1、1第一章 量子力学的诞生1.1 设质量为 m 的粒子在一维无限深势阱中运动， axxV0,)(试用 de Broglie 的驻波条件，求粒子能量的可能取值。解：据驻波条件，有 ),321(2na（1）/又据 de Broglie 关系（2）/hp而能量（3）,32124/22 nmanhE1.2 设粒子限制在长、宽、高分别为 的箱内运动，试用量子化条件求粒子能量的可能取值。cb,解：除了与箱壁碰撞外，粒子在箱内作自由运动。假设粒子与箱壁碰撞不引起内部激发，则碰撞为弹性碰撞。动量大小不改变，仅方向反向。选箱的长、宽、高三个方向为 轴方向，把粒子沿 轴三个方向zyx, zyx,的运动分开处理。利用
2、量子化条件，对于 x 方向，有 ,321,xnhdp即 （ ：一来一回为一个周期）ax2a,nx/同理可得， , ,bhpychnpz2/321,zx粒子能量 2222)( cnbampmE zyxzyxnzyx ,31,zyx1.3 设质量为 的粒子在谐振子势 中运动，用量子化条件求粒子能量 E 的可能取值。2)(xV提示：利用 )(,2, VEpnhxdp )(x2解：能量为 E 的粒子在谐振子势中的活动范围为（1）ax其中 由下式决定： 。 0 a21)(xmVxax由此得 ， （2）2/E即为粒子运动的转折点。有量子化条件x hnama dxadxdxpa 22 22)1(得 （3）m
3、nha22代入（2） ，解出（4）,1,En积分公式： cauuadua rsin2221.4 设一个平面转子的转动惯量为 I，求能量的可能取值。提示：利用 是平面转子的角动量。转子的能量 。,1,20 nhpp IpE2/解：平面转子的转角（角位移）记为 。它的角动量 （广义动量） ， 是运动惯量。按量子化条件 .I,321,220 mhpdx，因而平面转子的能量，IIpEm2/2,31第二章 波函数与 Schrdinger 方程2.1 设质量为 的粒子在势场 中运动。)(rV（a）证明粒子的能量平均值为 ，wdE3（能量密度）mw*2（b）证明能量守恒公式 0st3（能流密度） *2ttm
4、s证：（a）粒子的能量平均值为（设 已归一化）（1）VTrdE32*（势能平均值） （2）Vrd*3*322*3 )(值rdmT其中 的第一项可化为面积分，而在无穷远处归一化的波函数必然为 。因此 T 0（3）*32rdT结合式（1） 、 （2）和（3） ，可知能量密度（4）,2*Vmw且能量平均值 。rdE3（b）由（4）式，得 * *2.2.* .*.*2.2.*2 .*.*.*.*2Es VmVmVtw（ ：几率密度）t（定态波函数，几率密度 不随时间改变）s所以 。0tw2.2 考虑单粒子的 Schrdinger 方程4（1）triVrtmtri ,2, 21 与 为实函数。1V2（a
5、）证明粒子的几率（粒子数）不守恒。（b）证明粒子在空间体积 内的几率随时间的变化为 *32*32rdVSimrdtS 证：（a）式（1）取复共轭， 得（2）*21*2*iVti （1）- （2）,得*2*22* iVmti （3）*2it即 ，0Vjt此即几率不守恒的微分表达式。（b）式（3）对空间体积 积分，得 *23*3*32rVdSimirdt S 上式右边第一项代表单位时间内粒子经过表面进入体积 的几率（ ） ，而第二项代表体积 中Sj“产生”的几率，这一项表征几率（或粒子数）不守恒。2.3 设 和 是 Schrdinger 方程的两个解，证明12。0,2*13trrdt证： （1）1
6、Vmti5（2）222Vmti取（1）之复共轭： （3）*12*1ti（3） （2）,得2*12*122*1 mti对全空间积分： 2*12322*13, rdtrrdti 2*1*122*1232 m2*1232rd， （无穷远边界面上， ）022*1Sdm0,21即 。,.2*13trrdt2.4）设一维自由粒子的初态 ， 求 。/0,xipet,解： /20,tmxpiet2.5 设一维自由粒子的初态 ，求 。x0,2,t提示：利用积分公式 sincos22dd或 。4expexp2ii解：作 Fourier 变换： ，dipx10,， 21)(2,21 xeexp ipipx6（ ）d
7、petxEtxi/21,mp2（指数配方）pxtmidptxitetix 221令 ，则2tpmt42exp212, 4/222tmitetdtetxitixitimx。ttx,22.6 设一维自由粒子的初态为 ，证明在足够长时间后，0,xtmxtiitm2exp4e,式中 是 的 Fourier 变换。dxkik0,210,提示：利用 。exii24/lim证：根据平面波的时间变化规律， ，tkxiikxe mkE2任意时刻的波函数为 dkektxmtxi2/21, （1） 22/ ptxtitimx 当时间足够长后（所谓 ） ，上式被积函数中的指数函数具有 函数的性质，取t 7， ， （2
8、）mt2tmxku参照本题的解题提示，即得 kdtxketetxitimx 4/21,（3）txttixi2/4/（4）2,ttx物理意义：在足够长时间后，各不同 k 值的分波已经互相分离，波群在 处的主要成分为 ，即xtmxk，强度 ，因子 描述整个波包的扩散，波包强度 。mktx2ktm t12设整个波包中最强的动量成分为 ，即 时 最大，由（4）式可见，当 足够大以后， 的0k02k 2最大值出现在 处，即 处，这表明波包中心处波群的主要成分为 。0ktxtx 0k2.7 写出动量表象中的不含时 Schrdinger 方程。解：经典能量方程 。rVmpE2在动量表象中，只要作变换 ，dp
9、i所以在动量表象中，Schrdinger 为：。EdpiVm2第三章一维定态问题3.1）设粒子处在二维无限深势阱中， 其 余 区 域 ,0),(axyx求粒子的能量本征值和本征波函数。如 ，能级的简并度如何？b解：能量的本征值和本征函数为 mEyxn22nayx,21, ,sii yxyxn nbbyx 8若 ，则 ba)(22yxnnmaEyx yxnyxsii这时，若 ，则能级不简并;若 ，则能级一般是二度简并的（有偶然简并情况，如yxyxn与 ）5,10xn2,1 yxn3.2）设粒子限制在矩形匣子中运动，即 其 余 区 域 , 0,0),( czbyaxzyxV求粒子的能量本征值和本征
10、波函数。如 ，讨论能级的简并度。解：能量本征值和本征波函数为,)(22cnbamnEzyxzyx ,31, ,siisi8zyx zyxnczyx 当 时，cba)(222zyxmanEzyx aynnzyxzyx siisi3时，能级不简并；zyxn三者中有二者相等，而第三者不等时，能级一般为三重简并的。z,三者皆不相等时，能级一般为 6 度简并的。zyx如 )9,63()10,5(2086120 743523.3）设粒子处在一维无限深方势阱中， ax0, ,),(yxV证明处于定态 的粒子)(n9)61(2)x-( ,22naax讨论 的情况，并于经典力学计算结果相比较。 n证：设粒子处于
11、第 n 个本征态，其本征函数.xanxsi)(（1）2si2020 axddan 分 部 4)( 2022xxna )cos1(202adxa（2）)6(22n在经典情况下，在 区间粒子除与阱壁碰撞（设碰撞时间不计，且为弹性碰撞，即粒子碰撞后仅运动方向a ,0改变，但动能、速度不变）外，来回作匀速运动，因此粒子处于 范围的几率为 ，故xdadx， （3）20adx，302（4）4)(222axx当 时，量子力学的结果与经典力学结果一致。n3.4）设粒子处在一维无限深方势阱中， 2 ,0),(axyxV处于基态 ，求粒子的动量分布。)1(n解：基态波函数为 , （参 P57， （12） ）axc
12、os110动量的几率分 2cos22cos1s1121)(211cos2)(3 22222)()(paqpaa epiepiadxeeadxaep apiapiapiapipaipai iiixaipx 布 2cs4)(223paap3.5）设粒子处于半壁高的势场中（1）axVx,0 ,)(求粒子的能量本征值。求至少存在一条束缚能级的体积。解：分区域写出 :eqs.（2）ax ,0)()( 02“211 xk其中 （3）22 k EEV方程的解为 （4）kxkxiiDeCBA)(21根据对波函数的有限性要求，当 时， 有限，则)(20当 时， ，则0x0)(1xBA于是 （5）ax , )(
13、0sin2 kxDeF在 处，波函数及其一级导数连续，得ax11（6）kaka DekFDeF cos ,sin上两方程相比，得 （7）tg即 （7） EVVat 002若令 （8）akk ,则由（7）和（3） ，我们将得到两个方程：（10）式是以 (10)9 20aVctg为半径的圆。对于束缚态来说， ，aVr20 00E结合（3） 、 （8）式可知， 和 都大于零。 （10）式表达的圆与曲线 在第一象限的交点可决定束缚 ctg态能级。当 ，即 ，亦即2r220aV（11）80时，至少存在一个束缚态能级。这是对粒子质量，位阱深度和宽度的一个限制。36）求不对称势阱中粒子的能量本征值。解：仅讨
14、论分立能级的情况，即 ，20VEmdx2当 时， ，故有x0 EVmkxaeAkx 222 111 ,sin,0, 由 在 、 处的连续条件，得dl0（1）kactgkctg21 ,由（1a）可得 （2）1sinmV由于 皆为正值，故由（1b） ，知 为二，四象限的角。k,21 ka12因而 （3）2sinmVkka又由（1） ，余切函数 的周期为 ，故由(2)式，ctg(4)112sink由(3)，得 (5)2imVka结合(4),(5)，得 11212 2sinsinmVkk或 （6）211iimVnka,32一般而言，给定一个 值，有一个解 ，相当于有一个能级：nnk（7）mEn2当 时
15、，仅当 12V 12sinVVa才有束缚态 ，故 给定时，仅当 （8）21, 122sinm时才有束缚态（若 ，则无论 和 的值如何，至少总有一个能级）V21 a当 给定时，由(7)式可求出 个能级（若有 个能级的话） 。相应的波函数为:aV,21 nn EVmkaxemVkAx naxknn nknnn 2221 11, , 0 si , , 其中 nna137）设粒子（能量 ）从左入射，碰到下列势阱（图） ，求阱壁处的反射系数。0E解：势阱为 .0,)(0xVx在区域上有入射波与反射波，在区域上仅有透射波。故13mEkCeVBAxikxi2,2 011211由 ，得 。)0(1由 ，得 。
16、2 CkBAk21从上二式消去 c, 得 。1反射系数 212kArR将 代入运算，可得21,k 0020402,16VEVEV38）利用 Hermite 多项式的递推关系（附录 A3。式（11） ） ，证明谐振子波函数满足下列关系 )(21)(12)(12)(2 xnxnxnxn 并由此证明，在 态下， ,0nEV证：谐振子波函数 （1）)()(2xHeAxxnn其中，归一化常数 （2）m ,!n的递推关系为 （3）)(xHn .0)(2)(2)( 11 xnxxn14 )(21)(21 )(21! )(2!21 )(!21)(2)(21 )(1)(1 12121 12112222 xnx
17、xHenxHen xexnxHeAx HeAxn nxnxn nxnnnxn nxn )(21)(12)(12 )(2)()()(2 112 xnxnxn xnxnnnn 0)()()( 11* ddxx nnnn21221)()()(212*2 nnnnEmdxxxV 39）利用 Hermite 多项式的求导公式。证明（参 A3.式（12） ）2222 11 1)( nnnn nnnxd 证：A3.式（12）： )(dx)(H ),( 11 xHnnn 15 )(21)(2 )(2)(2)( )()(1 1112 122xnx xnxxHeHeAxdnnn nxnxnn 222 222 11
18、)( nnn nnnnnxd 011* dxidxip nnnnn 212412412* 22*22*2 nnnnnn Emdxm dxT 310）谐振子处于 态下，计算n， ，21x21p?px解：由题 36） ， mnEVxx 212 ,02由题 37） ， Tppn ,2 21212121212 212121npx mnpxx对于基态， ，刚好是测不准关系所规定的下限。,016311）荷电 q 的谐振子，受到外电场 的作用，（1）xqmxV21)(求能量本征值和本征函数。解： （2）HpH022的本征函数为 ，0 )(2xeAnxn本征值 10En现将 的本征值记为 ，本症函数记为 。H
19、n)(xn式（1）的势能项可以写成 2021)(xmV其中 （3）20qx如作坐标平移，令 （4）0x由于 （5）pdiip可表成 （6）H202,2 1xmx（6）式中的 与（2）式中的 相比较，易见 和 的差别在于变量由 换成 ，并添加了常数项0H0Hx，由此可知01xm（7）2001xmEn（8）)()()xn即（9）,210 ,2122nmqnE(10) 22)( qxHeAxnqxnn其中 (11) ,!nn312）设粒子在下列势阱中运动，17.0,21,)(2xmxV求粒子能级。解：既然粒子不能穿入 的区域，则对应的 S.eq 的本征函数必须在 处为零。另一方面，在 的0x 0x0
20、x区域，这些本征函数和谐振子的本征函数相同（因在这个区域，粒子的 和谐振子的 完全一样，粒子的波H函数和谐振子的波函数满足同样的 S.eq） 。振子的具有 的奇宇称波函数在 处为零，因而这些波12kn函数是这一问题的解（ 的偶宇称波函数不满足边条件 ）所以kn2)(,0 ,3Ek313）设粒子在下列势阱中运动，(1).0,)(xarxV0,ar是否存在束缚定态？求存在束缚定态的条件。解：S.eq: (2)Eaxrdm2对于束缚态（ ） ，令 (3)0E则 (4)022 axrdx积分 , ,得 跃变的条件a0(5) )(2)()( amra在 处，方程(4)化为x(6)022d边条件为 束 缚
21、 态0)( ,)(因此 (7).,axAeshx再根据 点 连续条件及 跃变条件(5)，分别得ax)()(8)esha(9)(2amrchA由（8） （9）可得（以 乘以（9）式，利用（8）式）)(a18(10)2cothmraa此即确定能级的公式。下列分析至少存在一条束缚态能级的条件。当势阱出现第一条能级时， ，所以 ,0E0利用 ,1licothli00 ata（10）式化为 ,2mr因此至少存在一条束缚态能级的条件为 （11）12r纯 势阱中存在唯一的束缚能级。当一侧存在无限高势垒时，由于排斥作用（表现为 ，对 ） 0)(x。束缚态存在与否是要受到影响的。纯 势阱的特征长度 。mrL2条
22、件（11）可改写为 （12）2La即要求无限高势垒离开 势阱较远（ ） 。才能保证 势阱中的束缚态能存在下去。显然，当（即 ） ， 时，左侧无限高势垒的影响可以完全忽略，此时 ，式（10）给a 1cotha出 2mr即 （13）2rE与势阱 的结论完全相同。)()(xrV令 ， 则式（10）化为a（14）2coth1mra由于 ，所以只当 时，式（10）或（14）才有解。解出根 之后，利用coth11，即可求出能级mEa2（15）2a第四章 力学量用算符表达与表象变换4.1）设 与 为厄米算符，则 和 也是厄米算符。由此证明，任何一个算符 均可ABBA1i21 F分解为 ， 与 均为厄米算符，
23、且iF Fi ,219证：） BAABABA 21212121为厄米算符。 ） iiiBi 21212121也为厄米算符。BAi ）令 ，则 ，AF且定义 （1） FiF21 ,21由） ，）得 ，即 和 皆为厄米算符。 则由（1）式，不难解得 i4.2）设 是 的整函数，证明),(pxF,F, F, pixxi 整函数是指 可以展开成 。),(pxF0,),(nmnCp证： （1）先证 。11 , nm pixxi 11131 32221,3,mmmmxixiipxi xxipxp同理， 12211,2,nnnnnnpipxxix现在，200, 10, ,nmnmnmnpxiCpxCpF而
24、。0, 1nnixiF xip又 0, 10, ,nmnmnnpixCpxCFx而 0, 1nnipiF, pix4.3）定义反对易式 ，证明BA,CCA,证： BABCAAB ,CBCA ,4.4）设 ， ， 为矢量算符， 和 的标积和矢积定义为BA BAA ,， 为 Levi-civita 符号，试验证zyx,（1）CBC（2）AA（3）21证：（1）式左端 xyxzxzyzyzyx CBACBACBACB （1）式右端也可以化成 。 （1）式得证。（2）式左端 （ ）CBACBA 3,2（2）式 CBACBA右端 CBACBA 故（2）式成立。（3）式验证可仿（2）式。4.5）设 与 为
25、矢量算符， 为标量算符，证明ABF（1）BA, （2）证：（1）式右端 FFBAAB（1）式左端,（2）式右端 FFBABA（2）式左端,4.6）设 是由 ， 构成的标量算符，证明Frp（1）rFipiL,证： （2）kjFizyx, 22)2.4( ,题 yFzipFi piziyizi pzzypypFLxzzy yy（3）xxrii 同理可证， （4）yyy FipFiL,（5）zzz rii,将式（3） 、 （4） 、 （5）代入式（2） ，于是（1）式得证。4.7）证明 piLp2。i,证： zyzyzyzyx pLpLLp ,利用基本对易式 ip,即得 。xxi2因此 pLp其次，
26、由于 和 对易，所以xxxyzyzyyz xzzxzxyyxyxZyxpLi pLi pLpLL , 222因此， p,24.8）证明 （1）prirL22（2）2pLLp（3）22423（4）2pLipL证: （1）利用公式 ， ，有CBAprPrp prrp 22其中 rii22rr3因此 pipL222（2）利用公式， （）0L可得 02,L 22 PpLppLL202,L 2 PppLp22L由，则（2）得证。（3） pipLp)1( 7.4222 4)()1( 7.4 Li（4）就此式的一个分量加以证明，由 4.4） （2） ，CBACBA，xxx pLpLpL其中 yzxx eip
27、（即 ）kijikj yzzy 0,22pLii ppLepLLxx xzyzxx类似地。可以得到 分量和 分量的公式，故（4）题得证。yz244.9）定义径向动量算符 rprpr 121证明： ， ，rra ribr1 ，ipcr, ， rrdr 2222 1 21 rpLpe证： ，ABCa r12 12 prp prrr 即 为厄米算符。r ri riririi riiipr riprrrb1132322112 rirri riprc 1, )(22 brpdr2211rrr1222 r225据 4.8） （1） ， 。epriprL222其中 ，iipr因而 rr222 rpr22以
28、左乘上式各项，即得2r rL122d)9.4221rpL4.10)利用测不准关系估算谐振子的基态能量。解：一维谐振子能量 。221xmpEx又 奇， ， ，02dxe0xp（由(3.8)、(3.9)题可知 ）,xp， ，x x由测不准关系， 得 。,2xx212 mEx，得 0823xdxmx211220 mEx同理有 ， 。0y0zE谐振子（三维）基态能量 。2300zyxE4.11) 利用测不准关系估算类氢原子中电子的基态能量。解：类氢原子中有关电子的讨论与氢原子的讨论十分相似，只是把氢原子中有关公式中的核电荷数 换成e（ 为氢原子系数）而 理解为相应的约化质量。故玻尔轨迹半径 ，在类氢原
29、子中变为zeu 20uea。a026类氢原子基态波函数 ，仅是 的函数。are310而 ，故只考虑径向测不准关系 ， 类氢原子径向能量为：dredresin rp。zupEr2而 ，如果只考虑基态，它可写为reH2，rzeup2rdir1与 共轭，于是 ， ，rpr（1）rzemzeuEr 22求极值 r230由此得 （ ：玻尔半径； ：类氢原子中的电子基态“轨迹”半径） 。代入（1）式，azer020a得基态能量， emE224运算中做了一些不严格的代换，如 ，作为估算是允许的。r14.12)证明在分立的能量本征态下动量平均值为 0。证：设定态波函数的空间部分为 ，则有EH为求 的平均值，我
30、们注意到坐标算符 与 的对易关系：pix。upVupxHijjii 2,这里已用到最基本的对易关系 ，由此ijji,270,ii iiiii ExxiuHxup这里用到了 的厄米性。H这一结果可作一般结果推广。如果厄米算符 可以表示为两个厄米算符 和 的对易子 ，则在CABBAiC,或 的本征态中， 的平均值必为 0。ABC4.13）证明在的本征态下， 。yxL（提示：利用 ，求平均。 ）yzyiL证：设 是 的本征态，本征值为 ，即z mz，xLiyzyy, ，yxzxzL 011 yyzzyzzyx LmLii同理有： 。0y4.14) 设粒子处于 状态下，求 和,lmY2xL2y解：记本
31、征态 为 ，满足本征方程l， ， ，lL221lmlzlLz利用基本对易式 ，Li可得算符关系 xyzxzyxyzyxxi 2xyzzzy LLiLi 2将上式在 态下求平均，因 作用于 或 后均变成本征值 ，使得后两项对平均值的贡献互相抵lmzlmm28消，因此 22yxL又 221 mlz2221lyx上题已证 。0L 2222 1 mlLxxxx 同理 。1mly4.15)设体系处于 状态（已归一化，即 ） ，求201YC121C（a） 的可能测值及平均值;zL（b） 的可能测值及相应的几率；2（c） 的可能测值及相应的几率。x解： ， ；1212 YL20206 YL， 。zz（a）由
32、于 已归一化，故 的可能测值为 ，0，相应的几率为 ， 。平均值 。z 21C21CLz（b） 的可能测值为 ， ，相应的几率为 ， 。2L2621（c）若 ， 不为 0，则 （及 ）的可能测值为： ， ，0， ， 。1C2xLy21） 在 的空间， 对角化的表象中的矩阵是xLlz,2 012求本征矢并令 ，则 ，1cba012得， ， ， 。 。ab2bc21,0）取 ，得 ，本征矢为 ，归一化后可得本征矢为 。0a , a102）取 ，得 ，本征矢为 ，归一化后可得本征矢为 。1cb2229）取 ，得 ，归一化后可得本征矢为 。1cab212在 态下， 取 的振幅为 ， 取 的几率为 ；
33、取011CYxL020211CCxL021CxL的振幅为 ，相应的几率为 ；211 421取 的振幅为 ，相应的几率为 。总几率为 。xL2011CC21C21C2） 在 的空间， 对角化表象中的矩阵xlzL,利用 121mjmjjx， ， ， 。12 xj 230xj 2310xj 12xj，本征方程010230xL edcba010230， ， ， ， ， 。abbccdde23e2,） ， ， ， ， 本征矢为 。在 态下，测得0bca230dce2310321801022CY30的振幅为 。几率为 ；0xL210318102 CC42） ， ， ， ， ，本征矢为 。在 态下，测得 的振幅为1ab0cbde101220YCxL，几率为 。011202 C） ， ， ， ， ，本征矢为 ，在 态下，测得 几率为 。1ab0cbdde101220YCxL0） ， ， ， ， ，本征矢为 ，在 态下，测得2abc6aed2ac6126420YC的振幅为 。几率为 ；2xL22 461100CC283） ， ， ， ， ，本征矢为 ，在 态下，测得 的2abc6ad2e1261420YC2xL几率为 。283C
