥性得()()()()BCPBCD3222(1)1143434376（）根据题意， X的所以可能取值为 0,5根据事件的独立性和互斥性得321(0)()(1)(436PBCD，1， 2(2)()()()9XP，3134321(4)()(19PBCD5故 X的分布列为0 1 2 3 4 5P3691913所以 452E2012 高考典型题集锦 3: 概率与统计 北京市海淀区夏繁军整理 56.【2012 高考北京理 17】 （本小题共 13 分）近年来，某市为了促进生活垃圾的风分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、
10、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应分垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计 1000 吨生活垃圾，数据统计如下（单位：吨）：“厨余垃圾”箱“可回收物”箱“其他垃圾”箱厨余垃圾 400 100 100可回收物 30 240 30其他垃圾 20 20 60（）试估计厨余垃圾投放正确的概率；（）试估计生活垃圾投放错误额概率；（）假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、 “可回收物”箱、 “其他垃圾”箱的投放量分别为其中 a0， =600。当数据 的方差 最大时，写出 的值（结论cb, cbcba,2scba,不要求证明） ，并求此时 的值。2s（注： ，其中 x为数据
11、的平均数）)()()(1222 xxns n nx,21解：（）由题意可知： 40=63。（）由题意可知： 2+1。（）由题意可知： 22(10)3sabc，因此有当 60a， b， 0c时，有280s7【2012 高考陕西理 20】 （本小题满分 13 分）某银行柜台设有一个服务窗口，假设顾客办理业务所需的时间互相独立，且都是整数分钟，对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如下：从第一个顾客开始办理业务时计时。（1）估计第三个顾客恰好等待 4 分钟开始办理业务的概率；（2） 表示至第 2 分钟末已办理完业务的顾客人数，求 的分布列及数学期望。XX7.【解析】设 Y 表示顾客办理业务所需的时间，
12、用频率估计概率，的 Y 的分布如下：Y 1 2 3 4 5P 0.1 0.4 0.3 0.1 0.1(1)A 表示事件“第三个顾客恰好等待 4 分钟开始办理业务” ，则时间 A 对应三种情形： 一个谷歌办理业务所需时间为 1 分钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为 32012 高考典型题集锦 3: 概率与统计 北京市海淀区夏繁军整理 6分钟； 第一个顾客办理业务所需的时间为 3 分钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为 1 分钟； 第一个和第二个顾客办理业务所需的时间均为 2 分钟。所以 )2()()1(3)(1)( YPYPYPA.04.03.1.0（2）解法一：X 所有可能的取值为： 0,1
13、,2.X=0 对应第一个顾客办理业务所需的时间超过 2 分钟，所以 5.0)2()0(YP；X=1 对应第一个顾客办理业务所需的时间为 1 分钟且第二个顾客办理业务所需时间超过 1 分钟，或第一个顾客办理业务所需的时间为 2 分钟，所以)2()()1( XP49.0.0；X=2 对应两个顾客办理业务所需的时间均为 1 分钟，所以 0)1()2( YP；所以 X 的分布列为X 0 1 2P 0.5 0.49 0.015.1.249.015. E.解法二：X 所有可能的取值为 0,1,2.X=0 对应第一个顾客办理业务所需的时间超过 2 分钟，所以5.0)2()0(YP；X=2 对应两个顾客办理业
14、务所需的时间均为 1 分钟，所以 0)1()( X；49201XPP；所以 X 的分布列为X 0 1 2P 0.5 0.49 0.012012 高考典型题集锦 3: 概率与统计 北京市海淀区夏繁军整理 751.0.249.015. EX。8【2012 高考天津理 16】 （本小题满分 13 分）现有 4 个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为 1 或 2的人去参加甲游戏，掷出点数大于 2 的人去参加乙游戏.（）求这 4 个人中恰有 2 人去参加甲游戏的概率；（）求这 4 个人中去参加甲游戏
15、的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；用 X，Y 分别表示这 4 个人中去参加甲、乙游戏的人数，记 YX，求随机变量的分布列与数学期望 E.8.【答案】 （1）每个人参加甲游戏的概率为 13p，参加乙游戏的概率为 213p这 4 个人中恰有 2 人去参加甲游戏的概率为 2248()7Cp（2） 4(,)()(1)0,1kkXBpPX: ，这 4 个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为 1(3)()9P（3） 可取 0,28()()274021(3)1(4)(0)8PX随机变量 的分布列为840174827E.【点评】应用性问题是高考命题的一个重要考点，近年来都通过概率问题来考查，
16、且常考常新,对于此类考题，要注意认真审题，从数学与实际生活两个角度来理解问题的实质,将问题成功转化为古典概型，独立事件、互斥事件等概率模型求解，因此对概率型应用性问题，理解是基础，转化是关键.9.【2012 高考辽宁理 19】(本小题满分 12 分)2P12012 高考典型题集锦 3: 概率与统计 北京市海淀区夏繁军整理 8电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了 100 名观众进行调查.下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：将日均收看该体育节目时间不低于 40 分钟的观众称为“体育迷”（1）根据已知条件完成下面的 2列联表，并据此资料
17、你是否认为“体育迷“与性别有关？非体育迷 体育迷 合计男女 10 55合计（2）将上述调查所得到的频率视为概率.现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽样方法每次抽取 1 名观众，抽取 3 次，记被抽取的 3 名观众中的“体育迷“人数为 X.若每次抽取的结果是相互独立的，求 X的分布列，期望 EX和方差 D附： 21212+-=n，Pk0.05 0.013.841 6.6359.【命题意图】本题主要考查频率分布直方图的应用、独立性检验、随机变量的分布列、期望、方差计算，考查运用所学知识解决实际问题能力，是中档题.【解析】 （1）由频率分布直方图可知，在抽取的 100 人中， “体育迷”有 25
18、人，从而2列联表如下：非体育迷 体育迷 合计男 30 15 45女 45 10 55合计 75 25 100将 2列联表中的数据代入公式计算，得 3分 2 211+2-031-4510=3.7n因为 3.0.84，所以没有理由认为“体育迷”与性别有关. 6 分 （2）由频率分布直方图知抽到“体育迷”的频率为 0.25，将频率视为概率，即从观众中抽取一名“体育迷”的概率为 .由题意 13,XB:，从而 X的分布列为0 1 2 3P2764964110 分3=EXnp， 9=-3=416DXnp. 12分【点评】本题主要考查统计中的频率分布直方图、独立性 检验 、离散型随机 变量的分布列，期望和方差 ，考查分析解决 问题的能力、运算求解能力，难度适中。准确 读取频率分()()布直方图中的数据是解题的关键。2012 高考典型题集锦 3: 概率与统计 北京市海淀区夏繁军整理 9
