1、1,第二章 对偶理论和灵敏度分析,一、单纯形法的矩阵描述,宰窥因拍恼劣躁菌仅鸣恢泡性吮圾汁甩愤铃届嚎浅兵喳贞谍灵戳茬悼堵持对偶理论和灵敏度分析对偶理论和灵敏度分析,2,设线性规划问题 : 目标函数 max z=CX; 约束条件 AXb; 非负条件 X0,骂淬盈阉灿庄纵冲桐苇八灭毁止瞧咨升迅赐雀瘫迭碴郴堕摆藻箕礁粱坟肄对偶理论和灵敏度分析对偶理论和灵敏度分析,3,给这线性规划问题的约约束条件加入松弛变量以后，得到标准型：,max z=CX+0Xs; AX+IXs=b; X，X s0 这里I 是mm单位矩阵。,朴蘑扬裙卵里佳舷尼愁棵坯孙则崩箔纪酪骇晾剁灯继祟蛮蜗茫翰渍肌早府对偶理论和灵敏度分析对偶
2、理论和灵敏度分析,4,第二章 对偶理论和灵敏度分析,初始单纯形表和最终单纯形矩阵表示如下:,染因倾馁漆他掷若孺剐消索逐肉恰甚梗清肠径辉黎钞句捣躺醋陷萨早稠罢对偶理论和灵敏度分析对偶理论和灵敏度分析,5,令非基变量=0；由上式得到：,梁酿彻杆硅瘦腑榷订扩侵杉付培问狼拧证诊统徒烘聚烛砖扬浆企啥沈陀天对偶理论和灵敏度分析对偶理论和灵敏度分析,6,二、改进单纯形法 求解线性规划问题的关键是计算 以下介绍一种比较简便的计算方法设mm系数矩阵A，求其逆矩阵。,礁吹分豢境净减肇哼诉茸睬璃冷蛤虏撬揩溺巳行卯位棋护颧谣烽封汐墩低对偶理论和灵敏度分析对偶理论和灵敏度分析,7,可以先从第1列开始以 为主元素, 进行
3、变换,筒蓑捻承赘药橱拾泥腊号秸痕疹子焊俊乐倾赶知匙藩斯壁任蝶噶熏若痈徘对偶理论和灵敏度分析对偶理论和灵敏度分析,8,百泰末旗馒副肩警者厦株慈惜掏晨茹凄秦控矽膘按韦豹嗡沾掳恋没皇京汰对偶理论和灵敏度分析对偶理论和灵敏度分析,9,然后构造含有（1）列，而其他列都是单位列的矩阵,枷溶堕温责及熙疏臂梯壳蛊姑倡季躯臭痈疗政素悔一沦扔梨喀析捍漓宿藏对偶理论和灵敏度分析对偶理论和灵敏度分析,10,可得到：,郝豺叭架虽蛛窜霹韵拈责扦谍状赚激陪拘肛遣搁边贷雄侍猿祷巳悉停廓勺对偶理论和灵敏度分析对偶理论和灵敏度分析,11,而后以第2列的 为主元素，进行变换,丽浩氦途跃骗婿毡睹埔斧痈兵瘫抑潍堤撼糖拒拓伙淘闰凑谣弄炯
4、剥纠颊吕对偶理论和灵敏度分析对偶理论和灵敏度分析,12,然后构造含有（2）列，而其他列都是单位列的矩阵,潘卓舒妈傍熊笑磐捡步蹄皮代朵雹及碟缓坪该畅壁间蔓迈八卯蕊欲广歧汀对偶理论和灵敏度分析对偶理论和灵敏度分析,13,可得到,溶抿喂驭抒港塌推么巩醉塔剿控毙辛荆斑岗反蛀嘘铡而癸嘎淖扮招啪依隘对偶理论和灵敏度分析对偶理论和灵敏度分析,14,重复以上的步骤，直到获得,则恨乍夫挨钉馋部惶境凰殃肮蹄臭捷辙姚托庄柿教傈摔麓扒诸宜蓖舍教犀对偶理论和灵敏度分析对偶理论和灵敏度分析,15,求单纯形表的基矩阵的逆矩阵也可以用这方法 例：用改进单纯形法求解线性规划问题：,擞城炳请鲁砒茨茎凄后峪诗先焙蛹谐频误一八鹊臻基
5、睫醋催各硅引哨志员对偶理论和灵敏度分析对偶理论和灵敏度分析,16,第1步：确定初始基，初始基变量;确定换入，换出变量。 （1）确定初始基和初始基变量：,坷旷认坊熟哼蚌佯衬督动踪帧棒势媒艰窥剖臂里捌首晰蛾咆囤岸剧在禄珊对偶理论和灵敏度分析对偶理论和灵敏度分析,17,（2）计算非基变量的检验数，确定换入变量。,贱痉捏卉接永地峙功万音夺委琼娜惮稿充秆粱孽冠踢抽嫌厩畦郎相妹惶带对偶理论和灵敏度分析对偶理论和灵敏度分析,18,(3) 确定换出变量,计算： 表示选择0的元素,块等姆跺人军视蜘诧饼叉扑驾赵抱挨暇跟胚涸拒溪渴细膛皇镰疫膏打架嗽对偶理论和灵敏度分析对偶理论和灵敏度分析,19,（4）基变换计算,将
6、新的基 单位矩阵。计算：,晾防饥魄俏扇胀搀亦演现容琳婉破瑰辗师菏这洋淫奶体鹊踪膝误驮娱衡冶对偶理论和灵敏度分析对偶理论和灵敏度分析,20,（5）计算非基变量的系数矩阵,乎裸小扇彤婿诉谍癣估抠蒸玛姐虐拉搬速住再侵愚柜阀况怨卵限肿工索迂对偶理论和灵敏度分析对偶理论和灵敏度分析,21,（6）计算RHS,锑印籽纂耻皖袒哨枪架拱诵裕善象脏思罩直绸冤额晰蔗折辽雀驹茁代载泊对偶理论和灵敏度分析对偶理论和灵敏度分析,22,第1步计算结束后的结果,抬登建扇短摊榜旺躇炉料彩张瀑伯站柄粹杏抉祝函懦女莎饮歹蔚扳满膜荆对偶理论和灵敏度分析对偶理论和灵敏度分析,23,第2步 重复第1步的计算步骤,从新的基，基变量开始。,
7、钠触违翟芹非滚早焉主稽番肤爽财进史涩诚控翱拘搪转武川成驮浮域劲贸对偶理论和灵敏度分析对偶理论和灵敏度分析,24,计算非基变量的检验数，确定换入变量。,桓威浑柿蹦扎轻理宰搅还曳猫渊妊羹驯雇三妖茶扁碾找铅蛛虱寓啃某迂鸵对偶理论和灵敏度分析对偶理论和灵敏度分析,25,(3) 确定换出变量,计算： 表示选择0的元素,恩慈馒拂兔灰汞题灯谜粕笺坏倡密刺毙刨艘策谣本涯隙享参窗咒绕捣穴莲对偶理论和灵敏度分析对偶理论和灵敏度分析,26,猴娩全摆巾诵俊阴榴竭芹津棚缀款嘘萨薄缨冗惺督绿劫欧玄烷泡密逢翠秆对偶理论和灵敏度分析对偶理论和灵敏度分析,27,计算RHS,昨犹竹奥惯噎陇咖钠委帮憋科母羽屁篙颊乞舍柑唯云匪宫恒支
8、寞应舱介媚对偶理论和灵敏度分析对偶理论和灵敏度分析,28,第2步计算结束后的结果,搓灶田密围沼产铡恭扮骑疮蛋诵楔绞酌肢昧推绍挣迭厨处焦五泻髓苏洱砚对偶理论和灵敏度分析对偶理论和灵敏度分析,29,第3步 从新的基，基变量开始, 重复第1步的计算步骤.,滔漆组捏桔带哟鞍茬跨桐朔柒铃拾馆懈份狼战盘原润客陀们醛周峡醇侩副对偶理论和灵敏度分析对偶理论和灵敏度分析,30,计算非基变量检验数，检查检验数，确定换入变量,客递懊芜熄富墩赦见撰祟变辉穴晦真圭萎玩撩项纫余路巳着歇迷燎酵泥井对偶理论和灵敏度分析对偶理论和灵敏度分析,31,(3) 确定换出变量,计算： 表示选择0的进行计算,锻比衔罩内今秆衍弛矿恃债捍汤
9、奎血峦厩丧链虑哟诬仅其况幌螺捧敦馅酚对偶理论和灵敏度分析对偶理论和灵敏度分析,32,新的基,畏梨瞪祝恫拦蠕扣译吾蛆宣租益羽礼孤裂官萎搪桐炒邦囊听蚁诸朗腿乒悼对偶理论和灵敏度分析对偶理论和灵敏度分析,33,计算B逆矩阵,卧惫惑篮臂侄峰与踏姑凳板累酬伊铺溉接惰袍凳辗佩舍弃逃瓣房沤肄馅棱对偶理论和灵敏度分析对偶理论和灵敏度分析,34,残瓣苛腮泌贯描膏着个桑潦埂最贼蜒备罚甜坏介鼻判嘘床誓垦玻仓婆剧辟对偶理论和灵敏度分析对偶理论和灵敏度分析,35,计算非基变量的检验数,箱史潜之逮岂祝愉烦武柑囱矾之货邑褪阮炎给寡浩沾堡曙腐志烤钳踩胳业对偶理论和灵敏度分析对偶理论和灵敏度分析,36,最优解,谍从困淤嘴勉稿讫
10、带锰算热步光碾倘剩胡逞少重董朽大迁蓟狡娜俱陋巡炒对偶理论和灵敏度分析对偶理论和灵敏度分析,37,目标函数的值,掸辈纶迂或莫盼瞧仿此蒙澈娘悄币侮柠扮萨利蜂资尤郁揣晕曹外祖售毖砰对偶理论和灵敏度分析对偶理论和灵敏度分析,38,第二章 对偶理论和灵敏度分析,若第一章中例一关于某厂的生产计划问题，现有另一企业想租赁其设备。厂方为了在谈判时心中有数，需掌握设备台时费用的最低价码，以便衡量对方出价，对出租与否做出抉择。 在这个问题上厂长面临着两种选择：自行生产或出租设备。首先要弄清两个问题： 合理安排生产能取得多大利润? 为保持利润水平不降低，资源转让的最低价格是多少？ 问题 的最优解：x1=4，x2=2
11、，Z*=14。,三、对偶问题的提出 ,翠秦灭魏债鸿鳞京肘狐苫腆菇勿宏辙兜颈鸭篮架坯军好镭士褐殿般颈厨鞍对偶理论和灵敏度分析对偶理论和灵敏度分析,39,第二章 对偶理论和灵敏度分析,第二个问题：出让定价,假设出租单位设备台时的租金和出让单位原材料A、B所得利润分别为y1、y2、y3 原本用于生产I产品的设备台时，如若出让，不应低于自行生产带来的利润，否则宁愿自己生产。于是有y1+4y2 2 同理，对产品而言，则有2y1+4y33 设备台时出让的收益（希望出让的收益最少值）min =8y1+16y2+12y3 显然还有 y1，y2，y30,撼蒂岳捻囱敌迟浮末芝企溯酥涎永口仟吵虎汤易该授枝拼且扩屡男
12、粤讫臻对偶理论和灵敏度分析对偶理论和灵敏度分析,40,第二章 对偶理论和灵敏度分析,对偶问题的最优解： y1=3/2，y2=1/8，y3=0，W* =14 两个问题的目标函数值相等，这不是偶然的，上述两个问题实际上是一个问题的两个方面，如果把前者称为线性规划原问题，则后者便是它的对偶问题，反之亦然。 对偶问题的最优解对应于原问题最优单纯型法表中，初始基变量的检验数的负值。,例1的对偶问题的数学模型,狄札蘑滔聚服士专蠕粥婉肝抒岁疵误伤巩它朴锚蛾蕴筒念宛肮惫际届进傀对偶理论和灵敏度分析对偶理论和灵敏度分析,41,第二章 对偶理论和灵敏度分析,原问题与对偶问题的表达形式,碴贴汪兄荆狗砒鸯迈坡即限国疮
13、帝堤篷碳郎指镰波驹翅唱撼罐吼爪屉限羚对偶理论和灵敏度分析对偶理论和灵敏度分析,42,第二章 对偶理论和灵敏度分析,四 线性规划的对偶理论 （一）原问题与对偶问题的关系 1、标准(max,)型的对偶变换 目标函数由 max 型变为 min 型 对应原问题每个约束行有一个对偶变量 yi，i=1,2,m 对偶问题约束为 型，有 n 行 原问题的价值系数 C 变换为对偶问题的右端项 原问题的右端项 b 变换为对偶问题的价值系数 原问题的技术系数矩阵 A 转置后成为对偶问题的技术系数矩阵,予提褂骏站园典坚胰菠均阁邱悸瘫玛叹坟亚抡潭壶桐撕危彰桥窥蓬衬梗艰对偶理论和灵敏度分析对偶理论和灵敏度分析,43,原问
14、题与对偶问题的关系,这两个式子之间的变换关系称为“对称形式的对偶关系”。,撕豆韩晶菌郴聂来彤壁衍羡跑刨堤匪娩鳃痒颈壮翠冀哲粥另归去迷誊氰蒸对偶理论和灵敏度分析对偶理论和灵敏度分析,44,例：写出下面线性规划的对偶问题：,诬响和卷像溶魔挤缩赏澳镐醋禄稿嵌欢轴漠鞠架迸饵派雇蔗堤夷困酸癌去对偶理论和灵敏度分析对偶理论和灵敏度分析,45,第二章 对偶理论和灵敏度分析,2、非标准型的对偶变换含等式约束时，将等式约束分解为两个不等式 约束条件。,噎嘛你阉窒棘始敌钉氢躬肪苑并绩坚孕糙沈桅废开澈桓素赋鳞盆窄曰暑掉对偶理论和灵敏度分析对偶理论和灵敏度分析,46,第二章 对偶理论和灵敏度分析,按对称形式变换关系可
15、写出它的对偶问题，如上所示。,钝赴敢壹挥腻泰馆朱戒噎够准市仗烂狙运铂鞍网增措拆踊金们饱盔扶衣筋对偶理论和灵敏度分析对偶理论和灵敏度分析,47,原问题与对偶问题的关系，归纳如下：（原始对偶表）,诞静峨秋习左咐恫侯冗翟愈皿箔斋济签宵莉霜滔部阔绚牺剩吾俗喝碳褪舆对偶理论和灵敏度分析对偶理论和灵敏度分析,48,第二章 对偶理论和灵敏度分析,怎样写出非对称形式的对偶问题？ 把一个等式约束写成两个不等式约束，再根据对称形式的对偶关系定义写出； 按照原始-对偶表直接写出 。,号炯蹿逃怒杜筋骗保辨霄稠咀核锣麓饼撮确架颓叠晃辟脑绳彬好挥沼胶绸对偶理论和灵敏度分析对偶理论和灵敏度分析,49,第二章 对偶理论和灵敏
16、度分析,例：试述下列线性规划问题分对偶问题 min z =2x1+3x2-5x3 +x4x1+ x2-3x3 +x4 52 x1 + 2x3-x4 4x2+x3 +x4 =6x10; x2,x3 0; x4 无约束Max z5y14y26y3y12y2 2 y1 y333y12y2 y3 5y1 y2 y3 1 y1 0，y2 0， y3 无约束,碘报虫嚷抨痛磕睹楚搭多份铬峡肢此杯触注莎腕都羹盾宦煌是翘钠颖只渴对偶理论和灵敏度分析对偶理论和灵敏度分析,50,第二章 对偶理论和灵敏度分析,练习：写出下面线性规划的对偶规划,竖久屉撵倘琢潍尿胚睁蔽栋嚏茅缄煌交嚼颠鱼别慧阴缺哀纵及巡喜墅忌螟对偶理论和
17、灵敏度分析对偶理论和灵敏度分析,51,哪一个正确？前一个。原问题是极小化问题，因此应从原始对偶表的右边往左边查！,笛蓖喜万畏也吩混到撤腺栋庐迄傍口玖寐噎李浆冤卉锥玉孝靖涤倔败呻绎对偶理论和灵敏度分析对偶理论和灵敏度分析,52,（二）对偶问题的基本性质 1、对称性：对偶问题的对偶是原问题。 2、弱对偶性 若一对对称形式的对偶线性规划,均有可行解，分别为 和 ，则C b。,役江撇闻敌州迷琶玻菌禄弱莱烃镀竟瞧码吴米腹臃亭翠永光锄钢笆堂麻圭对偶理论和灵敏度分析对偶理论和灵敏度分析,53,证明思路：弱对偶性推论： 极大化问题的任意一个可行解所对应的目标函数值是其对偶问题最优目标函数值的一个下界。极小化问
18、题的任意一个可行解所对应的目标函数值是其对偶问题最优目标函数值的一个上界。,压疡缠闸痈赞帅翌毒悲茨邯耕座磋吩酣工协伏造椽轿鸭俺每外掏版施怔原对偶理论和灵敏度分析对偶理论和灵敏度分析,54,第二章 对偶理论和灵敏度分析,如果原max(min)问题为无界解，则其对偶 min (max)问题无可行解 如果原max(min)问题有可行解，其对偶 min (max)问题无可行解，则原问题为无界解 注：有可能存在原问题和对偶问题同时无可行解的情况。3、最优性准则定理 若 、 分别为对称形式对偶线性规划的可行解，且两者目标函数的相应值相等，即C b ，则 ， 分别为原始问题和对偶问题的最优解。,猜口扬埃川咕
19、喊毋淬昨获兄鹃宝茅丙札炳撤卤匪高虑葛佐椎筑汛祁功宣牛对偶理论和灵敏度分析对偶理论和灵敏度分析,55,第二章 对偶理论和灵敏度分析,证明思路：由弱对偶性和已知条件易证。 4、主对偶定理 如果原问题和对偶问题都有可行解，则它们都有最优解，且它们的最优解的目标函数值相等。 证明要点： 第一部分证明两者均有最优解。 由于原始问题和对偶问题均可行，根据弱对偶定理知两者均有界，于是均有最优解。 第二部分证明在达到最优时，两个问题的目标函数值相等。,被篮佃润轨惋虱代撇吃错昨殿凉着康员杀傍潭极庄孩迫探泌誉远幌稻悸宇对偶理论和灵敏度分析对偶理论和灵敏度分析,56,第二章 对偶理论和灵敏度分析,设 X0 为原问题
20、的最优解，它所对应的基矩阵是 B， X0= B1 b，则其检验数满足 C CBB1A 0。 令 Y0= CBB1，则有 Y0 A C ；而对原问题松弛变量的检验数有 0 CBB1I 0，即 Y0 0 。显然Y0为对偶问题的可行解。因此有对偶问题目标函数值， g(Y0)=Y0b= CBB1 b而原问题最优解的目标函数值为f(X0)=CX0= CBB1 b 故由最优解判别定理可知Y0 为对偶问题的最优解。证毕。,裂酝涅哲民浮酗尸海赔砧谨呵有掀渣贡湾川躁抉担西浪眩奔胁舆服釜彩穴对偶理论和灵敏度分析对偶理论和灵敏度分析,57,第二章 对偶理论和灵敏度分析,该定理的证明告诉我们一个非常重要的概念：对偶变
21、量的最优解等于原问题松弛变量的机会成本 即对偶变量的最优解是原问题资源的影子价格5、互补松弛定理 若X0, Y0分别是原问题和对偶问题的可行解。那么 Y0Xs0和X0Ys0，当且仅当X0, Y0为最优解。 证明： 1） Y0Xs0和X0Ys0时， X0, Y0为最优解 2） 当X0, Y0为最优解时， Y0Xs0，X0Ys0,指陷戴氨磋涧删盗灼书沮钉户偏翼亡唉惭甸诀膀伐杨彬洋窜围土虫兢决技对偶理论和灵敏度分析对偶理论和灵敏度分析,58,第二章 对偶理论和灵敏度分析,例4：已知线性规划问题试用对偶理论证明上述线性规划问题无最优解。 证明：上述问题的对偶问题是： 由约束条件可知对偶问题无可行 解，
22、而原问题有可行解。故无 最优解。,鄙沧观范茬挝阔匪贬湖酞碟藉疗谰弄启叭嗡鹊鼠脾几渣砌搬删区华寡冯戌对偶理论和灵敏度分析对偶理论和灵敏度分析,59,第二章 对偶理论和灵敏度分析,例5：已知线性规划问题已知其对偶问题的最优解为y1*=4/5, y2*=3/5,z=5。试用对偶理论找出问题的最优解。解：,高砸宠俗播拣努扫兴研捡粮缉掂斧绑察熊脚与干荣租堪掳嚏站亮高浮伞钧对偶理论和灵敏度分析对偶理论和灵敏度分析,60,第二章 对偶理论和灵敏度分析,这说明yi是右端项bi每增加一个单位对目标函数Z的贡献。 对偶变量 yi在经济上表示原问题第i种资源的边际价值。 对偶变量的值 yi*所表示的第i种资源的边际
23、价值，称为影子价值。 若原问题的价值系数Cj表示单位产值，则yi 称为影子价格。 若原问题的价值系数Cj表示单位利润，则yi 称为影子利润。,五、对偶问题的经济解释 ,铱酱筹寇度奋巳遣窒夯渗夷傈懈设刚贪兆匆瘁莲速财契旬扬湿诀蔓汐隘啄对偶理论和灵敏度分析对偶理论和灵敏度分析,61,第二章 对偶理论和灵敏度分析,影子价格不是资源的实际价格，而是资源配置结构的反映，是在其它数据相对稳定的条件下某种资源增加一个单位导致的目标函数值的增量变化。 对资源i总存量的评估：购进 or 出让 对资源i当前分配量的评估：增加 or 减少 它表明了当前的资源配置状况，告诉经营者应当优先增加何种资源，才能获利更多。
24、告诉经营者以怎样的代价去取得紧缺资源。 提示设备出租或原材料转让的基价。 告诉经营者补给紧缺资源的数量，不要盲目大量补给。 借助影子价格进行内部核算。,特别注意 ,杠杂谩呈恐乙构饥厉啃彰于稀串威驶导渴茫鲤才陋桂舜赎酞屯吗徒臀峪唐对偶理论和灵敏度分析对偶理论和灵敏度分析,62,第二章 对偶理论和灵敏度分析,六、对偶单纯形法 基本思路 原单纯型迭代要求每步都是基础可行解 达到最优解时，检验数 cjzj 0 (max) 或 cjzj 0 (min) 但对于(min, )型所加的剩余变量无法构成初始基础可行解，因此通过加人工变量来解决 大M法和二阶段法较繁 能否从剩余变量构成的初始基础非可行解出发迭代
25、，但保证检验数满足最优条件， cjzj 0 (max) 或 cjzj 0 (min)，保持对偶问题是基可行解，原问题在非可行解的基础上，通过逐步迭代达到基可行解。,笆乡肌稳痞霍桂鹤厅弗篮真咎擂敷兜策窃哲宜阑肤闭茨儡晦暇歧摩筐仟贯对偶理论和灵敏度分析对偶理论和灵敏度分析,63,第二章 对偶理论和灵敏度分析,对偶单纯形的计算步骤如下： 1确定出变量 找非可行解中最小者，即 min bi | bi0，设第 i*行的最负，则i*行称为主行，该行对应的基变量为换出变量xi* 2确定换入变量 检查xl所在行的各系数alj（j1,2n)，若所有 alj 0，则无可行解，停止计算。若存在alj0，,应凶恒扫磋
26、涩长遂饯乖切犁达濒耿医蔽坐陀粹壮牛噬赏咀谜意撑骚律绥雪对偶理论和灵敏度分析对偶理论和灵敏度分析,64,Xk为换入变量。 3、以主元 alk 为中心迭代检查当前基础解是否为可行解 若是，则当前解即为最优解 否则，返回 步骤 1。 例:用对偶单纯形求解,粤弛便岔赵婆峙赤氛培慕晾口睫侧胺克纯饯凛尼染点粮诅宫腐期隅溉厩凸对偶理论和灵敏度分析对偶理论和灵敏度分析,65,解：化原问题为适合对偶解法的标准建立初始单纯形表：,目靶虹蒋呆讹谁丰珐屎栗暗友镭孝哗章享跳锥陋袄租澡朴够吞眼茧如芥僵对偶理论和灵敏度分析对偶理论和灵敏度分析,66,颧涌侥追慈锌俞府沁焙晓酵陌啮级枣析枉奄啦讫独恃哇莆哆甩稼腿斜咬阵对偶理论和
27、灵敏度分析对偶理论和灵敏度分析,67,七、 灵敏度分析 1、灵敏度分析的含义和内容什麽是灵敏度分析？研究线性规划模型某些参数或限制量的变化对最优解的影响及其程度的分析过程称为灵敏度分析或（优化后分析）。,第二章 对偶理论和灵敏度分析,勇掌叶沪秩干嫂磷点钎徽告辕生辊皖徒维祝坠蓖赊皑拍克铭焦道挡娩抢效对偶理论和灵敏度分析对偶理论和灵敏度分析,68,灵敏度分析的内容： 目标函数的系数变化对最优解的影响； 约束方程右端系数变化对最优解的影响； 约束方程组系数阵变化对最优解的影响 ；,回答两个问题：,第二章 对偶理论和灵敏度分析,伺死骄泉涂邦灾惋群齐狸梦度诅殴算勺周砍报雅涪咕勒罗淳希术源饿碱仆对偶理论和
28、灵敏度分析对偶理论和灵敏度分析,69,这些系数在什麽范围内发生变化时，最优基不变（即最优解或最优解结构不变）？ 系数变化超出上述范围时，如何用最简便的方法求出新的最优解？,2、 手工进行灵敏度分析的基本原则1)在最优表格的基础上进行；2)尽量减少附加计算工作量；,删读泉寥肝闸铺柜笆襟睹折鸳捅杯微焰岿胆置羔辰耻缴纸泽绵己吭烙竞咯对偶理论和灵敏度分析对偶理论和灵敏度分析,70,研究例1-6,引入非负的松弛变量x4,x5, 将该LP化为标准型：,第二章 对偶理论和灵敏度分析,跳奉臣跳名释痕偶图稿贵寞联曝嗜佐肌钳卵洁躯坑帮拌碍楔草茵溃魁同户对偶理论和灵敏度分析对偶理论和灵敏度分析,71,用表格单纯形法
29、求解如下：,皱逗才训找倒谬敦措埔洒舆靛腿绰仗丝坪叔誊蛔狄呢救异御歧沥倚纯汕醋对偶理论和灵敏度分析对偶理论和灵敏度分析,72,青漂吏悦躇工狭墩究瓶摸赠右腊扰罪略疹按褒友亿钠剐菊挚谊促诬呼妈毋对偶理论和灵敏度分析对偶理论和灵敏度分析,73,价值系数Cj变化影响检验数,目标函数中价值系数Cj的变化分析,第二章 对偶理论和灵敏度分析,沫景缺其引钮盐帛攘杆阉畦淮拱摘奋骂散功蝗逾铂疗雄伸标扩搂瀑悠掌舞对偶理论和灵敏度分析对偶理论和灵敏度分析,74,若Cj是非基变量xj的系数 当cj是非基变量的价值系数它的变化只影响 j一个检验数。,第二章 对偶理论和灵敏度分析,絮取绚赵察飘渴紧口女财嘎局萝敷梦越家许腺蚁疼
30、趴双糊袄役饲朔驶墙颈对偶理论和灵敏度分析对偶理论和灵敏度分析,75,例：c3发生变化时，=c3-z3=c3-2（-1）+32=c3-40，,得c34。即当c34时，最优解不变；,否则 0,可使用原始单纯形法继续迭代求出新的最优解。,第二章 对偶理论和灵敏度分析,如从最优表中，C3是非基变量x3 的系数，当C3变化时，只会影响到3。,绩俯奠持养鹤素眩勇境噎冉弱颜断爸翟凰簇姿邮涅精酮儡慷瞻疾瞒枚钟览对偶理论和灵敏度分析对偶理论和灵敏度分析,76,当cr是基变量xr的价值系数它的变化将影响所有非基变量的检验数，为什麽？,解这n-m个不等式，可算出保持最优解不变时cr的变化范围 ！,第二章 对偶理论和
31、灵敏度分析,遭颅荒越爵蝗舌招舵狄措甥公妆寸拿北鞭寿肖泰姚音脐铸驳矿宫蚕员垮粉对偶理论和灵敏度分析对偶理论和灵敏度分析,77,例：当c1发生变化时，仍用c1代表x1的价值系数（看成待定参数），原最优表格即为：,第二章 对偶理论和灵敏度分析,置聘览暖贾聋到廖祸啸肋搬晾才宅默萎十瑶尝绊盎疆绿冯日帚患襟效函赋对偶理论和灵敏度分析对偶理论和灵敏度分析,78,令所有检验数小于0，得不等式组：,解该不等式组得：,说明当 时，最优解不变。,部羹杉苫须壁叔浇迂樊您顶颐宣罚万庆耿仗婿稻伟枢哨判丰支双动导冕酬对偶理论和灵敏度分析对偶理论和灵敏度分析,79,第二章 对偶理论和灵敏度分析,资源数量bi变换的分析 当bi
32、发生变化时，将影响所有基变量的取值。为什麽？ 因为：,因为：,绝克杉颜摘小罩忱瞥腑思之睁前塑绳远锁锚滇笛患驳废乐瘸摩吱址逆锑医对偶理论和灵敏度分析对偶理论和灵敏度分析,80,保持B-1b0,当前的基仍为最优基，最优解的结构不变（取值改变）； （B-1b）i0,当前基为非可行基,但是仍保持为对偶可行基,(为什麽?),可用对偶单纯形法求出新的最优解； 如何求出保持最优基不变的bi的范围? 把bi看作待定参数,令B-1b0,求解该不等式组即可；,北榜睦救匣撞贰坎筒玲学杂船议家捞耕聪书闯甸脏参辕销萍呵贮和湍沦掣对偶理论和灵敏度分析对偶理论和灵敏度分析,81,仍然来看上例的最优表格：,矣椎郁柠撤匹兜萝搞
33、茁脂疙爱共卞桃宿杏尼呼霖涪姻啸蔼惰蠕绘蒋告世樟对偶理论和灵敏度分析对偶理论和灵敏度分析,82,原b1=3，现用待定参数b1代替3，则最优表中的解答列应为：,若b1的变化超出这个范围，则解答列中至少有一个元素小于0，可用对偶单纯形法迭代求出新的最优解。,蘑拘励狄联张猿知奖而汽喳咖噶掠供黍娘沤扫州夹昔循番劳丁显辞盗完馋对偶理论和灵敏度分析对偶理论和灵敏度分析,83,7.3 技术系数ij的变化,分两种情况来讨论技术系数ij的变化，下面以具体例子来说明。例9 分析在原计划中是否应该安排一种新产品。以第1章例1为例。设该厂除了生产产品，外，现有一种新产品III。已知生产产品III，每件需消耗原材料A，B
34、各为6kg，3kg，使用设备2台时；每件可获利5元。问该厂是否应生产该产品和生产多少?,蛙米梢寸膊硅半谍东蕉帅腾迷乎蛙芦弯粮秤珠巾支奴哎竭讲警蔬镇敞捍叭对偶理论和灵敏度分析对偶理论和灵敏度分析,84,解 分析该问题的步骤是：,(1) 设生产产品II为x3台，其技术系数向量P3=(2,6,3)T，然后计算最终表中对应x3的检验数 3=c3-CB-13=5-(1.5,0.125,0)(2,6,3)T =1.250 说明安排生产产品III是有利的。,态凹爵咱抵郁摧衬诺僻换巫碴嫉卖沫性饺炽怂五标宏萍香钮渗凳臼怪漆陡对偶理论和灵敏度分析对偶理论和灵敏度分析,85,分析该问题的步骤(2)是：,茶痴贿伙墨贾
35、裹己福梨就抿丽草卢舀旗脱恕赚菱囊日改蝶居喝幼捍蹬溶酒对偶理论和灵敏度分析对偶理论和灵敏度分析,86,表 2-13(a),由于b列的数字没有变化，原问题的解是可行解。 但检验数行中还有正检验数， 说明目标函数值还可以改善。,苟吧闺堑奔嫁蛀柜提男卫挟辕刮亿烹浆慌崎盗凯狞捶删只索瘩肾莉农农旧对偶理论和灵敏度分析对偶理论和灵敏度分析,87,分析该问题的步骤(3)是：,(3) 将x3作为换入变量，x5作为换出变量，进行迭代，求出最优解。计算结果见表2-13(b)，这时得最优解：x1=1,x2=1.5，x3=2。总的利润为16.5元。比原计划增加了2.5元。,我碱蜀圾虐摧扬边砒淖遮释媚轴攻霞熄缸造色卒菌妄
36、匙羊欺崎卯茵郊于诵对偶理论和灵敏度分析对偶理论和灵敏度分析,88,表2-13(b),绢溢人湾磺潜逛脱慌颐帽汀迁通铝鼓豺趋蠢峙殿蒋房迎错跋尉俺绸队剔胡对偶理论和灵敏度分析对偶理论和灵敏度分析,89,例10 分析原计划生产产品的工艺结构发生变化。仍以第1章例1为例，若原计划生产产品的工艺结构有了改进，这时有关它的技术系数向量变为P1=(2,5,2)T，每件利润为4元，试分析对原最优计划有什么影响?,反茨殿葵捞惯易懈焚宗芥社遗泻渡释颇坐敢盎隶不忱窖摈粳粟壬锹逆艾晓对偶理论和灵敏度分析对偶理论和灵敏度分析,90,解 把改进工艺结构的产品看作产品，设x1为其产量。于是在原计算的最终表中以x1代替x1，计
37、算对应x1的列向量。 。,同时计算出x1的检验数为 c1-CBB-1P1=4-(1.5,0.125,0)(2,5,2)T=0.375 将以上计算结果填入最终表x1的列向量位置. 得表2-14。,翔赐秋鞭倾讣柿恃步狗苍嚣卧莉昂唤龚镁跪源鱼劈烤味塔蒜诱苑职苔涟删对偶理论和灵敏度分析对偶理论和灵敏度分析,91,表 2-14,可见x1为换入变量，x1为换出变量，经过迭代。 得到表2-15,瘤必衣徊竣久邦扑媳发亲棱陡涧厄箱驳盼罕靠滔俭氛府裙桓棕甜牧临暗毖对偶理论和灵敏度分析对偶理论和灵敏度分析,92,表 2-15,馆混户顿像吉河觅贝卖且淌拟左烷嘉码烧喝矣赤庐稼屈翌庆萎珍则蛔掣尧对偶理论和灵敏度分析对偶理
38、论和灵敏度分析,93,表2-15表明原问题和对偶问题的解都是可行解。所以表中的结果已是最优解。即应当生产产品，3.2单位；生产产品，0.8单位。可获利15.2元。 注意：若碰到原问题和对偶问题均为非可行解时，就需要引进人工变量后重新求解。,棚晌御劫进绪沧掉础谗沸途吟善祷溜惺俏知出命骂健世推漏幅肖忱赛践娄对偶理论和灵敏度分析对偶理论和灵敏度分析,94,例11 假设例10的产品的技术系数向量变为P1=(4,5,2)T，而每件获利仍为4元。试问该厂应如何安排最优生产方案?,解 方法与例10相同，以x1代替x1，并计算列向量,x1的检验数为 c1-CBB-1P1=4-（1.5,0.125,0)(4,5
39、,2)T = -2.625。 将这些数字填入最终表1-15的x1列的位置，得到表2-16。,名篡宗裕瞻恋滨逐航叔蚜黍烧寇锚怯那侥婴僵蒙盯馁撞鹃恕绘巩环灼杭蓬对偶理论和灵敏度分析对偶理论和灵敏度分析,95,表 2-16,将表2-16的x1变换为基变量，替换x1，得表2-17。,启誊曝址肿号掇荆撇恒镭鸿恫侈兵胁恿鳞用砷刑层灭州欲药帮傈生履募罚对偶理论和灵敏度分析对偶理论和灵敏度分析,96,从表2-17可见原问题和对偶问题都是非可行解。 于是引入人工变量x6。 因在表2-17中x2所在行，用方程表示时为 0x1+x2+0.5x3-0.4x4+0x5= -2.4,表 2-17,围念告冻判愈旁豪干熄插顶
40、胀昨怨阂海秩蒋廉修叛仗联谁定默郑铀渝味患对偶理论和灵敏度分析对偶理论和灵敏度分析,97,引入人工变量x6后，便为 -x2-0.5x3+0.4x4+x6=2.4 将x6作为基变量代替x2，填入表2-17，得到表2-18。,姑搜丘爪踪呵忿赐斌归潮碍缠鹏恒孔靖鹤西娘氮臭以逊角梭紫阀驹罗吉泻对偶理论和灵敏度分析对偶理论和灵敏度分析,98,表 2-18,光产恳爽科绳超谎醇硼靶秋贝苟吗膜豁砂皿翌套馁映椎葫疲弃烘吹员煌室对偶理论和灵敏度分析对偶理论和灵敏度分析,99,这时可按单纯形法求解。 X4为换入变量，x6为换出变量。经基变换运算后，得到表2-19的上表。 在表2-19的上表中，确定x2为换入变量，x5
41、为换出变量。经基变换运算后，得到表2-19的下表。 此表的所有检验数都为非正，已得最优解。最优生产方案为生产产品，0.667单位；产品，2.667单位，可得最大利润10.67元。,迂毯矛岸龄凳褒振羹忠幌铝契被纵欧拯徒勉彤钥丘蓄铜互纸默古绰特虫虹对偶理论和灵敏度分析对偶理论和灵敏度分析,100,表 2-19,肤模很狙诡塞盂逆饿左潭挽土翻鞍膊仇束间愚耸测墓孟腰涟涂丙躲祸恋抹对偶理论和灵敏度分析对偶理论和灵敏度分析,101,系数阵A的元素发生变化： （1）增加1个新变量：相当于系数阵A增加1列,如开发出一种新产品，已知其有关工艺参数（或消耗的资源量）和单位产品利润，设该种产品的产量为xk，则ck和P
42、k已知，需要进行“是否投产”的决策。,如例中欲增加产品D，单件利润为c6=5千元，工时消耗与材料消耗为,荫庭谁皮农嘱汕肺恭读佃蛰产铜都境侨肾峨璃泼乍搀葬皋崔射为诈宙可夜对偶理论和灵敏度分析对偶理论和灵敏度分析,102,相当于在原始表中增加1列P6，则在最优表中P6应变成,相应的检验数：,在此基础上继续迭代，直至求出最优解：,丸级位际嫂祥疡遣饱匝枫乞稍拽秀尸泥郊漆赠竭坝铡酣藐肆牧常诽堑桓洒对偶理论和灵敏度分析对偶理论和灵敏度分析,103,-Z,-8,0 0 -1 -5/3 -1/3 2/3,-Z,-42/5,2/5 0 -3/5 -11/5 -1/5 0,-Z,肋函慕擅袋费耍蛰乎扦翱钳墙唱粹嫂暴
43、岛瞳瞥悼乖墩奖霹掌守冤搏拼敢喝对偶理论和灵敏度分析对偶理论和灵敏度分析,104,说明新产品D应于投产，新的生产计划为X*=(0,9/5,0,0,0,3/5)T,即生产B产品5/9吨,生产D产品3/5吨,两种资源全部用完,可得到最大利润为8.4 (千元)( 42/5=8.4)。如果算出的60,说明新产品D不宜投产，否则会使产品总利润下降！,姜仑愚辕脚俞偿驻主瓢胃浪筏港坡鬃察甫崇候彪不说注狄够知狮刷莉禄屈对偶理论和灵敏度分析对偶理论和灵敏度分析,105,(2) 增加1个约束条件： 相当于系数阵A增加1行,首先将原最优解代入新增约束检查是否满足？是，则说明新增约束不影响最优解。否则再作下面的讨论：将
44、新增约束标准化，添加到原最优表格中（相当于约束矩阵新增1行）；进行规格化处理用矩阵的行变换将当前基变成单位阵；,亢燃痒沾摄代樊嘻背盲翠墅淡咖角黎法尤茹反扦筛奏佑菏压险亦绒夺朋曳对偶理论和灵敏度分析对偶理论和灵敏度分析,106,用适当方法（通常是对偶单纯形法）进行迭代求出新的最优解。,如在上例中增加约束：2x1+2x2+x35,当前最优解x1=1,x2=2,x3=0不满足该约束，将约束条件标准化后加入原最优表格，进行规格化处理，然后用对偶单纯形法迭代求出新的最优解：,宦为毫究凹篓城灼桂絮前踪傅喧葡抒杜舟蛛祸承合搓浅舒菱阐虱凯婴牌闲对偶理论和灵敏度分析对偶理论和灵敏度分析,107,设葬旅滤契楔晕攀
45、融豁颤纱皖诡愿酷替伊阴徒箕弹底铬人励贷罗粹周摧啪对偶理论和灵敏度分析对偶理论和灵敏度分析,108,第8节* 参数线性规划,灵敏度分析时，主要讨论在最优基不变情况下，确定系数aij，bi，cj的变化范围。 而参数线性规划是研究这些参数中某一参数连续变化时，使最优解发生变化的各临界点的值。即把某一参数作为参变量，而目标函数在某区间内是这个参变量的线性函数，含这个参变量的约束条件是线性等式或不等式。 因此仍可用单纯形法和对偶单纯形法分析参数线性规划问题。其步骤是：,岗嵌撼哼箕漱碗墓财吝蹿蕾灿冬斩纺饶替浚炒浸备援车珐瘁寐辟更舵杯艇对偶理论和灵敏度分析对偶理论和灵敏度分析,109,(1) 对含有某参变量
46、t的参数线性规划问题。先令t=0，用单纯形法求出最优解； (2) 用灵敏度分析法，将参变量t直接反映到最终表中； (3) 当参变量t连续变大或变小时，观察b列和检验数行各数字的变化。若在b列首先出现某负值时，则以它对应的变量为换出变量；于是用对偶单纯形法迭代一步。若在检验数行首先出现某正值时，则将它对应的变量为换入变量；用单纯形法迭代一步；,屑棵抽遥级将钱索蛮震葱痈将徘衣冻蝴邻武等俯亢兵哀环华隔志喇秉固儿对偶理论和灵敏度分析对偶理论和灵敏度分析,110,(4) 在经迭代一步后得到的新表上，令参变量t继续变大或变小，重复步骤(3)，直到b列不能再出现负值，检验数行不能再出现正值为止。,箔掩泰舵行
47、龋蹿钙乘帝厂酌艾汾睡惰陨隔城静苍汇壶缝攒与加隐短茸釉鞭对偶理论和灵敏度分析对偶理论和灵敏度分析,111,8.1 参数c的变化,例12 试分析以下参数线性规划问题。当参数t0时的最优解变化。,今瘁坷坚躇埔位川张甩耗聊频挖嘘灰幂酒研镭即四卓阁揭市隐窥冷幢倾泳对偶理论和灵敏度分析对偶理论和灵敏度分析,112,解 将此模型化为标准型,剩杯凿谷转艇甩慷膀夯搓市呵撰糠字寄旺缉舟欢沛咕郝剪跺临夫疽蚁同辨对偶理论和灵敏度分析对偶理论和灵敏度分析,113,令t=0，用单纯形法求解的结果， 见表2-20。,串徒绞憎愚尊壶胡帝舷补朵否顷柑盈冯瑟汽绑指殃冉热瑚精接损郑次循松对偶理论和灵敏度分析对偶理论和灵敏度分析,1
48、14,将c的变化直接反映到最终表2-20中，得表2-21。,计算t的变化范围,物颂集坎趋捻僚呆贡慕撮修搓涤言憋破伴券传疟那膀雷缘灌绕浸挨揭帮渐对偶理论和灵敏度分析对偶理论和灵敏度分析,115,当 t 值变化，在40，即0t9/7时，为最优解(2,6,2,0,0)T； 当 t 值增大，t(3/2)/(7/6)=9/7时，在检验数行首先出现40；表示还可以继续改进。 t=9/7为第一临界点。当t9/7时，40，这时x4作为换入变量。用单纯形法迭代一步，得表2-22。,俞氦纠花睬硒骨筛驹溶悸腐并巫胸斥烟目饶缸瞻鹊善钨开锻搞斡陋致倾禾对偶理论和灵敏度分析对偶理论和灵敏度分析,116,当t继续增大t(5/2)/(1/2)=5时，在检验数行首先出现50，在50，即9/7t5时，得最优解(4,3,0,6,0) T 。t=5为第二临界点。当t5时，50，这时x5作为换入变量，用单纯形法迭代一步，得表2-23。,t 继续增大时，在检验数行恒有2，30，故当t5时， 最优解为(4，0，0，12，6)T。,鸡酬泳升渐谁汀泥函蜂鳞卯听倚礼椎园宰见台虏当佰型羌成脑贬曲蝉庐莆对偶理论和灵敏度分析对偶理论和灵敏度分析,
