1、实变函数论讲义程伟2012年12月5日2目录第一章实变函数论综述71.1 Riemann积分及其缺陷. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2 Lebesgue积分. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.3实变函数论谈什么？. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7第二章准备工作92.1集合论. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2、2.1.1集合的运算. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.1.2映射基数. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.2 Rn的拓扑. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.3 -代数Borel集Baire定理. . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.4 Rn作为度量空间. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3、. . 9第三章抽象Lebesgue积分113.1可测集可测函数测度. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.2 Lebesgue积分. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.3收敛的模式. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11第四章Rn上的Lebesgue测度134.1 Lebesgue测度的构造. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
4、34目录4.2 Lebesgue测度的不变性. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134.3关于Lebesgue测度的注记. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134.4可测函数的连续性. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134.5 Riemann积分与Lebesgue积分的关系. . . . . . . . . . . . . . 134.6 Rn上的Fubini定理. . . . . . . . . . . . . . . . . .
5、. . . . . . 13第五章Lp空间155.1凸不等式. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155.2 Lp空间. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155.2.1一般Lp空间. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155.2.2卷积. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155.2.3 Lp(R
6、n)空间，1 p 12d 且B d /2 /2 0。因为 1B 有界，从而其测度有限。但fB g两两互不相交表明m(1B ) =1m(B ) = 1;矛盾。因为B与至少一个B 相交，故存在最小的 1使得B B = 。因此B 0使得B(x;r)jfj dm t，则存在0 r使得t 0，jxj a，有Mf(x) 1m(B(x;2jxj)B(x;2jxj)jf(y)j dy 1m(B(0;2jxj)B(0;a)jf(y)j dy= CjxjnB(0;a)jf(y)j dy:因为jxj n在fjxj ag上非Lebesgue可积，故B(0;a)jf(y)j dy = 0:因此f = 0，a.e.。(3
7、)若f 2 L1(Rn)，不能保证Mf 2 L1loc (Rn)。我们举例说明：设n = 1，定义f(x) = 1xlog 2 x; 0 12x x0f(y) dy= 12x x0dyylog 2 y =12x (1log y) x0= 12xlog x:因为 1/(2xlog x)在0附近非可积，故Mf 2 L1loc (Rn)。(4)若f 2 L1(Rn)，则Mf为弱L1的。6.1 HARDY-LITTLEWOOD极大方法21由Chebyshev不等式：若g 2 L1(Rn)，则m(fx 2Rn : jg(x)j tg) 1tg1; 0 0使得t m(fx 2Rn : jg(x)j tg)
8、 C; 0 t: (6.2)固定k 2N，记F = fB(x;rx)gx2E为(6.2 )决定的开球族构成的EB(0;k)的开覆盖，则由定理6.1，存在满足Vitali覆盖定理的开球列fB g1 =1，则有m(E B(0;k) 1m(3B ) = 3n1m(B )0，存在 0使得若y 2B(x; )，有jg(y) g(x)j “。因此若0 tg) 2(3n + 1)f1/t，0 tg) m (fx : Mf(x) t/2g) + m (fx : jf(x)j t/2g) 3nf1/(t/2) +f1/(t/2) = 2(3n + 1)f1/t:24第六章微分现在开始证明定理。任给“ 0，存在g
9、 2 Cc(Rn)使得f g1 “。由4)和6)，m (fx : f(x) tg) = m (fx : (f g)(x) tg) 2(3n + 1)f g1/t 2(3n + 1)“/t:由“的任意性，m (fx : f(x) tg) = 0:故任给k 2N，fx : f(x) 1/kg为零测集。因此fx : f(x) 0g =k1fx : f(x) 1/kg为零测集。故对几乎所有的x 2Rn，f 0。由1)，f = 0，a.e.。第二个结论，即(6.4 )，是(6.3 )自然的推论。6.2.2一些应用作为Lebesgue微分定理的基本应用，我们来讨论下面一些重要的问题。一：Lebesgue点
10、定义6.7.设f 2 L1loc (Rn)，x 2Rn称作f的Lebesgue点若存在A 2R，使得limr!01m(B(x;r)B(x;r)jf(y) Aj dy = 0:若x为f的Lebesgue点，则A是唯一确定的，即A = limr!01m(B(x;r)B(x;r)f(y) dy:6.2 LEBESGUE微分定理及其应用25由此可以看出，x是否为Lebesgue点，与f在x处的取值f(x)无关。若f = g，a.e.，则f与g的Lebesgue点是完全相同的，也就是说Lebesgue点是由L1loc (Rn)的等价类决定。由Lebesgue微分定理，f的Lebesgue点的集合，称作L
11、ebesgue集，为Rn中的全测集。对事先给定的f 2 L1loc (Rn)，我们可以修改它在Lebesgue点上的值f(x) = A，这样我们就有f的所谓精确表示f(x) =limr!0 1m(B(x;r) B(x;r) f(y) dy; x为Lebesgue点;0;否则.很明显，若f = g，a.e.，则 f = g。思考题：求Heaviside函数H(x) =1; x 0;0; x 0。证明A + B包含了区间I =(c ;c + )，c = a + b，a;b分别为A和B的密度点。上面的讨论可以推广到一般的E Rn。此时，定义DE(x) = limr!0m (E B(x;r)m(B(x
12、;r) = 1引理6.12.（可测包）设E Rn，则存在A Rn为可测集，E A，且m (AnE) = 0。28第六章微分证明：先考虑m (E) 0，记U“ = fx 2 U : dU(x) “g:显然U“ U亦为开集。定义 2 C1c (Rn)如下：(x) =Ce 1jxj2 1; jxj 0; x 2Rn:30第六章微分f “g“0称作标准磨光子，supp “ = B(0;“)。若f 2 L1loc (U)，定义f“ = “ f;即f“(x) =U“(x y)f(y) dy; x 2 U“:前面我们已经知道，f“是逼近局部可积函数f的重要方法。下面我们借助Lebesgue微分定理，研究这种
13、逼近的点态性质。为了方便，我们将在下面的定理中罗列这种逼近序列的基本的和主要的性质。定理6.14.（磨光子）(1)任给“ 0，f“ 2 C1(U“)；(2)若f 2 C(U)，则任给紧集K U，这当“ ! 0时，f“在K上一致收敛于f；(3)设1 p 1，f 2 Lploc，则f“在Lploc中收敛于f；(4)若x为f的Lebesgue点，则f“(x) ! f(x)。特别f“几乎处处收敛于f。证明：(1)任给x 2 U“，设feigni=1为Rn的自然基。对jhj充分小，x+hei 2U“，则有f“(x + hei) f“(x)h =1“nU1h(x + hei y“)(x y“)f(y) dy= 1“nK1h(x + hei y“)(x y“)f(y) dy;其中K U为某紧集。上述微商当h ! 0时收敛于1“ xi(x y“)= “n “xi(x y); y 2 K:由中值定理，上面积分项绝对值有界1“D 1jfj 2 L1(K):
