第五讲 几何原本和九章算术.doc

1、第五讲 几何原本和九章算术在 早 期 的 数 学 中 ， 我 们 可 以 看 到 两 种 不 同 的 也 是 基 本 的 数 学 思 想 的体 现 ： 演 绎 的 公 理 化 体 系 和 构 造 的 算 法 体 系 。 几 何 原 本 和 九 章算 术 就 是 这 两 种 思 想 的 代 表 。一、 几何原本 几 何 原 本 是 历 史 上 最 早 建 立 的 演 绎 的 公 理 化 的 体 系 。 演 绎 的 公理 化 体 系 是 从 有 限 的 不 加 证 明 公 理 和 定 义 出 发 ， 通 过 严 格 的 逻 辑 推 理 推演 出 所 有 其 他 命 题 的 一 个 有 序 的 理

2、论 整 体 。约 公 元 前 300 年 ， 古 希 腊 数 学 家 欧 几 里 得 （ Eucild） 将 希 腊 当 时最 为 发 达 的 数 学 -几 何 用 公 理 化 的 思 想 和 严 格 的 演 绎 推 理 的 逻 辑 方 法整 理 在 一 个 体 系 之 中 ， 形 成 了 几 何 原 本 这 本 书 。 几 何 原 本 的原 名 为 原 本 （ “Elements”） ， 17 世 纪 初 ， 翻 译 成 中 文 时 冠 以 几 何 原 本 沿 用 至 今 。 几 何 原 本 中 的 素 材 并 非 是 欧 几 里 得 所 独 创 ， 它 是 对 欧 几 里 得 之前 希 腊

3、 数 学 的 一 个 总 结 。欧 几 里 得 几 何 原 本 的 出 现 ， 是 数 学 史 上 一 个 伟 大 的 里 程 碑 ， 它不 仅 是 几 何 学 建 立 的 标 志 ， 同 时 也 是 公 理 体 系 在 具 体 学 科 中 应 用 成 功 的标 志 。(一 ) 几 何 原 本 的 基 本 内 容欧 几 里 得 的 几 何 原 本 全 书 共 十 三 卷 ， 总 共 有 475 个 命 题 （ 包括 5 个 公 设 （ Postulate） 和 5 个 公 理 （ Axiom） ） 。 除 几 何 外 ， 还 包括 初 等 数 论 ， 比 例 理 论 等 内 容 。第 一 篇

4、有 5 个 公 设 、 5 个 公 理 和 48 个 命 题 ， 讨 论 全 等 形 ， 平 行 线 ，毕 达 哥 拉 斯 （ Pythagoras） 定 理 ， 初 等 作 图 法 ， 等 价 形 （ 有 等 面 积 的 图形 ） 和 平 行 四 边 形 。 所 有 图 形 都 是 由 直 线 段 组 成 的 。欧 几 里 得 在 这 篇 中 给 出 了 23 个 定 义 提 出 了 点 、 线 、 面 、 圆 和 平 行线 等 概 念 。 接 着 是 五 个 公 设 ：（ I） 从 任 意 一 点 到 任 意 一 点 可 作 直 线 。（ II） 有 限 直 线 可 以 继 续 延 长 。

5、（ III） 以 任 意 一 点 为 中 心 及 任 意 的 距 离 （ 为 半 径 ） 可 以 画 圆 。（ IV） 所 有 直 角 都 相 等 。（ V） 同 一 平 面 内 一 条 直 线 和 另 外 两 条 直 线 相 交 ， 若 在 某 一 侧 的两 个 内 角 的 和 小 于 两 直 角 ， 则 这 两 直 线 经 无 限 延 长 后 在 这 一 侧 相 交 。其 中 第 五 个 公 设 称 为 欧 几 里 得 平 行 公 设 ， 简 称 第 五 公 设 。 公 设 之 后是 五 个 公 理 ：（ I） 和 同 一 量 相 等 的 诸 量 彼 此 相 等 。（ II） 等 量 加

6、等 量 ， 总 量 仍 相 等 。（ III） 等 量 减 等 量 ， 余 量 仍 相 等 。（ IV） 可 以 重 合 的 量 ， 彼 此 相 等 。（ V） 整 体 大 于 部 分 。现 代 数 学 把 “公 设 ”和 “公 理 ”看 作 同 义 词 ， 使 用 时 不 加 区 别 。 但是 欧 几 里 得 采 纳 了 古 希 腊 哲 学 家 兼 逻 辑 家 亚 里 士 多 德 （ Aristotle）的 观 点 ， 即 公 理 是 适 用 于 一 切 研 究 领 域 的 原 始 假 设 ， 而 公 设 则 仅 仅 是 适用 于 正 在 考 虑 的 这 一 特 定 学 科 的 原 始 假

7、设 。我 们 熟 悉 的 毕 达 哥 拉 斯 定 理 （ 即 勾 股 定 理 ） 就 是 本 篇 的 命 题 47和 命 题 48。第 二 篇 有 14 个 命 题 ， 利 用 线 段 代 替 数 来 研 究 数 运 算 的 几 何 代 数 法 。比 如 ， 两 数 的 乘 积 变 成 两 边 长 等 于 两 数 的 矩 形 的 面 积 。第 三 篇 有 37 个 命 题 ， 讨 论 圆 以 及 与 之 有 关 的 线 和 角 等 。第 四 篇 有 16 个 命 题 ， 讨 论 圆 的 内 接 和 外 切 多 边 形 。第 五 篇 有 25 个 命 题 ， 讨 论 量 和 量 之 比 的 比

8、例 理 论 。 （ 当 时 只 对可 公 度 量 ， 后 来 推 广 到 一 般 量 ）第 六 篇 有 33 个 命 题 ， 利 用 比 例 理 论 讨 论 相 似 形 。第 七 、 八 、 九 篇 共 有 102 个 命 题 ， 讲 述 数 论 ， 即 讲 述 关 于 整 数 和整 数 之 比 的 性 质 。 本 篇 把 数 看 成 线 段 ， 但 论 证 并 不 依 赖 于 几 何 。第 十 篇 有 115 个 命 题 ， 对 于 给 定 量 不 可 公 度 的 量 进 行 分 类 。第 十 一 篇 有 39 个 命 题 ， 讨 论 空 间 直 线 与 平 面 的 各 种 位 置 关 系第

9、 十 二 篇 有 18 个 命 题 ， 讨 论 面 积 和 体 积 。第 十 三 篇 有 18 个 命 题 ， 主 要 讨 论 五 种 正 多 面 体 。(二 ) 几 何 原 本 的 特 点1. 封 闭 的 演 绎 体 系 几 何 原 本 是 数 学 中 最 早 形 成 的 演 绎 体 系 。在 形 式 上 ， 它 是 以 少 数 原 始 概 念 （ 不 定 义 概 念 ） ， 如 点 、 线 、 面（ 虽 然 几 何 原 本 中 “定 义 ”了 这 三 个 概 念 ， 但 后 来 的 推 演 中 却 没 有利 用 这 些 定 义 ， 而 且 这 些 定 义 只 是 几 何 形 象 的 直 观

10、 描 述 ， 严 格 他 说 并 不能 算 作 定 义 。 因 此 一 般 仍 将 这 三 个 概 念 看 作 几 何 原 本 中 的 不 定 义概 念 ） 等 等 ， 和 不 证 明 的 公 设 和 公 理 为 基 础 ， 运 用 亚 里 士 多 德 所 创 立 的逻 辑 学 ， 把 当 时 所 知 的 几 何 学 中 的 主 要 命 题 （ 定 理 ） 全 部 推 演 出 来 ， 从而 形 成 一 个 井 然 有 序 的 整 体 。在 这 个 整 体 中 ， 除 了 推 导 时 所 需 要 的 逻 辑 规 则 外 ， 每 个 定 理 的 证 明所 采 用 的 论 据 均 是 公 设 、 公

11、 理 或 前 面 已 经 证 明 过 的 定 理 ， 并 且 引 入 的 概念 （ 除 原 始 概 念 ） 也 基 本 上 是 符 合 逻 辑 上 对 概 念 下 定 义 的 要 求 ， 原 则 上不 再 依 赖 其 它 东 西 。因 此 ， 几 何 原 本 是 一 个 封 闭 的 体 系 。 当 然 ， 几 何 原 本 在证 明 某 些 命 题 时 确 实 运 用 了 除 公 设 、 公 理 和 逻 辑 之 外 的 “直 观 ”。但 是 那 只 是 个 别 现 象 ， 并 不 影 响 整 个 体 系 。另 外 ， 从 几 何 原 本 与 当 时 的 社 会 生 产 、 生 活 的 关 系 看

12、 ， 它 的 理论 体 系 回 避 任 何 与 社 会 生 产 现 实 生 活 有 关 的 应 用 问 题 ， 因 此 对 于 社 会 生活 的 各 个 领 域 来 说 ， 它 也 是 封 闭 的 。所 以 ， 几 何 原 本 是 一 个 比 较 完 整 的 、 相 对 封 闭 的 演 绎 体 系 。2. 抽 象 化 的 内 容希 腊 人 在 研 究 几 何 方 面 的 功 绩 之 一 是 把 数 学 变 成 抽 象 化 的 科 学 。 希腊 人 之 前 ， 古 埃 及 和 巴 比 伦 数 学 是 经 验 的 数 学 ， 计 算 田 地 大 小 ， 计 算 物体 的 书 目 ， 都 有 实 际

13、 目 的 ， 而 希 腊 人 研 究 数 学 摆 脱 了 实 际 ， 它 们 不 关 注这 些 概 念 和 现 实 事 物 的 关 系 ， 他 们 的 几 何 里 没 有 田 地 ， 也 没 有 一 张 桌 子 ，他 们 竭 力 主 张 的 是 寻 找 事 物 的 普 遍 性 ， 想 从 自 然 界 和 人 的 思 想 的 千 变 万化 的 过 程 中 ， 分 离 抽 象 出 某 些 共 同 点 ， 这 种 追 求 理 性 、 讲 究 逻 辑 的 哲学 思 想 使 得 几 何 不 再 停 留 在 经 验 的 数 量 变 化 上 ， 使 对 数 学 的 认 识 从 感 性阶 段 提 高 到 理

14、性 阶 段 。因 此 ， 几 何 原 本 中 研 究 的 都 是 一 般 的 、 抽 象 的 概 念 和 命 题 ， 它所 探 讨 的 是 这 些 概 念 和 命 题 之 间 的 逻 辑 关 系 ， 从 一 些 给 定 的 概 念 和 命 题出 发 演 绎 出 另 一 些 概 念 和 命 题 。 它 不 讨 论 这 些 概 念 和 命 题 与 社 会 生 活 之间 的 关 系 ， 也 不 考 察 这 些 数 学 模 型 所 由 之 产 生 的 现 实 原 型 。 在 几何 原 本 中 研 究 了 所 有 的 矩 形 （ 即 抽 象 的 矩 形 概 念 ） 的 性 质 ， 但 是 从 未讨 论

15、一 个 具 体 的 矩 形 实 物 的 大 小 。 几 何 原 本 探 讨 了 数 （ 自 然 数 ）的 若 干 性 质 ， 却 不 涉 及 具 体 的 数 的 计 算 及 其 应 用 。 它 排 斥 各 种 理 论 的 实际 应 用 ， 对 抽 象 的 尺 规 （ 无 刻 度 的 直 尺 和 圆 规 ） 作 图 却 推 崇 备 至 。 重 视抽 象 理 论 、 而 不 注 重 数 学 理 论 的 现 实 原 型 及 其 具 体 应 用 ， 乃 是 该 著 作 的显 著 特 点 。3. 公 理 化 的 方 法古 希 腊 时 期 的 数 学 主 要 是 研 究 几 何 。 他 们 不 仅 把 几

16、 何 形 成 了 系 统 的理 论 ， 而 且 创 造 了 研 究 数 学 的 方 法 。 作 为 现 代 数 学 的 一 种 基 本 表 述 方 法和 发 展 方 式 的 公 理 化 方 法 ， 在 数 学 上 就 是 以 欧 几 里 得 几 何 原 本 为 开 端 的 。根 据 亚 里 士 多 德 的 想 法 ， 一 个 完 整 的 理 论 体 系 应 该 是 一 种 演 绎 体 系的 结 构 ， 知 识 都 是 从 初 始 原 理 中 演 绎 出 的 结 论 。 欧 几 里 得 几 何 原 本 恰 恰 体 现 了 这 一 想 法 ， 欧 几 里 得 用 尽 可 能 少 的 原 始 概 念

17、 和 一 组 不 证 自 明的 命 题 （ 公 设 和 公 理 ） ， 利 用 逻 辑 推 理 法 则 ， 对 当 时 的 几 何 知 识 重 新 组织 ， 建 成 一 个 演 绎 系 统 。具 体 地 看 ， 在 第 一 篇 中 开 头 的 5 个 公 设 和 5 个 公 理 ， 是 全 书 其 它命 题 证 明 的 基 本 前 提 ， 接 着 给 出 23 个 定 义 ， 然 后 再 逐 步 引 入 和 证 明 定理 。 定 理 的 引 入 是 有 序 的 ， 在 一 个 定 理 的 证 明 中 ， 允 许 采 用 的 论 据 只 有公 设 和 公 理 与 前 面 已 经 证 明 过 的

18、定 理 。 以 后 各 篇 除 了 不 再 给 出 公 设 和 公理 外 也 都 照 此 办 理 。这 种 处 理 知 识 体 系 与 表 述 方 法 就 是 公 理 化 方 法 。(三 ) 几 何 原 本 的 意 义 几 何 原 本 中 的 数 学 思 想 ， 是 古 希 腊 数 学 思 想 的 集 中 表 现 ，既 是 古 希 腊 时 期 对 数 学 认 识 的 一 个 飞 跃 ， 同 时 它 也 是 近 代 西 方 数 学 的 主要 源 泉 。巴 比 伦 ， 古 埃 及 的 数 学 是 经 验 的 数 学 知 识 的 积 累 ， 没 有 严 格 证 明 ，只 有 零 零 散 散 的 知

19、识 ， 几 何 原 本 根 据 几 何 材 料 的 内 在 联 系 ， 用 概念 作 为 判 断 和 推 理 的 基 础 逐 步 形 成 了 数 学 证 明 的 观 念 ， 这 是 对 数 学 认 识的 一 个 质 的 飞 跃 。 几 何 原 本 的 诞 生 将 人 们 的 数 学 观 念 提 升 到 了 一 个 很 深的 层 次 。 几 何 原 本 自 成 书 之 后 ， 在 数 学 界 产 生 巨 大 而 深 远 的 影 响 。 它 曾经 统 治 几 何 学 的 学 习 ， 在 世 界 各 地 以 各 种 不 同 的 文 字 ， 共 出 了 千 余 版 ，仅 次 于 圣 经 ， 大 约 成

20、 为 西 方 世 界 历 史 中 翻 版 和 研 究 最 广 的 书 ， 称 得上 是 世 界 上 最 杰 出 的 课 本 。 我 国 在 明 清 两 代 也 有 过 译 本 。 它 被 奉 为 数 学教 育 的 依 据 ， 人 们 正 是 从 这 本 书 里 认 识 到 数 学 是 什 么 ， 证 明 是 什 么 。正 如 斯 威 克 （ J. Swick） 所 说 ： “ 几 何 原 本 对 于 职 业 数 学 家 ，这 书 常 常 有 着 一 种 不 可 逃 避 的 迷 惑 力 ， 而 它 的 逻 辑 结 构 大 概 比 世 界 上 任何 其 他 著 作 更 大 地 影 响 了 科 学

21、思 想 。 ”多 少 年 来 ， 千 千 万 万 人 通 过 欧几 里 得 几 何 的 学 习 得 到 了 逻 辑 的 训 练 ， 从 而 步 入 科 学 的 殿 堂 。 而 且 ， 几 何 原 本 所 开 创 的 公 理 化 方 法 不 仅 成 为 一 种 数 学 陈 述 模 式 而 且 还 被移 植 到 其 它 学 科 ， 并 且 促 进 它 们 的 发 展 。二、 九章算术 九 章 算 术 ， 简 称 九 章 ， 作 者 不 详 ， 是 中 国 现 存 最 古 老 的 数学 书 ， 约 成 书 于 公 元 1 世 纪 的 东 汉 初 期 。秦 始 皇 建 立 统 一 的 封 建 帝 国

22、之 后 ， 统 一 了 文 字 和 度 量 衡 制 度 ； 到 了西 汉 ， 社 会 经 济 和 文 化 得 到 迅 速 发 展 ， 因 此 有 必 要 ， 也 有 可 能 对 先 秦 时期 已 经 积 累 起 来 的 、 丰 富 的 数 学 知 识 ， 进 行 较 为 系 统 的 整 理 ， 形 成 专 门的 数 学 理 论 。据 史 书 记 载 ， 秦 时 掌 管 过 国 家 图 书 的 张 仓 ， 西 汉 时 的 大 司 农 耿 寿 昌以 及 许 商 、 杜 忠 等 人 都 编 写 过 ， 或 校 订 过 算 书 ， 九 章 算 术 就 是 在这 些 算 书 的 基 础 上 ， 系 统

23、总 结 了 先 秦 和 东 汉 初 年 我 国 数 学 成 就 ， 经 历 代名 家 补 充 、 修 改 、 增 订 而 逐 步 形 成 的 。 至 迟 在 1 世 纪 时 ， 已 有 了 现 传本 的 内 容 。 现 传 世 的 九 章 算 术 是 三 国 时 魏 晋 数 学 家 刘 徽 于 263年 注 释 的 版 本 。(一 ) 九 章 算 术 的 基 本 内 容 九 章 算 术 是 算 经 十 书 中 最 重 要 的 一 种 ， “九 章 ”是 指 书 中 内容 分 为 九 章 ， “算 ”指 算 筹 ， 简 称 “筹 ”， “术 ”指 解 题 的 方 法 ， 因而 “算 术 ”是 指

24、 用 筹 演 算 的 原 理 和 方 法 ， 包 括 了 现 在 所 说 的 算 术 、 代数 和 几 何 的 各 种 算 法 。 九 章 算 术 的 内 容 十 分 丰 富 ， 全 书 采 用 问 题 集 的 形 式 ， 收 有246 个 与 生 产 、 生 活 实 践 有 联 系 的 应 用 问 题 ， 其 中 每 道 题 有 问 （ 题 目 ） 、答 （ 答 案 ） 、 术 （ 解 题 的 步 骤 ， 但 没 有 证 明 ） ， 有 的 是 一 题 一 术 ， 有 的是 多 题 一 术 或 一 题 多 术 。 现 将 各 章 内 容 简 介 如 下 ：第 一 章 “方 田 ”， 列 题

25、38 个 ， 立 术 21 条 。 着 重 介 绍 各 种 形 状 地亩 面 积 的 计 算 与 分 数 的 运 算 。 “方 ”有 单 位 面 积 的 意 思 ， “方 田 ”则是 计 算 一 块 田 含 多 少 个 单 位 面 积 的 方 法 。 分 数 的 运 算 包 括 分 数 的 四 则 运算 、 约 分 、 大 小 比 较 和 求 几 个 分 数 的 算 术 平 均 数 等 。第 二 章 “粟 米 ”， 列 题 46 个 ， 立 术 33 条 ， 讨 论 各 种 粮 食 之 间 互相 兑 换 的 问 题 。 “粟 ”是 谷 类 。 这 类 问 题 都 通 过 比 例 来 解 决 。

26、第 三 章 “衰 分 ”， 列 题 20 个 ， 立 术 22 条 ， 涉 及 的 内 容 比 较 杂 ，其 算 法 大 体 上 多 属 于 比 例 配 分 问 题 。 “衰 （ 音 崔 cui） ”是 按 比 例 ，“分 ”是 分 配 。第 四 章 “少 广 ”， 列 题 24 个 ， 立 术 16 条 ， 专 讲 开 平 方 、 开 立 方问 题 。 “少 ”是 多 少 ， “广 ”宽 广 。 “少 广 ”是 由 已 知 面 （ 体 ） 积 ，求 其 一 边 的 宽 广 是 多 少 的 问 题 。 本 章 给 出 了 “开 方 术 ”、 “开 圆 术 ”、 “开 立 方 术 ”和 “开 立

27、 圆 术 ”这 四 种 重 要 算 法 。第 五 章 “商 功 ”， 列 题 28 个 ， 立 术 24 条 ， 专 讲 各 种 土 木 工 程 中所 提 出 的 各 类 几 何 体 体 积 的 求 解 。 “商 ”是 商 量 或 度 量 ， “功 ”是 工程 。第 六 章 “均 输 ”， 列 题 28 个 ， 立 术 28 条 ， 主 要 讲 处 理 行 程 和 合理 解 决 征 税 的 问 题 。第 七 章 “盈 不 足 ”， 列 题 20 个 ， 立 术 17 条 ， 主 要 讲 运 用 “盈 不足 术 ”解 应 用 问 题 ， 涉 及 的 内 容 多 与 商 业 有 关 。第 八 章

28、“方 程 ”， 列 题 18 个 ， 立 术 19 条 ， 专 讲 线 性 方 程 组 的 解法 。 “方 ”就 是 把 一 个 算 题 用 算 筹 列 成 方 阵 的 形 式 ， “程 ”是 度 量 总名 ， 程 式 之 意 。 另 外 本 章 还 提 出 了 正 负 数 的 不 同 表 示 法 和 加 减 运 算 法 则 。第 九 章 “勾 股 ”， 列 题 24 个 ， 立 术 19 条 ， 主 要 研 究 勾 股 定 理 及其 应 用 。 本 章 继 承 和 发 展 了 商 高 提 出 的 勾 股 定 理 ， 并 且 开 创 了 直 角 三 角形 相 似 法 和 出 入 相 补 原 理

29、 。(二 ) 九 章 算 术 的 特 点1. 开 放 的 归 纳 体 系从 九 章 算 术 的 内 容 可 以 看 出 ， 书 中 所 涉 及 的 都 是 当 时 社 会 生产 和 生 活 方 面 需 要 解 决 的 数 学 问 题 。 如 ， 田 亩 测 量 、 工 程 建 设 、 交 通 运输 、 税 收 商 业 等 ， 几 乎 包 括 了 当 时 社 会 生 产 和 生 活 的 各 个 领 域 。 因 此 它是 一 个 与 社 会 实 践 紧 密 联 系 的 开 放 体 系 。 这 与 几 何 原 本 追 求 逻 辑的 完 美 形 成 了 鲜 明 的 对 照 。 九 章 算 术 的 表

30、述 体 系 有 两 个 特 点 ： 一 是 先 举 出 某 一 社 会 生 活 领域 中 一 个 或 几 个 问 题 ， 由 此 归 纳 出 解 决 这 一 类 问 题 的 一 般 方 法 一 一 “术 “； 再 把 该 领 域 内 多 类 “术 “归 总 成 章 ， 得 出 解 决 该 领 域 内 各 类 问 题 的方 法 。 方 田 、 商 功 、 均 输 、 粟 米 、 衰 分 等 章 都 是 这 样 的 表 述 方 法 。 二 是按 解 决 某 类 问 题 所 需 要 的 数 学 方 法 进 行 归 纳 ， 找 出 许 多 不 同 领 域 的 问 题都 可 应 用 的 相 同 计 算

31、方 法 ， 从 中 得 出 普 遍 的 数 学 模 型 归 纳 成 章 。 例 如 盈不 足 、 方 程 、 勾 股 、 少 广 等 章 为 这 类 表 述 方 法 。 无 论 哪 一 种 表 述 方 法 ，从 知 识 体 系 的 逻 辑 性 角 度 看 ， 采 用 的 都 是 从 个 别 到 一 般 的 归 纳 法 体 系 。因 此 ， 综 观 全 书 ， 九 章 算 术 是 一 个 开 放 的 归 纳 体 系 。2. 算 法 化 的 内 容 九 章 算 术 全 书 246 个 问 题 ， 均 属 计 算 问 题 ， 并 以 计 算 法 则 一 一“术 “来 构 建 全 书 。 即 使 几

32、何 问 题 ， 讨 论 的 也 是 求 积 等 方 面 的 内 容 ， 不 专门 论 述 或 求 证 几 何 图 形 间 或 图 形 的 各 元 素 间 的 关 系 ， 所 以 它 是 一 本 以 算法 为 中 心 的 经 典 的 数 学 名 著 ， 这 与 古 希 腊 注 重 逻 辑 理 论 体 系 的 数 学 名 著 几 何 原 本 完 全 不 同 。3. 模 型 化 的 方 法从 数 学 方 法 论 的 角 度 看 ， 九 章 算 术 普 遍 使 用 了 数 学 模 型 方 法 。各 章 都 是 先 从 相 应 的 社 会 实 践 中 选 择 具 有 典 型 意 义 的 现 实 原 型

33、， 并 把 它们 表 述 成 问 题 ， 然 后 通 过 “术 ”使 其 转 化 成 数 学 模 型 。 当 然 有 的 章 采 取的 是 由 数 学 模 型 到 原 型 的 过 程 ， 即 先 给 出 数 学 模 型 ， 然 后 再 举 出 可 以 应用 的 原 型 ， 例 如 ， “勾 股 ”、 “方 程 ”等 章 ， 其 标 题 就 是 数 学 模 型 的名 称 。 这 种 算 法 化 的 理 论 体 系 主 要 是 由 它 的 实 用 性 为 目 的 的 指 导 思 想 所决 定 的 。(三 ) 九 章 算 术 的 意 义1. 九 章 算 术 的 成 书 标 志 着 中 国 传 统 数

34、 学 体 系 的 形 成 ， 其 问 题 及思 想 方 法 对 后 世 的 影 响 巨 大 而 深 远 九 章 算 术 从 问 世 起 ， 人 们 便 由 它 来 学 习 数 学 。 到 隋 唐 时 期 开 始建 立 国 立 学 校 ， 其 中 有 算 学 科 ， 该 书 被 列 为 重 要 的 教 科 书 。 在 民 间 此 书也 广 泛 流 传 ， 所 以 ， 古 代 研 究 数 学 的 人 大 都 是 从 九 章 算 术 开 始 ，有 些 人 正 是 通 过 对 它 的 研 究 取 得 重 要 成 就 ， 成 为 历 史 上 杰 出 的 数 学 家 ，其 中 最 著 名 的 有 刘 徽

35、、 祖 冲 之 父 子 、 贾 宪 等 。 也 就 是 说 ， 九 章 算 术 不 但 在 普 及 数 学 知 识 方 面 起 过 巨 大 作 用 ， 而 且 还 在 培 养 和 造 就 数 学 家 方面 起 到 了 促 进 作 用 。 九 章 算 术 在 我 国 的 影 响 还 表 现 在 著 作 体 例 方面 。 九 章 算 术 以 后 的 许 多 数 学 著 作 都 按 其 格 式 编 写 ， 注 重 实 用 ， 不注 意 逻 辑 结 构 ， 采 用 “问 题 一 答 案 一 算 法 ”的 体 例 。 甚 至 一 些 著 作 的书 名 都 沿 用 “九 章 ”两 字 ， 如 数 书 九

36、章 、 详 解 九 章 算 法 等 。2. 九 章 算 术 中 的 数 学 成 就 是 多 方 面 的它 是 世 界 上 最 早 系 统 叙 述 分 数 运 算 的 著 作 ； 关 于 负 数 的 论 述 也 是 世界 上 最 早 的 。 印 度 发 现 负 数 的 记 录 最 早 见 于 7 世 纪 。 表 示 负 数 的 梵 文 ，与 汉 人 的 “负 ”字 相 同 ， 这 证 明 我 国 负 数 概 念 对 印 度 数 学 是 有 影 响 的 。至 于 西 欧 ， 直 到 17 世 纪 才 认 识 负 数 。 当 九 章 算 术 中 的 各 种 比 例算 法 传 到 欧 洲 时 ， 引

37、起 了 欧 洲 人 的 极 大 兴 趣 ， 他 们 称 之 为 “黄 金 算 法 ”， 认 为 它 是 各 种 算 法 中 最 宝 贵 的 算 法 。 我 国 古 代 叫 这 种 算 法 为 “今有 术 ”， 它 早 于 印 度 数 学 书 籍 所 载 的 “三 率 法 ”。 九 章 算 术 用“盈 不 足 术 ”来 解 决 算 术 中 的 难 题 。 这 种 算 法 约 在 9 世 纪 传 入 阿 拉 伯 ，13 世 纪 转 传 入 欧 洲 后 ， 得 到 广 泛 的 运 用 和 发 展 。 阿 拉 伯 人 把 盈 不 足 术 叫做 “契 丹 算 法 ”， 从 这 个 名 称 演 变 出 “

38、震 旦 ”（ 中 国 ） 一 词 ， 可 见 它确 系 由 我 国 传 播 出 去 的 。3. 九 章 算 术 对 中 国 周 边 国 家 数 学 及 社 会 的 发 展 也 有 一 定 的 作 用在 隋 唐 时 期 九 章 算 术 就 已 传 入 朝 鲜 、 日 本 。 对 日 本 、 朝 鲜 等 东方 诸 国 的 数 学 发 展 有 过 很 大 作 用 。 人 们 现 在 越 来 越 认 识 到 九 章 算 术 不 仅 对 我 国 古 代 数 学 影 响 极 大 ， 而 且 对 世 界 数 学 的 发 展 也 起 着 重 要 的 作用 ， 因 而 引 起 各 国 学 者 、 专 家 的 重

39、 视 ， 前 苏 联 、 日 本 、 德 国 、 英 国 等 国都 有 九 章 算 术 译 本 。4. 九 章 算 术 的 思 想 方 法 不 仅 对 古 代 数 学 的 发 展 产 生 了 重 大 影 响 ，而 且 也 是 现 代 数 学 思 想 发 展 的 源 泉在 现 代 数 学 的 发 展 过 程 中 ， 一 再 重 现 这 种 思 想 。 如 在 17 世 纪 微积 分 产 生 初 期 ， 就 不 是 靠 理 论 的 严 格 ， 而 是 靠 实 际 应 用 的 成 功 来 保 证 其“可 靠 性 ”的 。 现 代 应 用 数 学 是 按 应 用 方 向 或 主 要 应 用 的 数 学

40、 模 型 来 分类 的 。 现 代 数 学 是 一 个 开 放 的 系 统 ， 成 为 各 门 科 学 的 方 法 或 工 具 。 随 着电 子 计 算 机 的 蓬 勃 兴 起 ， 更 进 一 步 肯 定 了 以 发 展 算 法 和 计 算 技 术 为 中 心的 中 国 传 统 数 学 的 长 处 。 中 国 科 学 院 院 士 、 著 名 数 学 家 吴 义 俊 教 授在 几 何 定 理 的 机 器 证 明 领 域 所 取 得 的 成 就 ， 正 是 以 九 章 算 术 为代 表 的 中 国 传 统 数 学 特 色 在 现 代 条 件 下 的 发 扬 光 大 。(四 ) 古 希 腊 数 学

41、与 中 国 古 代 数 学 的 比 较 几 何 原 本 是 古 希 腊 数 学 的 代 表 ， 而 中 国 古 代 数 学 以 九 章 算术 为 代 表 。古 希 腊 数 学 和 中 国 古 代 数 学 有 许 多 共 同 之 处 。 但 是 ， 由 于 希 腊 和 中国 这 两 个 文 明 古 国 的 社 会 制 度 、 数 学 和 哲 学 的 关 系 、 文 化 背 景 及 统 治 阶级 对 数 学 的 态 度 等 方 面 的 差 异 又 决 定 了 希 腊 与 中 国 古 代 数 学 的 很 大 不同 。首 先 ， 从 内 容 上 ， 古 希 腊 数 学 以 定 性 研 究 为 主 ，

42、以 几 何 研 究 为 中 心 ；中 国 数 学 则 以 定 量 研 究 为 主 ， 以 算 法 研 究 为 中 心 。其 次 ， 希 腊 数 学 不 是 用 来 解 决 实 际 问 题 的 ， 他 们 所 研 究 的 内 容 都 是离 开 具 体 应 用 对 象 的 相 当 抽 象 的 性 质 。 相 反 ， 中 国 古 代 数 学 的 目 的 就 是实 际 应 用 ， 并 在 应 用 中 发 展 。 离 开 实 际 应 用 的 纯 理 论 数 学 在 中 国 未 占 主流 。第 三 ， 从 形 式 上 说 ， 希 腊 数 学 都 包 括 命 题 的 证 明 ， 并 试 图 构 成 一 个演

43、 绎 体 系 。 与 此 不 同 ， 中 国 传 统 数 学 的 特 色 是 构 造 性 、 计 算 性 和 机 械 化 。中 国 古 代 数 学 著 作 则 采 取 应 用 问 题 集 的 形 式 。第 四 ， 由 于 中 国 古 代 数 学 家 追 求 实 际 应 用 的 效 果 ， 而 古 希 腊 数 学 家强 调 逻 辑 的 严 密 ， 因 此 中 国 古 代 数 学 家 没 有 像 希 腊 人 那 样 受 悖 论 困 扰 。思 考 题 ：1. 简 单 叙 说 几 何 原 本 思 想 方 法 的 特 点 。2. 简 单 叙 说 几 何 原 本 的 体 例 。3. 简 单 叙 说 九 章

44、 算 术 思 想 方 法 的 特 点 。4. 简 单 叙 说 九 章 算 术 的 体 例 。-范文最新推荐-10电力安全月工作总结电力安全月工作总结 电力安全月工作总结 2011 年 3 月 1 日至 3 月31 日为我公司的安全生产月，*变电站围绕; 夯实基储提高素质、树立标杆、争创一流;的主题，开展了丰富多彩、形式多样的具体行动：通过看板形式宣传安全第一、预防为主的方针；通过 48+4 的学习机会，进行安全生产大讨论；通过安全活动进行查找本站的隐患的活动，电力安全月工作总结。形成了;人人学会安全，层层尽责保证安全;的良好氛围，使我站的安全生产工作又上了一个新的台阶。本站安全生产月活动具体工

45、作如下：1.开展安全月活动宣传工作，大家坐在一起讨论活动的主题、学习实施纲要、讨论各个实施阶段的活动安排。深刻反思 11.3 事故，汲取事故教训，每人写了一份 11.3 事故反思，并对本站的安全管理、记录报表、规章制度、培训工作、事故隐患每个值班员都谈了自己的看法和建议，对站内管理每个人都倾注了最大的热情，可见 11.3对每一个值班员的触动是刻骨铭心的，安全月的必要开展对变电站各项工作的促进，尤其对值班员安全意识、主人翁精神的影响最为深刻。2.深入开展安全生产大检查活动。在安全生产整顿周活动的基础上，结合秋季安全大检查，进一步查摆了本站安全生产的隐患，特别是各种规章制度的建立、健全、完善和执行

46、情况，对现场运行规程从全面、具体和针对性上进行了修订；制定全站停电的反事故预-范文最新推荐-11案，制定低温天气和防冰闪的反事故措施，进行现场演练。当前正处年底收关和人员调整后的敏感时期，人员思想浮动大，而且本站正在进行新母差与新间隔投运的准备工作，施工人员多，施工人员安全意识和安全防范技能较低，是近阶段我站安全运行的一大隐患，我们会同工作负责人一起讨论施工过程中的存在和潜在的危害，并有针对性地制定防范了措施，保证了施工安全的进行。针对人员素质参差不起，安全意识高低不同，我们制定了*站考核细则 ，制定措施, 明确职责和工作程序，对任何可能发生的情况做了充分的准备工作。3.利用交接- 班的时间，

47、我们查找本站存在的隐患，实行分片分区，责任到人，对查找到的隐患汇总分析，能自己解决的我们都及时认真地消除，对我站能力不足不能解决的，我们纳入工区的职业安全健康体系，由工区负责解决，工作总结电力安全月工作总结 。该报缺陷的上报缺陷，该报危害辨识的报危害辨识，使站内所有设备、所有工作、所有危险点在控、可控、能控。4.对在本月进行的工作、操作等，我们编制事故预案，如 220KV母差保护更换的准备工作和悬垂刷涂工作， 除了工区安排跟踪外，站内根据人员新调整、新人员对设备不熟悉的现状，三班改为两班，加强值班力量， 保证了各项工作的顺利完成。为防止意外发生，我们共同讨论制定出了在工作期间母线故障的反事故预案。5.每个班利用晚饭后的时间讨论检查了我站在遵章守制方面还存在哪些差距，现有规程制度能否满足现场规范化、标准化工作需要，-范文最新推荐-12并在站内宣读并实施了*站考核细则 ，按照个人能力分为 12 大员管理站内事务，规定每个值班员必须按照规章制度工作，否则就严格考核。在个人专业技能与岗位要求存在的差距，站内按人所需制订培训计划，建立心智加油站和个人提升计划的培训平台进行培训。工作日志、检修记录、安全活动、安全用具记录、缺陷记录等班组记录已经和工区进行交流，完善纪录格式。6.对全站值班员进行电力安全工作规程 、本岗位安全职责、工作中