1、分式方程的解法及应用（基础）【学习目标】1. 了解分式方程的概念和检验根的意义，会解可化为一元一次方程的分式方程2. 会列出分式方程解简单的应用问题【要点梳理】【高清课堂 分式方程的解法及应用 知识要点】要点一、分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫分式方程.要点诠释：（1）分式方程的重要特征：是等式；方程里含有分母；分母中含有未知数.（2）分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数（不是一般的字母系数）.分母中含有未知数的方程是分式方程，分母中不含有未知数的方程是整式方程.（3）分式方程和整式方程的联系：分式方程可以转化为整式方程. 要点二、分式方程的 解法解分式方程的基本思想：将分式
2、方程转化为整式方程.转化方法是方程两边都乘以最简公分母，去掉分母.在去分母这一步变形时，有时可能产生使最简公分母为零的根，这种根叫做原方程的增根.因为解分式方程时可能产生增根，所以解分式方程时必须验根.解分式方程的一般步骤：（1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母） ；（2）解这个整式方程，求出整式方程的解；（3）检验：将求得的解代入最简公分母，若 最简公分母不等于 0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于 0，则这个解不是原分式方程的解，原分式 方程无解.要点三、解分式方程产生增根的原因方程变形时，可能产生不适合原方程
3、的根，这种根叫做原方程的增根.产生增根的原因：去分母时，方程两边同乘的最简公分母是含有字母的式子，这个式子有可能为零，对于整式方程来说，求出的根成立，而对于原分式方程来说，分式无意义，所以这 个根是原分式方程的增根.要点诠释：（1）增根是在解分式方程的第一步“去分母”时产生的.根据方程的同解原理，方程的两边都乘以（或除以）同一个不为 0 的数，所得方程是原方程的同解方程.如果方程的两边都乘以的数是 0，那么所得方程与原方程不是同解方程，这时求得的根就是原方程的增根.（2）解分式方程一定要检验根，这种检验与整式方程不同，不是检查解方程过程中是否有错误，而是检验是否出现增根，它是在解方程的过程中没
4、有错误的前提下进行的.要点四、分式方程的应用分式方程的应用主要就是列方程解应用题.列分式方程解应用题按下列步骤进行：（1）审题了解已知数与所求各量所表示的意义，弄清它们之间的数量关系；（2）设未知数；（3）找出能够表示题中全部含义的相等关系，列出分式方程；（4）解这个分式方程；（5）验根，检验是否是增根；（6）写出答案.【典型例 题】类型一、判别分式方程1、下列方程中，是分式方程的是（ ） A 3214x B 1241xxC 205 D ab， （ ， b为非零常数）【答案】B；【解析】A、C 两项中的方程尽管有分母，但分母都是常数；D 项中的方程尽管含有分母，但分母中不含未知数，由 定义知这
5、三个方程都不是分式方程，只有 B 项中的方程符合分式方程的定义【总结升华】要判断一个方程是否为分式方程，就看其有无分母，并且分母中是否含有未知数类型二、解分式方程2、 解分式方程（1） 10522x；（2） 225103xx【答案与解析】解：（1） 05x，将方程两边同乘 (21)，得0(5)解方程，得 74x检验：将 代入 21，得 502x x是原方程的解（2） 2503x，方程两边同乘以 ()1，得 5()30x解这个方程，得 2x检验：把 代入最简公分母，得 251100 原方程的解是 【总结升华】将分式方程化为整式方程时，乘最简公分母时应乘原分式方程的每一项，不要漏乘常数项特别提醒：
6、解分式方程时，一定要检验方程的根举一反三：【变式】解方程： 2123x【答案】解： x，方程两 边都乘 3，得 21(3)x，解这个方程，得 ，检验：当 x时， 0， 是增根， 原方程无解类型三、分式方程的增根【高清课堂 分式方程的解法及应用 例 3（1） 】3、 m为何值时，关于 x的方程 234mx会产生增根？【思路点拨】若分式方程产生增根，则 ()0，即 2x或 ，然后把2x代入由分式方程转化得的整式方程求出 的值【答案与解析】解： 方程两边同乘 (2)x约去分母，得 2()3m整理得 (1)0mx 原方程有增根， ()2x，即 2或 把 x代入 (1)0，解得 4把 2代入 mx，解得
7、 6m所以当 4或 6时，方程会产生增根【总结升华】处理这类问题时，通常先将分式方程转化为整式方程，再将求出的增根 代入整式方程，即可求解举一反三：【变式】如果方程 132xx有增根，那么增根是_【答案】 ；提示：因为增根是使分式的分母为零的根，由分母 20x或 x可得2x所以增根是 2x类型四、分式方程的应用4、甲、乙两班参加绿化校园植树活动，已知乙班每小时比甲班多种 2 棵树，甲班种60 棵树所用的时间与乙班种 66 棵树所用的时间相等求甲、乙两班每小时各种多少棵树?【思路点拨】本题的等 量关系为：甲班种 60 棵树所用的时间与乙班种 66 棵树所用的时间相等【答案与解析】解：设甲班每小时
8、种 x棵树，则乙班每小时种 2x棵树由题意可得 602，解这个方程，得 0经检验 是原方程的根且符合题意所以 x(棵)答 ：甲班每小时种 20 棵树，乙班每小时种 22 棵树【总结 升华 】解此题的关键是设出未知数后，用含 x的 分式表示甲、乙两班种树所用的时间举一反三：【变式】两个工程队共同参与一个建筑工程，甲队单独施工 1 个月完成总工程的 13，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成哪个队的施工速度快?【答案】解：设乙队单独施工 1 个月能完成工程的 1x，总工程量为 1根据工程的实际进度，得 362方程两边同时乘以 x，得 解这个方程得 1检验：当 时， 60，所以 x是原分式方程的解由上可知，若乙队单独工作 1 个月可以完成全部任务，对比甲队 1 个月完成任务的 13，可知乙队施工速度快答：乙队施工速度快
