1、1函数交汇性热点考点剖析三水中学 张启凡 （本文发表在J广东教育高中2007，5）函数是贯穿中学数学的一条主线，函数、方程皆为主干知识，其知识网络交汇点多、渗透性强，已成为高考命题的一个重要方面.高考一般利用选择、填空题进行基本思想的考查，而在解答题中，则从深层次、高观点着手，突出能力立意的前提下，在函数与方程、与不等式、与导数及数列等知识交汇处创新，设置情景新颖的把关题，从思想方法与相关能力的层面上进行综合考查.本文主要揭示函数与方程考题的几个交汇点，供参考.1 函数与方程相互交汇函数与方程密不可分， 的零点是方程 的解，即 的图像)(xfy0)(xf )(xf与 轴的交点坐标；方程 的解就
2、是函数 与 图像交点的横xg)(g坐标.方程中确定参量的范围或根的讨论问题，常化归为函数问题，利用函数的图像和性质求解.例 1 关于 的方程 ，给出下列四个命题：存在实数 ，x22(1)0xkk使得方程，恰有 2 个不同的实根；恰有 4 个不同的实根； 恰有 5 个不同的实根；恰有 8个不同的实根；其中真命题的是 （填上所有真命题的方号）解析 设 记为方程（1） ；则有 ，即|1|2xt )0(t 02kt记为方程（2）.分别作出图像.tk观察图像（b） ，当 时，方程（2）在 有两根，由图（a）得方4/10k)1,0(程（1）有 8 个根；同理，当 时， 和 1，显然（ 1）有 5 个根；当
3、tt1(a)-1 o 1 x(b)k1/4o 1 t2时， ，得（1）有 4 个根；当 时， （2）在 有 1 根，则4/1k2/t 0k),(（1）有 2 根.故命题全为真.点评：此题是讨论方程根的个数问题，通过引参换元，构造两个函数分散了难点，再借助函数大致图像，观察方程根的个数变化情况，优化了解题效果. 若直接分类化为高次的分段函数，难度较大.例 2 对于函数 ，若存在 ，使 ，则称 为 的不动)(xfRx0)(0xf0x)(f点.已知 .)(1)(2abaf（1）若对任意的实数 ， 恒有两个不动点，求 的范围；xf a（2）在（1）的条件下，若 图像上 两点的横坐标是 的不动点，)(B
4、A, )(xf且 关于直线 对称，求 的最小值 .BA, 12/akxyb解析（1） 有两个不动点，即方程 有两个)(f xf)( 012bxa不等实根.则有 ，因为 ，所以 ，解得042bR)4()(.0a（2）由不动点定义可设 ，则 为为方程),(),(21xBxA21,x的两根.因 斜率为 1，由条件可得 .设 的中点为01bx kBA,，则其坐标为 ，由 得E)2,(abEyx aab/122，42， 当 时， .10a242minb点评：此题是一道信息阅读题，正确理解“不动点”的定义是构造方程求解的基础；注重一元二次方程根的讨论是进一步解题的关键；找出等量关系建立方程，并将 转化为关
5、于 的函数的最小值问题是解题的重要策略 .ba2 与不等式交汇函数、方程、不等式间联系密切，相互渗透. 不等问题中，求变量的范围、比较大小或证明不等式，常通过构造函数，利用函数性质及图像，优化解题效3果.例 3 定义在 上的函数 满足 ，当 时，R)(xf )2()xff 5,3，则（ ）|4|2)(xf)6(cos)sin.fA )3(cos)(cs. ffB1(fC 2inD解析 去绝对值符号得 ，由 得周期43,256)(xxf )()xff.画出大致图像，知 在 递增，在 递减，结合正余弦函数图2Tf0,1)1,0(像，易判断 都不对，故选 .CBA,D点评：将函数在 上的单调性，借助
6、周期性拓展到 是解题的关键. 5,3 ,利用函数图像与单调性比较大小，是解此类题的重要策略.例 4 已知函数 ， 的导函数是 ，对任意两)0(ln2)(xaxf (f)(xf个不相等的正数 ，证明: 当 时， .21,4|)| 2121 x解析 此题若直接分类去绝对值符号，难度大. 先整体转化，并观察不等式两端的形式化特征，再准确捕捉变化的着力点，选择最优化的解题过程.由 得xaxfln2)()(fxa2则 |)(|21f|)| 21121只需证 1 即可| 2121x只要不等式 1 成立，则上式成立)(a即 （*）成立x21210)(221121 xx，2144a212则有 212 4)(
7、xxxx要证（*）成立，只需证 ,即证 ,021212 04)(21321x4构造函数，设 ，则 ，利用导数易证),0(21txt 4)(3tth在 上单调递增，则有 ，不等式得证.)(th),0点评：该题综合性强，对化归思想、函数思想以及推证能力要求较高. 解答的重要思路是化归转化、引参换元回归函数. 近年来，以函数和不等式编织的证明题，观点高、综合性强，频繁出现在把关题或压轴题中，这类题要注重导数的应用.3 与数列交汇数列是一类特殊的散点函数，因而数列问题可以融入函数之中，利用函数思想方法解决.例 5 一给定函数 的图象在下列图中，并且对任意 ，由关系)(xfy )1,0(a式 得到的数列
8、 满足 ，则该函数的图象是 （ )(1nnaf na)(*1Nnan）A B C D解析 由题意 ，注意 是 图像上点，以及任意naf)()(,naf)(xfy，便知当 时，从数量的角度有 ，从形的角度便是)1,0(a1,0x 其图像在直线 的上方，故选 .yA点评：该题利用数列的单调性推导函数的性质，是正确判断图像的着力点. 判定抽象函数图像问题，一般策略是利用函数性质或特殊点的函数值的情况来判断.例 6 已知 .（1）求 的不动点；723)(xf )(xf（2）对两个不动点 ，求使 恒成立的常数 的)(,babxakf)( k值；（3）若数列 满足： ，求 .n ),1)(,1*Nnafn
9、n nalim5解析 （1）不动点为方程 的解，易得不动点为1/2 和 3；xf)(（2）由（1）得 ，3,2/1ba由 ，得 ；184372xxx 8k（3） ，由（2）得 .若设 ，则)(1nnaf 3218321nna321nanb是以 为首项， 为公比的等比数列， ，解出 并求出nb481)(4b.nalim21点评：本题将数列巧妙地渗透在函数中，借助函数性质探索数列的规律，求出通项.解答中，要注意三个问相互联系，层层推进的逻辑关系.4 与解析几何交汇解析几何研究的对象是曲线与方程，解几问题与方程密不可分.解几中一般确定参量的范围、求最值或探究位置问题，常可渗透函数与方程思想求解.例
10、7 已知 是定义在 R 上的单调函数，实数 ，)(xfy 21x,1,2a，若 ，则（ ）2x |)(|)(|21fxfA B C D00101解析 显然 ，由 表达式的结构特征，联想线段的定比分点公式，,知 分别是以 为横坐标的点确定的线段，以 和 为定比的两个分点,21,x 1的横坐标.由题意知分点在线段两端延长线上， .选 .0A点评：解析几何中有的量具有一定的几何意义，且形式化特征较明显. 该题将函数与定比分点公式交汇，设计巧妙.解题的关键在于识别公式内涵的几何价值.例 8 已知函数 的定义域为 ，且axf/)(),0(yxOPNM6，设点 是函数图像上的任意一点，过2/)(f P点
11、分别作直线 和 轴的垂线，垂足分别为 .Pxy NM,设 为坐标原点，求四边形 的面积 的最小值.ooMNS解析 由条件得 ，设 ， ，则 .2a),(0yxP),(t),0(y由 与直线 垂直得 ，即 ，解得 .PMxy1Mk10tx)(20yxt又 ，故 ，则 .002xy02xt,20SOPM)(10SOPN易得 ，故 时， .1)(120S 102min点评：建立关于 的目标函数，化归为求函数的最小值是解该题的基本策略. 运算上要注意将几何量间的关系数量化处理.5 与平面向量交汇近几年，以向量为载体，融合函数的考题频频出现，特别是向量与三角函数的交汇问题，成为三角综合题的重要方面.例
12、9 设平面向量 若存在三个实数 s、t 、k，使),231(),23(ba， ，且 .bktax)(2tsyyx（1）求函数 ； （2）若 在 上递增，求 的范围.)(f )(tfs),1k解析 由已知 .又由 ，得 0,1|bayxbta)(2tas0，化简得 kttfs3)(（2） ，因 在 上递增，2)(tf),1则当 时， 或 恒成立，1t0)(tf由 ，只要 即可)(f 2233tk3)(min2tk由 ，由于 ，所以不存在 ，使 在 上恒ttk 2tk),17成立. 故 .3,(k点评：将向量间的几何关系，通过坐标运算数量化，构建函数，回归函数问题，是解该题的思维取向；该题凸现用导
13、数研究函数、不等式的工具作用，具有思路清晰、明快简洁等特点，注重其方法，领会要领，强化应用意识；分离变量，利用函数的最值解恒成立问题，是一种重要策略.6 与概率统计交汇 将离散型随机变量的变化规律融合到函数、方程中，通过对函数性质或方程解的研究，揭示变量中蕴涵的某种关系，从而明确随机变量的概率分布，使问题得以解决.例 10 某商店采用“购物摸球中奖”的促销活动，摸球袋中装有 10 个号码为 ，球重为 的球，摸球方案如下表：n),10(*Nn )(219)(2gnf方案摸奖办法 奖金 凡一次购物在50,100 元者，摸球 1个，若球的重量小于该球的号码数，则中奖.10 元 摸出 2 球，若两球的
14、重量相等，则中奖.40 元试比较两种方案的中奖概率的大小.（说明：每个球以等可能性（不受重量的影响）从袋中摸出；假定符合条件的顾客均参加摸奖.）解析：当球的重量小于号码数时，有 ，nn2192解得 ，即 .则所求概率 .73n6,5403P设第 号与第 号的两个球的重量相等，不妨设 ，mm则有 2192192即 0)(nn8取值为：（1，8） ， （2，7） ， （3，6） ， （4，5）.),(mn所求概率 45210CP，即方案的中奖概率大.21点评：函数、方程与概率交织的考题，近两年皆出现在高考题中，此类题的特点，是通过函数的性质或方程的解的分布，揭示随机变量的取值规律，达到研究概率分布的目的.
