1、作业习题答案习题二2.1 证明：在一个至少有 2 人的小组中，总存在两个人，他们在组内所认识的人数相同。证明：假设没有人谁都不认识：那么每个人认识的人数都为1,n-1，由鸽巢原理知，n 个人认识的人数有 n-1 种，那么至少有 2 个人认识的人数相同。假设有 1 人谁都不认识：那么其他 n-1 人认识的人数都为1,n-2，由鸽巢原理知，n-1个人认识的人数有 n-2 种，那么至少有 2 个人认识的人数相同。2.3 证明：平面上任取 5 个坐标为整数的点，则其中至少有两个点，由它们所连线段的中点的坐标也是整数。证明：方法一：有 5 个坐标，每个坐标只有 4 种可能的情况：（奇数，偶数） ；（奇数
2、，奇数） ；（偶数，偶数） ；（偶数，奇数） 。由鸽巢原理知，至少有 2 个坐标的情况相同。又要想使中点的坐标也是整数，则其两点连线的坐标之和为偶数。因为 奇数+奇数 = 偶数 ； 偶数+偶数=偶数。因此只需找以上 2 个情况相同的点。而已证明：存在至少 2 个坐标的情况相同。证明成立。方法二：对于平面上的任意整数坐标的点而言，其坐标值对 2 取模后的可能取值只有 4 种情况，即：(0,0) ,(0,1) ,(1,0), (1,1)，根据鸽巢原理 5 个点中必有 2 个点的坐标对 2 取模后是相同类型的，那么这两点的连线中点也必为整数。2.4 一次选秀活动，每个人表演后可能得到的结果分别为“通
3、过” 、 “淘汰”和“待定” ，至少有多少人参加才能保证必有 100 个人得到相同的结果？证明：根据推论 2.2.1，若将 3*（100-1）+1=298 个人得到 3 种结果，必有 100 人得到相同结果。2.9 将一个矩形分成(m+1)行 列的网格每个格子涂 1 种颜色，有 m 种颜色可以12m选择，证明：无论怎么涂色，其中必有一个由格子构成的矩形的 4 个角上的格子被涂上同一种颜色。证明：（1）对每一列而言，有（m+1）行，m 种颜色，有鸽巢原理，则必有两个单元格颜色相同。（2）每列中两个单元格的不同位置组合有 种，这样一列中两个同色单元格的位12m置组合共有 种情况12m（3）现在有
4、列，根据鸽巢原理，必有两列相同。证明结论成立。2.11 证明：从 S=1,3,5,599这 300 个奇数中任意选取 101 个数，在所选出的数中一定存在 2 个数，它们之间最多差 4。证明：将S划分为1,3,5，7,9,11, 595,597,599共100组，由鸽巢原理知任意选取101个数中必存在2个数来自同一组，即其差最多为4.2.12 证明：从 1200 中任意选取 70 个数，总有两个数的差是 4，5 或 9。设从 1200 中任意选取的 70 个数构成一组，即第一组： ；1270,a第二组： ；4,4a第三组： ；12709,9显然，这三组数均在 1209 之间，且共有 3*70=
5、210 个数，根据鸽巢原理一定有两个数相等，又因为任取的这 70 个数均不相同，所以这 2 个相等的数一定来自不同组，根据不同组的分布讨论如下：1） 如果这两个数分别来自第一组和第二组，则有 ；4jia2） 如果这两个数分别来自第一组和第三组，则有 ；9ji3） 如果这两个数分别来自第二组和第三组，则有 ；5ji得证。习题三3.8 确定多重集 的 11-排列数？3,45Mabc1!1!2703453.9 求方程 ，满足 的整数解的个数。1234xx1234,0,51xx68033.10 架上有 20 卷百科全书，从中选出 4 卷使得任意两本的卷号都不相邻的选法有多少种？解：n=20 ，r=4，
6、 1204172380nr3.17一局乒乓球比赛中，运动员甲以 11:7 战胜运动员乙，若在比赛过程中甲从来没有落后过，求有多少种可能的比分记录？解：根据题意，相当于求从点(0,0)到点(11,7)且从下方不穿过 y=x 的非降路径数，即为：171(7)!1)- 3260 0 23.211)会议室中有 2n+1 个座位，现摆成 3 排，要求任意两排的座位都占大多数，求有多少种摆法？解：(1)方法 1：如果没有附加限制则相当于把 2n+1 个相同的小球放到 3 个不同的盒子里，有种方案，而不符合题意的摆法是有一排至少有 n+1 个座位。这2323 - nn相当于将 n+1 个座位先放到 3 排中
7、的某一排，再将剩下的 2n+1-(n+1)=n 个座位任意分到 3排中，这样的摆法共有 种方案，所以符合题意的1()312 2 nn摆法有： 23 n方法 2：设第一排座位有 x1 个，第二排座位有 x2 个，第三排座位有 x3 个。x1+x2+x3=2n+1，且 x1+x2(2n+1)/2，x 1+x3(2n+1)/2，x 2+x3(2n+1)/2，即x1+x2n+1，x 1+x3n+1，x 2+x3n+1，令 y1= x1+x2-n-1，y 2= x1+x3-n-1，y 3= x2+x3-n-1，可知y1+y2+y3=2(2n+1)-3(n+1)=n-1 且 yi0，1i3。显然，x 方程
8、满足要求的解与 y 方程非负整数解一一对应，有种。2nn方法 3：要求每行非空如果没有附加限制则相当于把 2n+1 个相同的小球放到 3 个不同的盒子里，不允许为空，有 种方案，而不符合题意的摆法是有一排至少有 n+1 个座位。这21 -2nn相当于将 n 个座位先放到 3 排中的某一排，再将剩下的 2n+1-n=n+1 个座位任意分到 3 排中，每排不允许为空，这样的摆法共有 种方案，所以符合题213 2nn意的摆法有：213 2nn(2)会议室中有 2n 个座位，现摆成 3 排，要求任意两排的座位都占大多数，求有多少种摆法？解：(2)方法 1：如果没有附加限制则相当于把 2n 个相同的小球
9、放到 3 个不同的盒子里，有种方案，而不符合题意的摆法是有一排至少有 n 个座位。这相当232 nn于将 n 个座位先放到 3 排中的某一排，再将剩下的 2n-n=n 个座位任意分到 3 排中，这样的摆法共有 种方案。需要注意的是，三排中如果任意两排12 2 n都是 n 个座位共有 3 种情况，这 3 种情况在 中被重复计算了 2 次，因此需要将 2重复减去的 3 次加上。所以符合题意的摆法有：221 n方法 2：设第一排座位有 x1 个，第二排座位有 x2 个，第三排座位有 x3 个。x1+x2+x3=2n，且 x1+x2n+1， x1+x3n+1，x 2+x3n+1，令 y1=x1+x2-
10、n-1，y 2=x1+x3-n-1，y 3=x2+x3-n-1，可知 y1+y2+y3=2(2n)-3n-3=n-3 且 yi0， 1i3。显然，x 方程满足要求的解与 y 方程非负整数解一一对应，有种。nn方法 3：要求每行非空如果没有附加限制则相当于把 2n 个相同的小球放到 3 个不同的盒子里，不允许为空，有 种方案，而不符合题意的摆法是有一排至少有 n 个座位。这相当于21 n将 n-1 个座位先放到 3 排中的某一排，再将剩下的 2n-(n-1)=n+1 个座位任意分到 3 排中，每排不允许为空，这样的摆法共有 种方案，所以符合题意的2(1)32n摆法有： 2113 2n3.24n(
11、n2) 个不同的球分给甲、乙、丙 3 人，使得甲至少分得两个球，有多少种不同的分法？解： 1232nn ii3.2524 个相同的球分堆，使得每堆的球不少于 5，有多少种不同的分堆方法？方法 1：245iik526224243(1)(1)(1()xxxx 5624()()每堆去掉 4 个球，剩余球分堆的方法数51(2,)(0,1)(6,)(12,3)(8,4)(,5)82iBiBB其中 (2,3)(9,)(9,31466),1,2(,BB(8,)(,2)(4,3)(,)15B 习题四4.3 一项对于 A,B,C 三个频道的收视调查表明，有 20%的用户收看 A，16%的用户收看B，14%的用户
12、收看 C，8%的用户收看 A 和 B，5%的用户收看 A 和 C，4%的用户收看 B 和 C，2%的用户都看。求不收看 A,B,C 任何频道的用户百分比？解：设性质 P1 是收看 A 频道的用户百分比； P2 是收看 B 频道的用户百分比；P 3 是收看 C频道的用户百分比；Ai=x|xSx 具有性质 Pi，i=1,2,3。S 是受调查的所有用户的集合。；|123|0%,|16,|4%AA23|8|5,|123|%A根据定理 4.1.1，有123123121323123|(|)(|)|(064)854%65SAAAAACB232 7696654.4 某杂志对 100 名大学新生的爱好进行调查，
13、结果发现他们喜欢看球赛和电影、戏剧。其中 58 人喜欢看球赛，38 人喜欢看戏剧，52 人喜欢看电影，既喜欢看球赛又喜欢看戏剧的有 18 人，既喜欢看电影又喜欢看戏剧的有 16 人，三种都喜欢看的有 12 人，求有多少人只喜欢看电影？解：方法 1：设性质 P1 喜欢看球赛；P 2 喜欢看戏剧；P 3 喜欢看电影。Ai=x|xS x 具有性质 Pi，i=1,2,3。 S 是 100 名大学新生的集合。|0123|58,|,|52AA13|?,|16123|由题意可得，这 100 名大学生中每人至少有三种兴趣中的一种，123123121323123|(|)(|)|0(58)860ASAAAA所以可
14、得既喜欢看球赛有喜欢看电影的人有 13|(5)0()6因此只喜欢看电影的人有1231323123| |AAAA=52-(26+16)+12=22 人方法 2：131212|0(58)12S方法 3：设只喜欢看球赛的人数为 x；设只喜欢看电影的人数为 y；喜欢看球赛和电影但不喜欢看戏剧的人数为 z，则1038526xyz解得 y=22，所以 22 人只喜欢看电影。球赛戏剧电影1264 161426224.5 某人有六位朋友，他跟这些朋友每一个都一起吃过晚餐 12 次，跟他们中任二位一起吃过 6 次晚餐，和任意三位一起吃过 4 次晚餐，和任意四位一起吃过 3 次晚餐，任意五位一起吃过 2 次晚餐，
15、跟六位朋友全部一起吃过一次晚餐，另外，他自己在外吃过 8次晚餐而没碰见任何一位朋友，问他共在外面吃过几次晚餐?解：设 n 为在外面共吃过晚餐的次数，性质 Pi(1i6)表示他和第 i 位朋友吃过晚餐，Ai(1i6)表示他和第 i 位朋友吃过晚餐的次数。显然满足对称筛公式，其中(1)2,()6,(3)4,()3,(5)2,(6)1,NNN由题可得方程： 12345612345666666| | 218AAnCCC解得吃饭次数为 123456 183 4.13 计算棋盘多项式 R( )。解：R( ) = x*R( )+R( ) =x*(1+3x+x2)+(1+x)*R( )= x3+3x2+x+(
16、1+x)xR( )+R( )= x3+3x2+x+(1+x)x(1+x)+(1+4x+2x2)= 5x3+12x2+7x+14.14 A,B,C,D,E 五种型号的轿车，用红、白、蓝、绿、黑五种颜色进行涂装。要求 A 型车不能涂成黑色；B 型车不能涂成红色和白色； C 型车不能涂成白色和绿色； D 型车不能涂绿色和蓝色；E 型号车不能涂成蓝色，求有多少种涂装方案？解：A B C D E红白蓝绿黑A B C D E蓝绿白红黑A B C D E红白绿蓝黑1.若未规定不同车型必须涂不同颜色，则：涂装方案 434322.若不同车型必须涂不同颜色，则：禁区的棋盘多项式为：R( )=R( )R( )=(1
17、+x)(xR( )+R( )=(1+x)(xR( )R( )+R( )R( )=(1+x)(x(1+2x) 2+(1+3x+x2)2)=1+8x+22x2+25x3+11x4+x5所以：N =5!-r14!+r23!r32!+r41!- r50!=5！-8*4 ！ +22*3！-25*2 ！+11*1 ！-1=20习题五5.1 求如下数列的生成函数。（1） ；（2） ；)1(kak kka2)1(（3） ； （4） ；6（5） ； （6） ；kna3ka解： 1200 1(1)(1)()()kkkk xAxx200(2)()2(2)()kkk kx222000665(3)(6)6(1)(1)(
18、)kkk xxAxx 0002323(4)()()2(1)()(1)kkkk xxx10(5)()kk nnAx3232000002343234 41(6) 6311()()(1)6()()k kkkkkx xxxxx33033340(6)(1)kkkkkkkAxxxx5.3 已知数列 的生成函数是 ，求 .kaxxA31922ka2039()31kxA2kna5.15知数列 的指数生成函数是 ，求 。k 2()5xxGeka220()55!kxxGe7ka6.5 平面上有 n 条直线，它们两两相交且沿有三线交于一点，设这 n 条直线把平面分成 个区域，求 的递推关系并求解.()fn()f解：
19、设 n-1 条直线把平面分成 个区域，则第 n 条直线与前 n-1 条直线都有一个(-1)fn交点，即在第 n 条直线上有 n-1 个交点，并将其分成 n 段，这 n 段又把其所在的区域一分为二。0101#1()1),(2) 2 *()2()()() )2fnnxfnbnbnfcnf齐 次 特 征 方 程 ：特 征 根 ：非 齐 次 特 解 ：代 入 递 推 关 系 得 ：，代 入 递 推 关 系 得 ：6.6 一个 的方格图形用红、蓝两色涂色每个方格，如果每个方格只能涂一种颜色，1且不允许两个红格相邻，设 有种涂色方案，求 的递推关系并求解.()fn()fn解： (-2)f(-1)fn设 f
20、(n)为 的方格图形的涂色方案。1当 n=1 时，f (1)=2，即一个方格有红、蓝两种涂色方案。当 n=2 时，f (2)=3，即两个方格有（红、蓝） ， （蓝、红） 、 （蓝、蓝）三种涂色方案。由于不允许两个红格相邻，所以不存在（红、红）的情况。当 n2 时，如果第一个格子涂为蓝色，则剩余 n-1 个格子的涂色方案数为 f(n-1)；如果第一个格子涂为红色，由于不允许两个红格相邻，所以第二个格子必为蓝色，则剩余 n-2 个格子的涂色方案数为 f(n-2)。于是，当 n2 时涂色方案数为 f(n)= f(n-1)+ f(n-2)。(1)2;()3; - -2).ffnf先求解这个递推关系的通
21、解，它的特征方程为 ,012x解这个方程，得 .25,1x所以，通解为 .251251)( nnccnf 代入初值来确定 和 ，得1c2125,3-3.2c求解这个方程组，得215,c215.c所以，原递推关系的解为 33()2255nnfn（ ）.,106.7 核反应堆中有 和 两种粒子，每秒钟内 1 个 粒子可反应产生出 3 个 粒子，而 1 个 粒子又可反应产生出 1 个 粒子和 2 个 粒子.若在 t=0s 时刻反应堆中只有 1 个粒子，求 t=100s 时刻反应堆里将有多少个 粒子和 粒子.解：设 t 时刻反应堆中 粒子数为 ， 粒子数为()ft()gt在 t-1 时刻 (-1)ft
22、(-1)t在 t 时刻 g32(-)fgt21#1212()1),(2)30,()(),),( 30 , ()()34 ()ttftgnfttftttgxgtccgt齐 次 特 征 方 程 ：特 征 根 ：齐 次 通 解 ：代 入 递 推 关 系 得 ：， t11()33 ()44tttt tf6.8 求下列 n 阶行列式的值 nd2100012nd 解：当 n=1 时， 12当 n=2 时， 23d当 n2 时， -1-2nn先求解这个递推关系的通解，它的特征方程为 210,x解这个方程，得 12.所以，通解为 12().nnfc代入初值来确定 和 ，得1c212,3.求解这个方程组，得1,
23、c2.所以，原递推关系的解为（ ）.()fn,210n6.9 设 h(n)表示 n+2 条边的凸多边形为它的对角线划分所得的区域数，其中假定没有二条对角线在凸多边形内有一公共点。定义 h(0)=0，对 n=l，2，证明1()3nhn证明：如图所示，在凸 n+2 边形中，划出以任意两相邻边为边的三角形，例如ABC。则余下的是 n+1 个顶点的凸多边形，它的对角线划分所得的区域数为 h(n-1)。由 A 点引出的对角线共有 n-1 条，分ABC 为 n 块。下面我们计算一下由 A 点引出的对角线对 n+1 条边的凸多边形划分所增加的区域数。在 n+1 个顶点中仟取三个，不妨设为 D，F，H，其中必有一个顶点(这里是 F)使得对角线 AF 把 D 和 H 分在两边。所以对角线 DH 必与对角线 AF 相交。又由题意知，这个交点不会有其它对角线通过。这说明每新增加一个交点必与 n+1 个顶点中的三个顶点相对应。故新增加的交点数为 C(n+1,3)个。另外，从 A 引出的每一条对角线上的交点数正好与这条对角线在凸 n+1 边形内截成的线段数相同，而每一线段恰好把 n+1 边形内某一区域分为两个，故新增加区域数为C(n+1,3)个。所以有1()3nhn这是一个线性常系数非齐次递推关系，可以求得 2()4
