1、三角形的黄金分割线如图 1，点 C 将线段 AB 分成两部分，如果 ，那么称点 C 为线段 AB 的黄金分割点。某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线 l将一个面积为 S 的图形分成两部分，这两部分的面积分别为 S1，S2，如果 ，那么称直线 l 为该图形的黄金分割线。（1）研究小组猜想：在ABC 中，若点 D 为 AB 边上的黄金分割点（如图 2），则直线 CD 是ABC 的黄金分割线。你认为对吗？为什么？（2）请你说明：三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线？（3）研究小组在进一步探究中发现：过点 C 任作一条直线交 AB 于点
2、 E，再过点 D 作直线 DFCE，交 AC 于点 F，连接EF（如图 3），则直线 EF 也是ABC 的黄金分割线。请你说明理由。（4）如图 4，点 E 是ABCD 的边 AB 的黄金分割点，过点E 作 EFAD，交 DC 于点 F，显然直线 EF 是ABCD 的黄金分割线。请你画一条ABCD 的黄金分割线，使它不经过ABCD 各边黄金分割点 好评率：80%解：（1）对的，设三角形 ABC 中 AB 上的高为 h，则SADC:SABC=1/2*AD*h：1/2*AB*h=AD:AB根据已知 D 为 AB 的黄金分割点SADC:SABC=AD:AB=0.618：1（2）不对，因为中线将三角形分
3、成两个三角形，他们的高相等，底边长也相等，面积为 1：1，则分割出来的三角形面积与原来大的三角形面积比为 1：2，不等于黄金分割比例。（3）设 DE=x，设 AB=a，三角形 ABC 的高为 h，则AD=0.618a因为 DFCE，则AEFADF则ADF 中 AD 上的高：AEF 中 AE 上的高=AD:AE=0.618a+x则ADF 中 AD 上的高=0.618a/(0.618a+x)*h则 SAEF=1/2*AE*ADF 中 AD 上的=1/2*(0.618a+x)*0.618a/(0.618a+x)*h=1/2*0.618a*h则 SAEF：SABC=1/2*0.618a*h：1/2*a
4、*h=0.618:1 为黄金分割比例（4）过 E 点任作一条直线交 DC 于点 M，再过点 F 作直线 FNEM，交 AB 于点 N，连接 MN（图略），则直线 EF 也是ABCD 的黄金分割线。可以证明：因为 EFAD，则 AE:AB=Df:DC=0.618:1，设 AB=a，则AE=Df=0.618a设ABCD 的高为 h，则面积之比为 AE*h:DC*h=0.618：1设 EN=x，则因为 FNEM，四边形 ENFM 是平行四边形，有 MF=EN，则梯形 ANMD 的面积=1/2*(DM+AN)*h=1/2*(DF-X+AE+X)*h=AE*h则面积之比为：AE*h：AB*h=AE:AB=0.618:1
