1、第 8 讲 曲线与方程最新考纲1了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系2了解解析几何的基本思想和利用坐标法研究曲线的简单性质3能够根据所给条件选择适当的方法求曲线的轨迹方程.知 识 梳 理1曲线与方程一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线 C 上的点与一个二元方程 f(x， y)0 的实数解建立了如下关系：(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点那么这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线2求动点轨迹方程的一般步骤(1)建立适当的坐标系，用有序实数对( x， y)表示曲线上任意一点 M 的坐标(2)写出适合条件 p 的点 M 的集合 P M|p(M)
2、(3)用坐标表示条件 p(M)，列出方程 f(x， y)0，并化简(4)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上3曲线的交点设曲线 C1的方程为 F1(x， y)0，曲线 C2的方程为 F2(x， y)0，则 C1， C2的交点坐标即为方程组Error!的实数解若此方程组无解，则两曲线无交点辨 析 感 悟1曲线与方程的概念(1)f(x0， y0)0 是点 P(x0， y0)在曲线 f(x， y)0 上的充要条件()(2)条件甲：“曲线 C 上的点的坐标都是方程 f(x， y)0 的解” ，条件乙：“曲线 C 是方程f(x， y)0 的图形” ，则条件甲是条件乙的充要条件()(3)(教材习题改
3、编)方程 y 与 x y2表示同一曲线()x(4)方程 x2 xy x 的曲线是一个点和一条直线()2求曲线的轨迹方程(5)到两条互相垂直的直线距离相等的点的轨迹方程是 x2 y2.()(6)两条动直线 y x b， y2 x b(bR)交点的轨迹方程是 3x2 y0.()(7)已知点 F ，直线 l： x ，点 B 是 l 上的动点若过点 B 垂直于 y 轴的直线与(14， 0) 14线段 BF 的垂直平分线交于点 M，则点 M 的轨迹是抛物线()(8)(2014济南质检)过椭圆 1( ab0)上任意一点 M 作 x 轴的垂线，垂足为 N，则x2a2 y2b2线段 MN 中点的轨迹方程是 1
4、.()x2a2 4y2b2感悟提升1曲线与曲线的方程是两个不同概念，曲线的方程需满足两个条件：一是曲线上点的坐标都是该方程的解；二是以该方程的解为坐标的点都是曲线上的点如(2)错误理解了曲线方程的含义2求轨迹方程，要注意曲线上的点与方程的解是一一对应关系，检验应从两个方面进行：一是方程的化简是否是同解变形；二是是否符合实际意义，注意轨迹上特殊点对轨迹的“完备性与纯粹性”的影响.学生用书 第 154 页考点一 直接法求轨迹方程【例 1】 如图所示， A(m， m)和 B(n， n)两点分别在射线 OS， OT 上移动，3 3且 ， O 为坐标原点，动点 P 满足 .OA OB 12 OP OA
5、OB (1)求 mn 的值；(2)求动点 P 的轨迹方程，并说明它表示什么曲线？解 (1)由 ( m， m)(n， n)2 mn.OA OB 3 3得2 mn ， mn .12 14(2)设 P(x， y)(x0)，由 ，OP OA OB 得( x， y)( m， m)( n， n)( m n， m n)3 3 3 3Error! 整理得 x2 4 mn，y23又 mn ， P 点的轨迹方程为 x2 1( x0)14 y23它表示以原点为中心，焦点在 x 轴上，实轴长为 2，焦距为 4 的双曲线 x2 1 的右y23支规律方法 (1)一是解本题第(2)时，根据Error!利用第(1)问的结论消
6、去 m， n 得到轨迹方程是解题的关键；二是求点的轨迹时，要明确题设的隐含条件，如本例中动点 P 的轨迹只是双曲线的右支(2)如果动点满足的几何条件就是一些与定点、定直线有关的几何量的等量关系，而该等量关系又易于表达成含 x， y 的等式，可利用直接法求轨迹方程【训练 1】 (2013陕西卷选编)已知动圆过定点 A(4,0)，且在 y 轴上截得弦 MN 的长为 8.试求动圆圆心的轨迹 C 的方程解 如图，设动圆圆心为 O1(x， y)，由题意，| O1A| O1M|，当 O1不在 y 轴上时，过 O1作 O1H MN 交 MN 于 H，则 H 是 MN 的中点| O1M| ，x2 42又| O
7、1A| ， x 4 2 y2 ， x 4 2 y2 x2 42化简得 y28 x(x0)当 O1在 y 轴上时， O1与 O 重合，点 O1的坐标(0,0)也满足方程 y28 x，动圆圆心的轨迹 C 的方程为 y28 x.考点二 定义法(待定系数法)求轨迹方程【例 2】 一动圆与圆 x2 y26 x50 外切，同时与圆 x2 y26 x910 内切，求动圆圆心 M 的轨迹方程，并说明它是什么曲线解 如图所示，设动圆圆心为 M(x， y)，半径为 R，设已知圆的圆心分别为 O1， O2，将圆的方程分别配方得( x3) 2 y24，( x3) 2 y2100，当动圆与圆 O1相外切时，有| O1M
8、| R2.当动圆与圆 O2相内切时，有| O2M|10 R.将两式相加，得| O1M| O2M|12| O1O2|，动圆圆心 M(x， y)到点 O1(3,0)和 O2(3,0)的距离和是常数 12，所以点 M 的轨迹是焦点为 O1(3,0)， O2(3,0)，长轴长等于 12 的椭圆2 c6,2 a12， c3， a6， b236927，圆心轨迹方程为 1，轨迹为椭圆x236 y227规律方法 求轨迹方程时，若动点与定点、定线间的等量关系满足圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义，则可以直接根据定义先定轨迹类型，再写出其方程，这种求轨迹方程的方法叫做定义法，其关键是准确应用解析几何中有关曲线的定义【
9、训练 2】 如图所示，已知 C 为圆( x )2 y24 的圆心，点 A( ，0)， P 是圆上的动2 2点，点 Q 在直线 CP 上，且 0， 2 .当点 P 在圆上运动时，求点 Q 的轨迹方程MQ AP AP AM 解 圆( x )2 y24 的圆心为 C( ，0)，半径 r2，2 2 0， 2 ，MQ AP AP AM MQ AP，点 M 是线段 AP 的中点，即 MQ 是 AP 的中垂线，连接 AQ，则| AQ| QP|，| QC| QA| QC| QP| CP| r2，又| AC|2 2，根据双曲线的定义，点 Q 的轨迹是以 C( ，0)， A( ，0)为焦点，实2 2 2轴长为 2
10、 的双曲线，由 c ， a1，得 b21，因此点 Q 的轨迹方程为 x2 y21.2学生用书 第 155 页考点三 代入法(相关点法)求轨迹方程【例 3】 (2012辽宁卷)如图，动圆 C1： x2 y2 t2,1b0)的左、右焦点分别是 F1， F2，离心率x2a2 y2b2为 ，过 F1且垂直于 x 轴的直线被椭圆 C 截得的线段长为 1.32(1)求椭圆 C 的方程；(2)点 P 是椭圆 C 上除长轴端点外的任一点， 连接 PF1， PF2，设 F1PF2的角平分线 PM交 C 的长轴于点 M(m,0)，求 m 的取值范围；(3)在(2)的条件下，过点 P 作斜率为 k 的直线 l，使得
11、 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点 设直线 PF1， PF2的斜率分别为 k1， k2，若 k0，试证明 为定值， 并求1kk1 1kk2出这个定值审题 一审条件：可设 P 点坐标为( x0， y0)，写出直线 l 的方程二审条件：联立方程组消去 y 得关于 x 的一元二次方程，则 0三审结论：变为 ，把 k 与 均用 x0， y0表示后可消去1k(1k1 1k2) 1k1 1k2解 (1)椭圆 C 的方程为 y21(过程略)x24(2)m 的取值范围是 (过程略)(32， 32)(3)设 P(x0， y0)(y00)，则直线 l 的方程为 y y0 k(x x0)联立Error! 整理得(
12、14 k2)x28( ky0 k2x0)x4( y 2 kx0y0 k2x 1)0.20 20由题意，得 0，即(4 x )k22 x0y0k1 y 0.20 20又 y 1，所以 16y k28 x0y0k x 0，x204 20 20 20即(4 y0k x0)20.故 k .x04y0由椭圆 C 可得 F1( ，0)， F2( ，0)，又 P(x0， y0)，所以 3 31k1 1k2 x0 3y0 x0 3y0，2x0y0所以 8.1kk1 1kk2 1k(1k1 1k2) ( 4y0x0) 2x0y0因此 为定值，这个定值为8.1kk1 1kk2反思感悟 对题目涉及的变量巧妙的引进参
13、数(如设动点坐标、动直线方程等)，利用题目的条件和圆锥曲线方程组成二元二次方程组，再化为一元二次方程，从而利用根与系数的关系进行整体代换，达到“设而不求，减少计算”的效果，直接得定值【自主体验】(2013新课标全国卷)已知椭圆 E： 1( ab0)的右焦点为 F(3,0)，过点 F 的直x2a2 y2b2线交 E 于 A， B 两点若 AB 的中点坐标为(1，1)，则 E 的方程为( )A. 1 B. 1x245 y236 x236 y227C. 1 D. 1x227 y218 x218 y29解析 设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则Error!得 0， x1 x2 x1 x2a
14、2 y1 y2 y1 y2b2又因为 x1 x22， y1 y22，所以 kAB .y1 y2x1 x2 b2 x1 x2a2 y1 y2 b2a2又 kAB ，所以 .0 13 1 12 b2a2 12又 9 c2 a2 b2，解得 b29， a218，所以椭圆 E 的方程为 1.故选 D.x218 y29答案 D基础巩固题组(建议用时：40 分钟)一、选择题1方程( x y)2( xy1) 20 的曲线是( )A一条直线和一条双曲线 B两条直线C两个点 D4 条直线解析 由( x y)2( xy1) 20 得Error!Error! 或Error!即方程表示两个点(1,1)和(1，1)答案
15、 C2若 M， N 为两个定点，且| MN|6，动点 P 满足 0，则 P 点的轨迹是( )PM PN A圆 B椭圆 C双曲线 D抛物线解析 0， PM PN.点 P 的轨迹是以线段 MN 为直径的圆PM PN 答案 A3(2014珠海模拟)已知点 A(1,0)，直线 l： y2 x4，点 R 是直线 l 上的一点，若 RA ，则点 P 的轨迹方程为( )AP A y2 x B y2 xC y2 x8 D y2 x4解析 设 P(x， y)， R(x1， y1)，由 知，点 A 是线段 RP 的中点，RA AP Error! 即Error!点 R(x1， y1)在直线 y2 x4 上， y12
16、 x14， y2(2 x)4，即 y2 x.答案 B4已知动圆圆心在抛物线 y24 x 上，且动圆恒与直线 x1 相切，则此动圆必过定点( )A(2,0) B(1,0) C(0,1) D(0，1)解析 直线 x1 是抛物线 y24 x 的准线，由抛物线定义知，动圆一定过抛物线的焦点(1,0)答案 B5(2014广州调研)如图所示，一圆形纸片的圆心为 O， F 是圆内一定点， M 是圆周上一动点，把纸片折叠使 M 与 F 重合，然后抹平纸片，折痕为 CD，设 CD 与 OM 交于点 P，则点 P 的轨迹是( )A椭圆 B双曲线 C抛物线 D圆解析 由条件知| PM| PF|.| PO| PF|
17、PO| PM| OM| R|OF|. P 点的轨迹是以 O， F 为焦点的椭圆答案 A二、填空题6平面上有三个点 A(2， y)， B ， C(x， y)，若 ，则动点 C 的轨迹方程是(0，y2) AB BC _解析 (2， y) ，AB (0， y2) (2， y2)( x， y) ，BC (0， y2) (x， y2) ， 0，AB BC AB BC 0，即 y28 x.(2， y2) (x， y2)动点 C 的轨迹方程为 y28 x.答案 y28 x7已知两定点 A(2,0)， B(1,0)，如果动点 P 满足条件| PA|2| PB|，则点 P 的轨迹所包围的图形的面积等于_解析 设
18、 P(x， y)，由| PA|2| PB|，得(x2) 2 y24( x1) 2 y2，即( x2) 2 y24，圆的面积 S2 24.答案 48 ABC 的顶点 A(5,0)， B(5,0)， ABC 的内切圆圆心在直线 x3 上，则顶点 C 的轨迹方程_解析 如图，| AD| AE|8，|BF| BE|2，| CD| CF|，所以| CA| CB|8263)x29 y216答案 1( x3)x29 y216三、解答题9设点 P 是圆 x2 y24 上任意一点，由点 P 向 x 轴作垂线 PP0，垂足为 P0，且 MP0 32.PP0 (1)求点 M 的轨迹 C 的方程；(2)若直线 l：
19、y x1 与(1)中的轨迹 C 交于 A， B 两点，求弦长| AB|的值解 (1)设点 M(x， y)， P(x0， y0)，则由题意知 P0(x0,0)由 ( x0 x， y)， (0， y0)，且 ，MP0 PP0 MP0 32PP0 得( x0 x， y) (0， y0)32于是 x0 x 且 y0 y，23又 x y 4， x2 y24.20 2043点 M 的轨迹 C 的方程为 1.x24 y23(2)设 A(x1， y1)， B(x2， y2)联立Error! 得 7x28 x80， x1 x2 ，且 x1x2 .87 87则| AB| |x2 x1| x1 x2 2 y1 y2
20、 2 2 .2 x1 x2 2 4x1x2 2 ( 87)2 327 24710已知点 A(2,0)， B(2,0)， P 是平面内一动点，直线 PA， PB 斜率之积为 .34(1)求动点 P 的轨迹 C 的方程；(2)过点 作直线 l，与轨迹 C 交于 E， F 两点，线段 EF 的中点为 M，求直线 MA 的斜率(12， 0)k 的取值范围解 (1)设 P 点的坐标为( x， y)，依题意得 (x2)，yx 2 yx 2 34化简并整理得 1( x2)x24 y23动点 P 的轨迹 C 的方程是 1( x2)x24 y23(2)依题意得，直线 l 过点 ，且斜率不为零，(12， 0)故可
21、设其方程为 x my .12由Error! ，消去 x 得4(3m24) y212 my450，设 E(x1， y1)， F(x2， y2)， M(x0， y0)， y1 y2 ， y0 ，3m3m2 4 y1 y22 3m2 3m2 4 x0 my0 ， k ，12 23m2 4 y0x0 2 m4m2 4当 m0 时， k0，当 m0 时， k ，又|4 m |4| m| 8，14m 4m 4m 4|m|0b0)的两个焦点分别为 F1(1,0)， F2(1,0)，x2a2 y2b2且椭圆 C 经过点 P .(43， 13)(1)求椭圆 C 的离心率；(2)设过点 A(0,2)的直线 l 与
22、椭圆 C 交于 M， N 两点，点 Q 是线段 MN 上的点，且 2|AQ|2 ，求点 Q 的轨迹方程1|AM|2 1|AN|2解 (1)由椭圆定义知2a| PF1| PF2| 2 .(43 1)2 (13)2 (43 1)2 (13)2 2所以 a .2又由已知得， c1，所以椭圆 C 的离心率 e .ca 12 22(2)由(1)知，椭圆 C 的方程为 y21.x22设点 Q 的坐标为( x， y)(i)当直线 l 与 x 轴垂直时，直线 l 与椭圆 C 交于(0,1)，(0，1)两点，此时点 Q 的坐标为 .(0， 2355)(ii)当直线 l 与 x 轴不垂直时，设直线 l 的方程为
23、y kx2.因为 M， N 在直线 l 上，可设点 M， N 的坐标分别为( x1， kx12)，( x2， kx22)，则|AM|2(1 k2)x ，| AN|2(1 k2)x .21 2又| AQ|2 x2( y2) 2(1 k2)x2.由 ，得2|AQ|2 1|AM|2 1|AN|2 ，2 1 k2 x2 1 1 k2 x21 1 1 k2 x2即 .2x2 1x21 1x2 x1 x2 2 2x1x2x21x2将 y kx2 代入 y21 中，得x22(2k21) x28 kx60.由 (8 k)24(2 k21)60，得 k2 .32由可知， x1 x2 ， x1x2 ， 8k2k2
24、 1 62k2 1代入中并化简，得x2 .1810k2 3因为点 Q 在直线 y kx2 上，所以 k ，代入中并化简，得 10(y2) 23 x218.y 2x由及 k2 ，可知 0 x2 ，32 32即 x .(62， 0) (0， 62)又 满足 10(y2) 23 x218，(0， 2355)故 x .(62， 62)由题意知点 Q(x， y)在椭圆 C 内，所以1 y1，又由 10(y2) 2183 x2有(y2) 2 ，且1 y1，则 y .95， 94) (12， 2 355所以点 Q 的轨迹方程为 10(y2) 23 x218，其中 x ， y .(62， 62) (12， 2 355学生用书 第 156 页
